GEOMETRIE ANALYTIQUE

GEOMETRIE ANALYTIQUE 1 re CD math I Géométrie analytiqe Table des matières A) Systèmes linéaires...... page 2 1) Définitions..... page 2 2) Résoltion d n système linéaire par sbstittion.... page 2 3) Règle de Cramer... page 5 B) Géométrie analytiqe dans le plan (rappels) page 9 1) Repères d plan.... page 9 2) Calcl vectoriel dans n repère d plan page 9 3) Eqations d ne droite...... page 10 4) Vecter normal d ne droite..... page 13 5) Intersection de dex droites... page 14 C) Géométrie analytiqe dans l espace.. page 15 1) Points, droites, plans et vecters dans l espace. page 15 2) Repères de l espace page 18 3) Calcl vectoriel dans n repère de l espace.... page 19 4) Eqations d n plan.... page 20 5) Systèmes d éqations d ne droite..... page 23 EXERCICES.... page 25-1 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe A) SYSTEMES LINEAIRES 1) Définitions Une éqation linéaire à 2 o 3 inconnes est ne éqation de la forme : ( 1) ax + by = c où x, y sont dex inconnes et a, b, c des coefficients réels ( 2) ax + by + cz = d où x, y, z sont trois inconnes et a, b, c, d des coefficients réels Exemples 2x 3y = 15 4 éqations linéaires 8x y + 3, 7z = 65 7 2 x 3y = 1 éqations non linéaires 3 3x 8xy + z = 23 Une soltion de l éqation (1) est n cople de dex nombres ( x; y ) tel qe ax + by = c et ne soltion de l éqation (2) est n triplet de trois nombres ( x; y;z ) tel qe ax + by + cz = d. Par exemple ( 18; 7 ) est ne soltion de 2x 3y = 15 et ( 3; 7; 10) est ne soltion de 4 8x y + 3, 7z = 65. 7 Un système linéaire est n ensemble de plsiers éqations linéaires. Les soltions d n système d éqations sont les soltions commnes à totes les éqations d système. Exemple x 5y = 17 1 3x + 2y = 12 2 ( 17;0 ) est ne soltion de (1), mais pas de (2) donc ce n est pas ne soltion d système! Par contre ( 2; 3) est ne soltion d système car c est ne soltion commne ax dex éqations. 2) Résoltion d n système linéaire «par sbstittion» C est la méthode la pls générale qi marche avec tot système. Elle consiste à choisir ne éqation d système et à exprimer à l aide de celle-ci ne des inconnes en fonctions des atres (le choix le pls jdiciex consiste à prendre, si possible, ne inconne dont le coefficient vat 1, ce qi permet d éviter les calcls avec des fractions!). On remplace - 2 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe ensite cette inconne dans totes les atres éqations d système par cette expression : on obtient alors n système avec ne éqation et ne inconne en moins qe le système initial. On répète ceci jsq à ce q il ne reste pls q ne sele éqation q on pet alors résodre. Exemples 5x + 17y = 1 ( 1) x 2y = 11 ( 2) ( 2) x = 11+ 2y dans (1) : 5 11+ 2y 2y = 11 y = 2 donc x = 11+ 2( 2) = 7 {} S = 7; 2 (le système a donc ne sele soltion!) 3x 5y = 4 ( 1) 6x + 10y = 8 ( 2) 5 4 1 3x = 5y 4 x = y 3 3 dans (2) : 5 4 6 y + 10y = 8 10y + 8 + 10y = 8 0y = 0, ce qi est vrai 3 3 por tot réel y donc ce système admet ne infinité de soltions : 5 4 S = y ; y / y R 3 3 x + 3y = 7 ( 1) 2x y = 14 ( 2) x + 2y = 13 ( 3) ( 2) y = 2x 14 dans (1) : x + 3( 2x 14) = 7 7x = 35 x = 5 donc y = 2 5 14 = 4 vérifions (3) : 5 + 2( 4) =! 13, d où S = {( 5; 4) } x + 3y = 7 ( 1) 2x y = 14 ( 2) 8x 7y = 3 ( 3) - 3 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe en tilisant (1) et (2) on obtient x = 5 et y = 4 (voir exemple ci-desss) vérifions (3) : 8 5 7( 4) = 68 3, d où S =! x + y + z = 6 ( 1) 2x 3y z = 7 ( 2) 5x 2y + 3z = 10 ( 3) ( 1) z = 6 x y dans (2) : 2x 3y ( 6 x y) = 7 3x 2y = 1 ( 4) dans (3) : 5x 2y + 3( 6 x y) = 10 2x 5y = 8 ( 5) (4) et (5) constitent alors n système de 2 éqations à 2 inconnes : 5 5 x = y 4 2 dans (4) : 15 y 12 2y = 1 y = 2, donc 2 = =, d où S = {( 1;2;3 )} dans (1) : z 6 1 2 3 2x y + 3z = 15 ( 1) x + 5y + z = 18 ( 2) 6x + 3y 9z = 7 ( 3) ( 1) y = 2x + 3z 15 5 x = 2 4 = 1 2 dans (2) : x + 5( 2x + 3z 15) + z = 18 9x + 16z = 57 ( 4) dans (3) : 6x + 3( 2x + 3z 15) 9z = 7 0x + 0z = 52 ( 5) or (5) est impossible donc S =. 2x y + 3z = 15 ( 1) x + 5y + z = 18 ( 2) 6x + 3y 9z = 45 ( 3) ( 1) y = 2x + 3z 15 dans (2) : x + 5( 2x + 3z 15) + z = 18 9x + 16z = 57 ( 4) dans (3) : 6x + 3( 2x + 3z 15) 9z = 45 0x + 0z = 0 ( 5) or (5) est vrai por tos x, z réels, donc il y a ne infinité de soltions : 9 57 (4) z = x +, dans (1) : 16 16 9 57 5 69 y = 2x + 3 x + 15 = x 16 16 16 16-4 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe 5 69 9 57 donc S = x; x ; x + / x R 16 16 16 16 3) Règle de Cramer Cette règle s appliqe ax systèmes linéaires ayant même nombre d éqations qe d inconnes (nos nos limiterons à dex cas : systèmes de 2 éqations à 2 inconnes et systèmes de 3 éqations à 3 inconnes. a) Déterminants d ordre 2 et 3 Un déterminant d ordre 2 est n «tablea carré» de 2 2 = 4 nombres a, b, c, d noté a c b d Exemples. La valer de ce déterminant est donnée par la formle sivante : 7 11 7 3 5 11 21 55 34 5 3 = = = a c ad bc b d = 4 9 8 12 = 4 12 9 8 = 48 + 72 = 120 Un déterminant d ordre 3 est n «tablea carré» de 3 3 = 9 nombres a, b, c, d, e, f, g, h, i noté a d g b e h c f i. La valer de ce déterminant est donnée par la formle sivante appelée règle de Sarrs : a d g a d b e h b e = aei + dhc + gbf gec ahf dbi c f i c f Exemples 2 0 1 2 0 5 4 2 5 4 = 56 + 0 + 15 4 + 12 0 = 33 1 3 7 1 3 5 10 0 5 10 1 3 9 1 3 = 30 630 + 0 0 + 945 + 20 = 305 7 21 2 7 21-5 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe b) Systèmes de 2 éqations à 2 inconnes Soit n système de dex éqations à dex inconnes écrit sos forme standard : ax + by = c a 'x + b 'y = c' On commence par calcler le déterminant principal d système : Dex cas pevent alors se présenter : 1 er cas : 0 a = a ' Le système admet ne soltion niqe q on obtient en calclant les déterminants : Alors x x = et 2 e cas : = 0 c b b b' = et x y c' b' y x y y = d où : S ; = a = a ' Le système a alors ne infinité o pas de soltions (à préciser à l aide de la méthode par sbstittion. Exemples Reprenons les exemples d paragraphe 2. 5x + 17y = 1 1 x 2y = 11 2 5 17 = = 10 17 = 27 0 donc ne sele soltion 1 2 1 17 189 x = = 2 187 = 189 donc x = = 7 11 2 27 c c' 5 1 54 y = = 55 1 = 54 donc y = = 2 1 11 27 {} S = 7; 2 7x 8y = 11 1 21x + 24y = 5 2 7 8 = = 168 168 = 0 donc pas o ne infinité de soltions 21 24-6 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe ( 1) ( 3) 21x + 24y = 33 ce qi est incompatible avec (2), donc S =. 3x 5y = 4 1 6x + 10y = 8 2 3 5 = = 30 30 = 0 donc pas o ne infinité de soltions 6 10 5 4 Par sbstittion on trove (voir p. 3) : S = y ; y / y R 3 3 c) Systèmes de 3 éqations à 3 inconnes Soit n système de trois éqations à trois inconnes écrit sos forme standard : ax + by + cz = d a 'x + b' y + c 'z = d ' a x + b y + c z = d On commence par calcler le déterminant principal d système : Dex cas pevent alors se présenter : 1 er cas : 0 a b c = a b c a b c Le système admet ne soltion niqe q on obtient en calclant les déterminants : Alors x x =, 2 e cas : = 0 x d = d b c b c d b c y a d c = a d c a d c y z x y z y = et z = d où : S ; = ; z a b = a b d d a b d Le système a alors ne infinité o pas de soltions à préciser à l aide de la méthode par sbstittion. Exemples Reprenons les exemples d paragraphe 2. x + y + z = 6 1 2x 3y z = 7 2 5x 2y + 3z = 10 3-7 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe 1 1 1 = 2 3 1 = 9 5 4 + 15 2 6 = 11 0 donc ne sele soltion 5 2 3 6 1 1 11 x = 7 3 1 = 54 10 + 14 + 30 12 + 21 = 11 donc x = = 1 11 10 2 3 1 6 1 22 y = 2 7 1 = 21 30 + 20 + 35 + 10 36 = 22 donc y = = 2 11 5 10 3 1 1 6 33 z = 2 3 7 = 30 35 24 + 90 14 20 = 33 donc z = = 3 11 5 2 10 {} S = 1;2;3 2x y + 3z = 15 1 x + 5y + z = 18 2 6x + 3y 9z = 7 3 2 1 3 = 1 5 1 = 90 + 6 9 + 90 6 + 9 = 0 donc ne infinité o pas de soltions 6 3 9 Par sbstittion on trove (voir p. 4) : S = 2x y + 3z = 15 1 x + 5y + z = 18 2 6x + 3y 9z = 45 3 2 1 3 = 1 5 1 = 90 + 6 9 + 90 6 + 9 = 0 donc ne infinité o pas de soltions 6 3 9 5 69 9 57 Par sbstittion on trove (voir p. 4) : S = x; x ; x + / x R 16 16 16 16 Exercices 1, 2, 3-8 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe B) GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LE PLAN (Rappels) 1) Repères d plan Soient O, I, J trois points non alignés d plan, alors les vecters i = OI et j = OJ ne est n repère d plan ce qi signifie qe sont pas colinéaires et le triplet ( O, i, j) por tot point M d plan il existe n cople niqe ( x; y ) de nombre réels appelés coordonnées de M tel qe : On note M x; y dans le repère OM = x i + y j O, i, j, x est appelée abscisse de M et y ordonnée de M. La droite OI est appelée axe des abscisses et la droite OJ axe des ordonnées Si OI OJ et OI OJ 1 = = on dit qe ( O, i, j) est n repère orthonormé (R.O.N.) Por tot vecter il existe n point niqe M tel qe = OM (OM est le représentant d origine O de ). Si on connaît M, on connaît, il est donc natrel de dire qe les coordonnées de M sont assi les «coordonnées» de : M x; y et = OM si 2) Calcl vectoriel dans n repère d plan alors ( x; y) o x y Soient x, y x v v y v, A ( x, y ), B( x, y ) et α R, rappelons q on a alors les formles sivantes : A A B B C x C, y C dans n repère ( O, i, j) et - 9 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe a) Formles valables dans tot repère αx α αy x + x v + v y + y v x B x AB y B y A A on appelle déterminant des vecters et v le déterminant : det, v = x y x y v v on dit qe et v sont colinéaires si et selement si k R = k v o v = k c est- à dire si et v ont même direction o s ils sont nls. et v et sont colinéaires det, v = 0 xb xa xc xa A, B, C alignés AB et AC colinéaires yb y A yc y A det AB, AC = 0 b) Formles valables niqement dans n R.O.N. = x + y 2 2 2 2 AB = ( x x ) + ( y y ) B A B A on appelle prodit scalaire de par v le nombre réel défini par : v = x x + y y v v = 0 3) Eqations d ne droite v v Une droite d d plan est entièrement déterminée si on connaît : o bien dex points A et B de d n point A d et n vecter directer de d (c est-à-dire n vecter non nl qi a même direction qe d) Remarqons qe dans le premier cas on connaît également n vecter directer : AB. - 10 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe M M d AM et sont colinéaires det AM, = 0 Nos allons maintenant exprimer cette dernière propriété en tilisant les coordonnées dans n repère (en principe qelconqe, en pratiqe orthonormé) : A ( x ; y ), a) Système d éqations paramétriqes de d x x x A A x M x; y et y A M x; y d AM et sont coli néaires y ya y D où : k R AM = k x x k x A k R = y ya k y x x = k x y y k y A k R A = x = x A + k x M ( x; y) d k R y = ya + k y Ce système linéaire de dex éqations à dex inconnes x et y et de paramètre k est appelé système d éqations paramétriqes de d. Exemple Soit d la droite passant par A ( 5; 2) et de vecter directer x = 5 3k d y = 2 + 7k por k = 1 : x = 2 et y = 5 donc B(2;5) d, ( k R ) por k = 4 : x = 17 et y = 30 donc C(17; 30) d, etc. 3 7, alors : - 11 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Por voir si D(8,3) d il fat voir s il existe n réel k tel qe 8 = 5 3k et 3 = 2 + 7k. Or la première de ces éqations donne k = 1 et la dexième donc D d! b) Eqation cartésienne de d x x A M x; y d AM et sont co li néaires y ya y det AM, = 0 x x x A = y y y A 0 x x x y y y x = 0 A A y x y x x y + x y = 0 A A 5 k =, 7 En posant a = y, b x = et c = x ya yxa, on obtient l éqation : b M ( x; y) d ax + by + c = 0 avec 0 v.d. de d a Cette éqation linéaire à dex inconnes est appelée éqation cartésienne de d. Exemple Por A( 5; 2) et 3 7, on a : x 5 3 M ( x; y) d AM et sont co li néaires y + 2 7 x 5 3 = 0 y + 2 7 7 x 5 + 3 y + 2 = 0 7x + 3y 29 = 0 donc d 7x + 3y 29 = 0. Cherchons qelqes points de d : por x = 2, 14 + 3y 29 = 0 y = 5, donc B(2;5) d por y = 30, 7x 90 29 = 0 x = 17, donc C(17; 30) d, etc. D(8,3) d 7 8 + 3 3 29 = 0 ce qi est fax donc D d. - 12 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe 4) Vecter normal d ne droite On appelle vecter normal d ne droite d tot vecter n 0 qi est orthogonal à tot vecter directer de d (on pet dire assi : qi est n vecter directer de tote droite perpendiclaire à d). Por connaître d il sffit de connaître n point A d et n vecter n normal à d car : M M d AM Si A ( x ; y ), A A x n M x; y et n dans n R.O.N. alors : y n x x x A n M x; y d AM n y ya yn x x x A n = y ya yn 0 x x x + y y y = 0 A n A n x x x x + y y y y = 0 n A n n A n En posant a = x n, b yn = et c = x nx A ynya, on obtient l éqation : Exemple Por A( 9;5) et a M ( x; y) d ax + by + c = 0 avec n 0 v.n. à d b 2 n 13, on a : x + 9 2 M ( x; y) d AM n y 5 13 x + 9 2 + y 5 13 = 0 2x 13y + 83 = 0 d - 13 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Remarqe : Si d ax + by + c = 0 alors est n vecter normal à d. Exemple : por d 4x 11y + 29 = 0, 5) Intersection de dex droites b a est n vecter directer de d et 11 4 4 et n 11. a n b Soient dex droites d ax + by + c = 0 et d ' a 'x + b 'y + c' = 0 données par lers éqations cartésiennes, alors : ax + by + c = 0 1 I( x; y) d d ' ( x; y ) est soltion d système a 'x + b' y + c' = 0 2 Déterminer l intersection de d et d et résodre ce système revient donc a même! On a trois possibilités : si d d ' = { I} (d et d sécantes), le système a ne sele soltion : les coordonnées de I. si d d ' = (d et d strictement parallèles), le système n a pas de soltion. si d d ' = d = d ' (d et d confondes), le système a ne infinité de soltions. Remarqe : d d ' = 0 et d et d sécantes 0 avec Exemples (por les calcls voir pages 6-7) 5x + 17y = 1 1 x 2y = 11 2, S = {( 7; 2) } = a b a ' b'. interprétation géométriqe : les dex éqations d système sont les éqations de dex droites sécantes qi se copent en I( 7; 2). 7x 8y = 11 1, S = 21x + 24y = 5 2 interprétation géométriqe : les dex éqations d système sont les éqations de dex droites strictement parallèles (disjointes). 3x 5y = 4 1 5 4, S = y ; y / y 6x + 10y = 8 2 R 3 3 interprétation géométriqe : les dex éqations d système sont les éqations de dex droites confondes. Exercice 4-14 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe C) GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L ESPACE 1) Points, droites, plans et vecters dans l espace Les notations por les points et les droites de l espace sont les mêmes qe celles tilisées dans le plan, les plans sont sovent notés par des lettres grecqes : α, β, π, Par dex ponts A et B il passe exactement ne droite notée ( AB ). Par trois points non alignés A, B, C de l espace il passe exactement n plan noté parfois ( ABC ) o simplement ABC : Si qatre points appartiennent à n même plan on dit q ils sont coplanaires, sinon ils forment n tétraèdre (c est-à-dire ne pyramide à qatre faces trianglaires) : Dex plans π1 et π 2 de l espace pevent être : confonds : π 1 = π 2 A BCD B ACD C ABD D ABC - 15 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe strictement parallèles : π1 π 2 = sécants : π1 π 2 = d (l intersection de dex plans sécants est ne droite!) Remarqes : π o 1 2 π (parallèles) signifie qe π1 π 2 = o π 1 = π 2, donc dex plans sont soit parallèles, soit sécants (comme dex droites dans n plan). o Une droite pet tojors être définie comme intersection de dex plans sécants. Dex droites d 1 et d 2 de l espace pevent être : sécantes : d d { I} = (dex droites sécantes sont coplanaires, c est-à-dire 1 2 qelles appartiennent à n même plan π ) - 16 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe parallèles : d1 = d2 o d1 d2 = (dex droites parallèles sont également coplanaires) gaches : c est ainsi q on appelle dex droites qi ne sont pas coplanaires Les vecters se définissent exactement de la même manière dans l espace qe dans le plan, avec les mêmes propriétés et règles de calcl : addition des vecters, mltiplication par n réel, vecters colinéaires, vecters orthogonax, relation de Chasles, etc. Soient A, B, C trois points non alignés qi définissent n plan π = ( ABC) de l espace. Alors ( A,AB, AC) est n repère de ce plan donc por tot point M π il existe dex réels α et β tels qe AM = α AB + β AC : on exprime ceci en disant qe le vecter AM est ne combinaison linéaire des vecters AB et AC. Il est évident qe si M π alors AM n est pas ne combinaison linéaire des vecters AB et AC! Ainsi : M π AM = α AB + β AC D ne manière générale w est ne combinaison linéaire de et v si et selement si α, β R w = α + β v. Ceci revient en fait à dire q il existe trois représentants de ces vecters qi sont coplanaires! Dex droites sécantes dont les vecters directers sont orthogonax sont appelées droites perpendiclaires, alors qe dex droites gaches dont les vecters directers sont orthogonax sont appelées droites orthogonales, mais dans les dex cas on note : d1 d2. - 17 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe 2) Repères de l espace Exemple : Soient O, I, J, K qatre sommets adjacents d n cbe, M n point qelconqe d l espace et M sa projection orthogonale sr le plan (OIJ). Alors il existe dex réels x pisqe et y tel qe OM ' = x OI + y OJ M ' OIJ et il existe n réel z tel qe M 'M = z OK pisqe M 'M et OK sont colinéaires : OM = OM ' + M 'M = x OI + y OJ + z OK Soient O, I, J, K qatre points non coplanaires de l espace (OIJK est n tétraèdre) et notons i = OI, j = OJ et k = OK O, i, j, k est n repère de. Alors le qadrplet l espace ce qi signifie qe por tot point M de l espace il existe n triplet niqe x; y;z de nombre réels appelés coordonnées de M tel qe : OM = x i + y j + z k On note M ( x; y; z ), x est l abscisse de M, y l ordonnée de M et z la cote de M. La droite OI est appelée axe des abscisses, la droite OJ axe des ordonnées et la droite OK axe des cotes. Si les trois vecters d repère ont por norme 1 et sont dex à dex orthogonax, on dit qe le repère est orthonormé (R.O.N.). Par exemple O( 0,0,0 ), I( 1,0,0 ), J ( 0,1,0 ), K ( 0,0,1 ). - 18 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Por tot vecter de l espace il existe n point niqe M tel qe = OM. Comme comme dans le plan on prend alors les coordonnées de M dans ( O, i, j, k) coordonnées de : si M a, b,c dans ( O, i, j, k) et 3) Calcl vectoriel dans n repère de l espace = OM alors a b. c Soient x y, z repère ( O, i, j, k) x v v y, v z v x w w y w z w, A ( x A, y A, z A ), ( B B B ) B x, y, z et C x, y, z dans n C C C et α R, de même qe dans le plan on a alors les formles sivantes : a) Formles valables dans tot repère α x α α y α z x + x v + v y y + v z + z v x AB y z B B B x y z A A A on appelle déterminant des vecters, v et w le déterminant : x x x det, v, w = y y y v w v w z z z v w det, v, w = 0 w est ne combinaison linéaire de et v ssi A, B, C, D coplanaires ssi AD est ne combinaison linéaire de AB et AC donc det AB, AC, AD = 0. ssi et v sont colinéaires x = k x v k = k v k y = k yv si et selement si z = k zv - 19 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe b) Formles valables niqement dans n R.O.N. = x + y + z 2 2 2 2 2 2 AB = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) B A B A B A on appelle prodit scalaire de par v le nombre réel défini par : v = x x + y y + z z v v v v v = 0 4) Eqations d n plan a) Déterminer n plan Il y a dex façons por déterminer n plan π dans l espace : 1 er cas On donne n point A π et dex vecters directers non colinéaires et v de π (o trois points non alignés A,B,C π ce qi revient a même pisq alors AB et AC sont bien dex vecters directers non colinéaires de π ). 2 e cas M M π AM est ne combinaison linéaire de et de v On donne n point A π et n vecter normal n a plan c est-à-dire n vecter n vecter non nl qi est orthogonal à tot vecter directer de π. M M π AM n - 20 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe b) Système d éqations paramétriqes d n plan Soit π n plan donné par n point A ( x A, y A, z A ) et dex vecters directers non x x v colinéaires y et v y v et M(x, y,z) n point qelconqe, alors : z z v M x, y, z π α, β R AM = α + β v D où : x x A x x v α, β R y y = α y + β y A v z z A z z v x x A α x + β x v α, β R y y = α y + β y A v z z A z z α + β v x = x A + α x + β x v M ( x, y, z ) π α, β R y = ya + α y + β yv z = za + α z + β zv Ce système de paramètres Exemples α et β est appelé système d éqations paramétriqes de π. A ( 7; 3; 2) π de vecters directers 4 9 11 et 0 v 5 1 alors x = 5 + 3α 6β z = 23 α + 7 β x = 7 + 4α π y = 3 9α + 5 β α, β z = 2 + 11 α β ( R ) si π y = 1+ 8 α ( α, β R ) alors π est le plan passant par A ( 5; 1; 0) 3 de vecters directers 8 et 23 Atres points de π : 1, 3 6 v 0. 7 et α = β = : B( 5 3 18; 1 8; 23 21) B( 10; 7; 2) α = 2, β = 0 : C( 5 6; 1 16; 46) = C( 1; 17; 46), etc. + + + =, - 21 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe c) Eqation cartésienne d n plan 1 er cas : π est défini par n point A et dex vecters directers et v M ( x, y, z) π AM est ne combinaison linéaire de et v det AM,, v = 0 x x x x A v y y y y = 0 A v z z z z A v En calclant ce déterminant on obtient ne éqation de la forme : appelée éqation cartésienne de π. Exemple 2 π défini par : A ( 3, 5,1), 7 et 9 M x, y,z π det AM,, v = 0 ax + by + cz + d = 0 avec ( a, b, c) ( 0, 0, 0) x 3 2 5 y + 5 7 1 = 0 z 1 9 4 5 v 1 4 28 x 3 2 z 1 + 45 y + 5 35 z 1 8 y + 5 9 x 3 = 0 37x + 37y 37z + 333 = 0 x + y z + 9 = 0 π 2 e cas : π est défini par n point A et n vecter normal n dans n R.O.N. M x, y,z π AM n et en posant a x x A x n AM y ya n yn = 0 z z A z n x x x + y y y + z z z = 0 n A n A n A = xn, b yn éqation de la forme : =, c = zn et d = xaxn yayn zazn on obtient encore ne a ax by cz d 0 avec n b + + + = 0 c - 22 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Exemple π défini par : A ( 2,15, 0) et 8 n 21 3 x + 2 8 M ( x, y, z) π AM y 15 n 21 = 0 z 3 8 x + 2 21 y 15 3z = 0 8x 21y 3z + 331 = 0 π π + = et comme A ( 2,15, 0) atre méthode : 8x 21y 3z d 0 π : 8 ( 2) 21 15 3 0+ d= 0 d = 331 d où π 8x 21y 3z + 331 = 0 Exercices 5-15 5) Systèmes d éqations d ne droite Il y a dex façons de déterminer ne droite d dans l espace : d est donnée par n point A ( x A, y A, z A ) et n vecter directer M ( x, y, z) d AM et sont colinéaires k R AM = k x x A x k R y y = k y A z z A z x y. z et on obtient n système d éqations paramétriqes de paramètre k de d : Exemple x = x A + k x M ( x, y, z) d k R y = ya + k y z = za + k z x = 17 6k d y = 37k k z = 5 + 19k ( R ) est la droite passant par A ( 17,0, 5) de v.d. 6 37. 19-23 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe d est donnée comme intersection de dex plans π1 et π 2, chaqe plan étant défini par ne éqation cartésienne. La droite d est alors déterminée par n système linéaire de dex éqations à trois inconnes appelé système d éqations cartésiennes : Exemple x y + 3z = 2 1 d 2x + 4y z = 1 2 ax + by + cz + d = 0 d a 'x + b ' y + c'z + d ' = 0 Por chercher des points de d il fat résodre ce système : ( 1) x = 2 + y 3z 7 1 dans ( 2 ) : 4 + 2y 6z + 4y z = 1 6y 7z = 3 y = z 6 2 7 1 11 3 dans ( 1 ) : x = 2 + z 3z x = z + 6 2 6 2 Ainsi 11 3 7 1 z R M z + ; z ;z d, par exemple por z = 0 on obtient 6 2 6 2 3 1 A ; ;0 d, por z 3 2 2 Exercices 16-30 = on obtient B( 7; 4; 3) d, etc. - 24 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe EXERCICES Exercice 1 Résolvez les systèmes linéaires sivants (méthode a choix) : 1) 2x 3y + z = 1 x y + 2z = 3 3x 2z = 5 2) x y + z = 1 3x + 3y = 4 2x + 4y z = 3 3) x y z = 2 3x 6y + 2z = 4 2x 5y + 3z = 3 4) 2x 4y 2z = 4 x 2y z = 2 3x + 6y + 3z = 6 5) x 2y = 3 2x + y = 1 3x y = 4 6) 3x 2y = 5 2x + y = 1 4x + 3y = 5 7) 3x 2y + z = 7 2x + 2y z + 2 = 0 4x y + 2z = 9 8) y 3z + 5 = 0 2x + y 2z + 9 = 0 3x y + 5z + 20 = 0 9) x1 4x2 x3 = 1 2x1 5x2 + 2x3 = 2 6x1 18x2 + 2x3 = 6 10) x1 + 2x 2 5x3 8 = 0 4x1 + 6x 2 2x3 = 5 x1 + x 2 + 4x3 2 = 0 11) 12x1 + 9x2 18x3 = 3 8x1 + 6x2 12x3 = 2 20x1 15x 2 + 30x3 + 5 = 0 12) 2x + y 3z = 1+ 3x x 3y + z = 2 z 13) 2x + y 3z = 4 4x 2y + 6z = 2 14) 2x = y + 4 4x + y + 1 = 0 2x + y = 0 15) x 3 y + 5 = 2 2 4 2x 5 y 2 1 = 3 2 2 16) x 2y = 3 3y z + 5 = 0 2x + 3z = 4 17) x 2y + z = 1 3x + y 2z = 2 4x y z = 3 x 2y + z = 1 18) 3x 6y + 3z = 3 x z 1 y + = 2 2 2-25 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe x 2y = 1 19) 3x + 5y = 14 x y 2 = 0 2x + y 3z = 1 21) x 2y + z = 2 Exercice 2 x + 2y = 5 20) 3x y = 4 2x 3y = 2 x 5y = 4 + z 3 3z 5x x 2y 22) = z + 5 3 x + y z 1 = 3 2 Déterminez les valers d paramètre m por qe les systèmes sivants aient : a) ne sele soltion b) acne soltion c) ne infinité de soltions : x + y z = 1 mx + y z = 1 1) 2x + 3y + mz = 3 2) x + my z = 1 x + my + 3z = 2 x + y + mz = 1 Exercice 3 4x my = 3 3) 2x + y = 2 x + y = 5 Résolvez les systèmes linéaires sivants en disctant sivant les valers d paramètre m : m + 1 x 2y = 4 1) m 1 x 3y = 5 2x + m 2 y m = 0 3) 4x + my 10 = 0 x + y + z = 1 5) x + y + mz = 2 2 3 mx + m y + m z = m mx + y = 2 7) x + 2y = m 2x + my = 1 Exercice 4 x + my + z = 2m 2) mx + y + z = 0 x + my + ( m + 1) z = m mx + y + z = 1 4) x + my + z = 1 x + y + mz = m x + y + z = 0 6) 2x + 2my + mz = 0 3x + ( m + 2) y + ( m + 1) z = 0 mx + 3y mz = 1 8) 2x + my z = m Reprenez tos les systèmes linéaires à dex inconnes des exercices précédents (1 à 3) et donnez-en ne interprétation géométriqe. Dans les exercices qi sivent où il sera qestion d orthogonalité (càd de vecters normax) on spposera tojors qe le repère est n R.O.N. - 26 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Exercice 5 Déterminez ne éqation cartésienne d plan passant par le point A( 2;3;1) et de vecter 1 normal n 2. 2 Exercice 6 Déterminez ne éqation cartésienne et n système d éqations paramétriqes d plan passant par le point A( 3;1;2) et de vecters directers Exercice 7 1 2 3 et 1 v 2. 3 Déterminez ne éqation cartésienne et n système d éqations paramétriqes d plan passant par les points P ( 5; 3; 7), Q( 0; 2; 9) et R ( 5;0;0) ) Exercice 8 Soient Ox, Oy et Oz les trois axes d n R.O.N. d origine O, a, b et c les bissectrices des angles yoz, xoz et xoy respectivement. Déterminez les éqations cartésiennes : Exercice 9 1) des plans xoy, yoz et xoz. 2) d plan π 1 contenant a et Ox. 3) d plan π 2 contenant b et Oy 4) d plan π 3 contenant c et Oz Dans n repère de l espace on donne les points A ( 3; 1; 2), B( 1; 2; 3), C( 0; 3; 1) D( 7;10;13) et E ( 4; 5;1). 1) Vérifiez qe A, B et C ne sont pas alignés. 2) Les points D et E appartiennent-ils a plan ABC? Exercice 10 Les points K ( 2;1;0 ), L( 1; 2; 1), M ( 0;1; 2) et P ( 2; 5; 4) sont-ils coplanaires?, - 27 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Exercice 11 Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 3; 4;1) et parallèle a plan π donné par le système d éqations paramétriqes : Exercice 12 x = 1+ α β π y = α + β z = 2 + α 1) Trovez n système d éqations paramétriqes d plan d éqation cartésienne : π x 2y + z = 1 2) Trovez ne éqation cartésienne d plan donné par le système d éqations Exercice 13 x = 3 + 2α + β paramétriqes : π y = 1 α + 3β z = 5 3α Analysez si parmi les plans sivants donnés par lers éqations cartésiennes il y en a qi sont orthogonax : π1 2x 7y 2z + 1 = 0 π2 4x 2y + 11z 5 = 0 π3 x + 13y + 2z + 37 = 0 Exercice 14 Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 2; 5; 7) et parallèle a plan π 3x 5y + 7z 4 = 0 Exercice 15 Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 2; 5; 7) et parallèle a plan ABC avec A ( 2;1; 3), B( 1; 2; 4) et C( 1;0;1 ) Exercice 16 Déterminez n système d éqations paramétriqes et n système d éqations cartésiennes : 1) de la droite passant par A ( 5; 2; 3) et de vecter directer 2) de la droite passant par A ( 1; 4;3) et par B( 0;1; 2) 3) des axes de coordonnées Ox, Oy et Oz.. 3 1. 8-28 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Exercice 17 Analysez si les droites d et d sont parallèles avec : Exercice 18 x = 2k + 1 d y = k 1 z = 3k + 2 et 6 x = k 1 7 3 d ' y = k 7 9 z = k 8 7 Déterminez n système d éqations paramétriqes de la droite d orthogonale a plan π x 2y + z = 1 et passant par le point P ( 2;1; 1). Exercice 19 Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 1; 2;3) et contenant la x = 3+ k droite d y = 2 k. z = 1 + 2k Exercice 20 Déterminez n système d éqations cartésiennes de la droite d passant par le point P ( 3; 1; 4) x = α 1 et parallèle à la droite d ' y = 2α + 2. z = α + 3 Exercice 21 On donne les points A ( 3; 2; 1), B( 1; 2;1), C( 5; 6; 3) et 1) Les points C et D appartiennent-ils à la droite AB? D 6;8; 4. 2) Le point T appartient à la droite AB et son abscisse vat 4. Calclez ses atres Exercice 22 coordonnées. Reprenez tos les systèmes linéaires à trois inconnes des exercices précédents (1 à 3) et donnez ne interprétation géométriqe. Exercice 23 On donne la droite 2x 3y + 5z = 7 d x + 2y 7z = 0 plan π? Si oi en qel point? et le plan π x y + z = 5. La droite d perce-t-elle le - 29 -

1 re CD math I Géométrie analytiqe Exercice 24 Déterminez l intersection des droites Exercice 25 x + y z = 6 d 2x y + 6 = 0 et x = k 1 d ' y = 2k z = 2 x = k 1 x = 1+ α + β Déterminez l intersection de la droite d y = 3 + 2k et d plan π y = 2 + 3α z = k z = 3 α β Exercice 26 Disctez, en fonction d réel α, la position de la droite π 3x 2y + 5z = 1. Exercice 27 Déterminez l intersection des droites x = α + 1 d y = 2α 3 z = 3α et x = 3β 1 d ' y = β 4 z = β + 2 x = 3+ αk d y = 2 + 2k z = α k Exercice 28 x = α + β x + y = 5 Déterminez l intersection de la droite d et d plan π y = 2α β 1. y 3z = 1 z = α β 2 Exercice 29 et d plan Déterminez n système d éqations cartésiennes de la droite d passant par le point P ( 1;0; 1) x y + 3z = 2 et parallèle à la droite d '. 2x + y z = 4 Exercice 30 Déterminez ne éqation cartésienne d plan π passant par le point P ( 2; 11; 5) et orthogonal à la droite x = 2α 8 d y = 3α. z = 5 α 2-30 -

- 31-1 re CD math I Géométrie analytiqe