5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES.

5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES. 1. Fonction logarithme népérien. 1.1. Définition. La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive sur ] 0, + [ qui s'annule pour x = 1 de la fonction x a 1 x. Soit pour x ] 0, + [ lnx = x dt. 1 t 1.. Premières propriétés. ln1 = 0 La fonction logarithme est dérivable sur ] 0, + [ et (lnx)' = 1 x > 0 donc la fonction logarithme est continue sur ] 0, + [ la fonction ln est strictement croissante sur ] 0, + [ ln(1+ h) En appliquant la définition de la dérivée en x=1, on a lim = 1 h 0 h Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, on a x I [ ln u(x) ] ' u' (x) = u(x) et donc x 0 [ ln x ] ' = 1 x

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. 1.3. Autres propriétés. x > 0 x' > 0 ln(xx' ) = lnx + lnx' x > 0 ln( 1 x ) = lnx x > 0 x' > 0 ln( x ) = lnx lnx' x' x > 0 r Q ln(x r ) = rlnx La fonction logarithme est une bijection de ] 0, + [ sur ],+ [, on a donc lnx 1 = lnx x 1 > 0 et x > 0 x 1 = x x 1 > 0 et x > 0 1.4. Tableau de variations x 0 1 + f (x) + + ln(x) 0 lnx lim x + x = 0 Quand x tend vers +, la courbe présente une branche parabolique dans la direction Ox. 1.5. Définition du nombre e La fonction logarithme étant une bijection de ] 0, + [ sur ],+ [, il existe un nombre unique appelé e tel que lne =1. La valeur décimale approchée de e à 10 5 près par défaut est,7188.

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. 1.6. Courbe représentative.. Fonction exponentielle La fonction logarithme étant une bijection de ] 0, + [ sur ],+ [, elle admet une fonction réciproque appelée exponentielle et notée exp (ou x a e x ) y = e x x ],+ [ x = lny y ] 0, + [.1. Propriétés x ] 0, + [ e lnx = x x ],+ [ ln(e x ) = x x ],+ [ e x >0 e 0 =1 La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R et on a : x ],+ [ (e x )' = e x Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, on a x I [ e u(x) ] ' = u' (x)e u(x) 3

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. Formules d'addition. x R x' R e x+x' = e x e x' et x R e x = 1 e x lim x + ex = + lim x ex = 0 Donc quand x tend vers +, la courbe présente une branche parabolique dans la direction Oy;.. Courbe représentative : En repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle est symétrique de celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice 3. Fonction logarithme et exponentielle de base A. Théorème : Logarithme de base a Soit a ] 0, + [ { 1}, on appelle fonction logarithme de base a et on note log a la fonction définie par x > 0 log a x = lnx lna En particulier le logarithme népérien est le logarithme en base e. 4

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. Théorème : Le logarithme de base 10 est appelé logarithme décimal et noté log Propriétés La fonction logarithme de base a est continue, strictement monotone sur ] 0, + [ log a 1 = ln1 lna = 0 (log a x)' = 1 xlna log a a = lna lna =1 x ] 0, + [ La fonction log a est dérivable sur ] 0, + [ et ( log a x) = lnx si a >1 alors log a est strictement croissante si a <1 alors log a est strictement décroissante x > 0 x' > 0 log a (xx') = log a x + log a x' x > 0 x' > 0 log a ( x x' ) = log a x log a x' lna ' = 1 xlna x > 0 r Q log a (x r ) = rlog a x Changement de base : ( { }), c ] 0, + [ (a, b) ] 0, + [ 1 log a c = log a b.log b c 3.1. Exponentielle de base a. a ] 0, + [ { 1}, la fonction log a est continue, strictement monotone sur ] 0, + [. Elle admet donc une fonction réciproque appelée exponentielle de base a et notée exp a ou x a a x y = a x x ],+ [ x = log a y y ] 0, + [ ou encore x = log a y = lny lna x R et y = a x = e xlna lny = xlna 5

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. Propriétés La fonction exponentielle de base a est continue, strictement monotone sur R et dérivable sur R (a x )' = (e xlna )' = lna.e xlna = lna.a x x R donc elle est croissante si a>1, décroissante si a<1 avec a 0 = 1 x R, x' R a x = 1 a x a x+x' = a x a x' 4. Fonction puissance Soit s R, on appelle fonction puissance d'exposant s la fonction définie sur R + par x a x s = e slnx La fonction puissance est continue sur ] 0, + [ Propriétés : x > 0 y > 0 et s R s' R x 0 = 1 x s x s' = x s+s' x s = 1 x s x s y s =(xy) s (x s ) s' = x ss' ln(x s ) = slnx (x s )' = s x s 1 5. Croissance comparée des fonctions exponentielle, logarithme et puissance. e x Pour tout s, lim x + x s = + 6

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. Si s > 0, on a : lnx lim x + x s = 0 lim x 0 + xs lnx = 0 5.1. Fonction puissance généralisée Si u et v sont deux fonctions définies sur une partie A de R avec x A u(x)>0 x A [ u(x) ] v(x) = e v(x)lnu(x) 6. Fonctions hyperboliques. On définit, pour tout réel x, les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente hyperbolique par chx = ex + e x shx = ex e x thx = shx chx = ex e x e x +e x 6.1. Propriétés. La fonction cosinus hyperbolique est une fonction paire, continue sur R La fonction sinus hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R La fonction tangente hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R (quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas) 6.. Propriétés algébriques. Les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont dérivables sur R et x R chx + shx = e x chx shx = e x ch x sh x = 1 1 th x = 1 ch x 6.3. Dérivées. x R (shx)' = chx (chx)' = shx (thx)' = 1 ch x =1 th x 7

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. 6.4. Courbes représentatives. D'après les propriétés de parité (ou imparité), il suffit d'étudier ses fonctions sur R +. La fonction sh est croissante sur R, car sa dérivée vérifie chx > 0 x 0 D'où le tableau de variation de la fonction sh x f (x) + + + sh(x) De même, la fonction ch est croissante sur R + car sa dérivée vérifie shx 0 x 0 D'où le tableau de variation de la fonction ch. x 0 + f (x) - + + + ch(x) 1 On a en outre : shx 1 ex chx lim (chx 1 x + ex ) = 0 + et lim (shx 1 x + ex ) = 0 Les courbes représentatives des fonctions ch et sh sont asymptotes à la courbe d'équation y = 1 ex et présentent donc quand x tend vers + une branche parabolique dans la direction Oy. 8

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. D'après les propriétés de parité (ou imparité) la courbe représentative de la fonction ch appelée chaînette est symétrique par rapport à Oy, elle est appelée "chaînette car elle modélise une chaîne homogène maintenue aux deux extrémités". La courbe représentative de la fonction sh est symétrique par rapport à l'origine. La fonction th est croissante sur R + car sa dérivée vérifie x 0 (thx)' = 1 ch x > 0 On peut aussi écrire : thx = ex e x 1 e x e x x = x et donc lim thx = 1 + e 1 + e x + D'où le tableau de variation de la fonction th : x f (x) 0 + + 1 th(x) 0 et la courbe représentative : 9

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. Remarque : on définit aussi la fonction cotangente hyperbolique par : coth x = 1 thx x R Représentation paramétrique de l'hyperbole Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent d'obtenir une représentation paramétrique de l'ellipse d'équation x a + y b = 1 sous la forme x = acost y = bsint t [ 0,π[ De même les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique fournissent une représentation paramétrique de l'hyperbole d'équation : 10

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. x a y x = 1 sous la forme b =ε acht y =bsht t R Si a 0, on obtient pour ε = +1 la branche droite de l'hyperbole (x a) et pour ε = 1 la branche gauche (x a). 6.5. Formules de trigonométrie hyperbolique. ch(a + b) = cha chb + shashb ch(a b) = cha chb shashb sh(a + b) = shachb + chashb sh(a b) = shachb chashb tha + thb th(a + b) = 1 + thathb tha thb th(a b) = 1 thathb sha = shacha cha = ch a + sh a = ch a 1 =1 + sh a cha = 1+ th a 1 th a sha = th a 1 th a th a tha = 1 + th a 7. Fonctions hyperboliques réciproques. 7.1. Fonction Argument sinus hyperbolique. La fonction sh est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur R. La bijection réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée Argsh y = Argshx x = shy x R y R La fonction Arg sh est continue, impaire et strictement croissante sur R La fonction Arg sh est dérivable sur R x R (Argshx) ' 1 = 1 + x 11

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. La fonction Arg sh s'exprime à l'aide de la fonction logarithme x R Argshx = ln(x + x +1) En effet, puisque chy > 0, chy = sh y +1 = x +1 et donc e y = chy + shy = x + 1 + x d'où x R y = Argshx = ln(x + x +1) Courbe représentative : elle se déduit, en repère orthonormé, de celle de la fonction sh par symétrie par rapport à la première bissectrice des axes. 7.. Fonction Argument cosinus hyperbolique. La fonction ch est continue strictement croissante sur [ 0, + [. C'est une bijection de [ 0, + [ sur [ 1,+ [ La bijection réciproque est appelée fonction argument cosinus hyperbolique et notée Argch y = Argchx x [ 1,+ [ x = chy y [ 0, + [ La fonction Arg ch est continue et strictement croissante sur [ 1,+ [ La fonction Arg ch est dérivable sur ] 1,+ [ x ] 1,+ [ (Argchx) ' = 1 x 1 La fonction Arg ch s'exprime à l'aide de la fonction logarithme 1

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. x [ 1,+ [ Argchx = ln(x + x 1) En effet, puisque shy 0 y 0, donc shy = ch y 1 = x 1 et donc e y = chy + shy = x + x 1 d'où x [ 1,+ [ y = Argchx = ln(x + x 1) La courbe représentative se déduit de celle de la restriction de la fonction ch à [ 0, + [ par symétrie par rapport à la première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé. 7.3. Fonction Argument tangente hyperbolique. La fonction th est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur ] 1,1[. La bijection réciproque est appelée fonction argument tangente hyperbolique et notée Argth y = Argthx x ] 1,1[ x = thy y R La fonction Arg th est continue, impaire et strictement croissante sur ] 1,1[ La fonction Arg th est dérivable sur ] 1,1[ x ] 1,1[ (Argthx) ' = 1 1 x La fonction Arg th s'exprime à l'aide de la fonction logarithme On a en effet : x ] 1,1[ Argthx = 1 1+ x ln 1 x 13

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Cours. x = thy = ey e y e y + e y = ey 1 e y +1 y = Argthx = 1 ln 1 + x 1 x La courbe représentative se déduit de celle de la fonction th par symétrie par rapport à la première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé. 14

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Exercices corrigés. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES. EXERCICES CORRIGES. MATH05E01. Résoudre dans R l'équation : chx + shx =3 (I). MATH05E0. Résoudre dans R l'équation 5 x x+ 3 = x+ 7 + 5 x 1 MATH05E03. Résoudre dans R l'équation ( x) x = x x MATH05E04. Ecrire l'expression Argth x en utilisant la fonction ln. 1+ x MATH05E05. Simplifier l'expression f(x) = Argch 1+ chx x 15

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Exercices corrigés. MATH05E06. Donner une autre expression pour les fonctions suivantes : f(x) = sh(argchx) g(x) = ch(argshx) h(x) = th(argshx) k(x) = th(argchx) MATH05E07. Résoudre dans R l'équation : Argthx + Arg thx = Argth 3 (I) MATH05E08. Démontrer que pour tout réel x non nul, thx = thx 1 thx Simplifier alors, pour tout n de N et tout réel x non nul n+1 S n (x) = p th( p x) p=0 MATH05E09. Calculer les dérivées des fonctions suivantes f : x a Arctan(shx) g : xa Arcsin(thx) En déduire une relation entre ces deux fonctions MATH05E10. ** Résoudre le système Argshy = Argshx Argchy = 3Argchx (I) (II) 16

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E01. En tenant compte des définitions de chx et shx, l'équation s'écrit (I) ex + e x ou encore + ex e x ex +1 + ex 1 = 3e x 3(e x ) 6e x 1 = 0 En posant X = e x avec X > 0 = 3 Seule la racine positive de l'équation du second degré convient, d'où X = e x = 3 + 3 3 L'équation proposée admet une solution unique ln(1 + 3 ). 17

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E0. L'équation est définie pour tout réel x 5 x x+ 3 = x+ 7 + 5 x 1 5 x 1 (5 1) = x+ 3 (1+ ) 5 x = x 1 (x )ln5 = (x 1 )ln x = ln5 1 ln ln5 ln L'équation proposée admet une solution unique ln5 1 ln ln5 ln 18

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E03. L'équation est définie pour x > 0 ( x) x = x x xln x = x lnx 1 xlnx = x lnx (1 x x)lnx = 0 L'équation proposée admet deux solutions : 1 et 4. 19

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E04. f est définie si et seulement si 1 < x <1 donc si et seulement si x R { 1,1 1 + x }. D f = x R x 1+x <1 =R { 1,1 } f(x) = Argth x 1 + x = 1 1+ x ln 1 + x 1 (1+ x) 1 x = ln 1 + x (1 x) = ln 1 + x ln 1+ x 1 x = 1 x ln x + 1 x 1 si 1 < x <1 si x < 1 ou x > 1 0

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E05. x R, chx 1, donc f est définie sur R Utilisons la formule de trigonométrie hyperbolique 1 + cha = ch a et donc f(x) = Argch(ch x ) x x Argch(ch x ) = x x f(x) = 3x si x [ 0, + [ si x ],0 [ si x [ 0, + [ si x ],0 [ 1

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E06. f(x) = sh(argchx) [ [ D f = 1,+ u R, ch u sh u = 1et donc sh (Argchx) = ch (Argchx) 1 = x 1 puisque Argchx 0 sh(argchx) 0 alors sh(argchx) = x 1 g(x) = ch(argshx) D g = R ch u = 1+ sh u et sh(argshx) = x de plus x R, ch(argshx) > 1 donc ch(argshx) = 1 + x h(x) = th(argshx) D h = R h(x) = sh(argshx) ch(argshx) = x 1 + x k(x) = th(argchx) [ [ D k = 1,+ k(x) = sh(argchx) ch(argchx) = x 1 x

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E07. { ] [ et x ] 1,1[ } = 1, 1 D = x R x 1,1 Sur 1, 1 n utilisant l'écriture logarithmique, on a (I) 1 ln 1 + x 1 x + 1 1 + x ln 1 x = 1 1 + ln( 3 1 ) 3 (1+ x)(1+ x) = 5(1 x)(1 x) 4x 9x + = 0 Une seule solution convient 1 4 3

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E08. pour x 0 thx 1 thx = thx 1+ th x ou encore, en utilisant thx = thx 1 + th x p th( p x) = p+1 th( p+1 x) n+1 S n (x) = p th( p x) = p=0 p th( p x) 1 thx = th x thx = thx n+ th( n+ x) 1 thx 4

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E09. Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur R [ ] ' = f'(x) = Arctan(shx) chx 1 + sh x = 1 chx g'(x) = [ Arcsin(thx) ] ' = 1 th x 1 th x = 1 th x = 1 chx Ces deux fonctions sont de classe C 1 sur R, puisqu'elles ont la même dérivée, elles sont égales à une constante près En particulier : d'où C=0 Arc tan(shx) = Arcsin(thx) + C f(0) = Arctan(sh0) = 0 g(0) =Arcsin(th0) = 0 Conclusion : x R Arctan(shx) = Arcsin(thx) 5

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques. Solutions. SOLUTION MATH05E10. Si (x,y) est solution du système, nécessairement x 1 et y 1 Puisque sh est bijective, on compose la première relation par sh: y = sh(argshx) mais shu = shuchu et d' après 4.5 ch(argshx) = x +1 donc (I) y = x x +1 Puisque ch est bijective, on compose la seconde relation par ch : y = ch(3argchx) mais ch3u = chu(ch u 1) + sh uchu d'après 4.5sh(Argchx) = x 1 donc (II) y = x(x 1) + x(x 1) = 4x 3 3x D'où le système x 1 y 1 x x +1 = x(4x 3) Puisquex 1alors x +1 = 4x 3 et 16x 4 8x + 5 = 0 On résout cette équation bicarrée dont la seule solution plus grande que 1 est 7 + 9 8 6

U.M.N. 5. Logarithmes, exponentielles, hyperboliques. Exercices supplémentaires. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES RECIPROQUES. EXERCICES SUPPLEMENTAIRES. MATH05S01. Simplifier l'expression Argsh x 1 x. MATH05S0. Etudier la fonction f:x a Argth 1 + 3thx 3 + thx. 7