Comparatif ancien et nouveau programme PSI / PSI I OBJECTIFS DE FORMATION Les sous-paragraphes concernant le rôle de la pensée algorithmique et l emploi des calculatrices sont supprimés mais font l objet d un chapeau dans le programme à proprement parlé (voir II). Sous-paragraphe supplémentaire concernant les épreuves écrites en temps limité : connaissances exigibles, indications à fournir, barème. II PROGRAMME DES CLASSES PSI ET PSI AVERTISSEMENT Le paragraphe concernant les travaux pratiques et l emploi d un logiciel est supprimé et reporté au chapeau suivant. Même organisation de la présentation (par colonnes suivant le caractère exigible, non exigible, hors programme des connaissances). Un paragraphe supplémentaire quant à la différentiation de l enseignement entre classe PSI et PSI remplace le supplément de l ancien programme concernant les classes PSI : désormais la différence n intervient que dans le niveau d approfondissement variable suivant les objectifs de formation des élèves. ACTIVITÉS ALGORITHMIQUES ET INFORMATIQUE Le texte général est repris des anciens paragraphes sur le sujet, mais les algorithmes proposés sont ici rassemblés, étant précisé qu ils ne constituent nullement une extension de programme. Cette liste diffère de l ensemble des algorithmes qui étaient proposés en rubrique Travaux Pratiques. ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE I. ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE AFFINE 1- Espaces vectoriels ; applications linéaires a) Somme directe de sous-espaces vectoriels Écriture matricielle par blocs (limitée à 4 blocs) en colonne de droite, qui figurait (mal) auparavant dans les rubriques Travaux Pratiques. b) Image et noyau d une application linéaire Passage en colonne droite du sujet interpolation de Lagrange. Disparition : propriétés de P (P(a 0 ),...,P(a n )) de K[X] dans K n+1. Disparition : isomorphisme entre deux supplémentaires F 1 et F 2 d un sous-espace vectoriel E de E via le projecteur de E sur F 1 parallèlement à E. Ajout : Existence d une base anté-duale. 2- Déterminants II. RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES 1- Sous-espaces stables, polynômes d endomorphismes a) Sous-espaces stables Disparition de la définition de drapeau. La caractérisation des endomorphismes représentés sur une base par une matrice triangulaire supérieure subsiste et n est plus seulement géométrique. a) Polynôme d un endomorphisme Le paragraphe concernant le Théorème de décomposition des noyaux disparaît : on conserve les idéaux de K[X] et leur structure, jusqu à l idéal des polynômes annulateurs de u, mais le théorème de décomposition n est plus au programme, pas plus que polynômes premiers entre eux (hors programme PCSI) ou que théorèmes de Bezout et de Gauss. 1
2- Réduction d un endomorphisme a) Valeurs propres, vecteurs propres d un endomorphisme Disparitions : automorphisme u aua 1 et relations entre éléments propres de u et aua 1. b) Valeurs propres, vecteurs propres d une matrice carrée Pas de changement!! L automorphisme M PMP 1 sur une algèbre de matrices carrées est conservé. c) Polynôme caractéristique, d) Réduction en dimension finie Pas de changement (en PSI) (en particulier pour trigonalisation), hormis une CNS de diagonalisabilité supplémentaire qui utilise (X λ). λ Sp(u) Disparitions : tout endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé est trigonalisable, un endomorphisme est trigonalisable si et seulement s il annule un polynôme scindé (ces points figuraient dans les approfondissements PSI ). III. ESPACES EUCLIDIENS, GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE Précision d entrée : illustration par des figures tirées de la géométrie euclidienne du plan et de l espace. 1- Espaces préhilbertiens réels ou complexes a) Formes bilinéaires symétriques (Nouvelle présentation). Espaces vectoriels des formes bilinéaires symétriques et des formes quadratiques, polarisation, mais l étude systématique des formes bilinéaires et quadratiques est exclue. b) Produits scalaires Précision : identité du parallélogramme, identité de polarisation. 2- Espaces euclidiens a) Bases orthonormales Disparition en colonne de droite de l existence d une base orthonormale adaptée à un drapeau. b) Projections orthogonales L expression de la distance de x à F à l aide de p F (x) a disparu en colonne de gauche, mais apparaît en colonne de droite la distance à un sous-espace vectoriel et le procédé d orthonormalisation de Gram-Schmidt. c) Adjoint d un endomorphisme Paragraphe récrit mais de même contenu (en PSI). Disparition : les compléments sur l adjoint qui figuraient dans les approfondissements PSI. d) Réduction des endomorphismes autoadjoints Pas de changement (en PSI). Disparition : la caractérisation des endomorphismes auto-adjoints positifs (ce point figurait dans les approfondissements PSI ). e) Application aux coniques et aux quadriques En plus de la recherche d une équation réduite de conique qui figurait déjà dans le cadre Travaux Pratiques et qui est reconduit, exemples de telles recherches pour une quadrique, description des quadriques usuelles et génération par une famille de droites d un hyperboloïde de révolution à une nappe et d un paraboloïde hyperbolique. ANALYSE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE I. SUITES ET FONCTIONS 1- Normes et distances, suites 2
Pas de changement notable. 2- Espaces vectoriels normés en dimension finie Pas de changement notable (en PSI), l étude et l emploi des suites de type u n+1 = f(u n ) passe de l ancienne rubrique Travaux Pratiques à la colonne de gauche. Disparition : Dans un espace vectoriel de dimension finie, le théorème de Bolzano-Weierstrass, la caractérisation séquentielle des compacts, la continuité uniforme d une fonction continue sur une partie compacte d un tel espace (ces points figuraient dans les approfondissements PSI ). 3- Séries de nombres réels ou complexes Pas de changement important (en PSI)), mais une présentation regroupée (puisque le paragraphe Séries du III de l ancien programme est reproduit ici). Disparition : l extension aux séries d éléments d un espace vectoriel de dimension finie (ce point figurait dans les approfondissements PSI ). Disparition : w n = n (t n + 1)f (t)dt si f C 1 obtenu par intégration par parties dans le n 1 paragraphe de comparaison série-intégrale... Précision : pas de démonstration exigible concernant les résultats relatifs au produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes. 4- Suites et séries de fonctions a) Convergence simple, uniforme, normale Toute phrase relative aux convergences ( sur tout segment disparaît, ainsi que la majoration en cas + ) + de convergence normale de série : N f n N (f n ). n=0 n=0 b) Approximation des fonctions d une variable réelle Paragraphe inchangé. II. FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE : DÉRIVATION ET INTÉGRATION 1) Dérivée des fonctions à valeurs vectorielles a) Dérivée en un point En colonne de droite disparaît pour e unitaire l orthogonalité de e et De... b)- Fonctions de classe C k Paragraphe inchangé. Le paragraphe Fonctions de classe C k par morceaux disparaît, la définition pour k = 1 est introduite dans le paragraphe Séries de Fourier. 2) Intégration sur un segment des fonctions à valeurs vectorielles a) Intégrale d une fonction continue par morceaux b) Intégration sur un segment des suites de fonctions continues Dans ce paragraphe sont transférés les théorèmes de dérivation de la limite d une suite de fonctions et de dérivation terme à terme d une série de fonctions, épurés des extensions aux fonctions de classe C k et des formulations avec convergence uniforme sur tout segment. Colonne de droite : pour f C 1 sur I et tout [a,b] I, N (f) f(a) + [a,b] f. 3) Dérivation et intégration a) Primitive et intégrale d une fonction continue b) Étude globale des fonctions de classe C 1 Les extensions au cadre des fonctions continues par morceaux (primitive, théorème fondamental) ou continues et C 1 par morceaux (i.p.p., inégalité des accroissements finis) ont disparu, sauf pour le théorème de changement de variable strictement monotone. 3
c) Formules de Taylor Paragraphe non modifié : incluse son application aux fonction C k sur I et C k+1 par morceaux (??) Le paragraphe relatif au théorème de relèvement est supprimé. Le paragraphe relatif aux intégrales à paramètre est déplacé : le cadre particulier aux intégrales sur un segment disparaît. 4) Intégrales impropres - Fonctions intégrables Nouvelle formulation qui réalise une synthèse des deux précédents programmes : les termes intégrale impropre, intégrale généralisée, fonction intégrables, convergence absolue, divergence et semi-convergence sont tous présents, mais l étude de la semi-convergence n est pas un objectif du programme. 5) Propriétés de l intégrale a) Propriétés élémentaires En plus des extensions des propriétés de l intégrale sur un segment figure un théorème de changement de variable (bijectif) absent de l ancien programme. b) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique Paragraphe inchangé. c) Théorème de convergence dominée Exit le théorème de convergence monotone. Disparition en colonne de droite de la non exigibilité dans le cas où (f n ) converge uniformément sur tout segment. d) Intégration terme à terme d une série de fonctions Logiquement, ne subsiste plus que le théorème général : disparaissent les cas particuliers d une série de fonctions à valeurs positives, le cas d une convergence uniforme sur tout segment, ainsi que les inégalités faisant intervenir N 1 (f n ). e) Intégrales dépendant d un paramètre Reformulation complète pour un unique théorème de continuité et un unique théorème de dérivation : plus de séparation des cas suivant le type d intervalle d intégration, hypothèses de régularité qui portent sur les fonctions partielles. À noter que contrairement aux paragraphes concernant les suites et séries de fonctions, le programme comporte une extension au cas d une condition de domination vérifiée sur tout segment. Par contre, aucune extension au cas de fonctions de classe C k n est précisée. 6) Courbes du plan et de l espace a) Propriétés élémentaires Pas de changement particulier. Un paragraphe spécifique à l étude des branches infinies, notamment dans le cas particulier des courbes données par une équation polaire. III. SÉRIES ENTIÈRES, SÉRIES DE FOURIER 1) Séries entières Seule modification : le lemme d Abel est appelé par son nom. 2) Séries de Fourier Seules modifications : la définition d une fonction C 1 par morceaux sur R est introduite dans ce paragraphe, et l extension des résultats du paragraphe sur les coefficients de Fourier ne concerne plus que les fonctions C k sur R (et non C k 1 et C k par morceaux). IV. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 1) Équations différentielles linéaires Aucun changement (en PSI). 4
Disparition : utilisation de l exponentielle d un endomorphisme pour l étude des équations différentielles linéaires (ce point figurait dans les approfondissements MP ). 2) Notions sur les équations différentielles non linéaires Disparition de l étude des systèmes différentiels autonomes. Ne reste plus que définition d une solution et théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations scalaires x = f(x,t) avec f C 1 sur un ouvert de R 2. V. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 1) Calcul différentiel a) Applications continûment différentiables b) Fonctions numériques continûment différentiables c) Dérivées partielles d ordre k 2 Disparaît l algèbre C k (U) et la linéarité des opérateurs D j. d) Coordonnées polaires L ancien intitulé coordonnées polaires d un point de R 2 est précisé : détermination principale de l argument d un nombre complexe, et difféomorphisme (ρ,θ) ρe iθ de ]0,+ [ ] π,π[ sur son image. d) Notions sur les courbes et les surfaces 2) Calcul intégral 5