NOMBRES COMPLEXES - EXERCICES CORRIGES Exercce. O doe = + et = + Ecrre sous forme algébrque les complexes suvats : = ; = ; = ; = ; 5 = Exercce. Calculer, et E dédure la valeur de 006 et de 009, pus les eters aturels tels que est magare pur + sot u réel égatf. Détermer les eters aturels tels que Exercce. Résoudre das C : Les équatos 5 + = ( + et = + Le système d coues complexes et + = 7 : + = Les équatos + = et + = 0 Les équatos + 6 5 = 0 et ( ( Exercce. + + = 0 Pour tout complexe = x + y, avec x et y réels,, o cosdère le complexe déf par : O ote = x + y, avec x et y réels. Exprmer x et y e focto de x et y Détermer l esemble M des pots d affxe tels que sot réel. Exercce 5. Das le pla complexe mu du repère orthoormal ( O; u; v A = 5, B =, C = + et D = + Détermer la ature du quadrlatère ABCD. Détermer l affxe du pot C, symétrque du pot C par rapport à D Détermer l affxe du pot A vérfat DA = DB + DC Quelle est la ature du quadrlatère A BC D? Exercce 6. O cosdère le plyôme P ( suvat : P = + 9 + ( 6 ( + Démotrer que l équato P ( = 0 admet ue soluto réelle Détermer u polyôme Q ( tel que P = ( Q Démotrer que l équato Q( = 0 admet ue soluto magare pure Résoudre das C l équato P ( = 0 la ème soluto de l équato P ( = 0 5 O ote respectves, et, sot algés = +, o cosdère les pots A,B,C et D d affxes respectves :. Démotrer que les pots du pla complexe A,B et C d affxes Exercce 7. Détermer le module, u argumet et ue forme expoetelle de chacu des ombres doés : = 6, = et = +. E dédure module et argumet de, et Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce 8. Ecrre + et sous la forme trgoométrque et smplfer : Exercce 9. Pour tout C, Pour tout C, magare pur = = Pour C et C, = = S Re( <, alors > Pour tout C, + = + + = Affrmato VRAI FAUX Exercce 0. Détermer et représeter das chaque cas, l esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe la relato doée : = + = + + = arg = arg ( ( Exercce. Résoudre das C l équato + = 0. O désge par la soluto de parte magare postve et par l autre soluto Détermer le module et u argumet de chacue des solutos et Détermer le module et u argumet de ( et ( Das le pla mu d u repère orthoormal drect ( O; u; v +,, + et Détermer la ature du quadrlatère AA B B 5 Démotrer que le tragle AA B est rectagle. 6 Détermer l esemble des pots M d affxe vérfat + =. Exercce. Pour tout ombre complexe, o déft : Calculer P(. Détermer ue factorsato de P( par (- Résoudre das C l équato P ( = 0 0, o cosdère les pots A,B,A et B d affxes respectves : P = + + 8 O appelle et les solutos de l équato autres que, ayat ue parte magare postve. Vérfer que + =. Détermer le module et u argumet de et de. O; u ; v (uté graphque : cm, les pots : a Placer das le pla, mu d u repère orthoormal drect A d affxe, B et C d affxes respectves et, et I mleu de [AB b Démotrer que le tragle OAB est socèle. u; OI E dédure ue mesure de l agle c Calculer l affxe I de I, pus le module de I d Dédure des résultats précédets les valeurs exactes de cos 8 et s 8 Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce. O cosdère le polyôme P déf par Calculer P( et P( o a P = ( + Q Résoudre das C l équato P( = 0 P = 6 + 8 + 6. Détermer le polyôme Q du secod degré à coeffcets réels tel que pour tout C, Placer das le pla complexe rapporté au repère orthoormal ( O; u; v (uté graphque : cm les pots A,B,C et D d affxes respectves : A = ; B = ; C = + et D = C C B O ote E le symétrque de D par rapport à O. Placer le pot E sur le dess. Motrer que = e E B détermer la ature du tragle BEC Exercce. état u complexe, o ote ( S le système = 6 arg( = + k, k Z. Le pla est rapporté à u repère orthoormal drect ( O u, v,. Doer le module et u argumet des tros complexes suvats : a = + b = + c = + Parm les complexes a, b et c, lesquels sot solutos du système ( S? ( justfer la répose. M état le pot d affxe, et A état le pot d affxe 6, tradure géométrquemet les deux cotrates de ( S. Résoudre le système ( S par la méthode de votre chox. Exercce 5. Sot le pla complexe P rapporté au repère orthoormal drect ( O; e; e O déft das P ue sute de pots ( M + 0 = 8 et pour tout eter aturel, + = Calculer e focto de. + Pour tout eter aturel, calculer le rapport N d'affxes défes par : + E dédure la ature du tragle OM M + et motrer que : M M + = kom +, où k est u réel strctemet postf à détermer. S r est le module de, doer la lmte de r s ted vers plus l'f. Quelle terprétato géométrque peut-o doer? Exercce 6. O cosdère l applcato f du pla qu à tout pot M, d affxe dstcte de, assoce le pot d affxe : + = Pour, o pose = + re θ, avec r>0 et θ R. Ecrre à l ade de r et θ A est le pot d affxe a Détermer l esemble E des pots M pour lesquels = b Détermer l esemble E des pots M pour lesquels arg ( = ( c Représeter les esembles E et E et Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce 7. Détermer la forme complexe de la rotato r de cetre Ω( et d agle Précser l mage par r du pot A d affxe e Sot t la trasformato qu à tout pot M d affxe assoce le pot M d affxe = a Caractérser la trasformato t b Doer la forme complexe de t r Recoaître cette ouvelle trasformato e détermat ses élémets caractérstques Exercce 8. O déft la trasformato f du pla par sa forme complexe : + = + Quelle est la ature de l applcato f? Détermer l mage C par f du cercle C de cetre A(-+ et de rayo Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce NOMBRES COMPLEXES - CORRECTION = = + = + + + = + + = = = + = + = = = + = + + = 9 + 6 + = 9 + 6 = 6 + 6 ( ( ( ( = = + = + + + = + 6 + 8 = + 6 + + 8 = + 6 + 8 = = ( + ( + = = = = + + 5 6 + 6 + 6 + = = = 5 5 5 Exercce O calcule successvemet =, = = = et ( La dvso eucldee de 006 par fourt 006 = 50+ 50 50 006 50+ 50 As, ( = = = = = La dvso eucldee de 009 par fourt 009 = 50 + 50 50 009 50+ 50 As, = = = = = = = = Notos q et r le quotet et le reste de la dvso de par. O a doc = q + r avec 0 r q S r=0, c est-à-dre s =q, ( = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, q q = = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, ( q = = = = = q+ q S r=, c est-à-dre s =q+, = = = = = Les eters aturels tels que est magare pursot doc de la forme =q+ ou =q+ Détermos la forme trgoométrque de + : Le module de + est U argumet θ de + vérfe cos θ = = et s q q q q q + = + =. = covet θ = =. θ ( As, + = e, et pour tout eter aturel, ( + = e = ( e ( + sera u réel égatf s et seulemet = + k, k Z = ( k+, k Z Les eters aturels tels que ( + sot u réel égatf sot doc de la forme = ( k+, k Z Page 5/8 jgcua@hotmal.com
Exercce 5 + = + 5 + = = ( ( + 8 0 = = = = = + 6 + 7 7 0 As, S = 7 7 Pour, = = ( + ( = + + 5 ( + + 5 5 0 5 0 0 5 = = = = = + + 6 7 7 As, 0 5 S = + 7 7 O résout le système par combaso : + = 7 L 6 + = L + = L + = L 5 = L L ( 6 = L L 6 + = L = L O obtet doc : 5 ( 5( 6 + + 50 5 = = = 6 ( 6 ( 6 + 6 + 50 + 5 7 8 = = = 6 + 7 pus + + 0 = = = = + 5 { } Falemet, S = ( ; + 5 S o pose = x + y, avec x, y R, l équato + = devet équvalete à : x y ( y x x + y + x y = x + y + x y = + + + = x + y = doc équvalete au système, que l o résout par substtuto : y + x = 0 x + y = L y = x L y + x = 0 L ( x + x = 0 L y = x L y = x L y = L 6 x + x = 0 L x = L x = L As S = { } Page 6/8 jgcua@hotmal.com
S o pose = x + y, avec x, y R, l équato + = 0 + = 0 devet équvalete à : x + y + x + y = 0 x + xy y + x + y = 0 x + xy = 0 x = 0 doc équvalete au système. Les solutos sot doc tous les couples xy = 0 magares purs. O calcule le dscrmat de l équato + 6 5 = 0 : = 6 5 = 6 0 = = L équato admet doc deux races complexes cojuguées : S = ; + L équato ( ( solutos S = { ; ;} 6 = = + x = 0, c est-à-dre tous les ombres y R et 6 + = = + + = 0 se réécrt ( + ( ( = 0, et admet doc comme esemble de Exercce Pour tout complexe = x + y, avec x et y réels,, o calcule : ( x + y ( x + y + + + + + = = = = + x + y + x + + y x + y x + + y x y x x xy yx y y x y x + x + y y y x x + x + y y y x = +.As x = et y = x + + y x + + y x + + y x + + y y x R y = 0 = 0 y x = 0 y = x + M appartet doc à la drote d équato y = x + Exercce 5 x + + y, = = 5 = + + 5 = 5 + O calcule d ue part AB B A Et d autre part = C D = + + = + + = 5 + DC Pusque = AB DC, o e dédut que AB = DC, doc que le quadrlatère ABCD est u parallélogramme. S C est le symétrque du pot C par rapport à D, alors DC = CD, ce qu se tradut par DC = CD, c est-à-dre = = = + + C D D C C D C = + = 7 As C = 7 L égalté vectorelle DA = DB + DC se tradut, au veau des affxes, par : = + = + DA DB DC = + = + + + A B C D = 9 A A D B D C D O calcule d ue part A B B A 7 ( 5 DC = C D = + = Pusque A B DC = = 9 = 5, et d autre part =, o e dédut que A B = DC, doc que le quadrlatère A BC D est u parallélogramme. Page 7/8 jgcua@hotmal.com
Exercce 6 E réécrvat autremet le polyôme P, à savor : P = 6 + 9 + = 6 + +, o s apperçot que s est ue race réelle de P, alors o dot avor écessaremet 6 = 0 et + = 0. Cherchos doc les races réelles du polyôme R = + e calculat so dscrmat : = = 6 + 8 = 6 = 8 6 + 6 d où l exstece de deux races réelles = et =. Sur ces deux races, seule est race du polyôme S = 6. As la seule race réelle de P est = Il exste doc u polyôme Q ( tel que deg Q deg P Q = a + b + c. = =, doc de la forme ( P = Q P = + Q, avec Pour trouver Q, effectuos la dvso eucldee du polyôme P par - (pusque l égalté c-dessus etraîe P Q =, pour tout + O obtet : Le polyôme Q est doc : = + ( 9 6( + Q O calcule le dscrmat du polyôme Q : = 9 6 + = 8 6 + + + 7 = 5. L astuce est de remarquer que 5 =, ce qu permet de calculer les deux races complexes de Q : L ue vaut 9 6 = = et l autre vaut doc ue soluto magare pure : = 9 + + = = 6 +. L équato Q(=0 admet L autre soluto de l équato Q(=0 ayat été calculée c-dessus, et par applcato de la règle du produt ul, = 0 ( + = 0 + = 0 ou = 0 et as S = { ; ; 6 + } P Q Q 5 Notos A le pot d affxe =, B le pot d affxe = et C le pot d affxe = 6 + L affxe du vecteur AB vaut = +. Celle du vecteur AC vaut = 6 + =, o e dédut que AC = AB, c est à dre que les vecteurs AB et AC sot coléares, Pusque doc que les pots A,B et C sot algés Exercce 7 Le module de vaut 6 = 6 + = 8 = U argumet θ de vérfe 6 cos θ = = et sθ = =. θ = covet 6 As, 6 e = Le module de vaut = + = = Page 8/8 jgcua@hotmal.com
U argumet θ de vérfe As, = e cosθ = = = et sθ = = =. θ = covet Pour, o recoaît drectemet = + = cos + s Le module de vaut doc, u argumet. Ue forme expoetelle est doc = e. 5 5 O calcule 6 6 = e e = e = e Le module de vaut doc et u argumet de est doc 5 5 9 + O calcule 6 6 6 6 = e e = e = e = e = e Le module de vaut doc et u argumet de est doc O calcule = = = = e e e e et u argumet de ( est doc Le module de ( vaut doc Exercce 8 Notos = +. Alors le module de cherchos θ tel que cosθ = et s est = + = + = =. Pour trouver u argumet de, θ =. O trouve θ [ De même, otos =. Alors le module de cherchos θ tel que cos θ = = et sθ e =. As = = + =. Pour trouver u argumet de, est = =. O trouve θ [ 7 Le quotet + + e s écrt doc = = e = e e 0 7 0 0 0 7 0 0 Alors = = = ( = ( + e e e 0 6 Comme 0 = 6, o aura = = 6 [ 0 As e = e = cos + s = Ef, 0 0 = = 0 E cocluso 0 =. As = e + = = 0 = 5 5. Page 9/8 jgcua@hotmal.com
Exercce 9 «Pour tout C, magare pur =» est VRAIE. E effet ; pour tout complexe = x + y, (x et y réels, magare pur x = 0 = = y «Pour tout C, =» est FAUX. E effet, pour tout C, = «Pour C et C, = =» est FAUX. Exemple : deux complexes. «S Re( <, alors >» est VRAI. E effet, s = x + y, (x et y réels, et s x <, alors c est-à-dre > 5 «Pour tout C, Exercce 0 + = +» est FAUX. exemple : =, Das le pla mu du repère orthoormal ( O; u; v OM x y = + >, S o ote A et B les pots dot les affxes respectves sot et, et M le pot dot l affxe est oté, l égalté = se tradut par AM=BM. Le pot M état équdstat des pots A et B, l appartet à la médatrce de [AB. L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe = est doc la médatrce de [AB, avec A( et B( Notos C le pot dot l affxe est + Pusque + = + =, l égalté Le pot M appartet doc au cercle de cetre C et de rayo + = + + = se tradut par CM = vérfe + = + est doc le cercle de cetre C( + et de rayo. L esemble des pots M du pla dot l affxe S o pose = x + y, avec x, y R, l égalté + =, équvalete à + = =, se réécrt x y + = x y = x + y = O recoaît là l équato du cercle de cetre D( ; et de rayo L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe + = est doc le cercle de cetre D(+ et de rayo Pusque pour tout complexe, arg arg ( ( arg arg = et arg arg ( = se réécrt arg = arg + (, sot arg ( L esemble des pots M du pla dot l affxe vérfe arg arg ( prvé du pot O = +, l égalté =. = est doc l axe des magares purs, Page 0/8 jgcua@hotmal.com
Exercce Le dscrmat de l équato + = 0 vaut = ( =. L équato admet doc deux solutos + + complexes cojuguées = = = + et = = O calcule = + = + = = et cos θ θ = arg ( [ S o ote, alors θ = arg ( [ s θ = θ = = = = + = =. [ O calcule ( ( = + = + et O a alors 6 cos θ et s ( θ = =. = + = + = = (remarque : ( = θ = = [ =. De même cos α = arg ( [ ( α = cos ( α = S o ote, alors α = [ et α = α = arg ( [ s ( α = s ( α = O calcule = B A = et AB = A B B A =. O costate que = A B AB O e coclut que A B = AB A B // AB, doc le quadrlatère AA B B est u trapèe, doc 5 O calcule respectvemet : AA = = + = + =, A A =. [. ( = B A = = = = 8 et AB B A A B L égalté = = = + = 6 A B = AA + AB ous affrme que le tragle AA B est rectagle est rectagle e A 6 L égalté + =, réécrte e ( =, se tradut par BM =. L esemble des pots M d affxe vérfat + = est doc le cercle de cetre B et de rayo. Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce O calcule P = + + 8 = 8 + 8 8 + 8 8 8 = 0 O peut doc factorser P( par (-. Il exste doc tros ombres a,b et c, tels que pour tout, P = a + b + c. Détermos a,b et c par detfcato. Pour tout, a + b + c = a + b + c a b c. As, o aura ( ( a + b + c = P pour tout s = a + ( b a + ( c b c a = a = b a = ( et seulemet s, ce qu ous permet d obter b =. c b = ( c = c = 8 As, pour tout, P = ( ( + + D après la règle du produt ul, P ( = 0 s et seulemet s -=0<=>= ou + + = 0 O calcule le dscrmat de cette derère équato : = ( = 8 6 = 8 = ( L équato + + + = 0 admet doc deux races complexes cojuguées : = = + et Le module de vaut = =. O vérfe que + =. + = + = U argumet θ de vérfe cosθ = et sθ =. θ = ( covet Pusque les races et sot cojuguées, le module de est le même que celu de, à savor, et u argumet de est θ = (. a Page /8 jgcua@hotmal.com
b O calcule OA = A = = et OB = =. Pusque OA=OB, le tragle OAB est socèle e O. Pusque le trable OAB est socèle e O, la médae (OI ssue de O est auss bssectrce de l agle AOB. Ue mesure de l agle ( u; OI est doc = 8 c Pusque I est le mleu de [AB, I A + B + = = = + Le module de I vaut doc + = + = + + = d Pusque ( u; OI = (, o a doc arg ( I = ( 8 8 Et pusque I = +, o e dédut alors que cos = = = = 8 I + + + + s = = = = = = = 8 I +, et que Exercce O calcule : P = 6 + 8 + 6 = 6 + 8 + 6 = 6 + 8 + 6 = 9 + 8 7 8 + 6 = 6+ 6 = 0 et de même P = 6 + 8 + 6 = 6 + + 8 + 6 = 6 + + 8 + 6 = 9 8 7 + 8 + 6 = 6 + 6 = 0 Les complexes et sot doc races sur polyôme P. As, l exste u polyôme Q du secod degré à coeffcets réels tels que : P = + Q P = Q P = + Q effectue ue dvso etre polyômes : Pour tout dfféret de et, o a P Q =. O effectue la dvso : + Q = 6 + As Pour trouver Q, o Page /8 jgcua@hotmal.com
Pusque P ( ( 6 = + +, la règle du produt ul affrme que P = 0 + = 0. Ou 6 + = 0 Résolvos l équato 6 + = 0 Q = 0 e calculat le dscrmat du polyôme Q : = ( 6 = 6 8 = 8. Le polyôme Q admet doc deux races complexes cojuquées ( 6 + 8 6 + = = = + cf f d exercce et S E est le symétrque de D par rapport à O, alors E D = =. As S = { ; ; + ; } = = = + C B + + + + O calcule alors = = = E B + + + + O multple umérateur et céomateur de la fracto par la quatté cojuguée du déomateur : ( + ( ( + ( ( C B + = = = = E B + O déterme module er argumet de : Le module de ce complexe vaut s θ =. O trouve θ [ + = + = =. O cherche esute θ tel que C B =. As = = e E B cosθ = et C B BC De l égalté précédete, o dédut que = e = BC = BE, doc le tragle BEC est socèle e B. BE C B De plus arg = [ ( BE; BC = [ Fgure : E B E B, doc le tragle BEC est falemet équlatéral Page /8 jgcua@hotmal.com
Exercce a = + = + = =. Le module de a vaut doc, et o cherche θ tel que cosθ = O calcule et s θ =. O trouve θ [ O calcule =. U argumet de a est doc 6 6 b = + = + = 8 =. Le module de b vaut doc, et o cherche θ tel que cosθ = = = et s O calcule c θ =. O trouve θ [ =. U argumet de b est doc = + = + = 8 =. Le module de c vaut doc, et o cherche θ tel que cosθ = = = s θ = = =. O trouve [ θ =. U argumet de c est doc La codto arg( = + k, k Z arg = + k, k Z arg = + k, k Z permet déjà d élmer les complexes a et b. Seul le complexe c est caddat. O calcule c 6 = + 6 = + = + = 8 =. Comme c 6 = c, le complexe c est le seul à vérfer le système (S La cotrate = 6 0 = 6 se tradut par la codto géométrque OM = AM. La cotrate arg( = + k, k Z arg = + k, k Z arg = + k, k Z se tradut par la codto géométrque ( u; OM = + k, k Z. Les complexes solutos du système ( S sot les affxes des pots d tersecto de la médatrce de [OA et de la drote formée des pots M tels que ( u; OM = + k, k Z, cest-à-dre la ère bssectrce. Ces deux drotes ayat qu u seul pot d tersecto, o e dédut que le système (S admet qu u seule soluto. Cette soluto est le complexe c, comme démotré précédemmet. Exercce 5 La sute ( est ue sute géométrque de raso + q = N Forme expoetelle de + q = : q = + = = =, et s o ote θ u argumet de q, à 6 près, o a cos ( θ = = et s θ = = d où o recoaît θ = [ et as q = e. (o pouvat auss drectemet remarquer que q = + = cos + s = e As, pour tout eter N = 0 q = 8 e = 8 e Page 5/8 jgcua@hotmal.com
Pour tout eter N, pusque 0, + + + + + + = = = = = + + + + + + ( + + + = = = E calculat module et argumet de ce derer complexe, o obtet + M M + = = OM + + + M M + = OM + (le réel k dot parle l éocé est.. De plus, arg ( = arg [ + ( ; OM [ + M M + = doc le tragle OM M + est rectagle e M + Nous avos calculé, das la questo, que pour tout eter N = 8 e. As 0 < <, l'f. r = 8, et pusque lm = 0, doc lm r = 0, doc le pot M + + a pour posto lmte le pot O lorsque ted vers plus Exercce 6 + + Pour tout, o calcule = = = S o pose = + re θ, avec r>0 et θ R, alors = = = = e θ θ + re re r Ef, o peut écrre θ θ θ = e = e e = e r r r a U pot M aura ue affxe vérfat = s et seulemet s : θ θ / e = e = = / = r = r r r r As, o aura A θ θ θ = + e = e, ce qu mplque e AM A θ A = = = et arg ( A θ ( =. Le pot M appartet doc au cercle de cetre A et de rayo. E est doc le cercle de cetre A et de rayo. θ b Pusque e =, o aura arg ( = θ (. U pot M aura ue affxe vérfat r arg ( = ( s et seulemet s : θ = ( θ = (. As A = e, doc ( u; AM = (. Le pot M appartet doc à la dem-drote d orge A et d équato polare θ = ( E est doc la dem-drote d orge A et d équato polare θ = Page 6/8 jgcua@hotmal.com
c Exercce 7 = tel que La rotato r de cetre Ω( et d agle est la trasformato qu, à tout assoce r Ω = Ω + = + = ( +, ou ecore e e e = + + L mage par r du pot A d affxe e a pour affxe A = r A = e e + = + e = e L mage par r du pot A d affxe e est le pot d affxe e a S o ote w le vecteur d affxe, alors la trasformato t est la traslato de vecteur w b Pour tout complexe, t r = t ( r = t + + = e e + + = + = + + = Détermos les évetuels pots fxes de cette trasformato, e résolvat l équato : t r = e e est le pot A = et et A = e A e, t r A = e A + e e e + = + = + = = = O recoaît l affxe du pot A. L uque pot fxe de la trasformato t r t r e e E écrvat smultaémet o obtet, par soustracto, La trasformato t r est doc la rotato de cetre A et d agle Page 7/8 jgcua@hotmal.com
Exercce 8 Détermos les évetuels pots fxes de cette trasformato, e résolvat l équato : = = + + = + 6 8 + = + La trasformato f admet u pot fxe Ω, d affxe Ω = +. E écrvat successvemet = + + et = + +, pus e soustrayat membre à membre, o obtet : =. Ω Ω La trasformato f est doc l homothéte de cetre Ω, d affxe = +, et de rapport Ω Ω Par l homothéte f de cetre Ω et de rapport, l mage C du cercle C de cetre A(-+ et de rayo est le cercle de cetre f(a et de rayo =. O calcule : f A = + + + = + + + = + 6 L mage de C est le cercle C de cetre le pot f(a d affxe +6 et de rayo. Ω Page 8/8 jgcua@hotmal.com