Péface. Ce cus d électicité a été édigé à l intentin des étudiants qui pépaent, dans le cade de la éfme L.M.D 1, une licence dans les dmaines des Sciences de la Matièe et des Sciences et Technlgies. Il est cnfme au pgamme fficiel. Le pgamme d électicité du S se cmpse de deux gandes paties : La pemièe cmpte les éléments de base de la théie électmagnétique : l électstatique que nus pésentns aux Chapites I & II et l électmagnétisme qui fait l bjet des Chapites IV & V. Les cncepts de masse, de chage, de fce, de champ, d énegie et de ptentiel, que nus intduisns dans cette patie, nt été tès lngs à se dessine, au cus de l histie, et à ête acceptés pa les savants. D aute pat, il a fallu plus d un siècle, de l expéience de Culmb en 1785, qui maque la naissance de cette théie, à la pautin de la théie de la elativité esteinte en 1905, pu cmpende les lis de l électmagnétisme. C est la aisn pu laquelle nus insistns paticulièement su l aspect cnceptuel afin que l étudiant puisse, dès la pemièe année, éfléchi su la significatin des gandeus physiques qu il encnte à mesue qu il avance dans ses études. L étudiant, qui a déjà pis cnnaissance de ces lis au lycée, dit les assimile duant les tis années de la licence de physique, à l aide d un util mathématique plus pefmant d une année à l aute. En pemièe année, il sait déive et calcule les pimitives des fnctins élémentaies, il a appis le calcul vectiel mais igne l analyse vectielle. C est avec cet util qu il dit appende les pemies éléments de l électmagnétisme. Les équatins de Maxwell, qui expiment les lis de l électmagnétisme, appaaissent dans ce cus sus fme intégale et en égime quasi statinnaie. Ces équatins snt appliquées à des cas ù elles se amènent à des intégales simples que l étudiant peut ésude. Nus avns jugé utile d intduie, dès la pemièe année, les quate gandeus vectielles qui appaaissent dans les équatins de Maxwell : les champs E et B et les excitatins D et H, la distinctin ente ces gandeus appaaîta, en deuxième année, ls de l étude des milieux. La physique étant une science expéimentale, les lis de l électmagnétisme snt mises en évidence, dans ce cus, à pati de la desciptin d expéiences dnt cetaines snt faciles à éalise. 1 L.M.D. Système d enseignement supéieu instaué en lgéie en 004. Le système L.M.D. cmpte tis gades : La Licence (L.), pépaée en tis ans (L1, L, L3), le Maste (M.) en deux ans (M1, M) et le Dctat (D.) en tis ans. Chaque année se cmpse de deux semestes, en Licence pa exemple il y a six semestes (S1, S, S3, S4, S5, S6). Le mdule d électicité est enseigné en S. Cette étude n est pas au pgamme du cus de S.
Cette patie dnne lieu à de nmbeuses applicatins : pati du tavail des fces qui agissent su un système, n calcule l énegie qu il emmagasine, et invesement, à pati de l énegie stckée dans un système, n peut calcule les fces et les cuples qui y inteviennent : c est le cas des électmètes, des électdynammètes, des éléments mteus des appaeils de mesue etc. L étudiant, qui pte pu une licence de physique, appfndia ses cnnaissances dans le mdule d électmagnétisme en deuxième année et, en tisième année, dans deux mdules : Ondes Electmagnétiques & Optique et Relativité. La deuxième patie, qui est expsée aux chapites III & VI, pte su l électcinétique des cuants cntinus et des cuants altenatifs qui cnstitue une applicatin de la théie électmagnétique. Cette patie est essentielle pu l étudiant en technlgie qui se destine à une caièe en électicité industielle. En licence de physique elle cnstitue un pé-equis pu les mdules d électnique et d électtechnique. Chaque chapite est illusté pa des execices qui cnstituent une applicatin, à des pblèmes cncets, des lis intduites dans le cus. La éslutin de ces execices pemet à l étudiant de véifie s il a bien assimilé le cus, d estime les des de gandeu et d attache de l imptance à l analyse dimensinnelle aux unités de mesues et à la pécisin d un ésultat numéique. Les slutins des execices, placés à la fin de chaque chapite, sent publiées dans un aute fascicule. Nus tenns à emecie les cllègues qui nt bien vulu elie le manuscit et nus aide à l amélie, ntamment les pfesseus hmed-chafik Chami, Hakim Djeluah et Zha Méliani. Il est pssible que cette pemièe éditin cmpte quelques impefectins, nus seins ecnnaissants à tus ceux qui nus feaient pat de leus emaques et suggestins. lge ctbe 01. Les auteus ÏT-GOUGM Leïla BENDOUD Mhamed DOULCHE Naïma MÉKIDÈCHE Fawzia
Licence de Physique S: Electicité PROGRMME. Dmaine SM, : Licence de Physique: Pemièe année L1, deuxième semeste S UEF : Mdule : Phys : Electicité Semeste Cde Intitulé Cus/sem TD/sem TOTL S Phys Electicité x1h30 1x1h30 = 4h30 Inteactin électique : Electisatin, Cnsevatin de la chage, Cnducteus et islants, Li de Culmb. Electstatique: Champ et ptentiel céés pa une chage, pincipe de supepsitin, distibutin de chages, Tpgaphie d un champ. Dipôle électique : Ptentiel et champ céés pa un dipôle. Cuple execé su un dipôle pa un champ. Enegie d un dipôle. Ntin de flux. Théème de Gauss (sans démnstatin) : applicatins. Cnducteus en équilibe. Influence ttale. Cndensateus : capacité, énegie électique, gupements de cndensateus Cuants cntinus: Ruptue d un équilibe électstatique. Intensité électique, Li d Ohm gupements de ésistances. Li de Jule. Cicuits à cuants cntinus : Généateu, écepteu. Lis de Kichhf. Chage et déchage d un cndensateu. Magnétisme : Champ céé pa un aimant. Fce de Lentz, fce de Laplace. Mment magnétique d une spie, cuple agissant su une spie placée dans un champ magnétique. Li de Bit : pplicatins Fce ente Deux cuants paallèles : définitin de l mpèe. Inductin magnétique : Flux magnétique. Li de Faaday. Généateus de cuants altenatifs. F.E.M. d aut inductin Etablissement et uptue du cuant dans un cicuit R, L. Cuants altenatifs : Repésentatin d une gandeu sinusïdale : Repésentatin de Fesnel, ntatin cmplexe. Impédance. pplicatins : Cicuits R,L,C séie. Cicuits R,L,C paallèle. Cicuit buchn. Puissance en C.. ntatin cmplexe. Ntins su les cuants tiphasés : Obtentin. Repésentatin de Fesnel. Mntages étile et tiangle. Puissance en tiphasé. Ouvages cnseillés : 1 ) Cus plycpié OPU Electicité : Caubaèe,, Funy, Ladjuze ) lns & Fynn Physique Tme 3
Licence de Physique S: Electicité Pincipales ntatins, B, C, D etc : Pints de l espace M Pint ù est calculé le champ E u B P Pint ù se tuvent les suces u J i, j, k Vecteus unitaies, en cdnnées catésiennes. x, y, z Cdnnées catésiennes d un pint X, Y, Z Cmpsantes d un vecteu, en cdnnées catésiennes. a ccéléatin B champ magnétique C capacité D Excitatin électique E champ électique E m champ électmteu E Enegie e fce électmtice (f.e.m) e chage de l électn f féquence F Fce g Champ de la pesanteu H Excitatin magnétique I Intensité du cuant électique J Vecteu densité de cuant J Mment d inetie j 1 K u k Cefficient L Cefficient de self inductin M Cefficient d inductin mutuelle M Mment magnétique M Mment d une fce / au pint O. F / O M Mment d une fce / à l axe. F / m Masse n vecteu unitaie P Puissance p Mment électique Q u q Chage électique R Résistance électique R u Vecteu psitin T Péide T Tempéatue t Temps u vecteu unitaie V, U ptentiel électique V Vlume V u v Vitesse W tavail X Réactance Y dmittance Z Impédance ngles Cuple Pemittivité électique Cefficient de viscsité, Rendement ngle Lngueu d nde Peméabilité magnétique Nmbe Pi Densité de chages vlumiques Masse vlumique Résistivité électique. Densité de chages supeficielles Cnductivité électique Cnstante de temps Phase u déphasage Flux magnétique Pulsatin u Vitesse angulaie Unité de ésistance : Ohm. 4
Licence de Physique S: Electicité Table des matièes TBLE DES MTIERES Péface 1 Pgamme 3 Ntatins 4 Chapite I ELECTROSTTIQUE 1. INTRODUCTION 1.1. Electisatin pa fttement (tibélecticité)... 9 1.. Les deux types d électicité... 10 1.3. utes mdes d électisatin... 10 1.4. L électscpe à feuilles d... 11 1.5. La chage électique... 11 1.6. Quantificatin de la chage électique... 1 1.7. Pincipe de la cnsevatin de la chage électique... 13 1.8. L électisatin et la cnstitutin de la matièe... 13 1.9. peçu histique... 14. L FORCE ELECTRIQUE.1. Li de Culmb... 15.. Validité de la li de Culmb... 17 3. LE CHMP ELECTRIQUE 3.1. Champ électique... 18 3.. Champ électstatique céé pa une chage pnctuelle islée... 19 3.3. Champ céé pa plusieus chages pnctuelles: Pincipe de supepsitin... 19 3.4. Champ céé pa une distibutin cntinue de chages... 0 3.5. Champ unifme... 0 4. LE POTENTIEL ELECTRIQUE 4.1. Ciculatin d un vecteu... 1 4.. Ptentiel électique... 4.3. Cas de plusieus chages, d une distibutin de chages... 3 5. TOPOGRPHIE DU CHMP ELECTRIQUE 5.1. Ligne de champ... 5 5.. Tube de champ... 6 5.3. Suface équiptentielle... 7 6. TRVIL & ENERGIE 6.1. Tavail de la fce électique... 8 6.. Enegie ptentielle... 9 6.3. Enegie intene d une distibutin de chages électiques... 9 7. LE DIPOLE ELECTRIQUE 7.1. Mment diplaie électique... 30 7.. Ptentiel électique cée pa un dipôle... 30 7.3. Calcul du champ électique céé pa un dipôle... 31 7.4. Dipôle placé dans un champ électique unifme... 3 7.4.1. Cuple... 3 7.4.. Enegie ptentielle... 3 8. LES DIELECTRIQUES 5
Licence de Physique S: Electicité Table des matièes 9. THEOREME DE GUSS 9.1. Flux d un vecteu à taves une suface... 35 9.. Vecteu excitatin u déplacement électique... 35 9.3. Théème de Gauss... 36 9.4. pplicatins du théème de Gauss... 36 nnexe 1 : Les cncepts de masse et de chage électique......39 Execices chapite I...41 Chapite II CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTTIQUE 1. EQUILIBRE ELECTROSTTIQUE 1.1. Champ électique... 43 1.. Ptentiel électique... 43 1.3. Répatitin des chages... 44 1.4. Champ au visinage d un cnducteu : Théème de Culmb... 45 1.5. Pessin électstatique... 46 1.6. Puvi des pintes... 46 1.7. Cnducteu ceux... 48 1.8. Capacité d un cnducteu... 49. PHENOMENES D INFLUENCE.1. Eléments cespndants... 51.. Influence patielle... 51.3. Influence ttale... 5 3. CONDENSTEURS 3.1. Les cndensateus... 53 3.. Capacité d un cndensateu... 54 3.3. ssciatin de cndensateus... 56 4. ENERGIE ET FORCE 4.1. Enegie électstatique d un cnducteu... 58 4.. Enegie électstatique d un ensemble de cnducteus en équilibe... 58 4.3. Calcul de la fce à pati de l énegie... 58 4.4. Enegie emmagasinée dans un cndensateu... 60 4.5. Lcalisatin de l énegie : Densité d énegie électstatique... 61 4.6. Fce s exeçant su l amatue d un cndensateu... 61 Execices chapite II...64 Chapite III LES COURNTS CONTINUS 1. COURNTS ELECTRIQUES 1.1. Oigine du cuant électique... 67 1.. Cuant pemanent... 68 1.3. Sens cnventinnel du cuant... 68 1.4. Intensité du cuant... 68 1.5. Ligne de cuant... 69 1.6. Vecteu densité de cuant... 69 1.7. Muvement des électns dans le vide... 70 1.8. Muvement des électns dans un cnducteu... 70. LOI D OHM.1.Li d Ohm à l échelle macscpique... 7.. Fme lcale de la li d Ohm... 7.3. Gupement de ésistances... 75 3. L EFFET JOULE 4. GENERTEURS 4.1. Définitins... 77 6
Licence de Physique S: Electicité Table des matièes 4.. Généateus à vide : Fce électmtice (f.é.m)... 77 4.3. Généateu en chage... 78 4.4. ssciatin de généateus... 81 5. RECEPTEURS 5.1. Fce cnte électmtice d un écepteu :" f.c.é.m " d un écepteu... 8 5.. Schéma équivalent d un écepteu... 8 5.3. Difféence de ptentiel aux bnes d un écepteu... 8 5.4. Rendement d un écepteu... 8 6. NLYSE d UN RESEU ELECTRIQUE 6.1. Définitins... 83 6.. Lis de Kichhff... 83 7. CHRGE ET DECHRGE D UN CONDENSTEUR 7.1. Etude de la chage du cndensateu... 85 7.. Etude de la déchage du cndensateu... 89 Execices chapite III...90 Chapite IV MGNETOSTTIQUE 1. INTRODUCTION 1.1. Ppiétés des aimants... 93 1.. Champ magnétique... 94 1.3. Fce de Culmb... 95 1.4. L expéience d Oested et ses cnséquences... 95. CTION D UN CHMP MGNETIQUE SUR LE MOUVEMENT D UNE CHRGE ELECTRIQUE.1. Fce de Lentz... 95.. pplicatin : Muvement d une paticule dans un champ magnétique... 96 3. CTION D UN CHMP MGNETIQUE SUR UN COURNT ELECTRIQUE 3.1. Fce de Laplace... 98 3.. ctin d un champ su un cicuit femé : Mment magnétique... 99 3.3. Enegie d un cicuit placé dans un champ magnétique... 100 4. CHMP MGNETIQUE CREE PR UN COURNT 4.1. Li de Bit et Savat... 10 4.. Inteactin ente deux cuants ectilignes et paallèles:définitin de l mpèe104 4.3. Champ céé pa une spie ciculaie en un pint de sn axe... 105 4.4. Dipôle magnétique... 105 4.5. Ntins élémentaies su l aimantatin de la matièe... 106 5. THEOREME D MPERE 5.1. Vecteu excitatin magnétique... 107 5.. Ciculatin de l excitatin magnétique le lng d un cntu femé... 107 5.3. pplicatin : Champ céé pa un slénïde de lngueu infinie... 108 6. FLUX MGNETIQUE 6.1. Flux du champ magnétique à taves une suface... 109 6.. Equatin de cnsevatin du flux magnétique... 110 6.3. Expessin du tavail des fces en fnctin du flux cupé... 111 6.4. Expessin du tavail en fnctin de la vaiatin du flux à taves un cicuit.. 11 6.5. Inductin mutuelle de deux cicuits... 11 6.6. L inductance d un cicuit électique... 11 6.7. Calcul des fces appliquées à un cicuit électique... 113 nnexe : Le champ magnétique teeste...115 Execices chapite IV...116 7
Licence de Physique S: Electicité Table des matièes Chapite V L INDUCTION ELECTROMGNETIQUE 1. LES PHENOMENES D INDUCTION ELECTROMGNETIQUE 1.1. Mise en évidence des phénmènes d inductin... 119 1.. Lis de l inductin... 11. LOI DE LENZ FRDY.1. Cas d un cicuit femé placé dans un champ cnstant et unifme... 1.. Champ électmteu... 13.3. Li de Lenz-Faaday en fnctin de la vitesse... 14.4. Equatin de Maxwell-Faaday... 15 3. MUTUELLE INDUCTION ET SELF INDUCTION 4. PPLICTION DES PHENOMENES D INDUCTION 4.1. Généateu de cuant altenatif... 17 4.. Cuants de Fucault... 18 5. CIRCUIT " RL " 5.1. Etablissement du cuant... 19 5.. Ruptue du cuant... 130 5.3. Bilan énegétique... 13 5.4 Lcalisatin de l énegie : Densité d énegie magnétique... 13 Execices chapite V...133 Chapite VI LES COURNTS LTERNTIFS 1. LES COURNTS LTERNTIFS 1.1. Définitins... 135 1.. Les cuants sinusïdaux... 135 1.3. Pductin des cuants sinusïdaux... 136. LOIS D OHM EN COURNT LTERNTIF SINUSOIDL.1. La ntatin cmplexe... 138.. La epésentatin de Fesnel... 140 3. SSOCITION DES IMPEDNCES 3.1. Impédances mntées en séie... 145 3.. Impédances mntées en paallèle... 146 3.3. Etude du cicuit RLC séie : Résnance... 146 3.4. Bbine (R,L) et cndensateu C en paallèle : ntiésnance... 148 4. PUISSNCE ELECTRIQUE EN COURNT SINUSOIDL 4.1. Valeu instantanée de la puissance électique... 149 4.. Valeu myenne de la puissance électique... 149 4.3. Puissance active... 150 4.4. Puissance éactive... 150 4.5. Puissance appaente... 15 5. PUISSNCE EN NOTTION COMPLEXE...15 6. FCTEUR DE PUISSNCE...153 nnexe 3: Les cuants tiphasés...155 Execices chapite VI...161 nnexe 4: Dimensins & unités des gandeus physiques...166 BIBLIOGRPHIE...167 8
. Chapite I ELECTROSTTIQUE Nus avns étudié, en mécanique, l inteactin gavitatinnelle qui intevient ente deux cps caactéisés pa leus masses. Nus allns cnsidée, dans ce qui suit, une aute inteactin, l inteactin électique, qui fait inteveni le cncept de chage électique. L électstatique est la patie de l électicité qui ne fait inteveni que des chages fixes 1. 1. INTRODUCTION. 1. 1. Electisatin pa fttement (tibélecticité). - Une tige en vee bien sèche, fttée à l aide d un mceau de dap en sie u en laine, tenue à la main, attie de petits mceaux de papie (figue I.1.a). On dit que le vee a été électisé, ce phénmène est appelé électisatin et la discipline de la physique qui taite de tels phénmènes est l électicité. - On btient le même ésultat si n emplace la tige en vee pa un bâtn d ébnite 3 et si n épète la même péatin (figue I.1.b). V E M (a) (b) (c) (d) Figues I. 1 - Si n essaie d électise, cmme pécédemment, une tige métallique, en cuive pa exemple, n n btient aucun ésultat (figue I.1.c). La tige en métal, tenue à la main, n exece aucune fce su les mceaux de papie. - Pa cnte si n tient, pa l intemédiaie d un manche en bis, la tige métallique électisée, n cnstate que des fces d attactin se pduisent su tute la suface du métal (figue I.1.d). Intepétatin de ces expéiences : On attibue cette ppiété, qu acquiet la matièe et qui lui pemet d exece une fce, à l existence de chages électiques q. Dans le cas du vee et de l ébnite, ces expéiences mntent que les chages estent lcalisées su la patie fttée et ne se épandent pas su tute la suface du matéiau. Le vee et l ébnite snt des islants électiques. 1 Les chages snt fixes dans le éféentiel lié à l bsevateu. Les mceaux de papie peuvent ête emplacés pa de la cende u une substance tès légèe. 3 Ebnite : cautchuc duci pa mélange avec du sufe. L. ït Gugam, M. Bendaud, N. Dulache, F. Mékidèche
Licence de Physique S: Electicité Pa cnte les chages dues à l électisatin se déplacent dans les métaux et s éculent ves la tee à taves le cps de l expéimentateu. C est la aisn pu laquelle n ne cnstate aucun effet de l électisatin dans l expéience de la figue I.1.c. Les métaux snt des cps cnducteus d électicité. Dans la quatième expéience, le manche en bis, qui est un islant, empêche l éculement des chages électiques. Néanmins celles-ci se épandent su tute la suface du métal. 1.. Les deux types d électicité. Les pendules, epésentés su les figues I., snt cnstitués d une ptence, fixée su un scle en bis, à laquelle est elié un fil de sie sans tsin. Suspendns, en sn milieu, un bâtn d ébnite dnt une extémité a été électisée pa fttement. ppchns de cette extémité la patie électisée, pa la même méthde, d un secnd bâtn d ébnite. L inteactin de ces paties électisées se taduit pa une épulsin. E V E E V V Figues I. Répulsin et attactin ente cps électisés Répétns la même expéience, en emplaçant les bâtns d ébnite pa des tiges de vee électisées cmme pécédemment. Là ence l inteactin se taduit pa une épulsin. Dans une tisième expéience, n met en pésence l extémité électisée du bâtn d ébnite et celle de la tige de vee électisée. Il en ésulte, à pésent, une attactin. Ces expéiences mettent en évidence deux types d électicité : La pemièe appaait dans le vee : c est l électicité viteuse à laquelle n a attibué abitaiement un signe psitif. La secnde se manifeste dans l ébnite et d autes ésines : c est l électicité ésineuse ; n lui a attibué un signe négatif. En ute, ces expéiences mntent que : deux cps chagés d une électicité de même signe, psitive u négative, se epussent ; pa cnte ils s attient s ils ptent des chages de signes cntaies. Un cps qui n est pas chagé est neute. 1. 3. utes mdes d électisatin. Electisatin pa cntact : On cnstitue, à pésent, un pendule électstatique en suspendant au fil de sie une bule de plystyène ecuvete d une matièe cnductice. Celle-ci est initialement neute. ppchns une tige en vee, électisée pa fttement, de la bule jusqu au cntact. Figue I. 3 10
Licence de Physique S: Electicité On cnstate que la bule est epussée sus l effet de sn inteactin avec la patie électisée de la tige (figue I.3). Cette expéience mnte que lsqu un cps, initialement neute, est mis en cntact avec un bjet B ptant une chage q, cette chage se épatit ente et B. Les deux chages q et qb, btenues apès électisatin pa cntact, snt de même signe : il en ésulte une épulsin. Electisatin pa influence : ppchns une tige en vee électisée de la bule B initialement neute, sans la tuche. Nus cnstatns que la bule est attiée pa la tige, cmme l illuste la figue I.4. La bule a été électisée pa influence. Lsqu n éligne la tige électisée, le pendule epend sa psitin initiale. Le phénmène d influence sea étudié au chapite II. Il existe d autes mdes d électisatin. Pa exemple, n peut électise un cps, initialement neute, en le eliant à une bne d un généateu électique. 1.4. L électscpe à feuilles d. Figue I. 4 Le pendule électstatique utilisé dans les expéiences pécédentes n est pas un instument tès sensible. Suvent, pu décele des états de faibles électisatins, n utilise un aute appaeil : l électscpe à feuilles d. Il est cnstitué d une tige métallique qui cmpte à sn extémité inféieue deux feuilles d tès minces qui tmbent libement. Un plateau u une bule métallique snt fixés à l extémité supéieue et l ensemble est enfemé dans une cage métallique vitée. On peut épéte les expéiences su l électisatin pa influence et pa cntact. La figue I.5 met en évidence l électisatin pa influence. Le bâtn d ébnite, chagé négativement, est appché du plateau. Celui-ci se chage psitivement pa influence. Les chages négatives snt epussées ves les feuilles d qui se epussent. Si n éligne l ébnite, le système (plateau, tige, feuilles) etuve sa neutalité ; les feuilles de l électscpe epennent leu psitin veticale initiale. - - - - - - - - -- - + + + + - - - Figue I. 5 L écatement des feuilles est d autant plus gand que la chage de l ébnite est gande. Dans le cas d une électisatin pa cntact, le bâtn d ébnite tansmet, au système (plateau, tige, feuilles), une patie de ses chages. L électscpe se chage négativement. Pu le déchage, il suffit de elie le plateau à la tee pa un cnducteu. 1.5. La chage électique. Le cncept de chage électique : Les ésultats des expéiences pécédentes nt amené les savants à intduie le cncept de chage électique cnfimé pa les 11
Licence de Physique S: Electicité tavaux de Culmb 4 et sutut pa la décuvete de l électn en 1881 pa Jseph J. Thmsn. La chage électique, qui caactéise le phénmène d électisatin, ne peut ête dissciée de la matièe. Elle existe sus deux fmes, qualifiées de psitive et de négative. Les expéiences pécédentes pemettent d énnce la li suivante: Deux chages électiques de même signe psitif u négatif, se epussent ; pa cnte elles s attient si elles snt de signes cntaies. Le cncept de chage pnctuelle : Cmme pu la masse, n intduit le cncept de chage pnctuelle. C est une chage dnt les dimensins snt suffisamment petites pa appt aux distances d bsevatin pu ête assimilée à un pint gémétique. La chage électique est une gandeu mesuable: Une gandeu physique est mesuable lsqu n sait défini le appt de deux gandeus G 1 et G de sn espèce 5. G1 k G ù k est une cnstante. Sit une chage Q 1 placée en un pint P de l espace ; en un pint M, qui se tuve à une distance d de P, n place une aute chage q et n mesue l intensité de la fce F 1 qui s exece su q de la pat de Q 1. On emplace Q 1 pa une aute chage Q et n mesue la fce F que subit la chage test q. Ces fces nt tutes la même diectin. L expéience mnte que: Une chage électique est pptinnelle au mdule de la fce qu elle cée en agissant su une même chage test placée en un même pint. F1 Q1 On tuve k F Q Quelle que sit la chage Q le appt k este cnstant. La chage électique est dnc une gandeu mesuable. Pami tutes les chages Q, n en chisit abitaiement une cmme unité de mesue U, et n expime tutes les autes chages en fnctin de U sus la fme : Q = k U k est la mesue de Q avec l unité chisie U. Dans le système d unités M.K.S. (mète, kilgamme, secnde, ampèe) l unité de la chage électique est le culmb dnt le symble est C (vi nnexe 4). 1.6. Quantificatin de la chage électique. Le physicien améicain Rbet. Millikan a mnté en 1913, à pati d une expéience mettant en jeu des guttes d huile électisées, le fait que tute chage électique q est quantifiée, c est à die qu elle n existe que sus fme de multiples d une chage élémentaie indivisible e : q = Ne ù : e = 1,60 10-19 culmb 4 Vi. 5 Deux gandeus snt de la même espèce si n peut les cmpae. 1
Licence de Physique S: Electicité C est la chage électique ptée pa l électn et le ptn. Paticule Chage électique Masse Electn - 1,60. 10-19 C 9,109. 10-31 kg Ptn + 1,60. 10-19 C 1,67. 10-7 kg Neutn 0 1,674. 10-7 kg Tableau I.1. Cnstituants de l atme L expéience de Millikan sea pésentée sus fme d execice (Execice I.10). 1. 7. Pincipe de la cnsevatin de la chage électique. Ls des expéiences pécédentes, quand n ftte la tige de vee avec un mceau de dap, la tige de vee acquiet une chage psitive, mais en même temps le mceau de dap pend une chage égale et ppsée. Dans le système fmé pa la tige et le dap, la quantité de chage électique este cnstante. Les chages négatives aachées au vee se etuvent dans le mceau de dap. Ce phénmène ésulte d un pincipe généal, c est le Pincipe de cnsevatin de la chage électique : Dans un système islé la smme algébique des chages électiques este cnstante. En physique un pincipe ne se démnte pas ; il este valable tant qu il n est pas démenti pa l expéience 6. Le pincipe de la cnsevatin de la chage a tujus été véifié expéimentalement. insi, ls d un chc ente deux ptns, lsque les énegies mises en jeu snt imptantes, il peut en ésulte une céatin de nuvelles paticules : une paie ptn-antiptn 7. p + p p + p + ( p + p ) (+e) + (+e) = (+e) + (+e) + (+e) + (-e) On emaque que la chage électique ttale est la même avant et apès le chc. 1.8. L électisatin et la cnstitutin de la matièe. On sait que la matièe est cnstituée d atmes 8. Dans le mdèle planétaie, un atme est fmé d un nyau chagé psitivement autu duquel gavitent Z électns. La chage ttale du nyau est +Z e et celles de tus les électns est -Z e. Z est le numé atmique de l atme. Pa cnséquent un échantilln de matièe est électiquement neute. Les électns intenes snt ftement liés au nyau ; pa cnte les électns péiphéiques le snt beaucup mins. Ces denies peuvent ête facilement aachés pa fttement. Le fait de ftte deux cps, électiquement neutes, l un cnte l aute, entaîne un tansfet d électns de l un ves l aute. Les deux cps ne snt plus neutes, ils snt électisés. Celui qui a cédé des électns se tuve chagé psitivement et celui qui en a eçu se chage négativement. 6 Le pincipe fndamental de la dynamique F m a pa exemple n est plus valable pu des vitesses qui ne snt plus négligeables devant celle de la lumièe ; il en est de même du pincipe de l actin et de la éactin. 7 Vi le cus de Relativité esteinte []de la 3 ème année de Licence (chapite III : Dynamique). 8 La stuctue de la matièe est étudiée en S1 (Chim 1 : Stuctue de la Matièe) 13
Licence de Physique S: Electicité L électisatin ésulte d un tansfet u d un déplacement d électns 9. Les expéiences pécédentes nt mis en évidence deux types de matéiaux : Les islants électiques u diélectiques (vee, ésines, matièes plastiques, etc.) qui ne cmptent que des chages liées ; celles-ci ne peuvent effectue que des petits déplacements autu de leus psitins d équilibe. Les secnds, dans lesquels les électns peuvent se déplace facilement, snt des cnducteus. Les métaux snt de bns cnducteus, le cps humain l est mins, mais cmme l a mnté l expéience de la figue I.1.c, il pemet aux chages électiques de s écule ves la tee qui, elle aussi, est un cnducteu. 1.9. peçu histique. Ces phénmènes d électisatin avaient déjà été bsevés dès l antiquité. Les gecs, cntempains du mathématicien Thalès de Milet, avaient emaqué, six siècles avant Jésus Chist, que l ambe jaune (électn) ftté attiait des substances tès légèes. Mais la cntibutin des gecs à l électicité fut, cmme l a signalé P. Devaux 10, puement linguistique. En 167 l allemand Ott Vn Gueicke invente la pemièe machine électstatique qui pduit de l électicité pa fttement. Les phénmènes d électisatin pa influence nt été décuvets pa l anglais Stephen Gay à qui nus devns aussi la distinctin ente matéiaux cnducteus et matéiaux islants. La mise en évidence, en 1733, de l existence de deux stes d électicité fut l œuve du fançais Chales J. Du Fay: il qualifia de viteuse celle qui est dévelppée su du vee, et l aute de ésineuse pace qu elle appaait su de la ésine. Pa la suite, l améicain Benjamin Fanklin attibua le signe psitif à l électicité viteuse et le signe négatif à celle qui appaaît dans les ésines. vant 1785, l étude de l électstatique était puement qualitative. On dispsait de la machine de Vn Gueicke pu pduie l électicité et de la buteille de Leyde pu l emmagasine. Celle-ci fut inventée, à Leyde en 1745, pa Van Musschenbeck. En 1785, Culmb énnce une li qui va pemette d abde l étude de l électicité 11 avec l util mathématique et d élabe des théies. 9 Il y a tansfet d électns dans le cas d électisatins pa fttement et pa cntact et déplacement d électns ls d une électisatin pa influence (Vi Ch II. ). 10 Devaux P. Histie de l électicité Ed. P.U.F 1954 11 C est cette étude que nus allns entame, apès avi intduit la li de Culmb, dans ce chapite cnsacé aux phénmènes d électstatique du vide. Nus abdens, dans la suite de ce chapite, les cncepts fndamentaux de fce, d énegie, de champ et de ptentiel. Les fces d inteactin : c est la méthde de Newtn que nus avns utilisée en mécanique en S1 et que nus appliquens à l électstatique dans le cas de l inteactin culmbienne. L énegie : ce cncept, intduit pa Leibnitz, est à la base de la mécanique analytique de Lagange et de Hamiltn. Nus vens, dans ce cus, de nmbeux pblèmes qui peuvent ête éslus à pati de l énegie emmagasinée dans un système. Le champ : ce cncept, intduit pa Faaday et Maxwell et généalisé pa Einstein, est à la base de l électmagnétisme. Le ptentiel, utilisé pa Pissn et Geen en électicité, sea intduit dans ce chapite au paagaphe 4. Un même pblème peut ête éslu, cmme nus le vens pa la suite, pa des méthdes difféentes basées su l un u l aute de ces cncepts. En vici un exemple en mécanique. Execice I. 1. Calcule la hauteu h atteinte pa un cps de masse m lancé veticalement avec une vitesse V, au visinage du sl, en x = 0. Résude le pblème en utilisant le cncept de fce (pincipe fndamental de la dynamique) puis le cncept d énegie (pincipe de la cnsevatin de l énegie)..n : V = 6m/s [Slutin I. 1]. 14
Licence de Physique S: Electicité. L FORCE ELECTROSTTIQUE..1. Li de Culmb. Culmb a effectué, en 1785, une séie de mesues, à l aide d une balance de tsin (.), qui lui nt pemis de détemine les caactéistiques de la fce d inteactin électstatique ente deux chages pnctuelles q 1 et q sépaées pa une distance. F 1 F 1 q (+) q (-) F 1 q 1 (-) F 1 F 1 q 1 (+) F 1 q 1 (-) q 1 (+) Ces expéiences nt mis en évidence une analgie avec la li de la gavitatin univeselle de Newtn, Culmb a als ppsé l expessin mathématique : F1 Figues I.6 q q F K u 1 1 1 désigne la fce execée pa la chage q1 su la chage q et u1 un vecteu unitaie pté pa la dite qui jint les deux chages et ienté de q1 ves q (figues I.6). K une cnstante. Lsque le système MKS atinnalisé fut appuvé en 1946, n attibua à cette cnstante la valeu 1 K 4 ù 1 9 36 10 () est la pemittivité électique du vide. Elle est mesuée, dans ce système, en faad pa mète : F/m (Ch. II, 1.8 et nnexe 4) La fce électstatique est épulsive si les chages snt de même signe, et attactive si elles snt de signes ppsés (figues I.6), als que la fce de gavitatin est puement attactive. La li de Culmb est une li empiique 1, elle est à la base de l électstatique. Remaque : La li de Culmb béit au mdèle newtnien. Dans ce mdèle, la fce d inteactin, pésente les caactéistiques suivantes : 1 ) Elle s exece su des bjets de même natue, ici des chages électiques. ) Elle agit suivant la dite qui jint les deux bjets. 3 ) Elle est pptinnelle au pduit des gandeus liées aux bjets cnsidéés : q 1 et q. 4 ) Elle vaie cmme l invese du caé de la distance ente les deux bjets. 5 ) Elle béit au pincipe de l actin et de la éactin. F F 1 1 6 ) Enfin, elle est instantanée. (1) 1 Une li empiique est btenue à pati d bsevatins et d expéiences, mais elle n est pas démntée théiquement. 15
Licence de Physique S: Electicité Execice I.. Dans le mdèle de Bh de l atme d hydgène, n suppse que celui-ci est cnstitué d un électn, de masse m e et ptant une chage -e, qui tune, su une tajectie ciculaie de ayn, autu d un nyau assimilé à un bjet pnctuel. Le nyau de l atme d hydgène ne cmpte qu un ptn. Calcule le appt des deux fces qui inteviennent dans ce muvement : La fce électstatique F E et la fce de gavitatin F G, n dnne : La chage électique du ptn est + e et sa masse m p = 1,67 10-7 kg, e = 1,6 10-19 C, m e = 9,11 10-31 kg, = 5,3 10-11 m Slutin I.. Calculns les mdules des deux fces d inteactin qui inteviennent ici : e F K = 9.10 9 19 (1, 6 10 ) = 8,.10-8 N E 11 (5, 3 10 ) F G G m m e p 31 7 = 6,67.10-11 9,1110 1, 67 10 = 3, 6.10-47 N 11 (5, 3 10 ) Le appt de ces deux fces : F E F G 40 0, 3. 10 est tès gand. Pa cnséquent dans tus les pblèmes d électicité les inteactins gavitatinnelles sent négligées devant les fces d igine électmagnétique. Pa cnte à gande échelle, en astnmie, seules les fces de gavitatin inteviennent. La matièe cmpte autant de chages psitives que de chages négatives et, à cette échelle, la ésultante des fces électstatiques est nulle. Execice I. 3. Le pendule de tsin, qui est epésenté su la figue et qui cnstitue l élément pincipal de la balance de Culmb, cmpte une tige T, islante, hizntale, tès S légèe, munie, à une extémité, d une petite sphèe métallique et à l aute extémité d un cntepids islant C. Sa lngueu est l = 0 cm. Elle est suspendue en sn milieu O à un suppt S fixe, pa un fil métallique de lngueu L et de cnstante de tsin C = 1.10-7 N.m/ad. La bule, cmplètement déchagée, se tuve initialement en un pint cespndant à un angle de tsin nul ( = 0). Le système est en équilibe. T C On met en cntact avec une bule B identique à et ptant une chage + Q. Il en ésulte une électisatin de qui tune d un angle = 60 pa appt à sa psitin initiale. Le système atteint, als, une secnde psitin d équilibe. Calcule la valeu de la chage Q. B N.B : Dans l expéience de Culmb, ce pendule est placé à l intéieu d une enceinte en vee. Les déviatins snt epéées su une bande gaduée. La bule B est intduite, à l aide d une tige islante, à taves un ifice pecé dans le cuvecle, cmme le mnte la figue I.7. Slutin I.3. Initialement la bule est déchagée et la bule B pte une chage +Q. pès le cntact, les deux bules étant identiques, chacune d elles va pende une chage : q = Q/ 16
Licence de Physique S: Electicité ppelns M 1 la psitin initiale de la bule et M sa nuvelle psitin lsque le système atteint sn équilibe apès avi tuné d un angle. F O B H M M 1 La figue ci-cnte cespnd à la ème psitin d équilibe du pendule. Le mment M de la fce F, pa appt à F / l axe de tatin, est équilibé pa le cuple de tsin : = C du fil. La fce de Culmb a pu expessin : q F = 9.10 9 9 q = 9. 10 d l sin En effet d = M 1M = M 1H = l sin Calcul du mment / l équilibe F / M F F / M = d ù : M = F OH = l 9 q F. cs = 9. 10 cs l sin l sin C Q q = 8,03 10-9 C 9 9.10 cs.. Validité et imptance de la li de Culmb. La li de Culmb est valable en électstatique. Elle este valable dans le dmaine des faibles vitesses, mais elle ne l est plus pu les gandes vitesses. Sn inteventin dans les inteactins inta nucléaies, est tès faible. Le nyau cntient des neutns, dnt la chage est nulle et des ptns chagés psitivement ; la épulsin culmbienne ne pemet dnc pas d explique la chésin du nyau. Une aute inteactin intevient à cette échelle : c est l inteactin fte. Figue I.7 La li de Culmb, btenue à l aide de la balance epésentée ci-cnte, est à la base de l électstatique, elle pemet d bteni le champ et le ptentiel électstatiques. Mais ce n est pas tut, en patant de cette li et en appliquant la théie de la elativité, n btient l expessin de la fce d inteactin ente deux chages en muvement. Elle pemet également de calcule les champs électique et magnétique céés pa une chage animée d une vitesse cnstante. On peut en déduie, pu les faibles vitesses, la li de Bit et la fce de Lentz que nus dnnens, au chapite IV, sus fme de lis empiiques. La planche de la figue I.7. est extaite des «Mémies elatifs à la physique» de Chales ndé COULOMB 1785, éédités pa. Blanchad Pais 00 17
Licence de Physique S: Electicité 3. LE CHMP ELECTRIQUE 13. u paagaphe pécédent, nus avns utilisé le cncept de fce d inteactin. Dans le cas de deux chages électiques pa exemple, chacune des chages exece su l aute une fce dnt l expessin mathématique est dnnée pa la li de Culmb. En vetu du pincipe de l actin et de la éactin de Newtn, la secnde chage exece su la pemièe une fce égale et ppsée. insi les deux chages juent le même ôle. En ute, cette inteactin est, cmme nus l avns vu au., instantanée. vec le cncept de champ, le pblème est psé d une façn difféente. Une chage électique Q, appelée chage suce, cée, dans l espace envinnant, appelé champ, un état qui est mis en évidence pa sn actin su tute aute chage q placée en un pint M de cet espace. Cet état existe même en l absence de la chage q. Les chages Q et q ne juent plus ici le même ôle : Q est la chage suce du champ qu elle cée et q la chage dnt le cmptement, dans ce champ, sea étudié. 3.1. Champ électique. En électstatique: On appelle champ électique une égin de l espace ù, en tut pint, une chage q, maintenue immbile, est sumise à l actin d une fce électique. On intduit als une gandeu vectielle telle que Cette gandeu E est également appelée champ électique. De la même manièe en mécanique, si au visinage de la tee, ù ègne le champ de la pesanteu g, n place une masse m, elle sea sumise à la fce de gavitatin qui, dans ce cas, n est aute que sn pids. P m g (3') On peut nte l analgie ente le champ électique E et le champ de gavitatin g céé pa la tee. Seulement g est tujus diigé ves le cente de la tee als que le sens du champ électique dépend du signe des chages qui le céent (figues I.8). Dans le cas généal: F q E On appelle champ une égin de l espace ù, en tut pint, une paticule est sumise à l actin d une fce. N.B. 1 ) L existence d un champ ne se manifeste que lsqu n y intduit un cps - de masse m dans le cas la gavitatin - de chage q dans le cas de l électstatique. ) Le champ désigne : - la égin de l espace ù une paticule est sumise à l actin d une fce - la gandeu vectielle E u g pa exemple. (3) 13 Seln Einstein : La théie du champ électique de Faaday et de Maxwell epésente pbablement la tansfmatin la plus pfnde que les fndements de la physique aient subi depuis le temps de Newtn. Cnceptins scientifiques Ed. Flammain 1990 page 44. 18
Licence de Physique S: Electicité 3. Champ électstatique céé pa une chage pnctuelle islée. Dans le cas d une seule chage suce Q, la fce qui s exece su la chage test q est dnnée pa la li de Culmb : Q q F K u (4) vec (3) n btient l expessin du champ électstatique 14 : 1 Q E 4 u (5) C est l expessin mathématique du champ électstatique céé, au pint M, pa la chage suce Q placée en P. E M M E Les figues I.8 mntent que le champ est ienté ves la chage lsqu elle est négative et en sens invese lsqu elle est psitive. P u u Q (-) P Q (+) Figues I. 8 3.3. Champ céé pa un ensemble de chages pnctuelles : Pincipe de supepsitin. On cnsidèe maintenant n paticules de chages électiques Qi, situées en des pints Pi. On se ppse de détemine le champ électstatique céé pa cet ensemble de chages en un pint M distant de i des pints Pi. u 1 P 1 +Q 1 M E u P - Q E 1 E Ce champ est btenu pa la supepsitin des champs céés pa chaque chage Qi. Chacun de ces champs est calculé cmme si la chage suce était seule. Ce pincipe de supepsitin ésulte des ppiétés d additivité vectielle des fces et des champs électstatiques. La figue I. 9 epésente le champ céé pa deux chages électiques en un pint M de l espace : c est la smme vectielle E des deux champs E 1 et E céés espectivement pa (+Q1) et (-Q). Figue I. 9 Dans le cas de n chages suces Qi, le champ électique ésultant est : 1 E 4 i Q i i u i (6) 14 Le champ électstatique est la valeu du champ électique en égime indépendant du temps (électstatique). Dans le cas généal, le champ électique a deux cmpsantes : le champ électstatique et le champ électmteu (Vi Ch V.) 19
Licence de Physique S: Electicité 3.4 Champ céé pa une distibutin cntinue de chages. Lsque la chage Q est épatie su un fil avec une densité linéique, chaque élément dl pte une chage dq = dl, et cée un champ élémentaie: de u 1 dl, le champ céé pa Q est : E u 1 dl 4 4 l (7) dl u M de u ds M de dv u M de (a) (b) (c) Dans le cas d une suface chagée avec une densité sufacique telle que dq = ds, n tuve de la même façn : 1 ds E u 4 S (8) De même dans le cas d un vlume V chagé avec une densité vlumique telle que. dq = dv n btient : 1 E 4 dv u (9) V dl, ds et dv désignent espectivement les éléments de lngueu, de suface et de vlume. 3.5. Champ unifme. Figues I. 10 Un champ unifme est une égin de l espace ù le vecteu champ este cnstant en tus les pints de cette égin. Remaques : 1 ) Ce cncept peut ête généalisé à tus les vecteus en intduisant des champs de vecteus. Pa exemple, un champ de vitesses, un champ d accéléatins etc. Mais il n existe que deux champs de fce : le champ de gavitatin et le champ électmagnétique dnt le champ électique est une cmpsante 15. En électmagnétisme, la ntin de champ a une imptance fndamentale. Ce n est pas le cas en mécanique newtnienne, ù l n cnsidèe plutôt les fces d inteactin. Pa cnte le cncept de champ est à la base de la théie de la elativité généale 16 qui dnne une explicatin de la gavitatin. ) En physique classique, c'est-à-die lsqu n ne tient pas cmpte des effets quantiques, une paticule est caactéisée pa sa masse 17 m et sa chage électique q. La masse est la suce du champ de gavitatin et la chage électique cée le champ électmagnétique. 15 C est ce que nus vens dans le cus de Relativité [] en L3. 16 Cette théie a été élabée pu cmpende des phénmènes que la théie de Newtn était incapable d explique. 17 Vi l annexe 1. 0
Licence de Physique S: Electicité 4. POTENTIEL ELECTRIQUE. 4.1. Ciculatin d un vecteu. En mécanique nus avns défini le tavail élémentaie dw d une fce F d un tajet infiniment petit MM ' dl pa le pduit scalaie: B dw F. dl F dl cs F Figue I.11 M dl M Dans le cas de la pesanteu, n sait 18 que le tavail de la fce : P m g le lng Pa cnséquent, le tavail de cette fce, le lng d un tajet femé, est nul. La ntin de tavail W, qui cncene les fces, peut ête étendue à tus les vecteus en intduisant la "ciculatin" C d un vecteu le lng d un tajet B. La ciculatin élémentaie dc d un vecteu : i j k x y z au cus d un déplacement infiniment petit dl est définie pa le pduit scalaie : Sit en cdnnées catésiennes : dc = (10) Lsque le tajet B n est plus un infiniment petit, le tavail W de la fce F ente deux pints et B, est égal à la smme des tavaux élémentaies dw. la limite, n passe à l intégale : B W F. dl (11) ne dépend pas du chemin suivi et ne dépend que des valeus de l énegie ptentielle E p et E pb mesuées en et B. B W P. dl E E p pb. dl (1) dc = x dx + y dy + z dz (13) et en cdnnées cylindiques : dc = d +.d + z dz (14) Ls d un déplacement ente deux pints et B élignés, n passe à l intégale : B C =.dl (15) Remaque : La ciculatin d un vecteu, le lng d une cube, est une ntin mathématique intduite en analyse vectielle. 18 Vi le cus de Mécanique de S1. 1
Licence de Physique S: Electicité 4.. Ptentiel électique. Calculns la ciculatin du vecteu champ électique E, céé pa une chage fixe Q, ls d un déplacement élémentaie MM ' dl : d C = E. dl (16) En cdnnées plaies, l expessin du champ se limite à sa cmpsante adiale, pa cnséquent : 1 Q d C = E d d 4 1 Q 1 Q O d n est aute que la déivée de dnc : 4 1 Q E d = d 4 Le vecteu E 1 Q déive d une fnctin scalaie : V C 4 (17) appelée ptentiel électique. Si l n cnvient que le ptentiel est nul à l infini, la cnstante C s annule, et n a : 1 Q V 4 (18) On peut écie 19 : E. dl d V sit 4 E x dx Ey dy Ez dz dv Ce ésultat, tuvé dans le cas d une seule chage suce, est généal : Le champ électstatique déive d un ptentiel scalaie V. Ses cmpsantes snt : - en cdnnées catésiennes : (19) V E x = E y = x V V E z = (0) y z - en cdnnées cylindiques : V 1 V V E = E = E z = (1) z La ciculatin du champ électstatique le lng d une cube allant de ves B est btenue pa l intégatin, ente ces deux pints, du champ électique. Elle est égale à la vaiatin du ptentiel électique ente les psitins et B et ne dépend pas du chemin suivi. Elle est dnnée pa la elatin : 19 En analyse vectielle n intduit le gadient, l expessin (19) devient E gad V
Licence de Physique S: Electicité Cette expessin mnte que 0 : B B E. dl dv V V La ciculatin du champ électstatique le lng d une cube femée quelcnque est nulle. 4.3. Ptentiel électique céé pa plusieus chages, pa une distibutin de chages. Cmme pu le champ électique, n applique le pincipe de supepsitin en aisn de l additivité algébique des ptentiels. insi, le ptentiel céé pa n chages fixes Q 1, Q, Q 3, Q i Q n, est : 1 4 n Qi V (3) Cette expessin mnte que le ptentiel électstatique est, cmme le champ, une fnctin du pint, calculée à pati des chages suces. Lsque la chage Q est épatie su un fil avec une densité linéique dq/dl et dans le cas d une distibutin cntinue supeficielle de chages = dq/ds u d une distibutin vlumique = dq/dv n pcède cmme pu le calcul du champ et n btient espectivement : 1 V dl, 4 V 1 4 S i 1 ds et V i B 1 dv (4) 4 V Exemple : Calcul du champ et du ptentiel céés pa une chage Q, ptée pa un disque plein de faible épaisseu, en un pint M su l axe z. La chage est unifmément épatie su le disque. Sit Q = σ S ù σ epésente la densité de chage supeficielle et S = π R la suface du disque. Calcul du champ électique : On calcule le champ pa la méthde diecte en un pint M d dnnée z : Penns un élément de chage dq ds su le disque, il cée au pint M un élément de champ électique : KdQ de1 u PM Tut plan cntenant (z) est plan de symétie de la distibutin, dnc pu tut pint M de (z), le champ électique ttal E( M ) est pté pa l axe (z). Un bn chix de l élément de suface peut simplifie cnsidéablement le calcul du champ électique céé pa tut le disque. E. dl 0 () Figue I.1 On utilise, dans ce cas, cmme élément de suface une cunne élémentaie de ayn, d'épaisseu d ( figue I.1 ). d z de de 1 z R 0 Le signe signifie que la ciculatin est calculée le lng d un cntu femé. 3
Licence de Physique S: Electicité La suface de cette cunne est: ds d Le champ électique, céé pa cette cunne élémentaie de chage, est, pu des aisns de symétie, pté pa l axe z. En un pint M de z n a : K ds de cs PM et le champ électique ttal au pint M céé pa le disque est E( M ) de. fin de pende en cmpte tute la suface chagée du disque, n intège suivant le ayn ente 0 et R. Pu cela, n expime tut en fnctin de cette vaiable : Cmme : cs z et PM z, PM le champ ttal devient : R d 1 E K z z 3/ ( z ) 0 0 ( z ) R 0 vec le changement de vaiable u z et du d, n btient : E( z) z 1 0 ( z ) - Pu z > 0, z z et n a : - Pu z < 0, z z et n a : R 0 u ence : E( z) 1 0 ( z R ) E( z) 1 z E( z) 0 ( z R ) z z 0 z ( z R ) z (a) (b) Calcul du ptentiel électique : En utilisant la ciculatin du champ électique le lng de la ligne de champ (z), nus avns : dv E. dl Edz V E( z) dz Pu z > 0 et en utilisant l expessin (a) du champ E(z) avec le changement de vaiable u z et du d, n btient le ptentiel : te V ( z) z R z C De la même manièe, pu z < 0, n btient : 0 te V ( z) z R z C 0 Le calcul de la cnstante se fait en suppsant que lsque z n a V=0 et C te = 0 4
Licence de Physique S: Electicité On peut nte la cntinuité, au pint z = 0, du ptentiel et la discntinuité du champ. E V / 0 R/ 0 z z -/ 0 Execice I.6. Repende, pu cette même distibutin de chages, le calcul du ptentiel électique V pa la méthde diecte puis déduie l expessin du champ électique. 5. TOPOGRPHIE DU CHMP ELECTRIQUE. La pésence de chages suces dans une égin de l espace mdifie les ppiétés électiques de celle-ci en céant, en chaque pint M, un champ électique. On intduit als le cncept de lignes de champ. Le tacé de ces lignes dnne une epésentatin spatiale du champ. 5.1. Ligne de champ. Tacés des gaphes de E(z) et V(z) Une ligne de champ est une cube ientée à. laquelle est tangent, en chacun de ses pints, le champ électique. L ientatin de cette ligne suit celle du champ électique. Les figues I.13 epésentent les lignes de champ dues à une seule chage suce Q. Si celle-ci est psitive (+) le champ est diigé de la chage ves l extéieu. Si la chage est négative (-), le champ est diigé de l extéieu ves la chage. E Figues I.13.$ Faaday a intduit le cncept de champ, en bsevant les lignes du champ magnétique (vi Ch IV) dues à un aimant. Il les a visualisées en épandant, autu de l aimant de la limaille de fe. 5
Licence de Physique S: Electicité De la même façn n peut visualise les lignes du champ électique à l aide de gaines de gazn plngées dans un liquide islant cmme le mntent les phtgaphies ci-dessus. Elles epésentent espectivement les lignes de champ de deux chages égales psitives (à gauche) et celles de deux chages égales et de signes cntaies (à dite). Cette dispsitin des lignes de champ dnne la nette impessin que les chages de même signe se epussent et que les chages de signes cntaies s attient. Phtgaphies extaites de La Physique PSSC Dund 1970 page 470 Figues I.14 Chaque chage suce cée des lignes de champ telles qu elles snt epésentées su les figues I.13. La mise en pésence de deux chages, d égale valeu, entaîne une défmatin des lignes de champ et n btient une nuvelle tpgaphie (figues I.14). En chaque pint, la ligne de champ est tangente au champ ésultant. 5.. Tube de champ. Un tube de champ u tube de fces est une suface fmée pa des lignes de champ qui s appuient su une cube femée. Si n limite le tube de champ pa des sectins teminales, il cnstitue une suface femée. Figue I.15 6
Licence de Physique S: Electicité 5.3. Suface équiptentielle. On appelle suface équiptentielle, une suface même ptentiel V. S dnt tus les pints snt au a) Les lignes de champ snt pependiculaies aux sufaces équiptentielles qu elles encntent. En cnsidéant un tès petit déplacement MM ' dl su une suface équiptentielle (figue I.16) n tuve : dv E. dl E. MM ' 0 Pa cnséquent E est pependiculaie à MM ' E 1 E E dl M M V V M 1 M dl V = C te M 1 dl 1 M Figue I.16 Figue I.17 b) Le ptentiel décit le lng d une ligne de champ. En effet, un déplacement infiniment petit MM ' dl, dans le sens de E su la ligne de champ, entaîne : dv E. dl E. MM ' E MM ' dv < 0 VM ' V M. La ligne de champ est dnc ientée du ptentiel le plus élevé au ptentiel le mins élevé. c) Le champ électique est plus intense là ù les équiptentielles snt les plus esseées. En effet, si l n cnsidèe deux tès petits déplacements (figue I.17) ' ' M1M1 dl1 et M M dl n a : dv E1. M1M ' 1 E1. dl1 E1 dl1 ' et dv E. M M E. dl E dl et cmme dl1 dl E1 E. 7
Licence de Physique S: Electicité Dans le cas d un champ unifme les lignes de champ snt des dites paallèles et les sufaces équiptentielles snt des plans pependiculaies à ces dites. E Figues I.18 Dans le cas d une chage pnctuelle, les sufaces équiptentielles snt des sphèes cncentiques de cente O et les lignes de champ snt adiales (figues I.18). La figue I.19 epésente le cas de deux chages électiques égales et ppsées : les lignes de champ snt pependiculaies aux sufaces équiptentielles. Su ces figues, les lignes de champs snt epésentées en pintillés et les taces des équiptentielles en taits cntinus. - + 6. TRVIL & ENERGIE. 6.1. Tavail de la fce électique. Figue I.19 On place une chage électique q en un pint de l espace ù ègne un champ électique E. Elle est als sumise à l actin d une fce électique : F q E Le tavail de cette fce ls d un déplacement élémentaie dl est : dw F. dl et, au cus d un tajet B, n a : B B W F. dl = q E. dl B sit W q V V = q V V B (5) B Unités : Cette équatin mnte que le ptentiel a les dimensins d un tavail pa unité de chage électique. Dans le système M.K.S.. le tavail est mesué en jule et la chage en culmb. Pu mesue le ptentiel n a chisi le vlt en hmmage au physicien italien lessand Vlta qui a inventé, en 1800, la pile électique. Le champ électique est als mesué en vlt pa mète cmme le mnte l équatin (19) E. dl d V 8
Licence de Physique S: Electicité 6.. Enegie ptentielle. L énegie ptentielle d une chage pnctuelle placée dans un champ extéieu est définie cmme le tavail de la fce électstatique agissant su la chage, pu un déplacement de celle-ci du pint M, ù elle est située et ù le ptentiel est V M, à un pint de éféence R, ù la chage n est plus sumise à l actin du champ extéieu. En ce pint, le ptentiel est nul : VR 0 Sit R R E p (M) F. dl q E. dl q( V V ) (6) M M O VR 0 pa cnséquent E p (M) qvm La fce de Culmb est dnc cnsevative et sn tavail ente deux pints quelcnques ne dépend pas du chemin suivi. Elle déive d une énegie ptentielle E p (M) te qv C et l n écit F. dl 6. 3. Enegie intene d une distibutin de chages électiques. M R - de p (M) (7) Nus nus limitns, ici, à deux chages électiques. L énegie intene d un système de deux chages est définie cmme le tavail funi pa un péateu pu assemble les deux chages, initialement sans inteactin. C est l énegie ptentielle de la deuxième chage dans le champ de la pemièe (u l énegie ptentielle de la pemièe chage dans le champ de la secnde). Sient deux chages q1 et q placées espectivement aux pints M 1 et M distants M M. fin de défini l énegie intene du système des deux chages, n de 1 1 suppse que la chage q 1 placée en M1 est fixe et que la chage q se appche jusqu en M depuis une psitin infiniment élignée. Le tavail que devait funi un péateu pu appche la chage q jusqu en M sans vaiatin d énegie cinétique (c est-à-die tès lentement) est dnné pa : F1 M M M W F. dl F. dl q E. dl p p 1 1 est la fce électstatique qu exece la chage q 1 su la chage q. Sit als Kq1q U Wp qv1 (9) Cette denièe expessin epésente l énegie intene du système des deux chages q1 et q. 1 (8) Dans le cas d un nmbe N de chages n tuve (Execice I. 11) U 1 Kq N j q i i j1 ij ji Sit 1 N U qv i ( i ) (30) i 1 9
Licence de Physique S: Electicité 7. LE DIPOLE ELECTRIQUE. 7.1. Mment diplaie électique. Le dipôle électique est cnstitué de deux chages égales et de signes cntaies, +q et - q, sépaées d une distance d. Celle-ci est tès petite pa appt aux distances d bsevatin. d << (31) M Figue I.0 1 H B - q d B + q p x Un dipôle est caactéisé pa sn mment diplaie électique u mment électique : p q d (3) Le mment électique est ienté de la chage négative ves la chage psitive. 7.. Ptentiel électique céé pa un dipôle. Calculns le ptentiel V pduit, pa ce dipôle, en un pint M situé à une distance du milieu O du dipôle: 1 1 1 1 1 V q = q (33) 4 1 4 1. Pa définitin d <<. Sit H la pjectin de B su M : H # d cs # - 1 désigne l angle fmé pa et la diectin du dipôle p. Il est patiquement égal aux angles 1 fmé pa p et M et fmé pa p et BM. D aute pat, n peut faie les appximatins : # 1 # Pa cnséquent le ptentiel céé en M, pa le dipôle, est : V 1 p cs (34) 4 30
Licence de Physique S: Electicité 7.3. Calcul du champ électique céé pa un dipôle. La elatin ente le champ et le ptentiel est, dv E. dl sit en cdnnées plaies (figue I. 1): V V dv E d E d d d (35) On btient à pati de (34) et (35), les cmpsantes du champ électique en cdnnées plaies : E V 1 p cs 3 1 V 1 p sin et E 3 4 (36) y E E E E E M E 1 u u O p P 1 P - q + q x Figue I.1 Figue I. Execice I.4. Calcule diectement le champ céé pa un dipôle 1 ) en un pint M su l axe x du dipôle. ) en un pint M situé su l axe y pependiculaie au dipôle en sn milieu O Slutin I.4. 1 ) Calcul du champ en M su l axe x : 1 q q E E E i 1 ù 4 x a x a pès calculs et en négligeant a devant n tuve : d = a ) Calcul du champ en M su y : Les deux tiangles iscèles MP 1P et E E M, de la figue I., snt semblables. Dnc E d 1 q et avec E E 4 n a : 1 p E 3 4 1 p Sit, en négligeant a devant : E 3 4 y E 1 p 3 x 31
Licence de Physique S: Electicité 7.4. Dipôle placé dans un champ électique unifme. 7. 4.1. Cuple. Si n place un dipôle, de mment électique p, dans un champ extéieu E unifme, les chages qui le cnstituent snt sumises à des fces égales et ppsées. F F 1 p p + F 1 1 - B E F B H E Figues I.3 Le dipôle subit als l actin d un cuple de mdule : F H F = q E et H = d sin dnc : q E. d sin sachant que p = q d n a : = p E sin Le mment du cuple de fce qui agit su le dipôle s écit : p E (37) Ce cuple fait pivte le dipôle pu l aligne paallèlement au champ extéieu (figues I.3). 7. 4.. Enegie ptentielle. L énegie ptentielle d un dipôle, placé dans un champ E, est calculée en faisant la smme des énegies ptentielles de chaque chage : E p = q ( V - V B ) (38) vec l expessin (38) devient sachant que : V V E. d B E P = q E. d p q d 3
Licence de Physique S: Electicité l énegie ptentielle de ce dipôle, placé dans un champ E, est als dnnée pa: EP p. E (39) E p B - + E F instable instable stable Figue I.4 Figue I.5 Cette énegie est minimale pu : = 0 et maximale pu : = - et = + la psitin = 0 cespnd à un équilibe stable et les psitins = - et = + à un équilibe instable. Execice I.5. On cnsidèe un dipôle fmé de deux chages électiques (- q et + q) sépaées pa une distance d.. N : q = nc et d = 9 mm. 1 ) Quel est le mdule de sn mment diplaie p. ) Calcule sn énegie intene. 3 ) Ce dipôle est placé dans un champ électique unifme E = 50 kv /m. Expime en jules puis en électn- vlts, l énegie ptentielle maximale qui ésulte de l inteactin de ce dipôle et du champ. ( 1eV = 1,6 10-19 J) Slutin I.5. 1 ) Mment diplaie : p q d avec p = 18 10-1 C.m ) Enegie intene : U Kq1q avec q1 = - q et q1 = + q 1 1 q U 4 d U = - 4. 10-6 jule sit U = - 5 10 1 ev 3 ) Enegie ptentielle : E p p. E p E cs Cette énegie ptentielle est maximale si : = cs = - 1 sit Ep = 0,9 J u Ep = 5,6 ev Ces ppiétés des dipôles expliquent les phénmènes de plaisatin dans les diélectiques. 33
Licence de Physique S: Electicité 8. LES DIELECTRIQUES. Les matéiaux islants u diélectiques, qui nt été mis en évidence ls des phénmènes d électisatin et les milieux magnétiques, sent étudiés en deuxième et tisième année de la licence. Le vide est le seul milieu cnsidéé dans ce mdule. Néanmins, quelques ntins élémentaies sent dnnées au sujet de ces milieux. Il existe types de diélectiques : 1 ) Les diélectiques aplaies : Ils snt cnstitués d atmes u de mlécules aplaies. Les baycentes des chages psitives et négatives snt cnfndus. Le mment électique de ces paticules est nul, le milieu n est pas plaisé. Lsqu n applique un champ électique, les chages subissent un petit déplacement d pa appt à leus psitins d équilibe. Cela se taduit pa l appaitin de dipôles, le diélectique est als plaisé. C est la plaisatin induite ) Les diélectiques plaies : Ils snt cnstitués de mlécules plaies (HCl, H O ) qui fment des dipôles. Mais, en aisn de l agitatin themique, ces dipôles snt ientés au hasad, leu mment ésultant est nul : le milieu n est pas plaisé. diélectiques aplaies: diélectiques plaies: E = O E = O E = O E = O p = q d Les c.d.g. des + & - cïncident Les c.d.g. des + & - s écatent + + d p = 0 p = q d Le matéiau n est pas plaisé Le matéiau est plaisé Le matéiau n est pas plaisé Le matéiau est plaisé Figue I.6 En pésence d un champ électique, ces dipôles nt tendance à s iente dans la diectin du champ. Il en ésulte un équilibe statistique ente l actin du champ et celle de la tempéatue : le diélectique est als plaisé. C est la "plaisatin diplaie". Les diélectiques snt caactéisés pa une pemittivité supéieue à. Dans le cas des diélectiques linéaies hmgènes et istpes, est une cnstante, pa cnte si le diélectique est inhmgène, anistpe u feélectique, la pemittivité n est plus cnstante en tut pint du matéiau. Tableau I.. Mments électiques de quelques mlécules plaies. Mlécule CO H B H Cl SO H O p (C.m) 0,40 10-30,6 10-30 3,43 10-30 5,3 10-30 6, 10-30 34
Licence de Physique S: Electicité 9. THÉORÈME DE GUSS. 9.1. Flux d un vecteu à taves une suface. Une suface S éelle u fictive peut ête cnsidéée cmme cnstituée d un gand nmbe de sufaces élémentaies ds, chacune d elles entue un pint M de l espace. On cnsidèe un vecteu unitaie n pté pa la nmale à ds et n epésente cet élément de suface pa un vecteu ds M n ds Figue I.7 ds ds n (40) Sit un vecteu quelcnque fnctin du pint M. On appelle flux élémentaie d du vecteu à taves la suface ds la quantité scalaie définie cmme suit : d. ds = ds cs. (41) Le flux glbal à taves la suface S est btenu pa intégatin :. ds S (4) Remaque : Cmme la ciculatin d un vecteu le lng d une cube, le flux d un vecteu à taves une suface est une ntin mathématique. Oientatin de la nmale. Cas d une suface femée : On iente la nmale de l intéieu ves l extéieu. n ds. Figues I.8 Cas d une suface uvete : On chisit un sens de pacus du cntu et n iente la nmale en utilisant pa exemple la ègle de la main dite : Le puce dnne le sens de la nmale si les autes digts snt femés dans le sens de pacus du cntu (figue I.8). 9.. Vecteu excitatin u déplacement électique. Maxwell a intduit en électmagnétisme un vecteu D qu il a appelé déplacement électique. Celui-ci est elié au champ électique pa l expessin : D E ù est la pemittivité électique du milieu. (43) 35
Licence de Physique S: Electicité Dans le cas paticulie du vide, l expessin pécédente devient D E (44) Elle mnte que, dans ce cas, ces deux vecteus snt pptinnels. Ce n est pas tujus le cas dans les milieux matéiels. Le vecteu D est également appelé excitatin électique. 9.3. Théème de Gauss. Le théème de Gauss 1 s énnce cmme suit: Le flux du vecteu déplacement électique à taves une suface S femée entuant des chages Q i est égal à la smme de ces chages. S n D. ds Qi i1 (45) Q i epésente la smme algébique des chages intéieues à la suface. L équatin (45) est l une des quate équatins fndamentales de l électmagnétisme (équatins de Maxwell). Dans le cas paticulie du vide l énncé du théème de Gauss devient : Dans le vide, le flux du champ électique à taves une suface femée entuant des chages Q i est : n Qi E. ds (46) S i1 0 De ces deux fmulatins du théème de Gauss, c est la pemièe qui est la plus généale. En effet, les deux expessins (45) et (46) mntent que le vecteu excitatin électique est diectement elié aux chages suces et ne dépend pas des caactéistiques du milieu (ici le vide caactéisé pa sa pemittivité électique ). Ce n est pas le cas du champ électique. Dans les milieux, le vecteu D pend une tès gande imptance. 9.4. pplicatins du théème de Gauss. Le théème de Gauss pemet, dans cetains cas 3, de calcule, à pati des chages suces, le champ électique. La méthde est als plus simple que celle du calcul diect. 1 Le théème de Gauss sea démnté en ème année de Licence dans le mdule d Electmagnétisme [6]. Pu calcule le vecteu déplacement, u le vecteu champ électique, n chisit une suface S qui englbe tutes les chages suces. Lsque ces chages snt infinies, n peut, dans cetains cas, expime ces vecteus en fnctin de la densité de chage, cmme dans le cas du plan infini ( 9.4.) et des execices I. 13 et I.14. 3 Ntamment les pblèmes qui pésentent une symétie. 36
Licence de Physique S: Electicité Plan infini chagé On cnsidèe un plan infini unifmément chagé avec une densité sufacique >0. On veut calcule le champ électique céé pa cette distibutin de chages en tut pint M de l espace au visinage de ce plan. Champ électique : Les équiptentielles nt la même fme que le plan chagé, elles snt cnstituées pa des plans paallèles à ce plan. Les lignes de champ snt als pependiculaies au plan chagé. Le champ E est dnc pependiculaie au plan et stant ( > 0). Il est utile de nte que le calcul de ce champ peut ête btenu pa la méthde diecte du calcul du champ électique en cnsidéant les ésultats btenus pu le disque chagé de ayn R ( 4.3.) et en faisant tende R ves l infini. Il est cependant plus apide d aive au ésultat en utilisant le théème de Gauss. On chisit cmme suface de Gauss un cylinde qui tavese ce plan infini chagé. (figue I. 9) Le flux de E à taves ce cylinde est : E. ds E. ds E. ds 1 3 S S S 1 3 i Q 0 i ds 1 ds 3 S1 S S snt les sufaces des bases du cylinde et S3 est sa suface latéale. Cmme le mnte la figue I.9, le champ est, pu des aisns de symétie, pependiculaie au plan : E ds, E // ds et E // ds E. ds 0, E. ds E. ds E ds et 3 1 3 1 i Q i S dnc S ES E 0 0 Ntns que le champ électique céé pa le plan infini chagé est cnstant en tut pint M de l espace. ds Figue I.9 Ptentiel électique : En utilisant la elatin liant le ptentiel au champ électique dv E. dl Edy V Edy n tuve le ptentiel V, céé pa le plan infini : V y te C, 0 La cnstante s btient à l aide des cnditins du pblème. 37