Corrigé Exercice : (5 poits) Pour les questios. et. o doera les résultats sous forme de fractios et sous forme décimale par défaut à 0 3 près. U efat joue avec 0 billes, 3 rouges et 7 vertes. Il met 0 rouges et 3 vertes das ue boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes das ue boîte cylidrique.. L'expériece aléatoire cosiste à choisir simultaémet et au hasard trois billes das ue boîte cubique qui e cotiet 3. Par coséquet, e ommat Ω l'uivers, o a : card Ω = 3 3! 3 3 = = = 86. 3!(3 3)! 6 X est la variable aléatoire égale au ombre de billes rouges choisies, doc X peut predre les valeurs 0,, ou 3. L'évéemet (X=3) est réalisé lorsque 3 billes rouges ot été tirées parmi les 0 présetes, doc card (X=3) = 0 3 = 0. Ayat équiprobabilité sur Ω, o e déduit que : card( X = 3) 0 p (X=3) = = 0, 49 cardω 86 = L'évéemet (X=) est réalisé lorsque billes rouges sot tirées parmi 0 et lorsqu'ue bille verte est tirée parmi 3. Par coséquet : 0 p (X=) = 3 = 35 0, 47 86 86 = O calcule de même : 0 p (X=) = 3 = 30 86 86 = 5 0,04 43 = p (X=0) = 3 3 86 = 0,003 86 = La loi de probabilité de X est doc doée par le tableau suivat : X = x i 0 3 p ( X=x i ) 0,003 0,04 0,47 0,49 b. D'après le tableau de la questio précédete : E(X)= 0 86 + 30 86 + 35 86 + 3 0 86 = 660 86 = 30,30 3 =.. a. La situatio du secod jeu peut être représetée par l'arbre suivat : Termiale S Page sur 5
C C 0 3 3 3 3 7 4 7 R V R V b. C et C sot cotraires doc R C et R C formet ue partitio de R doc d'après la formule des probabilités totales, p(r) = p( R C ) + p( R C ) = p( C ) p C (R) + p( C ) p C (R) = 0 3 + 3 7 = 5 3 + 3 4 = 09 0,598 8 = C : c. L'éocé demade de calculer p R( ) p( C R) 70 p R( C ) = = = p(r) 0 3 09 8 0,64 09 = 3. a. Soit E l'évéemet " l'efat a pris au mois ue bille rouge au cours de ses choix ". Alors, E est l'évéemet " l'efat 'a jamais pris de bille rouge au cours de ses choix ". L'évéemet " e pas obteir de bille rouge lors d'u tirage " est R. O a p( R) = p(r) = 09 8 = 8. Les tirages état supposés idépedats, o e déduit que p( E) p( ) Par coséquet, p = p ( E) = 8 b. O écrit : p 0,99 0,99 0,0 8 8 l l 0,0 l 0,0 (car 8 l 8 l 0,0 O a 5,04. l 8 Par coséquet, le plus petit etier pour lequel p 0,99 est 6. Exercice : (,5 poits) élève ayat pas suivi l eseigemet de spécialité a est u ombre réel o ul. M et M sot les poits d'affixes respectives z et z solutios de l'équatio : z az + + a = 0. Pour quelle(s) valeur(s) de a le triagle OM M est-il équilatéral? a est u ombre réel o ul. = R = 8 8 < ).. Termiale S Page sur 5
M et M sot les poits d'affixes respectives z et z solutios de l'équatio (E) : z az + + a = 0. ( ) ( ) Δ= a 4 + a = 4a 4 4a = 4< 0; Doc (E) admet pour solutios : z = a i = a i z = z = a+ i. OM = z = a i = a +, OM z z z OM et M' M' a = 3 = = = = et ( ) ( ) O o a = 3 MM = z z = a+ i a i = i=. Doc OM M est-il équilatéral M M = OM { } a + = a + = 4 a = 3 a= 3 ou a= 3, S = 3; 3. M M Exercice : (,5 poits) élève ayat suivi l eseigemet de spécialité Les questios et sot idépedates... Le pla est rapporté à u repère orthoormal direct ( Ouv ;, ) Détermier l écriture complexe de la symétrie s par rapport à la droite d d équatio y = x +. Soit s la réflexio d axe d d équatio y = x +. s est ue similitude idirecte doc l écriture complexe de s est z' = az+ b, a et b deux ombres complexes. O choisit deux poits de d. Ils sot doc ivariats par s. Soit A(i) et B(+i). ( ) Aussi, i = a i + b + i = a( i) + b. La résolutio de ce système amèe : a = i et b = + i. Doc l écriture complexe de s est z' = iz + i. Soit ABC u triagle isocèle rectagle e A, de ses direct et I le milieu de [BC]. O désige par r la rotatio de cetre A et d agle π et par s la symétrie d axe (AI). O pose f Vérifier que A et B sot ivariats par f. E déduire la ature de f. A est le cetre de la rotatio r doc r( A) s( A) = A. Aussi, ( ) = ( ) = ( ) = s r. = A. Et l axe de symétrie passe par A doc f A s r A s A = A. A est ivariat par f. ABC est isocèle e A doc AB =AC doc la droite (AI) est la médiatrice de [BC]. Doc s( B) = C et sc ( ) = B. Le triagle ABC est direct doc r( B) = C. Aussi, f ( B) = s r( B) = s( C) = B. B est ivariat par f. La similitude s fixe deux poits doc f est soit ue réflexio d axe (AB) soit l idetité. Supposos que f soit l idetité. Alors s r = d s = r s= r, car s = s. Comme s r, f est pas l idetité doc f est la réflexio d axe (AB). Exercice 3 : (3,5 poits) O cosidère u cube ABCDEFGH, d arête de logueur a (a réel strictemet positif). Soit I le poit d itersectio de la droite (EC) et du pla (AFH). Termiale S Page 3 sur 5
. Calculer, e foctio de a, les produits scalaires suivats : EA. AF, AB. AF, BC. AF. EA. AF = AE. AF = AE AF cos π = a a = a 4 AB. AF = AB AF cos π = a a = a 4 BC et AF sot des vecteurs de faces perpediculaires. Ils sot doc orthogoaux. Doc BC. AF = 0. E déduire que les vecteurs EC et AF sot orthogoaux. EC. AF = ( EA + AB + BC ). AF = EA. AF + AB. AF + BC. AF = a + a = 0. Doc les vecteurs EC et AF sot orthogoaux. O admettra de même que les vecteurs EC et AH sot orthogoaux. 3. E déduire que le poit I est le projeté orthogoal de E sur le pla (AFH). Les vecteurs EC et AH sot orthogoaux et les vecteurs EC et AF sot orthogoaux. De plus, les droites (AF) et (AH) sot sécates ( e A) doc la droite (EC) est perpediculaire au pla (AFH). Or I le poit d itersectio de la droite (EC) et du pla (AFH). Doc le poit I est le projeté orthogoal de E sur le pla (AFH). 4. (a) Justifier les résultats suivats : les droites (AF) et (EH) sot orthogoales, aisi que les droites (AF) et (EI). Les droites (AF) et (EH) appartieet à des plas perpediculaires doc elles sot orthogoales. D après la questio précédete, les droites (AF) et (EI) sot orthogoales. (b) E déduire que la droite (AF) est orthogoale à la droite (HI). D après la questio précédete, les vecteurs EH et AF sot orthogoaux doc EH. AF = 0 et les vecteurs EI et AF sot orthogoaux doc EI. AF = 0. Aussi, EH. AF EI. AF = 0 IH. AF =0. La droite (AF) est orthogoale à la droite (HI). Termiale S Page 4 sur 5
(c) Etablir de même que la droite (AH) est orthogoale à la droite (FI). De même, les droites (AH) et (EF) appartieet à des plas perpediculaires doc elles sot orthogoales. D après la questio 3, les droites (AH) et (EI) sot orthogoales. Alors, EF. AH = 0 et EI. AH = 0doc EI. AH EF. AH = 0 FI. AH = 0 La droite (AH) est orthogoale à la droite (FI). 5. Que représete le poit I pour le triagle AFH? D après les questios précédetes, I est l orthocetre du triagle AFH. Termiale S Page 5 sur 5