Brevet Blanc de Mathématiques Le soin, l orthographe et la clarté des raisonnements seront notés sur 4 points Les calculatrices sont autorisées Exercice : On propose deux programmes de calcul : Programme A Ajouter 5. Programme B Soustraire 7.. On choisit 5 comme nombre de départ. Montrer que le résultat du programme B est 4. 2. On choisit 2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A? 3. Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0? 4. Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Exercice 2 : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l évaluation. Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les présenter à la foire agricole. - Bubulle pèse 200 kg et Pâquerette 600 kg. - Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis. - Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis.. Est-il possible que Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg? Justifier votre réponse. 2. Sachant que l éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2 tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter les animaux ensemble? Expliquer votre raisonnement. Exercice 3: a. Donner l écriture scientifique du nombre A = 3 05 6 0 3 3 0. b. Soit B = 4 5 2 3 2 3 4. On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. Exercice 4: On donne E = ( 3x 5 ) ² 2( 3x 5 ) a. Développer et réduire E b. Factoriser E c. Calculer E pour x = 2. d. Résoudre l équation ( 3x 5 )( 3x 7 ) = 0 Exercice 5 : La figure ci-dessous n est pas en vraie grandeur, elle n est pas à reproduire. Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I. P On donne les longueurs : IP = 5 cm ; IG = 7 cm ; IY =,4 cm, YT = 0,8 cm et TI = cm. I Y. Montrer que les droites (PG) et (YT) sont parallèles. 2. Calculer le périmètre du triangle IGP. G T
Exercice 6 :Le dessin ci-contre représente une figure géométrique dans laquelle on sait que : A ABC est un triangle rectangle en B. CED est un triangle rectangle en E. Les points A, C et E sont alignés. Les points D, C et B sont alignés. AB = CB = 2 cm. CD = 6 cm. Le dessin n est pas en vraie grandeur. D C B. Représenter sur la copie la figure en vraie grandeur. 2. a. Quelle est la mesure de l angle ACB? b. En déduire la mesure de l angle DCE? E 3. Calculer une valeur approchée de DE à 0, cm près. 4. Où se situe le centre du cercle circonscrit au triangle DCE? Tracer ce cercle, que l on notera (C ) puis tracer (C ) le cercle circonscrit au triangle ABC. 5. Les cercles (C ) et (C ) se coupent en deux points : le point C et un autre point noté M. Les points D, A et M sont-ils alignés? Justifier. Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 7 : Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction g pour x compris entre 0 et 23. Par lecture graphique, déterminez : a. l image de 0 par g puis l image de 2 par g b. g(20) et g(5) c. l ordonnée du point de la courbe dont l abscisse est 0 d. le(s) nombre(s) dont l image est 5 e. les antécédents de 0 f. les coordonnées des points de la courbe qui ont pour ordonnée 7 g. un nombre qui a quatre antécédents h. deux nombres qui ont un unique antécédent i. le signe de g(,9) j. le signe de g(22,5) Exercice 8 : Soit la fonction f définie par f : x f ( x ) = pour x compris entre -3 et 3. + x². Déterminer l image de par la fonction f (donner le résultat sous forme de faction irréductible) 3 2. Montrer qu un antécédent de 0,8 est 2. 3. Quelle est l ordonnée du point A d abscisse 3 qui se trouve sur la courbe représentant la fonction f?
Exercice : Programme A Ajouter 5. CORRIGE Programme B Soustraire 7.. 5 7 = 2 puis ( 2) 2 = 4 donc le résultat du programme B est 4. 2. 2 + 5 = 3 puis 3 2 = 9 donc le résultat du programma A est 9 si le nombre de départ est 2. 3. Si le nombre de départ est désigné par x, le programme A se traduit par (x + 5) 2 donc pour que le résultat soit 0, l égalité suivante doit être vérifiée : (x + 5) 2 = 0 donc x = 5. 4. Pour obtenir le même résultat avec les deux programmes, on va choisir le nombre solution de l équation : (x + 5) 2 = (x 7) 2 (x + 5) 2 (x 7) 2 = 0 [(x + 5) + (x 7)][(x + 5) (x 7)] = 0 [x + 5 + x 7][x + 5 x + 7] = 0 2(2x 2) = 0 2x 2 = 0 2x = 2 x = On doit choisir le nombre pour obtenir le même résultat avec les deux programmes? Exercice 2 : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, sera prise en compte dans l évaluation. Un éleveur possède 2 taureaux et 2 vaches : Bubulle, Icare, Caramel et Pâquerette. Il souhaite les présenter à la foire agricole.. Bubulle pèse 200 kg et Pâquerette 600 kg.. Bubulle pèse aussi lourd que Caramel et Icare réunis.. Icare pèse aussi lourd que Caramel et Pâquerette réunis.. Est-il possible que Caramel pèse 500 kg et Icare 700 kg? Justifier votre réponse. Impossible car Caramel et Pâquerette réunis pèseraient alors 500 + 600 = 00 kg, donc Icare pèserait aussi 00 kg ce qui est en contradiction avec Icare qui pèse 700 kg 2. Sachant que l éleveur ne peut pas transporter plus de 3,2 tonnes dans son camion, pourra-t-il transporter tous les animaux ensemble? Expliquer votre raisonnement. Caramel et Icare pèsent 200 kg, Bubulle pèse 200 kg et Pâquerette 600 kg donc tous les animaux ensemble pèsent 3000 kg soit 3 tonnes. Donc il peut les transporter.
Exercice 3: a. Donner l écriture scientifique du nombre A = 3 05 6 0 3 3 0. A = 3 05 6 0 3 300 000 6000 3 0 A = 300 000 000 000 A = 294 000 300 000 000 000 A = 0,00000098 A = 9,8 0 7 b. Soit B = 4 5 2 3 2 3 4. On donnera le résultat sous la forme d une fraction irréductible. B = 4 5 3 2 2 4 3 4 B = 2 3 5 4 B = 6 5 4 B = 3 0 Exercice 4: On donne E = ( 3x 5 ) ² 2( 3x 5 ) a. Développer et réduire E E = ( 3x 5 ) ² 2( 3x 5 ) = 9x² 30x + 25 ( 6x 0 ) E = 9x² 30x + 25 6x + 0 E = 9x² 36x + 35 b. Factoriser E ( 3x 5 ) ² 2( 3x 5 ) = ( 3x 5 ) ( 3x 5 ) 2( 3x 5 ) = ( 3x 5 ) [( 3x 5 ) 2] = ( 3x 5 ) [ 3x 5 2] = ( 3x 5 )( 3x 7 ) c. Calculer E pour x = 2. E = 9x² 36x + 35 = 9 ( 2 ) ² 36 ( 2 ) + 35 = 9 4 + 72 + 35 = 36 + 72 + 35 = 43 d. Résoudre l équation ( 3x 5 )( 3x 7 ) = 0 Un produit est nul si l un au moins de ses facteurs est nul. 3x 5 = 0 3x = 5 3x 7 = 0 3x = 7 x = 5 3 x = 7 3 L équation admet deux solutions x = 5 3 et x 2 = 7 3 Exercice 5 : Les droites (TP) et (YG) sont sécantes en I. IP = 5 cm IG = 7 cm IY =,4 cm P YT = 0,8 cm TI = cm. I Y. IP IT = 5 IG IY = 7 IP = 5 donc,4 IT = IG IY G T I [PT], I [GY] et IP IT = IG IY la réciproque du théorème de Thalès est vérifiée donc les droites (PG) et (YT) sont parallèles 2. On applique la propriété de Thalès dans IPG et IYT
I [PT], I [GY] et (PG) //(YT) IP IT = IG IY = PG TY IP IT = PG TY donc 5 = PG 0,8 d où PG = 5 0,8 = 4 cm. Périmètre du triangle IGP : IP + PG + GI = 5 + 4 + 7 = 6 cm. Exercice 6 : o ABC est un triangle rectangle en B. o CED est un triangle rectangle en E. o Les points A, C et E sont alignés. o Les points D, C et B sont alignés. o AB = CB = 2 cm. o CD = 6 cm. C M D O C C O' A B. Voir ci-dessus la figure en vraie grandeur. E 2. a. Le triangle ABC est rectangle et isocèle en B donc les angles ACB et BAC sont égaux et l angle ABC mesure 90. La somme des mesures des angles d un triangle est 80 donc ACB = 80 90 2 = 45. b. Les angles DCE et ACB sont opposés par le sommet donc égaux d où : DCE = 45. 3. Dans le triangle DCE rectangle en E : sin DCE = DE DC. DE 4,2 cm (à 0, cm près). DE sin 45 = 6 DE = sin 45 6 4. Le triangle DCE rectangle en E donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse [CD]. De même, le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre le milieu de [AC]. 5. Le triangle AMC est inscrit dans le cercle C avec son côté [AC] pour diamètre donc il est rectangle en M. De même, le triangle DMC est inscrit dans le cercle C avec son côté [CD] pour diamètre donc il est rectangle en M. AMD = AMC + DMC = 90 + 90 = 80 donc AMD est un angle plat donc les points D, A et M sont alignés.
Exercice 7 : Ci-dessous est représentée graphiquement une fonction g pour x compris entre 0 et 23. Par lecture graphique, déterminez : k. l image de 0 par g puis l image de 2 par g l. g(20) et g(5) m. l ordonnée du point de la courbe dont l abscisse est 0 n. le(s) nombre(s) dont l image est 5 o. les antécédents de 0 p. les coordonnées des points de la courbe qui ont pour ordonnée 7 q. un nombre qui a quatre antécédents r. deux nombres qui ont un unique antécédent s. le signe de g(,9) j. le signe de g(22,5) a. l image de 0 par g puis l image de 2 par g : g(0) = 2 g(2) = 0 b. g(20) et g(5) : g(20) = 7 g(5) = 4 c. l ordonnée du point de la courbe dont l abscisse est 2 d. les nombres dont l image est 5 : g(3) = 5 g(6) = 5 g(2) = 5 e. les antécédents de 0 : g(2) = 0 g(9) = 0 g(22) = 0 f. les points de la courbe qui ont pour ordonnée 7 : B( 7 ;7) C( 20 ;7) g. un nombre qui a quatre antécédents : 4 < x < 5 h. deux nombres qui ont un unique antécédent : 5 et 8 i. le signe de g(,9) : positif j. le signe de g(22,5) : négatif Exercice 8: Soit la fonction f définie par f : x f ( x ) = pour x compris entre -3 et 3. + x². Déterminez l image de par la fonction f (donner le résultat sous forme de faction irréductible) 3 f 3 = + 3 = 2 + = 9 9 9 + = = 9 0 0 = 9 0 9 9 2. Montrez qu un antécédent de 0,8 est 2. f(0,8) = + 2 = 2 + = 4 4 4 + = = 4 5 5 = 4 5 = 0,8 4 4 3. Quelle est l ordonnée du point A d abscisse 3 qui se trouve sur la courbe représentant la fonction f? f (3) = + 3² = + 9 = 0 = 0, L ordonnée du point A est 0,