Chpitre 3 Suites et séries d pplictios Ds tout ce chpitre,, b R vec < b (ou évetuellemet, et/ou b + ). Pour N, : [, b] R ou C sot des octios déiies sur l itervlle [, b] (ou R ou [, b] ou [, + [). 3. Covergece simple Déiitio 3. (Covergece simple). O dit qu ue suite de octios ( ) N coverge simplemet vers : [, b] R ou C sur [, b] si pour tout x [, b], l suite réelle (ou complexe) ( (x)) N coverge vers (x). Remrque 3.. L covergece simple de ( ) N vers peut lors se déiir pr : pour tout x [, b], pour tout ε > 0, il existe 0 (x, ε) N tel que pour tout 0 (x, ε), o (x) (x) ε. Exemple 3.3. Pour N et x [0, ], o pose (x) x. Alors pour x [0, [, (x) x 0 et si x, o (). Aisi, l suite de octios ( ) N coverge simplemet vers l octio : [0, ] R déiie pr (x) 0 si 0 x < et (). Propositio 3.4. Soit ( ) N ue suite de octios qui coverge simplemet vers sur [, b]. (i) Si est croisste (respectivemet décroisste) sur [, b] pour tout N, lors est croisste (respectivemet décroisste) sur [, b]. (ii) Si est covexe sur [, b] pour tout N, lors est covexe sur [, b]. Preuve. (i) Supposos que est croisste sur [, b] pour tout N. Alors pour tous x, y [, b], x y, o (x) (y) pour tout N. Les iéglités lrges étt coservées pr pssge à l limite, o lors (x) (y), ce qui implique que est croisste. De même ds le cs où les octios sot décroisstes. (ii) Supposos mitet que est covexe sur [, b] pour tout N. Alors pour tous x, y [, b] et pour tout t [0, ], o (tx + ( t)y) t (x) + ( t) (y), pour tout N. Comme plus hut, les iéglités lrges étt coservées pr pssge à l limite, o (tx + ( t)y) t(x) + ( t)(y), pour tous x, y [, b], t [0, ]. Ceci prouve que est covexe sur [, b]. Remrque 3.5. Même si o sit que les octios sot strictemet croisstes, o e peut ps e déduire que est strictemet croisste, les iéglités strictes devet lrge pr pssge à l limite. Pour illustrer, voir l exemple 3.3 : les sot toutes strictemet croisstes sur [0, ], mis l limite est costte sur [0, [. 7
3. Covergece uiorme Déiitio 3.6 (Covergece uiorme). O dit qu ue suite de octios ( ) N coverge uiormémet vers : [, b] R ou C sur [, b] si sup (x) (x) 0. xb Autremet dit, pour tout ε > 0, il existe 0 (ε) N tel que pour tout 0 (ε), o (x) (x) ε pour tout x [, b]. Remrque 3.7. Ds l déiitio de l covergece simple, le rg à prtir duquel (x) (x) est petit déped de x, ce qui est ps le cs pour l covergece uiorme. Propositio 3.8. Ue suite qui coverge uiormémet coverge simplemet vers l même limite. Preuve. Soit ( ) N ue suite de octios qui coverge uiormémet vers sur [, b]. Pour tout x [, b], o (x) (x) sup (y) (y) 0, yb ce qui motre l covergece simple de ( ) N vers sur [, b]. Exemple 3.9. O repred l exemple 3.3 ; o veut étudier l covergece uiorme de l suite ( ) N. O, pour tout : sup x (x), 0x où est l limite simple détermiée ds l exemple 3.3 ((x) 0 si 0 x < et () ). E eet, sup 0x< x : est u mjort de {x, 0 x < } et pour tout l <, e post x ( l+ : x [0, [ et x l+ > l, doc l est ps u mjort de {x, 0 x < }. ), o Théorème 3.0 (Critère de Cuchy uiorme). Ue suite de octios ( ) N coverge uiormémet si et seulemet si elle vériie le critère de Cuchy suivt : sup p (x) q (x) 0. xb p,q Ou ecore : pour tout ε > 0, il existe N(ε) N tel que pour tout p, q N(ε), o p (x) q (x) ε pour tout x [, b]. Preuve. Supposos que ( ) N coverge uiormémet vers. Alors o pour tous p, q N et pour tout x [, b] : et doc p (x) q (x) p (x) (x) + q (x) (x) sup p (y) (y) + sup q (y) (y), yb yb sup p (x) q (x) sup p (y) (y) + sup q (y) (y) 0. xb yb yb p,q Supposos mitet que ( ) N vériie le critère de Cuchy. Soit x [, b]. Il est cile de voir que ( (x)) N est ue suite de Cuchy de R (ou C). Elle est doc covergete ; o ote (x) s limite. O lors, pour tout x [, b], pour tout ε > 0, il existe 0 (x, ε) N tel que pour tout 0 (x, ε), o (x) (x) ε. Aisi, l suite de octios ( ) N coverge simplemet vers. Motros que cette covergece est uiorme. Soit ε > 0 ixé. Soit N(ε). Pour x [, b], soit p mx{n(ε), 0 (x, ε) ; o (x) (x) (x) p (x) + p (x) (x) ε. O isi trouvé N(ε) tel que pour tout x [, b], (x) (x) ε, ce qui est l déiitio de l covergece uiorme de ( ) N vers. Ce qui motre l équivlece etre l covergece uiorme et le critère de Cuchy uiorme. 8
O vu ds l exemple 3.3 que l covergece simple e suit ps pour coserver l cotiuité pr pssge à l limite. L boe otio est l covergece uiorme, comme o v le voir. Théorème 3. (Cotiuité). O suppose que est cotiue e u poit c [, b] pour tout N. Si l suite de octios ( ) N coverge uiormémet vers sur [, b], lors est cotiue u poit c. Preuve. Pour x [, b], o (x) (c) (x) (x) + (x) (c) + (c) (c). Pour motrer l cotiuité de u poit c, il ut motrer que (x) (c) est petit lorsque x est proche de c. O trite les deux termes (x) (x) et (c) (c) grâce à l covergece uiorme de ( ) N vers et le terme (x) (c) grâce à l cotiuité de. Soit ε > 0. Comme ( ) N coverge uiormémet vers, il existe 0 N tel que pour tout 0, o (x) (x) ε pour tout x [, b]. Pour ce 0, 0 est cotiue, doc il existe δ > 0 tel que pour tout x [, b], x c δ, o 0 (x) 0 (c) ε. Aisi, o pour tout x [, b], x c δ, (x) (c) (x) 0 (x) + 0 (x) 0 (c) + 0 (c) (c) ce qui démotre l cotiuité de u poit c. sup 0 (y) (y) + 0 (x) 0 (c) 3ε, y [,b] Théorème 3. (Itégrtio). Soit ( ) N ue suite de octios cotiues qui coverge uiormémet sur [, b] vers ue octio. Alors (t)dt (t)dt. Preuve. Il suit de remrquer que, d près le théorème précédet, est cotiue (doc itégrble) et que l o ( (t) (t))dt (t) (t) dt (b ) sup (t) (t) 0 t [,b] grâce à l covergece uiorme de ( ) N vers. Théorème 3.3 (Dérivtio). Soit ( ) N ue suite de octios déiies sur u itervlle [, b], dérivbles, de dérivées cotiues, telle que l suite des dérivées ( ) N coverge uiormémet vers ue octio g sur [, b] et telle que ( ) N coverge simplemet vers sur [, b]. Alors est cotiue, dérivble, et g. Preuve. Il suit de remrquer que pour tout N, o D près le Théorème 3., o (x) () + x x (t)dt (t)dt, x [, b]. (3.) x g(t)dt et doc, e pret l limite lorsque ted vers l iii de (3.), o obtiet (x) () + x g(t)dt, x [, b]. O e déduit lors que est cotiue et dérivble, comme itégrle de l bore supérieure d ue octio cotiue, et que (x) g(x) pour tout x [, b]. 9
Ces théorèmes peuvet se déduire du théorème suivt cocert les coditios ds lesquelles o peut itervertir des limites. Théorème 3.4 (Iterversio de limites). Soit Λ u esemble d idices (Λ N ou Λ [α, β] u itervlle,...). Soit { λ, λ Λ} ue mille de octios déiies sur u itervlle [, b], qui coverge uiormémet vers lorsque λ ted vers λ 0 (λ 0 si Λ N). O suppose d utre prt que pour tout λ Λ, λ (x) λ (c) pour u c [, b]. Alors o x c ( ) ( ) lim lim λ(x) lim lim λ (x) λ λ 0 x c x c λ λ 0 Preuve. L preuve est sur le même modèle que l preuve du Théorème 3.. Il s git e it de motrer que ( ) ( ) (c) lim lim λ(x) lim lim λ (x) lim (x). λ λ 0 x c x c λ λ 0 x c O écrit lors (x) (c) (x) λ (x) + λ (x) λ (c) + λ (c) (c), et l démostrtio suit les mêmes étpes que l preuve du Théorème 3.. 3.3 Approximtio polyômile Ds cette prtie, o motre commet ue octio cotiue sur u itervlle [, b] peut être pprochée uiormémet pr des polyômes. Déiitio 3.5. Ue octio cotiue sur I R est dite uiormémet cotiue sur I si pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que pour tous x, y I vec x y < α, o (x) (y) < ε. Remrque 3.6. L cotiuité uiorme d ue octio ous ssure que, ds l déiitio de l cotiuité, o peut choisir α idépedt du poit où o regrde l cotiuité, α e déped que de ε. Théorème 3.7 (Heie, Borel-Lebesgue). Ue octio cotiue sur u itervlle [, b] ( < < b < + ) de R est uiormémet cotiue sur [, b]. Preuve. Soit ε > 0 ixé. Soit x [, b] : est cotiue e x, c est-à-dire qu il ] existe α(x, ε) > 0 tel que [ pour tout y [, b] vec x y < α(x, ε), o (x) (y) < ε. O pose I x,ε x. O : [, b] x [,b] I x,ε. α(x, ε), x + α(x, ε) Soit E {t [, b]; [, t] peut être recouvert pr u ombre ii dei x,ε }. Comme E ([, ] I,ε ) et que E [, b], E est ue prtie o vide et mjorée de R : E dmet ue bore supérieure iie. Soit β sup E : β b. Motros que β E. O β I β,ε. O choisit γ β α(β,ε) 4. Pr déiitio de l bore supérieure, γ E et doc [, γ] peut être recouvert pr u ombre ii d itervlles I x,ε. Si o joute à ce ombre ii l itervlle I β,ε, o ecore u recouvremet ii et [, β] est iclus ds l réuio de ces itervlles. Aisi, β E. Motros mitet que β b. E risot pr l bsurde, supposos que β < b. Alors o pose γ β + α(β,ε) 4 : γ ]β, b] et [, γ] [, β] [β, γ] peut être recouvert pr u ombre ii d itervlles I x,ε : le ombre ii qui recouvre [, β] e y joutt l itervlle I β,ε. D où γ E et γ > β, ce qui est e cotrdictio vec β sup E. Aisi, o viet de motrer qu il existe u ombre ii d itervlles I x,ε dot l réuio cotiet [, b], c est-à-dire qu il existe et x, x,..., x [, b] tels que [, b] k I xk,ε. 0
O pose lors α mi{ α(x k,ε), k,..., } (α e déped que de ε). Soit x [, b] : il existe k,..., tel que x I xk,ε. Soit y [, b] vec x y < α : O doc y x k y x + x x k < α + α(x k, ε) α(x k, ε). (x) (y) (x) (x k ) + (x k (y) < ε, ce qui démotre l cotiuité uiorme de sur [, b]. Théorème 3.8 (Stoe-Weierstrss). Toute octio cotiue sur u itervlle [, b] de R est limite uiorme d ue suite de polyômes. Preuve. Soit : [, b] R cotiue. Quitte à remplcer l itervlle [, b] pr u itervlle plus grd [c, d] et à prologer sur [c, d] liéiremet sur [c, ] et sur [b, d] e post (c) (d) 0, o peut supposer que () (b) 0. Pr u chgemet de vrible, o peut supposer que et b ( e post g(t) (( t + ), ) + (t + )b t [, ] ; ou ecore (x) g b+ (x ), ) x [, b]. Posos mitet pour tout N k : R R, h (t) ( t ) si t [, ], h (t) 0 si t >. O ote l qutité h (t)dt et k h. O k 0 sur R et + k (t)dt. De plus, b 0 ( t ) dt 0 ( t) dt +. Aisi, sur tout itervlle de l orme [, δ] ou [δ, ] vec 0 < δ <, l suite (k ) N uiormémet vers 0. E eet, pour t [, ] vec t δ, o coverge k (t) ( δ ) + ( δ ) 0. O cosidère mitet l octio p déiie sur R pr p (x) ( k )(x) + + (x t)k (t)dt (t)k (x t)dt (x t)k (t)dt (t)k (x t)dt, x R. Pour t [, ], o pour x [, ], x t [, ], doc k (x t) ( (x t) ). D où, pour tout x [, ], o p (x) (t)( (x t) ) dt, ce qui motre que p coïcide vec u polyôme de degré sur [, ]. Motros mitet que (p ) N coverge uiormémet vers sur [, ]. O p (x) (x) δ + δ k (t)((x t) (x))dt δ k (t)((x t) (x))dt + k (t)((x t) (x))dt. δ k (t)((x t) (x))dt Comme sur [, δ] [δ, ], l suite (k ) N coverge uiormémet vers 0, et comme est uiormémet cotiue sur [, ] (cr elle y est cotiue), o e déduit que (p ) N coverge uiormémet sur [, ] vers.
Autre preuve du théorème de Weierstrss. O présete ici l méthode des polyômes de Berstei. Tout d bord, quelques résultts techiques, ds le cs [, b] [0, ]. Soit ue octio cotiue de [0, ] ds R : d près le Théorème 3.7, est uiormémet cotiue sur [0, ]. Pour N, o pose B ()(t) ( ) k C k t k ( t) k, t [0, ], où C k! désige le coeiciet biômil k!( k)!, k 0,,...,. Pour tout N, B () est u polyôme de degré u plus. E remrqut que (t + ( t)) et e développt (t + ( t)) pr l ormule du biôme, o remrque que si est l octio costte égle à, o B ()(t) t pour tout t [0, ]. De même, o motre que pour tout t [0, ], B (id)(t) t, où id(t) t et B (c)(t) t + t, où c(t) t. O motre lors l reltio suivte (k t) Ct k k ( t) k t( t), t [0, ]. (3.) Soit ε > 0 ixé. D près l cotiuité uiorme de sur [0, ] il existe α > 0 tel que pour tout t, s [0, ] vec t s < α, o (t) (s) < ε. Aisi, pour t [0, ], o ote { } E,t,α k {0,,..., }; k t α. Soit F,t,α {0,,..., } \ E,t,α. O k E,t,α C k t k ( t) k () () (3) (k t) α Ct k k ( t) k k E,t,α α (k t) Ct k k ( t) k (4) t( t) α 4α. L première iéglité proviet du it que pour k E,t,α, o (k t) α. l deuxième iéglité viet de E,t,α {0,,..., } et tous les termes de l somme sot positis. L iéglité (3) viet de l expressio (3.). Et ei, l derière iéglité viet de sup t( t). O lors t [0,] 4 B ()(t) (t) () () (3) ( k ( ( k ( ( k ( k E,t,α + k F,t,α ) C k t k ( t) k (t) ) ) (t) Ct k k ( t) k ) ) (t) Ct k k ( t) k ( k ) ) (t) Ct k k ( t) k, où l églité () proviet uiquemet de l déiitio de B (). L églité () viet du it que B ()(t) pour tout t [0, ]. L troisième églité viet de l décompositio {0,,..., } E,t,α F,t,α, vec
E,t,α F,t,α. Aisi, o B ()(t) (t) () () (3) (4) ( ) k (t) Ck t k ( t) k k E,t,α + ( ) k (t) Ck t k ( t) k k F,t,α sup (s) s [0,] sup (s) s [0,] sup (s) s [0,] 4α + ε α α + ε. k F,t,α C k t k ( t) k + ε Ct k k ( t) k L première iéglité proviet de l expressio de B ()(t) (t) trouvée précédemmet. L deuxième iéglité viet de l iéglité trouvée pour Ct k k ( t) k et du it que pour k F,t,α, o k E,t,α k t < α, et doc ( k ) (t) < ε. L troisième iéglité viet de F,t,α {0,,..., }. Ei, l derière iéglité viet de B ()(t) pour tout t [0, ]. Aisi, o peut choisir 0 N tel que pour tout 0, sup (s) s [0,] α ε : 0 e déped que de ε. O lors pour tout t [0, ], B ()(t) (t) ε, ce qui motre l covergece uiorme de (B ()) N vers sur [0, ]. Ds le cs où est cotiue sur u itervlle [, b] quelcoque, o pose g(t) ( + (b )t) pour t [0, ] : g est cotiue sur [0, ] et vériie (x) g( x b ) pour x [, b]. O pplique lors le résultt précédet à g et e post P (x) B (g)( x b ), x [, b], N, o motre cilemet que (P ) N coverge uiormémet vers ds [, b]. 3.4 Séries de octios Le lie etre suites et séries de octios est le même qu etre suites et séries umériques. Ds tout ce prgrphe, I désige u itervlle de R (ouvert ou o, ermé ou o, boré ou o). Déiitio 3.9. Soit ( ) N ue suite de octios à vleurs réelles ou complexes, déiies sur I. O ppelle série de terme géérl et o ote l suite de octios (ϕ ) N, où ϕ (t) k (t), t I est l somme prtielle d ordre. Déiitio 3.0. O dit que l série de octios coverge simplemet (respectivemet uiormémet) sur I si l suite de octios (ϕ ) N coverge simplemet (respectivemet uiormémet) sur I. L covergece simple de reviet à l covergece de l série umérique (t) pour tout t I. Lorsqu il y covergece simple, o ote ϕ : I R ou C l octio déiie pr ϕ(t) (t) pour t I, et o l ppelle somme de l série. Propositio 3.. Ue série de octios coverge uiormémet sur I si et seulemet si elle est uiormémet de Cuchy, c est-à-dire : pour tout ε > 0, il existe N N tel que pour tous p, q N, q p q, o sup k (t) t I ε. kp 3
Preuve. Il suit de voir que le critère de Cuchy uiorme pour l série de octios est le même que le critère de Cuchy uiorme (Théorème 3.0) pour l suite des sommes prtielles (ϕ ) N. E q eet, o ϕ q (t) ϕ p (t) k (t) pour tout t I. kp Exemple 3.. Soit (t) t pour t ], [. Pour tout t ], [, l série (t) coverge vers. L covergece est uiorme sur tout itervlle du type [, ] vec 0 < <. t Corollire 3.3. Si ue série de octios coverge uiormémet sur I, lors l suite de octios ( ) N coverge uiormémet vers l octio ulle. Preuve. Il suit d écrire le critère de Cuchy uiorme pour p q. Les deux résultts suivts doet des coditios suistes pour vériier qu ue série de octios coverge uiormémet. Propositio 3.4 (Covergece ormle). Soit ue série de octios déiies sur I telle que pour tout t I, (t). O suppose que l série umérique est covergete. Alors l série de octios est uiormémet covergete. Preuve. Il suit d ppliquer le critère de Cuchy uiorme pour l série. E eet, o q q q sup k (t) t I sup k (t) k 0, t I p,q kp ce qui motre, d près l Propositio 3., que coverge uiormémet sur I. kp Exemple 3.5. Soit. Soit : R R déiie pr (t), t R. O, pour tout t R, si t. Comme l série est covergete, l série coverge ormlemet, doc uiormémet sur R. Théorème 3.6 (Règle d Abel uiorme). Soit ( ) N ue suite de octios déiies de I ds R ou C. O suppose que pour tout N, o peut écrire g h vec (i) pour tout t I, l suite réelle (g (t)) N est décroisste ; (ii) l suite de octios (g ) N coverge uiormémet vers 0 ; (iii) il existe M > 0 tel que pour tout N, o sup t I Alors l série coverge uiormémet sur I. kp si t h k (t) M. Preuve. O v motrer que le critère de Cuchy uiorme est stisit e utilist l trsormtio d Abel comme ds le cs des séries umériques. O pour tout t I p +k (t) k p (g +k (t) g +k+ (t))h +k (t) g + (t)h (t) + g +p+ (t)h +p (t), k où H h k ( N) est l somme prtielle de (h ) N. O lors pour tout t I, p +k (t) () () k p g +k (t) g +k+ (t) H +k (t) + g + (t) H (t) + g +p+ (t) H +p (t) k ( p ) M (g +k (t) g +k+ (t)) + g + (t) + g +p+ (t) M g + (t). k 4
L première iéglité proviet de l iéglité trigulire. L deuxième iéglité proviet de l hypothèse (iii) du théorème, et du it que les hypothèses (i) et (ii) impliquet que g (t) 0 et g k (t) g k+ (t) 0 pour tout t I et pour tout N. Aisi, o d près l hypothèse (ii). sup t I p +k (t) k M sup g + (t) 0 t I,p Ds l suite, ous étudios commet les propriétés des octios coservées pr l série lorsqu elle coverge. (cotiuité, dérivbilité) sot Théorème 3.7 (Cotiuité). Soit ( ) N ue suite de octios cotiues sur u itervlle I telle que l série coverge uiormémet sur I. Alors l somme de l série est cotiue sur I. Preuve. Appliquer le Théorème 3. à l suite des sommes prtielles (ϕ ) N. Théorème 3.8 (Itégrbilité). Soit ( ) N ue suite de octios déiies sur I, cotiues sur u itervlle [, b] I telle que l série coverge uiormémet sur I. Alors l série umérique ( (t)dt) est covergete et o ( ) ( ) b (t) dt (t)dt 0 Preuve. Appliquer le Théorème 3. à l suite des sommes prtielles (ϕ ) N. Théorème 3.9 (Dérivbilité). Soit ( ) N ue suite de octios de clsse C sur u itervlle I telle que l série coverge uiormémet vers g sur I et l série coverge simplemet vers sur I. Alors est de clsse C (I) et g sur I. Preuve. Appliquer le Théorème 3.3 à l suite des sommes prtielles (ϕ ) N. 0 0 si t, Exemple 3.30. O repred l Exemple 3.5 : pour, : R R est déiie pr (t) t R : l série coverge uiormémet sur R, l somme est doc cotiue d près le théorème sur l cotiuité ci-dessus cr est cotiue sur R. Pour tout, est de clsse C et o (t) cos t pour t R.L série (kπ), k Z, est divergete ( (kπ) ). D utre prt, o vu que pour t R\πZ, l série cos t est covergete : voir Exemples.4 pour α. O peut motrer, grâce u théorème d Abel uiorme, que l série est uiormémet covergete sur tout itervlle du type [kπ + ε, (k + )π ε] pour tout ε > 0 et tout k Z. Aisi, o peut e déduire que l somme de l série est de clsse C sur R \ πz. 3.5 Propositio d exercices Exercice 3.3. 5