Triangles Table des matières 1Quelques rappels sur les triangles...2 1Médiatrices...2 2Bissectrices...2 3Nature d'un Triangle...2 Triangle isocèle...2 Triangle équilatéral...2 Triangle rectangle...2 2Construction de triangles...3 1On connaît la longueur des trois côtés du triangle...3 2On connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l angle compris entre ces côtés....4 3On connaît la longueur d un côté et la mesure des deux angles qui lui sont adjacents...5 4Je reproduis un triangle, un angle...6 5inégalité triangulaire...7 3Cercle circonscrit à un triangle...8 1Médiatrices...8 2Définition Cercle circonscrit...8 3Méthode : Tracer un cercle circonscrit...8 4Hauteurs d'un triangle...9 1Vocabulaire...9 2Définition...9 Remarque :...9 3Méthode : Tracer la hauteur issue de A d un triangle ABC...9 5Médiane d'un triangle...10 1Définition...10 Remarque :...10 6Cas particuliers...10 Propriété :...10 Remarque :...10 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 1/10
1 Quelques rappels sur les triangles 1 Médiatrices La médiatrice (d) du côté [AB] est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. 2 Bissectrices La bissectrice (g) de l'angle ÂBC est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. 3 Nature d'un Triangle Un triangle est un polygone qui a trois côtés. Triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. (vient du grec, iso : égal et skelos : jambes) Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur. (vient du latin, equi : égal et later : côté) Triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 2/10
2 Construction de triangles 1 On connaît la longueur des trois côtés du triangle. Tracer un triangle ABC tel que AB= 1,9cm ; AC=3,5cm et BC=2,8cm Méthode : tracer le segment [AC] tracer un arc de cercle de centre A et de rayon AB tracer un arc de cercle de centre C et de rayon BC le point B se situe à l'intersection des arcs de cercle 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 3/10
2 On connaît la longueur de deux côtés et la mesure de l angle compris entre ces côtés. Tracer un triangle DEF tel que DE= 1,8 cm ; DF=3,5 cm et ÊDF=28 Méthode : tracer le segment [DF] tracer l'angle ÊDF tracer un arc de cercle de centre D et de rayon DE Placer le point E à l'intersection de l'arc de cercle et du côté de l'angle 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 4/10
3 On connaît la longueur d un côté et la mesure des deux angles qui lui sont adjacents Tracer un triangle GHI tel que GH= 4,2 cm ; ÎGH=38 et ĜHI=43 Méthode : tracer le segment [DF] tracer les angles ÎGH=38 et ĜHI=43 Placer le point I à l'intersection des deux côtés d'angles 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 5/10
4 Je reproduis un triangle, un angle Reproduire l angle ci-contre à l aide d un compas et d une règle non graduée Méthode : 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 6/10
5 inégalité triangulaire On admet les propriétés suivantes : Propriétés : On peut construire un triangle dont les côtés ont pour longueurs trois nombres donnés si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres. AB < AM + MB Si la plus grande longueur est égale à la somme des deux autres,on obtient trois points alignés. On dit dans ce cas que l on obtient un triangle aplati. Si : AM + MB = AB alors M [AB] Si la plus grande longueur est supérieure à la somme des deux autres alors on ne peut pas construire de triangle. Si AB > AM + NB alors pas de triangle possible Remarque : Le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Propriétés : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. Si M [AB] alors AB = AM + MB Si M [AB] alors AB < AM + MB Quelle que soit la position du point M, on a toujours : AB AM + MB 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 7/10
3 Cercle circonscrit à un triangle 1 Médiatrices Propriété : Tous les points situés sur la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B. On dit qu ils sont EQUIDISTANTS de A et de B. A M B 2 Définition Cercle circonscrit Les médiatrices des trois côtés d un triangle se coupent en un même point : on dit qu elles sont concourantes. Ce point commun est le centre d un cercle passant par les trois sommets du triangle. On dit que ce cercle est le cercle circonscrit au triangle. N Remarque : On admettra que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le seul point équidistant des trois sommets du triangle. 3 Méthode : Tracer un cercle circonscrit 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 8/10
4 Hauteurs d'un triangle 1 Vocabulaire [CB] est le côté opposé au sommet A [BA] est le côté opposé au sommet C [AC] est le côté opposé au sommet B 2 Définition Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. Remarque : L expression «hauteur d un triangle» a plusieurs sens. La hauteur issue de C est : la droite (DC), ou le segment [DC], ou la longueur du segment [DC]. 3 Méthode : Tracer la hauteur issue de A d un triangle ABC 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 9/10
5 Médiane d'un triangle 1 Définition Dans un triangle, on appelle médiane toute droite qui passe : par un sommet par le milieu du côté opposé à ce sommet. Remarque : Selon le contexte, une médiane est une droite, un segment, ou une longueur. La médiane issue de A est : la droite (BD) le segment [BD] la longueur BD. 6 Cas particuliers Propriété : Dans un triangle ABC isocèle en A, la médiatrice de [BC], la bissectrice de BAC, la médiane issue de A et la hauteur issue de A sont confondues. Remarque : Un triangle équilatéral EFG est isocèle en E, en F et en G. Si on trace par exemple les trois médianes du triangle, on a aussi obtenu les trois hauteurs, les trois bissectrices et les trois médiatrices. 5 01 Triangles.odt clicprof.free.fr 10/10