LEÇON N 34 : Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices... (dans l ordre que l on voudra) Pré-requis : Théorème des milieux, barycentre, coordonnées barycentriques ; Médiatrice d un segment, bissectrice d un secteur angulaire ; Projetés orthogonaux, théorème de cocyclicité. On se place dans un plan affine euclidien orienté P. Nous adopterons aussi quelques notations : étant donné un triangle non aplati, on note respectivement Â, et Ĉ les mesures dans [0,π] des angles géométriques du triangle,,, les milieux de [], [] et [], et a =,b = et c =. Â / / Ĉ / / / / 34.1 Médiatrices Définition 1 : On appelle médiatrice toute perpendiculaire à l un des trois côtés du triangle passant par son milieu. Théorème 1 : Les trois médiatrices de sont concourantes en un point O équidistant des trois sommets. O est le centre du cercle circonscrit à (i.e. passant par ). O
2 Droites remarquables du triangle démonstration : Notons respectivement, et les médiatrices de [], [] et [], et O l intersection de et de (existe et est unique car est non aplati). lors par définition, O = O et O = O, donc O = O et O. L unicité (resp. l existence) de cette intersection assure l unicité (resp. l existence) du cercle passant par, et. 34.2 Hauteurs Définition 2 : On appelle hauteur issue de (resp., ) dans le triangle la droite passant par (resp., ) et perpendiculaire au côté opposé. Théorème 2 : Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H. e point est appelé orthocentre du triangle. L / / H M / démonstration : On définit la droite (ML), parallèle à () passant par et telle que M = L =, et N l intersection de (M) et (L). lors par le théorème des milieux, les hauteurs de sont les médiatrices de LMN. N Remarque 1 : ette construction exhibe le fait que les médiatrices de sont les hauteurs de (toujours avec le théorème des milieux). 34.3 Médianes Définition 3 : On appelle médiane issue de (resp., ) dans le triangle la droite joignant (resp., ) au milieu du côté opposé.
Droites remarquables du triangle 3 Théorème 3 : Les trois médianes d un triangle sont concourantes en le point G, isobarycentre des trois sommets. e point est appelé centre de gravité du triangle. G G démonstration : Montrons que l isobarycentre est sur chacune des médianes. On a l égalité G + G + G = 0 G = ( G + G) = 2G, car est le milieu de [] implique que est le centre du parallélogramme GG et G + G = G + G = G = 2 G. insi, G ( ). Par permutation circulaire, on trouve que G ( ) et G ( ). Définition 4 : Le triangle est appelé triangle médian de. Proposition 1 : Le triangle a les mêmes médianes que, et donc le même centre de gravité. démonstration : Il suffit de montrer que ( ) est une médiane commune aux deux triangles. On a ( ) et ( () // ( ) (théorème des milieux) ) qui impliquent que est un parallélogramme, donc ( ) coupe [ ] en son milieu. Remarque 2 : Les coordonnées barycentriques de G dans (,, ) sont (1, 1, 1). 34.4 issectrices Définition 5 : On appelle bissectrice issue de (resp., ) dans le triangle l un des deux axes échangeant () et () (on rappelle qu un angle de droite est défini modulo π). Si [) est échangé avec [), on l appelle alors plus précisément bissectrice intérieure, sinon bissectrice extérieure.
4 Droites remarquables du triangle Notations : On notera D,D et D les bissectrices intérieures issues respectivement de, et, et on primera les bissectrices extérieures. Théorème 5 : D, D et D sont concourantes en un point I, intérieur au triangle, appelé centre du cercle inscrit à (parce que tangeant aux trois côtés et intérieur au triangle). D, D et D (resp. D, D, D et D, D, D ) sont concourantes en un point I (resp. I et I ), appelé centre du cercle exinscrit au triangle (parce que tangeant aux trois côtés et extérieur au triangle). D I D D D D I démonstration : Soit I = D D (resp. I 1 = D D ). lors I est à égale distance des droites () et (), ainsi que des droites () et (). En effet, soit I un point de D, H et K ses projetés orthogonaux respectifs sur () et (). lors KI = ĤI, KI = HI et les deux triangles KI et HI ont le côté [I] en commun : ils sont donc isométriques, et IK = IH (on montre de la même manière que I est à égale distance de () et (), ainsi que de () et (), ce qui implique que I D ). Donc I D (resp. I D ). En effet, si I est à égale distance des droites () et (), alors en notant H et K ses projetés orthogonaux sur () et (), il vient que IK = IH, ÎK = ÎH est l angle droit, et [I] est un côté commun aux deux triangles IK et IH qui sont donc isométriques. D où KI = ĤI et I D (la démonstration est analogue pour I ). Définition : L ensemble {(M), M []} est appelé intérieur des droites () et (). L intérieur commune des trois couples de droites est appelé intérieur du triangle. Montrons que D coupe [] : Soient u et v des vecteurs directeurs unitaires des droites () et (). lors D est dirigée par u + v. Soit Q D tel que Q = u + v. lors Q(1 1 c 1 b, 1 c, 1 b ) dans
Droites remarquables du triangle 5 (,, ), donc Q ( bc(1 1 c 1 b ), b, c). On en déduit que Q = (b, c) dans (, ), avec {Q } = (Q) () = D (). Or b, c > 0, donc Q []. insi D est à l intérieur des droites () et (). Par permutation circulaire, on montre que l intersection des trois bissectrices, I, est à l intérieur du triangle. Proposition 2 : Si n est pas isocèle en, alors en posant {M} = D () et {N} = D (), on a les égalités M M = N N =. démonstration : Soient K H (resp. K N ) le projeté orthogonal de M (resp. N) sur (), et H M (resp. H N ) celui de M (resp. N) sur (), et enfin L celui de sur () (voir figure ci-dessous). lors (M) M L = (M) M L = MK M. MH M Or MK M = MH M, car M D (ce résultat est démontré dans la démonstration précédente). D autre part, (N) N L = (N) N L = NK N. NH N omme précédemment, on a NK N = NH N car N D. u final, M M = N N =. H N D D H M N K M L M K N Remarque 3 : La démonstration du théorème 4 montre que D coupe [] en M tel que b M + c M = 0. On montre de même que D coupe () en N tel que b N c N = 0.
6 Droites remarquables du triangle 34.5 Divers Théorème 5 : Si est un triangle non équilatéral, alors GH = 2 GO. En particulier, les points sont alignés sur une droite nommée droite d Euler. H O G H H H démonstration : Soit h l homothétie de centre G et de rapport 2. lors G transforme respectivement,, en,, (d après la démonstration du théorème 3). insi h() = ( ) et la médiatrice de [], donc perpendiculaire à () passant par, sera transformée en la perpendiculaire à ( ) passant par h( ) = : c est la hauteur de issue de. Par permutation circulaire, on montre alors que le point de concours O des médiatrices est donc transformé en H, point de concours des hauteurs de. insi GH = 2 GO. Proposition 3 : Soient M P, et P, Q, R ses projetés orthogonaux sur les trois côtés du triangle. lors P, Q, R sont alignés si et seulement si M est sur le cercle circonscrit au triangle. Si c est le cas, (PQ) est appelée droite de Simpson. M P Q R
Droites remarquables du triangle 7 démonstration : () (RM) et () (QM), donc ( R, Q) = (, ) = ( MR, MQ) (mod π). Par le théorème de cocyclicité, les points, M, R, Q sont cocycliques et la réciproque du théorème donne alors aussi ( RQ, RM) = ( Q, M). On montre de même que () (PM) et () (RM) impliquent ( RM, RP) = ( M, P) (mod π). Donc ( RQ, RP) = ( RQ, RM) + ( RM, RP) = ( Q, M) + ( M, P) (mod π), de sorte que P, Q, R alignés M cercle circonscrit à.