Transformations z az + b, a 0. Applications.

DOCUMENT 12 Transformations z az + b, a 0. Applications. On a déjà déterminé l interprétation géométrique des applications z z + b et z az. Dans ce document on va étudier plus généralement les application z az + b, a 0, ce qui permet d introduire à partir des nombres complexes les similitudes planes directes. On suppose connu la structure de plan affine euclidien de C. 1. Généralités sur les transformations z az + b, a 0. Pour tout couple (a, b) de nombres complexes, avec a 0, on désigne par f a,b l application de C dans C définie par f a,b (z) = az + b. Si P est un plan affine euclidien (orienté si nécessaire) muni d un repère orthonormé (direct si nécessaire) (O, u, v), on note F a,b l application de P dans P qui au point M d affixe z fait correspondre le point F a,b (M) d affixe f a,b (z). Pour tout couple (z 1, z 2 ) de nombres complexes, f a,b (z 1 ) f a,b (z 2 ) = a(z 1 z 2 ), f a,b (z 1 ) f a,b (z 2 ) = a z 1 z 2 ce qui montre que l application f a,b est affine, injective et multiplie les distances par a. Il en est de même pour les applications F a,b. Pour tout z C, f a,b (z) = z équivaut à z = (1/a)(z b) et donc f a,b est bijective avec f 1 a,b = f 1 a, b. a Considèrons maintenant deux éléments (a, b) et (c, d) de C C. On vérifie que f a,b f c,d = f ac,ad+b d où la conclusion : Proposition 12.1. L ensemble Σ = {f a,b (a, b) C C} est un sous-groupe du groupe des bijections de C dans C et Σ(P ) = {F a,b (a, b) C C} est un sous-groupe du groupe des bijections de P dans P. Tout élément f a,b ou F a,b de ces sous-groupes multiplie les distances par a. Points fixes de f a,b. On a f a,b (z) = z si et seulement si (1 a)z = b donc si a 1, f a,b possède un unique point fixe z 0 = b 1 a, si a = 1, f a,b ne possède aucun point fixe si b 0 et tout point est fixe si b = 0 (f a,b est alors l application identique de C). 2. Propriétés géométriques des applications z az + b, a 0. Nous allons maintenant étudier plus précisemment les propriétés géométriques des applications f a,b en commençant par deux cas particuliers remarquables, a R et a = 1. f a,b avec a R 129

130 12. TRANSFORMATIONS z az + b, a 0. APPLICATIONS On a déjà remarqué que f 1,0 est l application identique de C et, pour b 0, f 1,b est la translation de C définie par b. De même, F 1,b est la translation de P définie par le vecteur qui est l image de b. Toute translation de P est de la forme F 1,b. Si a 1 alors z 0 = b 1 a est l unique point fixe de f a,b et f a,b (z) z 0 = f a,b (z) f a,b (z 0 ) = a(z z 0 ) (1) ce qui montre que f a,b, a R, a 1, est l homothétie de C de centre z 0 et de rapport a. Réciproquement, si h est l homothétie de C de centre z 0 et de rapport k 1 alors, pour tout z C, h(z) z 0 = k(z z 0 ) d où h(z) = kz + (1 k)z 0 et donc h = f k,(1 k)z0. Dans le plan P, si les points M et M 0 sont d affixes z et z 0 alors l égalité (1) équivaut à M 0 F a,b (M) = am 0 M et F a,b est l homothétie de centre M 0, image de z 0, et de rapport a. Toute homothétie de P est de la forme F a,b, a R. On a donc démontré : Proposition 12.2. L ensemble {f a,b (a, b) R C} est le groupe des homothéties-translations de l espace affine C et {F a,b (a, b) R C} est le groupe des homothéties-translations de l espace affine P. Notons que l application f a,b F a,b est un isomorphisme entre le groupe des homothétiestranslations de C et celui de P. f a,b avec a = 1 On sait déjà que si a = 1, f a,b est la translation définie par le vecteur b. Si a 1 alors f a,b possède un unique point fixe z 0 et f a,b (z) z 0 = f a,b (z) f a,b (z 0 ) = a(z z 0 ) d où f a,b (z) z 0 = z z 0 et arg f a,b(z) (z 0 ) = arg a ce qui montre que f a,b est la rotation de centre z 0 et dont la z z 0 mesure de l angle est arg a. On peut aussi prouver cela en disant que f a,b conserve les distances du plan affine C : c est donc un déplacement ou un antidéplacement. Comme f a,b possède un unique point fixe, c est une rotation (car les antidéplacements d un plan affine ont soit aucun point fixe, soit un ensemble de points fixes formant une droite et les translations n ont aucun point fixe). Réciproquement, soit r la rotation de C de centre z 0 et dont la mesure de l angle est θ +2πZ. Si z z 0 alors r(z) z 0 = 1 et arg r(z) z 0 = θ +2πZ d où, en posant a = e iθ, r(z) z 0 = a z z 0 z z 0 z z 0 et r(z) = az + z 0 (1 a) = f a,z0 (1 a)(z) d où r = f a,z0 (1 a). En utilisant l interprétation dans P de la relation f a,b (z) z 0 = a(z z 0 ) et l étude des f a,b avec a = 1 on a donc : Proposition 12.3. L ensemble {f a,b (a, b) C C, a = 1} est le groupe des déplacements du plan affine C et {F a,b (a, b) C C, a = 1} est le groupe des déplacements du plan affine P. f a,b : le cas général En général, az + b = a ( a a z + b a )

3. LES SIMILITUDES DIRECTES 131 et donc f a,b = f a,0 f a a, b a] L application f a,b est donc composé d une homothétie de rapport > 0 et d un déplacement. C est en particulier une application affine. Le paragraphe suivant est consacré à l étude des applications de ce type. 3. Les similitudes directes Définition 12.1. On appelle similitude directe d un espace affine euclidien E, toute application de E dans E composée d un déplacement et d une homothétie de rapport > 0. Si une similitude directe est de la forme s = h r, où h est une homothétie de rapport λ > 0, r un déplacement, alors s est une application affine (car composée de deux applications affines) et s multiplie les distances par λ. Ce nombre réel strictement positif est appelé le rapport de la similitude s. Si s = h r ou s = r h, où h est une homothétie de rapport > 0 et r est un déplacement alors le rapport de l homothétie h est λ. Désignons par Sim + (E) l ensemble des similitudes directes de E. Proposition 12.4. On a Sim + (C) = {f a,b (a, b) C C} et Sim + (C) est un sous-groupe du groupe affine de C. On a vu que Σ Sim + (C). Soit s Sim + (C). Par définition, s = h r où h est une homothétie de rapport > 0 et r est un déplacement. On a montré que h Σ et r Σ d où s Σ car Σ est un groupe. Finalement Σ = Sim + (C). La proposition 12.1 entraine que Sim + (C) est un sous-groupe du groupe des bijections affines de C. Plus généralement, Sim + (P ) est un sous-groupe des bijections affines du plan euclidien P. Proposition 12.5. (Classification des similitudes directes de C). Soit f a,b Sim + (C). (1) a = 1. a = 1 : l application f 1,b est la translation de vecteur b. a 1 : L application f a,b est la rotation de centre z 0 = de l angle est arg a. (2) a 1 b 1 a a R + : l application f a,b est l homothétie de centre z 0 = et dont la mesure b 1 a et de rapport positif a. a R + : l application f a,b est composé dans un ordre quelconque de l homothétie h de centre z 0 = b 1 a, de rapport a > 0 et de la rotation r de centre z 0 et dont la mesure de l angle est arg a. Cette décomposition est unique : si f a,b = r 1 h 1 = h 1 r 1 où h 1 est une homothétie de rapport > 0 et r 1 une rotation alors r = r 1 et h = h 1.

132 12. TRANSFORMATIONS z az + b, a 0. APPLICATIONS Preuve. Un démonstration est nécessire seulement dans le cas a = 1 et a R +. Comme a 1 le point z 0 est l unique point fixe de f a,b et az + b = az + b + z 0 az 0 b = a(z z 0 ) + z 0 = a a [ a (z z 0) + z 0 z 0 ] + z 0. L application h définie par h(z) = a (z z 0 ) + z 0 est l homothétie de centre z 0 et de rapport strictement positif a et l application r définie par r(z) = a a (z z 0) + z 0 est la rotation de centre z 0 et dont la mesure de l angle est arg a a = arg a. Il est clair que f a,b = r h. Pour établir r h = h r, montrons d abord un lemme qui a son propre intérêt. Lemme 12.1. Soit ρ une rotation de centre z 1, dont la mesure de l angle est arg α et k une homothétie de centre z 2, de rapport λ. On a ρ k = k ρ si et seulement si on est dans l un des cas suivants : z 1 = z 2 (ρ et k ont le même centre) ; α = 1 (ρ est l application identique) ; λ = 1 (k est l application identique). Preuve. On a k(z) = λ(z z 2 ) + z 2 et, en supposant α = 1, ρ(z) = α(z z 1 ) + z 1. L égalité ρ k = k ρ équivaut à : α(λ(z z 2 ) + z 2 z 1 ) + z 1 = λ(α(z z 1 ) + z 1 z 2 ) + z 2 ce qui équivaut encore à (z 1 z 2 )(λ 1)(α 1) = 0 d où le résultat cherché. Revenons à la preuve de la proposition. Le lemme entraine que h r = r h car h et r ont le même centre. Comme f a,b = r 1 h 1 = h 1 r 1, h 1 et r 1 ont le même centre. Ce centre étant fixe par f a,b, c est z 0. L égalité f a,b = r 1 h 1 entraine que le rapport de h 1 est a et donc h 1 = h. L égalité h r = h r 1 entraine r = r 1. 4. Applications 4.1. Applications aux similitudes directes d un plan affine euclidien. On a défini les similitudes d un plan affine euclidien P comme étant les applications affines composées d un déplacement et d une homothétie de rapport > 0. Ces similitudes sont les applications F a,b, (a, b) C C, et celles qui sont distinctes d une translation ont un unique point fixe d affixe z 0 = b appelé leur centre. A l aide de la proposition 12.5, on obtient un théorème de 1 a décomposition de ces similitudes. Proposition 12.6. Soit s une similitude directe d un plan affine euclidien P de rapport λ. Si s n est pas une translation alors s possède un unique point fixe Ω appelé son centre. L application s est une rotation ou une homothétie de rapport > 0 (égal à λ) ou est composé dans un ordre quelconque d une rotation r de centre Ω et d une homothétie h de centre Ω et de rapport λ. Dans ce cas, si l on a s = h 1 r 1 = r 1 h 1, où h 1 est une homothétie de rapport > 0 et r 1 une rotation alors r = r 1 et h = h 1. L angle de la rotation r de la proposition précédente est appelé l angle de la similitude s. Si le plan est orienté et si le repère (O, u, v) est direct alors la mesure de l angle de s = F a,b

4. APPLICATIONS 133 est arg a. Notons qu une similitude directe, qui n est pas une translation, est entièrement déterminée par son rapport, son centre et son angle. Remarque. Soit h une homothétie de rapport λ et de centre Ω. La transformation h est une similitude directe mais, avec notre termininologie, son rapport de similitude est λ et, si λ < 0, sa décomposition donnée par la proposition précédente est h = h r = r h où h est l homothétie de rapport positif λ, de centre Ω, et r la rotation de centre Ω et dont une mesure de l angle est π + 2πZ (r est la symétrie centrale de centre Ω). Exercice. SoitA, B, A, B quatre points d un plan affine euclidien avec A B et A B. Montrer qu il existe une unique similitude directe s de P telle que s(a) = A et s(b) = B. Montrer que si A A, B B et si s possède un centre alors c est aussi le centre de la similitude σ telle que σ(a) = B et σ(a ) = B. Solution. Soit (O, u, v) une repère orthonormé de P et a, b, a, b les affixes de A, B, A, B. Il existe une similitude directe s de P telle que s(a) = A et s(b) = B si et seulement si il existe (α, β) C C tel que f α,β (a) = a et f α,β (b) = b. On doit donc résoudre le système : { xa + y = a xb + y = b Comme a b, ce système possède une unique solution α = a b a b, β = ab ba a b. De A B, on déduit α 0 et f α,β est l unique similitude directe de C tel que f α,β (a) = a et f α,β (b) = b. Il en résulte que s = F α,β est l unique similitude directe de P telle que s(a) = A et s(b) = B. La similitude f α,β possède un point fixe si et seulement si α 1 ce qui équivaut à AB A B. Supposons cette condition réalisée. Le point fixe de f α,β est z 0 = α 1 β = ab ba (a b) (a b ). Si AB A B alors AA BB et la similitude directe σ telle que σ(a) = B et σ(a ) = B ab a b possède un centre d affixe z 1 = (a a ) (b b ) (on permute a et b dans z 0 ). On a z 0 = z 1 et donc s et σ ont le même centre. 4.2. Les similitudes indirectes (ou négatives). On a vu que les similitudes directes de C multiplient les distances par une constante appelée leur rapport. On peut plus généralement considérer l ensemble S des applications f de C dans C pour lesquelles il existe une constante k > 0 (dépendant de f) telle que f(z) f(z ) = k z z. On a Sim + (C) S. Soit f un élément de S. L application g = f f 1,0 est une isométrie k affine donc f = g f k,0 est une application affine. On distingue deux cas suivant la nature de l isométrie g. g est un déplacement et f = g f k,0 entraine que f est une similitude directe. Il existe (a, b) C C tel que f = f a,b. g est un antidéplacement. Soit γ l application de C dans C définie par γ(z) = z. On sait que γ est la réflexion par rapport à l axe réel. L application g γ est donc un déplacement: il existe (a, b) C C avec a = 1 tel que g γ(z) = az + b d où g(z) = az + b. Finalement f(z) = g f k,0 (z) = akz + b. L application f est donc du

134 12. TRANSFORMATIONS z az + b, a 0. APPLICATIONS type z αz + β avec (α, β) C C. Comme il est clair que toute application de ce type est dans S, on a montré : S = {z az + b (a, b) C C} {z az + b (a, b) C C}. Cette étude nous conduit à la définition suivante. Définition 12.2. On appelle similitude indirecte d un espace affine euclidien E toute application de E dans E composée d un antidéplacement et d une homothétie de rapport > 0. On désigne par Sim (E) l ensemble des similitudes indirectes de E et on pose Sim(E) = Sim + (E) Sim (E). Un élément de Sim(E) est appelé une similitude de E. C est une application affine composée d une isométrie affine et d une homothétie de rapport > 0. A partir de l étude précédente on voit que S = Sim(C) et Sim (C) = {z az + b (a, b) C C}. Remarque. Il y a d autres définitions équivalentes des similitudes d un espace affine euclidien E. On peut dire que ce sont les applications f : E E pour lesquelles il existe k > 0 vérifiant, pour tout (M, N) E 2, f(m)f(n) = k MN. On peut aussi dire que ce sont les f(a)f(b) applications f : E E qui conservent le rapport des distances : = f(c)f(d) AB CD pour tous points A, B, C, D avec A B et C D. Dans le cas d un plan affine euclidien, les similitudes directes peuvent alors être définies comme étant celles qui en plus conservent les angles orientés de vecteurs. Exercice. SoitA, B, A, B quatre points d un plan affine euclidien avec A B et A B. Montrer qu il existe une unique similitude indirecte s de P telle que s(a) = A et s(b) = B. 5. Compléments 5.1. Etude des applications g a,b : z az + b, a 0.. Dans ce paragraphe on suppose connu les déplacements et les antidéplacements d un plan affine euclidien et donc en particulier de C. Toute application g a,b est une bijection affine composée d un antidéplacement et d une homothéties de rapprt positif. Plus précisément, l application g a,b est composée des quatre applications g 1 : z a z, g 2 : z a a z, γ : z z et t b : z z + b. On a g a,b (z) = az et g a,b = g 1 g 2 γ. L application g 2 γ, composée d une rotation et d une symétrie, est la symétrie s par rapport à une droite. Posons a = e iθ. La mesure de l angle de avec l axe réel, qui est aussi l axe de la symétrie γ, est θ 2 + πz 1. L application g a,b = g 1 g 2 γ est donc composée dans un ordre quelconque de l homothétie de rapport a et de la symétrie s. Cela termine l étude si b = 0 car alors g a,b = g a,b. Pour pousuivre l étude dans le cas général et la ramener au cas b = 0, cherchons les points fixes de g a,b. Le point z 0 est fixe si et seulement si az 0 + b = z 0 ce qui équivaut à az 0 + b = z 0 1 Soit sd et s D deux symétries par rapport aux droites D et D. Si mes( D, D ) = α + πz, α πz, alors le composé r = s D s D est une rotation dont la mesure de l angle est 2α + 2πZ. Remarquons que l on a aussi s D = r s D.

et az 0 + b = z 0. En multipliant cette dernière égalité par a, on a 5. COMPLÉMENTS 135 (1 a 2 )z 0 = b + ab d où les deux cas : a = 1. On a z 0 = b + ab 1 a 2 et on vérifie que z 0 est bien un point fixe. L application g a,b possède un unique point fixe z 0. a = 1. Si b + ab 0 alors g a,b ne possède aucun point fixe et si b + ab = 0 alors g a,b ( b 2 ) = a b 2 + b = ab + b 2 + b 2 = b 2 et z 0 = b est donc un point fixe. On verra qu il n est pas unique. 2 Dans les deux cas où g a,b possède un point fixe z 0 alors g a,b z 0 = a(z z 0 ). Si l on prend pour nouvelle origine du repère le point z 0 alors, par rapport à ce nouveau repére, g a,b s interprète géométriquement 2 par la composition de l homothétie de centre z 0 et de rapport a avec la symétrie par rapport à la droite passant par z 0 et parallèle à. Si a = 1 et ab + b 0 alors g a,b est une isométrie négative sans point fixe. C est donc une pseudosymétrie qui se décompose sous la forme s D t c = t c s D où s D est une réflexion par rapport à une droite D et t c est une translation, le vecteur de translation appartenant à la direction de l axe de la réflexion. Dans le cas a = 1, on a g a,b = s et la direction de D est donc. On a g a,b (0) = b et donc b 2 (Faire une figure). Il en résulte que g a,b( b 2 ) = b 2 + c c est-à-dire a b 2 + b = b ab + b + c d où c =. 2 2 Résumons cela dans une proposition. Proposition 12.7. Soit g a,b, 0 a = e iθ, l application de C dans C définie par g a,b (z) = az + b. Cette application est une similitude indirecte du plan affine euclidien C dont la décomposition canonique dépend de a et ab + b. a 1. L application g a,b multiplie des distances par a et possède un unique point fixe z 0 = ab + b 1 a 2. Elle est composée de l homothétie de centre z 0 et de rapport 1 a 2 avec la reflexion dont l axe est la droite passant par le point b 2 réel un angle de mesure θ 2 + πz. a = 1. L application g a,b est un antidéplacement. et faisant avec l axe 2 Lorsque l on interprète géométriquement les nombres complexes par des points d un plan affine euclidien P cette interprétation est liée au choix d un repère de P. En particulier si P = C et si on considère le repère (z 0, 1, i) alors l affixe d un point z est z z 0 et l image du nombre complexe z est z + z 0. Il n y a que lorsque z 0 = 0 que l affixe et l image coïncident.

136 12. TRANSFORMATIONS z az + b, a 0. APPLICATIONS ab + b 0. L application g a,b ne possède aucun point fixe et est la pseudosymétrie composée de la réflexion par rapport à la droite avec la translation définie par le vecteur ab + b. 2 ab + b = 0. L application g a,b est la réflexion par rapport à la droite. Pour toute similitude indirecte g de C, il existe (a, b) C C tel que g(z) = az + b. 5.2. Les endomorphismes du R-espace vectoriel C. Soit f un endomorphisme du R- espace vectoriel C. Comme (1, i) forme une base, l application f est entièrement déterminée par f(1) et f(i). Si z = x + iy, avec x, y R, alors f(z) = xf(1) + yf(i) == z + z 2 f(1) + z z f(i) = ( f(1) 2i 2 Si l on pose a = f(1) 2 + f(i) 2i et b = f(1) 2 f(i) 2i f(z) = az + bz + f(i) )z + (f(1) f(i) 2i 2 2i )z. (Attention! a et b ne sont pas conjugués) alors On montre facilement que l écriture précédente est unique et que toute application de la forme z az + bz est R-linéaire. La matrice M de l endomorphisme f dans la base (1, i) est ( ) R(a) + R(b) I(a) + I(b) M = I(a) + I(b) R(a) R(b) Il en résulte que la trace de f est T r(f) = 2R(a) = a + a et le déterminant de f est det(f) = (R(a) + R(b))(R(a) R(b)) + (I(a) I(b))(I(a) + I(b)) = R(a) 2 + I(a) 2 R(b) 2 I(b) 2 = a 2 b 2. Soit f 1 : z az et f 2 : z bz. L applications f 1 est une similitude directe vectorielle, l application f 2 est une similitude indirecte et f = f 1 + f 2. Tout endomorphisme d un plan euclidien est donc la somme d une similitude directe et d une similitude indirecte. Si l on considère maintenant la structure de plan affine euclidien sur C alors, pour toute application affine g de C dans C, il existe a, b, c uniques tels que g(z) = az + bz + c. Remarques. 1) Il ne faut pas confondre les endomorphismes du R-espace vectoriel C et ceux du C-espace vectoriel C. Ce dernier étant de dimension 1, ses endomorphismes sont les applications z az, a C. 2) Les formes linéaires sur le R-espace vectoriel C sont les combinaisons linéaires à coefficients dans R des deux formes z R(z) et z I(z) qui constituent une base du dual de C (Ce sont les formes coordonnées.). Si f est une forme linéaire, il existe donc λ, µ R tels que f(z) = λr(z) + µi(z) = λ z + z 2 Si l on pose α = λ 2 + µ 2i on a : + µ z z 2i f(z) = αz + α z =< α z >. = ( λ 2 + µ 2i )z + (λ 2 µ 2i )z.

5. COMPLÉMENTS 137 (Cette formule est évidente si on connait l expression générale d une forme linéaire sur un espace euclidien.) Toute application de ce type est une forme linéaire et cette formule est évidemment à rapprocher de l équation complexe d une droite.

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