Produit Scalaire Site MathsTICE de dama Traoré Lycée Technique amako I- Norme d un vecteur 1 ) Définition : u étant un vecteur de représentant le bipoint (;), on appelle norme de u le nombre réel positif noté : u d( ; ) u u d( ; ) ) Propriétés : Soit V l ensemble des vecteurs du plan P 1 ) : u V, u > 0 P ) : P 3 ) : u V, u 0 u 0 u V, v V et k R, si u k v alors u k v 3 ) Egalité de deux vecteurs non nuls Deux vecteurs non nuls sont dits égaux s ils ont même norme, même direction et même sens II- Produit scalaire 1 ) Définition : soient u et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire du vecteur u par le vecteur v le réel noté : que : droite (O) Remarque : Si l angle ( O ; O ) est aigu alors le produit scalaire u v tel u v OH O O O où H est le projeté orthogonal de sur la u v OH O (Expression algébrique du produit scalaire) Si l angle ( O ; O ) est obtus alors le produit scalaire O O est positif ; O O est négatif Cours Produit Scalaire Page 1 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
) Propriétés du produit scalaire On démontre et on admettra les propriétés suivantes P 1 ) u v v u P ) ( k u ) v u ( kv ) k ( u v ) P 3 ) u ( v + w ) ( u v ) + ( u w ) et ( v + w ) u ( v u ) + ( w u ) P ) u u 0 et si u 0 alors u f 0 P 5 ) u 0 0 Remarque : u u se note u u u et «on lit carré scalaire de u» 3 ) Expression trigonométrique du produit scalaire Soit u O et v O deux vecteurs du plan O O OH O OH O OK O OK O O O OH O OH Calculons OH ; cos(ô) O OH O cos(ô) D où O O O O cosα où α est une mesure de l angle (O ;O ) O O O O cosα (Expression trigonométrique du produit scalaire) π Remarque : Si O O alors O O O O cos 0 ) Produit scalaire et triangle Soit O,, trois points non alignés du plan tels que u O et v O v O α u Cours Produit Scalaire Page sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
Calculons le carré scalaire : ( u v ) ( u v ) u u v + v u v ( u v ) u v u v u + v ( u v ) u + v ( u v ) u v or u v O O O + O D où : O + O O O 5 ) Calcul du sinus d un angle orienté Soient u ( x; y) et v( x' ; y' ) deux vecteurs dans la base ( i ; j ) et α une mesure de u; Nous avons les formules suivantes : l angle ( v) dét( u ; v ) Sinα et Cosα u v u u v v III- Étude analytique du produit scalaire 1 ) Expression du produit scalaire dans une base orthonormale Soit ( i ; j ) une base orthonormée de V et soient u ( x; y) et v( x' ; y' ) deux vecteurs de V Calculons u v en fonction des coordonnées de u et v ( xi + y j ) ( x' i + y' j ) ( xx' ) i + ( xy' )( i j) + ( yx' )( j i) ( yy' ) j u v + ( i ; j ) étant une base orthonormée on a : i 1 ; j 1 et i j 0 D où : u v x x' + y y' ) Expression de la norme d un vecteur dans une base orthonormée Soit u ( x; y) dans la base orthonormée ( i ; j ) u xi + y j u u ( xi + y j ) ( xi + y j ) x i + ( xy)( i j) + x + y ; donc y j u x + y u x + y 3 ) droites perpendiculaires Soient les droites (D) de vecteur directeur u ( a; b) et (D ) de vecteur directeur v ( a' ; b' ) dans une base orthonormée (D) (D ) u v 0 aa + bb 0 Exemple : Soient (D) : 3x + y 1 0 et (D ) : x 3y + 5 0 Montrer que (D) et (D ) sont perpendiculaires Cours Produit Scalaire Page 3 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
) Équation d un cercle Soit ( O i ; j ) ; un repère orthonormé du plan P soit I(a ; b) un point du plan et r un réel strictement positif Le cercle de centre I et de rayon r est l ensemble des points M(x ;y) de P tels que la distance de I à M est égale à r Soit C {M P / d(i ;M) r } ; d(i; M) r ( x a) + ( y b) r (x a) + (y b) r Remarque Un point M appartient au cercle C de diamètre [] ( M M 0 ) Exemple Déterminer une équation du cercle de diamètre [], où ( ;3) et ( 1 ; 0) IV- pplications du produit scalaire 1 ) Généralisation du théorème de Pythagore (ou loi du cosinus) a) Soit C un triangle quelconque tels que c ; C b ; C a Comme C C C C + C ( + C) ; on peut écrire + C + C C + C + C C cos( α) C + C C cos(α) Si l angle  est droit alors on a: C + C car cos(α) 0 On retrouve ainsi le théorème de Pythagore b) Conclusion : Dans un triangle C si on désigne par c ; C b ; C a ; mes(âc)  ; mes(ĉ ) Ĉ ; mes(c ˆ ) ˆ, alors on a : a b + c b c cos(â) b a + c a c cos( ˆ ) c a + b a b cos(ĉ ) Relation d L KSHI Cours Produit Scalaire Page sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
) ire d un triangle L aire du triangle C est donnée par la formule 1 b c sin(â) 1 a b sin(ĉ ) 1 a c sin( ˆ ) 3 ) Formule des trois sinus On utilise les formules précédentes De 1 b c sin(â) 1 a b sin(ĉ ) on déduit De 1 b c sin(â) 1 a c sin( ˆ ) on déduit D où : sin a b c R sin sin C (R étant le rayon du cercle circonscrit au triangle C) a sin a sin c sin C b sin ) Ensemble (E) des points M du plan tels que : M M k ( k IR) Considérons un segment [] de milieu I soit M un point du plan M M MI ( MI + I) ( MI + I) MI + MI ( I + + MI ( I + I) MI MI MI ( I I) + I I + I I cos( π ) D où : M M k MI k IM k + M M k IM k + Cours Produit Scalaire Page 5 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
Si Si Si k + < 0 alors (E) k + 0 alors (E) { I } k + > 0 alors IM k + ; d où (E) est le cercle de centre I et de rayon r IM Exemple Soient et deux points du plan tels que Déterminer et construire l ensemble (E ) des points M du plan tels que : M 8 M Soit I le milieu de [] ; M M k IM k + M M 8 IM 9 IM 3 D où l ensemble (E ) des points M cherchés est le cercle de centre I et rayon r 3 5 ) Distance d un point à une droite On démontre et admettra que : si (D) est la droite d équation : ax + by + c 0 (a ; b) (0 ; 0) et si (x ;y ) est un point du plan, alors la distance de à (D) est : d( ; D) ax + by a + b + c Cours Produit Scalaire Page 6 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
arycentre de ; 3 ; points pondérés Site MathsTICE de dama Traoré Lycée Technique amako I Notion de points pondérés a) Définition : On appelle point pondéré tout couple ( ; α) formé d un point du plan et d un réel α b) Notation : ( ; α) se lit «affecté du coefficient α» ou (α) II arycentre de points pondérés 1 ) ctivité : Soient ( ; a) ; ( ; b) deux points pondérés et M un point du plan P Discuter suivant les valeurs de (a+b) l ensemble des points M du plan vérifiant : a M + b M 0-0- M P / a M + b M 0 (fixons le point ) a M+ b M + b 0 (a+b) M+ b 0 (a+b) M b b a + b a) 1 er cas : Si (a+b) 0 alors M Donc M est unique dans le plan b) ème cas : Si (a+b) 0 alors b 0 soit b 0 ou 0 Donc tous les points M du plan sont solutions ) Définition : Etant donnés deux points pondérés ( ; a) ; ( ; b) avec a+b 0 On appelle barycentre desz points pondérés ( ; a) ; ( ; b) l unique point G du plan tel que : ag + bg 0 3 ) Conséquences [G barycentre de ( ; a) ; ( ; b)] [ ag + bg 0 ] Étant donnés deux point pondérés ( ; a) ; ( ; b) et k 0 un réel Si G est barycentre de ( ; a) ; ( ; b) alors G est barycentre de ( ; ka) ; ( ; kb) ) Remarque Si a 1 et b 1 alors G barycentre de ( ; 1) ; ( ; 1) est appelé l isobarycentre ou l équibarycentre des points pondérés ( ; 1) ; ( ; 1) 5 ) Théorème Étant donnés deux points pondérés ( ; a) ; ( ; b) Si G est barycentre des points pondérés ( ; a) ; ( ; b) alors les points ; ; G sont alignés Cours Produit Scalaire Page 7 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
Démonstration G barycentre des points pondérés ( ; a) ; ( ; b) ag + b G 0 (fixons ) ag + bg+ b 0 (a+b)g + b 0 (a+b) G b b G a + b G est colinéaire à D où ; ; G sont alignés III Coordonnées du barycentre de points pondérés 1 ) Définition Soient ( x; y ) ; ( x; y ) deux points du plan dans le repère ( O ; i ; j) et G ( x y G; G ) barycentre de (a) et (b) on appelle coordonnées barycentriques (ou coordonnées du barycentre G) l unique couple (x G ; y G ) tels que : x G a x + b x a y + b y et y G a + b a + b ) Exemple : soit les (1 ;) et ( 3 ; ) Trouver les coordonnées du barycentre G des points pondérés ( ; ) et ( ; ) 1 8 x G 7 ; yg 6 D où G( 7 ; 6) IV Construction du barycentre de points pondérés pplication : construire le barycentre G des points pondérés et dans les cas suivants a) ( ; ) et ( ; 5) b) ( ; 5) et ( ; ) c) ( ; ) et ( ; ) Solution a) G barycentre de ( ; ) et ( ; 5) 5 7 G + 5G 0 G + 5G + 5 0 7 G + 5 0 7 G 5 5 G 7 G Cours Produit Scalaire Page 8 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
b) G barycentre de ( ; 5) et ( ; ) 5 G + G 0 G 1 /3 1/3 G 5 G + G + 0 3 G + 0 3G G 3 Posons G' donc G G' 3 V arycentre de 3 points pondérés 1 ) Propriétés Le barycentre de plusieurs points pondérés peut se ramener de proche en proche à la recherche du barycentre de deux points pondérés Exemple : Soient (;α) ; (;β) ; (C;γ) trois points pondérés tels que : α+β+γ 0 et α+β 0 Soit G 1 barycentre des points pondérés (;α) et (;β ) ; on a : α G1 + βg1 0 (en fixant ) αg1 + βg1 + β 0 β ( α + β ) G1 + β 0 G1 0 Soit G barycentre des points α + β pondérés (G 1 ;α+β) et (C;γ) ; on a : ( α + β ) GG1 + γ GC 0 (en fixant G 1 ) ( α + β ) GG1 + γ GG1 + γ G1C 0 γ ( α + β + γ ) GG1 + γ G1C 0 ( + β + γ ) G1 G γ G1C 0 G G G1C α + β + γ α 0 1 ) Définition Étant donnés trois points pondérés (;α) ; (;β) ; (C;γ) tel que α+β+γ 0 On appelle barycentre des points pondérés (;α) ; (;β) ; (C;γ) l unique point G tel que : α G + βg + γ GC 0 3 ) Exemple : Soit C un triangle Déterminer et construire le barycentre G des points pondérés ( ;1) ; ( ;) ; (C ; ) Cours Produit Scalaire Page 9 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
VI Ligne de niveau de l application M M k ( k R) Déterminons dans le plan P l ensemble des points M tels que Soit M un point du plan et H son projeté orthogonal sur () M k M H On sait que M H k H k Étant donné un réel k, on a M k H insi M vérifie M k si et seulement si son projeté orthogonal sur () est le point H déterminé par k H L ensemble des points M cherché est la droite ( ) perpendiculaire à () au point H tel que : k H pplication : soit deux points et tels que et l application f : P M P a M a) Construire les lignes de niveau 1 ; 0 de f b) Déterminer l ensemble des points M tels que f ( M ) Solution a) K 1 K 1 ; ( M ) 1 M H f M H M k H 1 1 H L ensemble des points M cherchés est la droite ( ) perpendiculaire à () passant par le point H tel que : 1 H Cours Produit Scalaire Page 10 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
K 0 M0 H 0 0 H ; les points et H sont confondus M H L ensemble des points M est la droite perpendiculaire à () passant par H VII Ligne de niveau de l application M Déterminons l ensemble (E) des points M du plan tel que Soit I le milieu de [] M + M k M + M k ( k R) ( ) ( ) MI + I + MI + I k R) M + M k ;( k MI + MI I + I + MI + MI I + I k M MI + I + I + MI( I + I) k comme I + I 0 MI + I + I k comme I I I MI + I k MI + k MI + k k MI k MI 1 er cas : Si k < 0, alors l ensemble (E) des points M cherchés est le vide, (E) ème cas : Si k 0, alors l ensemble (E) des points M cherchés est {I} (E) {I} 3 ème cas : Si k > 0, alors MI k L ensemble (E) des points M cherchés est le cercle de centre I et de rayon k r Cours Produit Scalaire Page 11 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique
VIII Ligne de niveau de l application M M M k ( k R) Déterminons l ensemble des points M du plan tels que M M k Soit I milieu de [], M un point du plan et H le projeté orthogonal de M sur () M ( MI + I) ( ) MI M I M H I ( ) M M MI + MI I + I MI + MI I I M M MI I M M HI I M M IH M M IH M M k IH k k IH L ensemble des points M cherchés est la droite ( ) perpendiculaire à () au point H tel que : k IH Cours Produit Scalaire Page 1 sur 1 dama Traoré Professeur Lycée Technique