Une théorie de l intégration sur un segment Rédaction incomplète. Version beta

Plan Une théorie de l intégration sur un segment Rédaction incomplète. Version beta I. Cahier des charges.............................. 1 II. Intégration des onctions en escalier........................ 2 1. Subdivisions................................ 2 2. Fonctions en escalier............................. 2 3. Intégrale des onctions en escalier........................ 3 4. Validation du cahier des charges......................... 3 III. Intégrales inérieure et supérieure d une onction bornée................. 3 IV. Fonctions uniormément continues......................... 4 V. Intégration des onctions continues par morceaux................... 5 1. Fonctions continues par morceaux........................ 5 2. Approximations............................... 6 3. Déinition................................. 7 VI. Propriétés - Validation du cahier des charges..................... 7 1. Additivité - Relation de Chasles......................... 7 2. Linéarité................................. 8 3. Positivité et conséquences........................... 9 4. Sommes de Riemann............................. 11 5. Intégrale et aire............................... 11 VII.Extension aux onctions à valeurs complexes..................... 11 Index continuité uniorme, 4 onction continue par morceaux, 5 onction en escalier, 2 inégalité de Cauchy-Schwarz, 10 inégalité de la moyenne, 10 intégrale : additivité- relation de Chasles, 7 intégrale : linéarité, 7 intégrale : positivité, 9 intégrale des onctions continues par morceaux, 7 intégrale des onctions en escalier, 3 invariance par translation, 9 pas de la subdivision, 2 relation de Chasles, 8 sommes de Riemann, 11 subdivision, 2 subdivision adaptée, 2 subdivision régulière, 2 théorème d approximation des onctions continues par morceaux, 6 théorème de Bolzano Weirstrass, 4 théorème de Heine, 4 valeur moyenne d une onction, 10 I. Cahier des charges Une intégrale est un nombre associé à un objet géométrique (disons Ω) et un objet analytique (disons ). On note Ω Un intégrale n est ni une onction ni un objet géométrique du type aire. L image que l on doit avoir d une intégrale est plutôt celle de la masse d un objet pesant. On peut alors voir Ω comme l étendue dans l espace occupée par l objet matériel et comme la onction densité de masse. De nombreuses théories sont possibles dans des cadres divers. Les propriétés suivantes sont requises. Additivité par rapport aux objets géométriques. Relation de Chasles. La masse d une tige ormée à partir de deux tiges soudées est la somme des deux masses des tiges qui la constituent. Linéarité par rapport à l élément onctionnel. Positivité. Lorsque la densité est positive, la masse est positive. 1 Rémy Nicolai C2189

Comportement pour des onctions constantes. La masse d une tige homogène est le produit de la longueur par la densité (constante dans ce cas particulier). La théorie de l intégration au programme de la classe est construite pour les onctions continues par morceaux déinies sur un segment et à valeur réelle. Une brève généralisation aux onctions à valeurs complexes continues par morceaux est présentée. Les contraintes de comportement vis à vis des onctions constantes et d additivité conduisent à s intéresser d abord aux onctions dites en escalier II. Intégration des onctions en escalier 1. Subdivisions Déinition (Subdivision). Une subdivision d un segment [a, b] est une amille inie (x 0, x 1,, x n ) telle que a = x 0 < x 1 < < x n = b Remarque. Il aut bien aire la diérence entre une subdivision S = (x 0,, x n ) et l ensemble de ses valeurs {x 0,, x n }. Toute partie inie de [a, b] contenant a et b est l ensemble des valeurs d une unique subdivision obtenue en rangeant par ordre croissant les éléments. On appelle pas de la subdivision S = (x 0,, x n ) le nombre noté δ(s) égal à la plus grande distance entre deux points consécutis de la subdivision. δ(s) = max{x 1 x 0, x 2 x 1,, x n x } Déinition (Subdivision régulière). Une subdivision S = (x 0,, x n ) de [a, b] est régulière lorsque pour tout k entre 0 et n 1 : x k+1 x k = b a n Déinition. Soit S = (x 0,, x n ) et S = (x 0,, x n) deux subdivisions de [a, b]. On dira que S est plus ine que S lorsque {x 0,, x n } {x 0,, x n}. Proposition. Soit S = (x 0,, x n ) et S = (x 0,, x n) deux subdivisions de [a, b]. Il existe alors une subdivision S plus ine que S et que S. Preuve. Il suit de ormer la subdivision constituée à partir de l ensemble égal à l union des ensembles associés à S et S. 2. Fonctions en escalier y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 5 x 6 = b Fig. 1: Subdivisions adaptées Déinition (Fonction en escalier- Subdivision adaptée). Une onction ϕ déinie sur un segment [a, b] est dite en escalier lorsqu il existe une subdivision S = (x 0,, x n ) de [a, b] telle que : pour chaque entier i entre 0 et n 1, la restriction de ϕ à l intervalle ouvert ]x i, x i+1 [ est constante. Une telle subdivision est dite adaptée à ϕ. L ensemble des onctions en escalier sur [a, b] est noté E([a, b]). Exemples. Les onctions considérées sont déinies sur un intervalle [a, b]. Une onction nulle sau en un nombre ini de points est en escalier. La restriction de la onction caractéristique de Q n est pas en escalier. Remarque. Une onction en escalier admet plusieurs subdivisions adaptées. En particulier, si S est adaptée à une onction en escalier ϕ et si S est plus ine que S alors S est adaptée à ϕ. 2 Rémy Nicolai C2189

Proposition. Pour toutes onctions ϕ et ψ en escalier sur [a, b] et tout nombre réel λ : sont en escalier sur [a, b]. ϕ + ψ, λϕ, ϕψ, sup(ϕ, ψ), in(ϕ, ψ) Preuve. Notons S ϕ une subdivision adaptée à ϕ et S ψ une subdivision adaptée à ψ. Considérons alors une subdivision S plus ine que S ϕ et S ψ. Sur un intervalle ouvert constitué par deux points consécutis de S, les restrictions des deux onctions sont constantes ; il en est donc de même pour les restrictions des onctions proposées par la proposition (opérations onctionnelles). Remarque. La proposition précédente peut se reormuler de la manière suivante. L ensemble E([a, b]) des onctions en escalier sur [a, b] est une sous-algèbre stable pour les opérations sup et in de l algèbre F([a, b]) de toutes les onctions déinies dans [a, b] (à valeurs réelles). Proposition. Une onction en escalier sur [a, b] prend un nombre ini de valeurs, elle est donc bornée. admet en chaque point des limites à gauche et à droite (strictement) admet un ensemble ini de points de discontinuités. 3. Intégrale des onctions en escalier Déinition. Soit ϕ une onction en escalier et S = (x 0,, x n ) une subdivision adaptée à ϕ telle que v i soit la valeur de ϕ sur ]x i, x i+1 [. On note I S (ϕ) = (x i+1 x i )v i Proposition. Soit ϕ une onction en escalier et S, S deux subdivisions adaptées. Alors i=0 I S (ϕ) = I S (ϕ) Déinition. L intégrale d une onction en escalier ϕ déinie sur un segment [a, b] est la valeur commune de toutes les sommes I S pour toutes les subdivisions adaptées S. Elle est notée ϕ Il est à noter que la déinition de l intégrale des onctions en escalier traduit exactement la dernière des propriétés requises au début. Les autres (additivité-relation de Chasles, linéarité, positivité) se vériient immédiatement en utilisant des subdivisions bien adaptées. 4. Validation du cahier des charges additivité, linéarité, positivité III. Intégrales inérieure et supérieure d une onction bornée Considérons une onction déinie sur un segment [a, b] et bornée. Par exemple, il existe M > 0 tel que : x [a, b] : M (x) M On déinit alors deux ensembles notés E () et E + () ormés respectivement par les onctions en escalier qui minorent et qui majorent. Si ϕ est une onction en escalier : ϕ E () x [a, b] : ϕ(x) (x) ϕ E + () x [a, b] : (x) ϕ(x) Ces ensembles sont non vides car la onction constante égale à M est dans E () et la onction constante égale à M est dans E + (). Il est à noter que ϕ E, ψ E +, x [a, b] : ϕ(x) (x) ψ(x) 3 Rémy Nicolai C2189

Introduisons maintenant les parties I () et I + () de R déinies par : { } { } I () = ϕ, ϕ E () I + () = ϕ, ϕ E + () Ces parties se majorent et minorent mutuellement : Proposition. I I (), J I + () : I J Preuve. En eet, il existe des onctions en escalier ϕ E () et psi E () telles que I = ϕ J = ψ De plus x [a, b] : ϕ(x) (x) ψ(x) x [a, b] : ψ(x) ϕ(x) 0 J I = par linéarité et positivité. On peut donc déinir les intégrales inérieure et supérieure notées I () et I + () par : I () = sup(i ()) I + () = in(i + ()) (ψ ϕ) 0 On peut décréter d appeler intégrables les onctions bornées pour lequelles les intégrales inérieures et supérieures sont égales. Cela conduit à une théorie de l intégration (parmi bien d autres) qui n est pas celle au programme de la classe. En MPSI, on convient de n appeler «intégrables»que les onctions continues par morceaux. L objet des prochaines sections est de montrer que pour une onction continue par morceaux les intégrales supérieures et inérieures sont égales. IV. Fonctions uniormément continues Déinition. Une onction déinie sur un intervalle I est dite uniormément continue si et seulement si : ε > 0, α ε tel que : (x, y) I 2, x y < α (x) (y) < ε Remarque. Toute onction k-lipschitzienne est uniormément continue. Théorème (Théorème de Heine). Toute onction continue sur un segment est uniormément continue. Preuve. On raisonne par l absurde. Soit continue sur un segment I = [a, b]. On suppose qu elle n est pas uniormément continue. Il existe alors un ε > 0 tel que, pour tout α > 0, il existe x et y dans I tels que x y α et (x) (y) ε. À cause du α, on peut considérer des α de la orme 1 n pour n N. Marquons bien la dépendance des x et y vis à vis de ce α = 1 n. Il existe donc deux suites (x n) n N et (x n ) n N telles que : n N : x n y n 1 n et (x n) (y n ) ε Comme I est un segment, la suite (x n ) n N est bornée. D après le théorème de Bolzano-Weirstrass, on peut extraire une suite convergente, c est à dire qu il existe une partie ininie I de N telle que (x n ) n I converge. On note x sa limite. Le théorème d encadrement et la relation x n y n 1 n montre que la suite (y n) n I converge aussi vers x. On peut alors utiliser la continuité de en x pour ormer une contradiction par passage à la limite à partir de n J : (x n ) (y n ) ε Car les deux suites ((x n )) n J et ((y n )) n J convergent vers (x). Remarque. Exemple de onction continue mais non uniormément sur un intervalle. Soit une onction uniormément continue sur un intervalle I. On peut montrer en exercice qu il existe des réels a et b tels que (x) a + b x pour tous les x I. On en déduit qu une onction uniormément continue sur un intervalle borné est bornée. Une onction continue mais non bornée sur un intervalle borné n est donc pas uniormément continue. 4 Rémy Nicolai C2189

V. Intégration des onctions continues par morceaux a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = b Fig. 2: Fonction continue par morceaux 1. Fonctions continues par morceaux Déinition. Une onction déinie sur un segment [a, b] est dite en continue par morceaux lorsqu il existe une subdivision S = (x 0,, x n ) de [a, b] telle que : pour chaque entier i entre 0 et, la restriction de à l intervalle ouvert ]x i, x i+1 [ est continue et prolongeable par continuité au segment [x i, x i+1 ]. Une telle subdivision est dite adaptée à. L ensemble des onctions en escalier sur [a, b] est noté C pm ([a, b]). Remarques. La condition de prolongeabilité par continuité signiie que la onction admet une limite inie strictement à droite de x 0, x 1,, x et une limite inie strictement à gauche de x 1, x 2, x n. On peut montrer que toute onction continue par morceaux est la somme d une onction continue et d une onction en escalier. Notation. Dans les conditions de la déinition, on convient de noter i le prolongement continu à [x i, x i+1 ] de la restriction de. Comme i est une onction continue sur un segment, elle est bornée et atteint ses bornes. On note donc M i = max i, m i = min i [x i,x i+1] [x i,x i+1] Proposition. Une onction continue par morceaux est bornée. Une onction continue par morceaux est continue en chaque point du segment sau peut-être aux points de la subvision. Aux points de la subdivision elle admet des limites inies à gauche (sau en a) et à droite (sau en b) strictement. Pour toutes onctions et g continues par morceaux sur [a, b] et tout nombre réel λ : + g, λ, g, sup(, g), in(, g) sont continues par morceaux sur [a, b]. Preuve. Avec les notations précisées plus haut : x [a, b] : (x) min{m 0, m 1,, m, (x 0 ), (x 1 ),, (x n )} x [a, b] : (x) max{m 0, M 1,, M, (x 0 ), (x 1 ),, (x n )} 5 Rémy Nicolai C2189

Si u n est pas un point de la subdivision, il est dans un intervalle ouvert sur lequel la restriction de est continue. La onction est donc continue en u. La onction admet des limites inies strictement de chaque côté d un point de la subdivision à cause de la condition de prolongement. Les stabilités pour les opérations se vériient comme pour les onctions en escalier en considérant une subdivision assez ine pour être adaptée à toutes les onctions. En se plaçant dans un intervalle ouvert déini par des points consécutis de cette subdivision, on peut utliser les résultats relatis aux opérations sur les onctions convergentes. a = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = b Fig. 3: Une onction qui n est pas continue par morceaux 2. Approximations Théorème (Approximation des onctions continues par morceaux). Soit une onction continue par morceaux sur [a, b]. Pour tout ε > 0, il existe des onctions en escalier ϕ et ψ telles que pour tout x [a, b] : ϕ(x) (x) ψ(x), ψ(x) ϕ(x) ε Preuve. Ce théorème est admis. Sa démonstration repose sur l utilisation du théorème de Heine appliqué aux onctions i. Exemple. Les onctions (dites de Darboux) sont des onctions en escalier qui encadrent une onction continue. par morceaux Elles sont déinies de la manière suivante. Soit S = (x 0, x 1, x n ) une subdivision adaptée à. Pour i entre 0 et n 1, on note i le prolongement continu à [x i, x i+1 ] de la restriction de à ]x i, x i+1 [. Chaque onction i est continue sur son segment de déinition, elle est donc bornée et atteint ses bornes notées m i et M i. On déinit x [a, b] les onctions de Darboux inérieure (ϕ ) et supérieure (ϕ + ) par : { (x i ) si i tel que x = x i ϕ (x) = m i si i tel que x ]x i, x i+1 [ { (x i ) si i tel que x = x i ϕ + (x) = M i si i tel que x ]x i, x i+1 [ On a alors ϕ (x) (x) ϕ + (x) pour tous les x de [a, b]. Ces onctions peuvent être utilisées pour démontrer le théorème d approximation en considérant des subdivisions assez ines dont le pas est donné par le théorème de Heine. 6 Rémy Nicolai C2189

3. Déinition Proposition. Pour une onction continue par morceaux, l intégrale inérieure est égale à l intégrale supérieure. Preuve. Soit une onction continue par morceaux sur [a, b]. D après le théorème d approximation, pour tout ε > 0, il existe deux onctions en escalier ϕ E () et ψ E + () telles que Par linéarité et positivité, x [a, b] : 0 ψ(x) ϕ(x) ε ψ ϕ = (ψ ϕ) ε = (b a)ε Par déinition des intégrales inérieure et supérieure et d après l encadrement précédent, ϕ I () I + () ψ 0 I + () I () ψ ϕ (b a)ε Mais comme b a et ixé et ε arbitraire, I + () I () I + () = I () Déinition. Pour une onction continue par morceaux sur un segment [a, b], la valeur commune des intégrales inérieures et supérieure est appelée l intégrale de et notée VI. Propriétés - Validation du cahier des charges Les démonstrations proposées sont toutes du même type. Elle comprennent des majorations et se terminent par un raisonnement à la Cauchy. 1. Additivité - Relation de Chasles Proposition. Soit a, b, c trois réels tels que a < b < c et une onction quelconque déinie dans [a, c]. Dans ce cas on a C pm ([a, c]) C pm ([a, b]) et [b,c] C pm ([b, c]) = + [b,c] Preuve. La première équivalence se démontre acilement en introduisant le point b dans les subdivisions de [a, c]. Pour l égalité des intégrales, considérons un ε > 0 quelconque. D après le théorème d approximation, il existe des onctions en escalier ϕ ε et ψ ε qui encadrent et telles que ψ ε ϕ ε ε sur [a, c] donc aussi sur [a, b] et [b, c]. On peut donc écrire ϕ ε [b,c] ϕ ε ϕ ε [b,c] ψ ε ψ ε ψ ε [b,c] En soustrayant les deux dernières à la première, on obtient ϕ ε ψ ε ψ ε [b,c] [b,c] ψ ε ϕ ε ϕ ε [b,c] 7 Rémy Nicolai C2189

En utilisant les propriétés de l intégrale des onctions en escalier (additivité, linéarité), on obtient [b,c] (ψ ε ϕ ε ) (b a)ε Comme ε est un réel strictement positi quelconque, cela entraine l égalité. Notation. Soit une onction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] avec a < b. On introduit une nouvelle notation pour l intégrale : b = On introduit aussi une notation avec les bornes dans le mauvais sens. a b = = On convient que a a = 0. b a Avec ces notations, on peut reormuler la proposition précedente sous la orme d une relation de Chasles Proposition. Soit une onction continue par morceaux dans [a, b] et soit c [a, b]. Soit u, v, w trois réels deux à deux distincts parmi a, b, c. Alors : v u + w v Preuve. Il aut considérer toutes les conigurations possibles des lettres. On se ramène dans chaque cas à la proposition ormulée avec des intégrales sur des segments. 2. Linéarité Proposition. Soient et g deux onctions continues par morceaux sur un segment [a, b], soit λ un nombre réel, alors : ( + g) = + g λ = λ Preuve. Soit ϕ 1 quelconque dans E () et ϕ 2 quelconque dans E (g) alors ϕ 1 + ϕ 2 E ( + g). On en déduit, par linéarité de l intégration des onctions en escalier et déinition de l intégrale d une onction continue par morceaux, ϕ 1 E (), ϕ 2 E (g) : ϕ 1 + ϕ 2 ( + g) On joue ensuite avec les quantiicateurs et les inégalités pour exploiter le ait que les intégrales de et de g sont déinies comme des bornes supérieures. ( ϕ 1 E (), ϕ 2 E (g), ϕ 2 ϕ 1 E (), ϕ 1 E (), ( + g) = g ϕ 1 w u ϕ 1 ) a ( + g) ( + g) ϕ 1 g ( + g) g On obtient inalement + g ( + g) 8 Rémy Nicolai C2189

On procède de manière analogue avec des onctions en escalier ψ 1 et ψ 2 au dessus de et g. La somme ψ 1 + ψ 2 est dans E + ( + g), les intégrales de et g sont déinies comme des bornes supérieures. ψ 1 E + (), ψ 2 E + (g), ( + g) ( ψ 1 E (), ψ 2 E + (g), ψ 1 E (), ψ 1 E (), ψ 1 + ψ 2 ( + g) ( + g) ( + g) ψ 1 g ψ 1 g ψ 1 ψ 2 ) ( + g) g On obtient donc l autre inégalité ( + g) + g Remarque. La propriété d approximation des onctions continues par des onctions en escalier n a pas été utilisée. Cela signiie que cette démonstration est valable dans le cadre de l intégration plus générale introduite au chapitre III. Il aut placer cette démonstration dans ce chapitre et signaler qu elle est acultative et ormer une nouvelle démonstration analogue à celle pour l additivité utilisant l approximation par des onctions en escalier. Proposition (Invariance par translation). Soit continue par morceaux sur un segment [a, b], soit T R. On déinit la onction T dans [a T, b T ] par : T (x) = (T + x). Elle est continue par morceaux dans [a T, b T ] et vériie Preuve. Tout se translate... à rédiger b T a T T = b a 3. Positivité et conséquences Proposition (positivité de l intégrale). Si est une onction continues par morceaux sur [a, b] et à valeurs positives ou nulles, alors son intégrale sur [a, b] est positive ou nulle. Preuve. Comme est à valeurs positives ou nulles, la onction ϕ 0 constante nulle est en escalier et dans E (). Son intégrale est nulle. On a alors par déinition de l intégrale d une onction en escalier : 0 I ( ) =. Remarque. Si on utilise la notation intégrale avec des bornes a en bas et b en haut, pour utiliser la positivité, il aut aire attention à ce que les bornes soient dans le bon sens (a b). On en déduit par linéarité les propriétés suivantes. Proposition. Soit et g continues par morceaux sur [a, b] : g g et Preuve. Linéarité et positivité comme pour l intégrale des onctions en escalier. Proposition. Soit une onction continue sur [a, b] et à valeurs positives alors la nullité de l intégrale de sur [a, b] entraine que la onction est constante de valeur 0. 9 Rémy Nicolai C2189

(x) λ a u x v b Fig. 4: Intégrale d une onction continue à valeurs positives Preuve. Supposons continue, positive et non identiquement nulle et montrons que son intégrale est strictement positive. En eet, il existe un x tel que (x) > 0. Soit λ un réel tel que 0 < λ < (x). Comme est continue en x, il existe des réels u et v tel que [u, v] [a, b] et que (t) λ pour t [u, v] (igure 4). On peut alors minorer par additivité et positivité b a v u v u λ = (v u)λ > 0 Remarque. On déduit de la proposition précédente que si est une onction continue non nulle sur [a, b] dont l intégrale est nulle, il existe un c tel que a < c < b et que s anulle en c en changeant de signe. Proposition (inégalité de la moyenne). Soient et g deux onctions continues par morceaux sur [a, b] et m, M deux nombres réels. On suppose de plus que g est à valeurs positives ou nulles et que m (x) M pour tous les x de [a, b]. Alors : m g g M g Preuve. Cela résulte de la propriété de positivité appliquée à mg(x) (x)g(x) Mg(x). Cet encadrement est valable car g est à valeurs positives. Remarque. Ce résultat est souvent utilisé simplement avec g constante de valeur 1. Il est à rapprocher du plus simple des encadrements vu en début d année. Déinition (valeur moyenne d une onction). La valeur moyenne d une onction continue par morceaux sur [a, b] est 1 (b a) [a,b,). Remarque. D après l inégalité de la moyenne, la valeur moyenne de est comprise entre in et sup. Si de plus est continue, d après le théorème de la valeur intermédaire, il existe un c [a, b] tel que 1 (b a) Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz). Soit et g continues par morceaux sur [a, b], alors g 2 g 2 De plus si et g sont des onctions continues qui vériient l égalité alors il existe un réel λ tel que g = λ. [a,b,) 10 Rémy Nicolai C2189

Preuve. Comme pour toutes les ormules de ce type, la démonstration repose sur le ait que λ ( + λg) 2 est un polynomiale du second degré et à valeurs toujours positives ou nulles. L inégalité est équivalente à la négativité du discriminant. Lorsque le discriminant est nul, il existe un λ annulant l expression ce qui n est possible que si + λg est identiquement nulle lorsque les deux onctions sont continues. 4. Sommes de Riemann Déinition. Soit C pm ([a, b]) et S = (x 0, x 1,, x n ) une subdivision adaptée de [a, b]. Une somme de Riemann attachée à et S est une expression de la orme (x k+1 x k )V k avec V k ([x k, x k+1 ]) Exemples. Les expressions suivantes sont des sommes de Riemann (x k+1 x k )(x k ) (x k+1 x k ) (x k) + (x k+1 ) 2 (x k+1 x k )(x k+1 ) (x k+1 x k ) max [x k,x k+1 ] (x k+1 x k )( x k + x k+1 ) 2 (x k+1 x k ) min [x k,x k+1 ] Lorsque la subdivision est régulière, x k = a + k b a n, le pas est constant et se met en acteur. Les sommes de Riemann prennent la orme b a V k n En général, V k = (x k ). Proposition. Soit C pm ([a, b]) et (R n ) n N une suite telle que chaque R n soit une somme de Riemann attachée à et à la subdivision régulière à n + 1 points de [a, b]. Alors (R n ) n N Preuve. Cette propriété est admise dans le cas continue par morceaux, une démonstration est donnée dans le cas des onctions C 1. 5. Intégrale et aire Introduction axiomatique à la notion d aire. On peut interpréter l intégrale d une onction en escalier à valeur positives comme l aire de la portion de plan comprise entre le graphe et l axe des x. Cas d une onction positive et continue par morceaux. VII. Extension aux onctions à valeurs complexes Déinition. Une onction à valeurs complexes déinie sur un segment [a, b] est dite en escalier si et seulement si il existe une subdivision (dite adaptée) S = (x 0,, c n ) telle que i {0, n 1} : ]ai,a i+1[ est constante On note E([a, b], C) l ensemble des onctions en escalier à valeurs complexes déinies sur [a, b]. Proposition. Une onction à valeurs complexes est en escalier si et seulement si les onctions partie réelle et partie imaginaire sont en escalier. Proposition. E([a, b], C) est une C-algèbre. 11 Rémy Nicolai C2189

Déinition. Une onction à valeurs complexes déinie sur un segment [a, b] est dite continue par morceaux si et seulement si les onctions partie réelle Re et partie imaginaire Im sont continues par morceaux. On note C pm ([a, b], C) l ensemble des onctions continues par morceaux. On dit alors qu une onction onction est intégrable et on note = Re + i Im On vériie sans diiculté que cette intégrale est additive par rapport à l intervalle et C-linéaire. La question de la positivité mérite plus de détail car il n y a pas de relation d ordre compatible avec les opérations dans C. ce qui remplace la positivité est la proposition suivante Proposition. Si C pm ([a, b], C) alors C pm ([a, b], C) et Preuve. Attention, cette proposition ne se démontre pas par linéarité à partir de la déinition. Il est indispensable de revenir aux onctions en escalier. Remarquons d abord que l inégalité est vraie si est en escalier. Il existe une subdivision telle que = (x k+1 x k )v k x k+1 x k v k = Dans le cas où est continue par morceaux, notons a et b les onctions parties réelle et imaginaire de. Pour tout ε > 0, d après le théorème d approximation, il existe des onctions en escalier ϕ ɛ et ψ ɛ telles que a ϕ ɛ ε et b ψ ɛ ε. Ce qui entraine a ϕ ɛ ε et b ψ ɛ ε. On en déduit a ϕ ɛ (b a)ε, b φ ɛ (b a)ε, Si on note Φ ε = ϕ ɛ + iφ ɛ (onction en escalier à valeurs complexes) a ϕ ɛ (b a)ε b φ ɛ (b a)ε 12 Rémy Nicolai C2189