MATHÉMATIQUES. 1. PROPRIÉTES et ENSEMBLES.

MATHÉMATIQUES. Le Petit Larousse Illustré 1994 donne la définition suivante : Mathématique (de mathêma = science en grec) : nom s. ou pl. 1. Science qui étudie par le moyen du raisonnement déductif les propriétés d êtres abstraits (nombres, figures géométriques, fonctions, espaces, etc.) ainsi que les relations qui s établissent entre eux. 1. PROPRIÉTES et ENSEMBLES. Les êtres abstraits de la définition du P.L.I. sont aussi dits objets (d étude mathématique) ; ils sont caractérisés par leurs propriétés et faire des mathématiques consiste à trouver les propriétés qui en découlent logiquement (= par le raisonnement déductif). 1.1. Propriétés. Une propriété (mathématique) est une qualité (= condition) concernant les objets qui est telle qu un objet la vérifie (= l a, = la possède) ou sinon ne la vérifie pas. Ces propriétés ont été découvertes et mises en valeur peu à peu lors du développement des mathématiques depuis l antiquité. Exemples. Être un entier relatif pair ; être une fonction continue ; être une isométrie linéaire du plan. Remarques. 1) Étant donnée une propriété, on définit la propriété opposée (= contraire) par : un objet la vérifie si et seulement si (noté s.s.si) il ne vérifie pas la propriété initiale. 2) Á partir d un certain nombre (fini ou infini) de propriétés, on définit deux autres propriétés par : i) avoir toutes ces propriétés ; ii) avoir au moins une de ces propriétés. 3) La propriété contraire de avoir toutes ces propriétés est avoir la propriété opposée d au moins une de ces propriétés et la propriété opposée de avoir au moins une de ces propriétés est avoir toutes les propriétés contraires de ces propriétés. 1.2. Ensembles. Un ensemble est la collection de tous les objets ayant en commun la même propriété (qui peut être définie par plusieurs propriétés). Ces objets s appellent (= sont dits) les éléments (= les points) de l ensemble. Remarque. Un ensemble est lui-même un objet mathématique. Exemples. Le plan est l ensemble de ses points et on peut considérer l ensemble des plans de l espace. 2. Les MATHÉMATIQUES. Elles s écrivent et se lisent (on appelle énoncé d un problème, d un exercice, d un théorème, l écriture de celui-ci). L ordre suivant lequel on les écrit est très important. 2.1. Symboles. Pour condenser l écriture, ce qui facilite grandement la compréhension et le raisonnement, on note (= on représente, = on désigne) en général les objets par des symboles (lettres, chiffres,...) écrits souvent en italiques. 1

a) Certains symboles désignent toujours le même objet (mathématique) : i) les chiffres arabes (indiens) : 0, 1, 3,... ; b ii),,,,, etc. (voir ci-après). a b) Certains ensembles, parfaitement définis (= uniquement déterminés par leurs propriétés) sont notés par un symbole fixé : Ø désigne l ensemble vide (= qui n a aucun élément) ; N désigne l ensemble des entiers naturels ; Z désigne l ensemble des entiers relatifs ; Q désigne l ensemble des nombres rationnels ; R désigne l ensemble des nombres réels ; C désigne l ensemble des nombres complexes. Lorsque qu une étude est valable pour R ou C, on désigne, parfois, par K l un ou l autre de ces ensembles. c) En ce qui concerne les autres symboles, ils peuvent représenter n importe quel objet. Si dans un bloc mathématique (une définition, un énoncé, une démonstration...) un symbole représente un objet, on l introduit (= le définit), en général, de la façon suivante : Soit (= considérons, = donnons-nous) E un ensemble (un objet) ayant telle (ou telles) propriété, ou bien, posons E =.... On dit alors que E est défini (on dit même bien défini), en insistant sur le fait qu il n y a pas d ambiguïté sur l objet (ou type d objet) représenté par E. Tout au long du bloc mathématique, E conserve cette définition (= qualité) chaque fois qu on l utilise de sorte que ce que l on déduit de ce bloc est vrai (= valable) pour tout objet ayant les mêmes propriétés que E. On peut représenter une propriété par : Soit la propriété P définie par... ). Si c est le cas, non P représente la propriété opposée de P. On peut même représenter une phrase mathématique par un symbole : ((*)... ). 2.2. Ensembles. Soient E un ensemble et x un objet : 1) en écrivant x E, on lit et on signifie x appartient à (= est un élément (quelconque) de) E, dans certains cas (voir ci-après) on lit x est une variable (indépendante) dans E ou x est une inconnue dans E ou x est un indice (ou un paramètre) dans E ; 2) en écrivant x / E, on lit et on signifie x n appartient pas à E ; 3) en écrivant soit x E, on définit le symbole x comme représentant un élément quelconque, fixé dans la suite du bloc mathématique, de (l ensemble) E, introduit précédemment ; 4) en écrivant soit, pour (tout) x R, f(x) = x 2 +1 (= posons f(x) = x 2 +1 (x R) ) on introduit la fonction f définie sur R. Dans cette expression x est une variable (= une inconnue) dans R (on dit aussi que x parcourt R). Le symbole x n est pas fixé (on n a pas dit soit x R!) de sorte que l on a aussi pour A R, f(a) =A 2 + 1. b Exemple. Étudions les symboles dans posons I = f(t)dt. Ceux qui ont dû être définis a avant sont a, b, f,, dt, celui qui est défini par cette phrase est I et enfin celui qui est une variable est t (on peut remplacer t par x ou tout autre symbole sans changer I). 2

Si un ensemble X est défini par certaines propriétés, on écrit X = {x : x (est un objet) ayant ces propriétés} qui se lit, et signifie, ensemble des x tels que x vérifie (= a) ces propriétés. Dans cette écriture x est, ici aussi, une variable non fixée (= non définie) et on peut la remplacer par y (ou par A, ou... ). 2.3. Définitions. Puisque les mathématiques étudient les propriétés, un grand bloc de mathématique (branche, livre, chapitre, paragraphe,...) commence par des définitions, du type on dit qu un objet est... s il a les propriétés... (*), qui consistent à donner un nom (propre = particulier) à : 1) une propriété (bien définie) ; exemples : pair, continu, isométrie,... ; 2) un type d objets (bien définis) ; exemples : un (nombre) réel, un entier naturel,... ; 3) une structure (mathématique) c.à.d. un ensemble fini ou infini de propriétés, dit ensemble des axiomes de la structure mathématique ainsi nommée ; exemples : structure de groupe, structure d espace vectoriel,... ; un ensemble E a (= est muni de = vérifie les axiomes de) cette structure s il a ces propriétés et l intéret de la structure est qu alors E vérifie d autres propriétés intéressantes. Souvent, par abus de langage, on dit par exemple soit G un groupe à la place de soit G un ensemble vérifiant les axiomes d une structure de groupe (on dira que G, ainsi défini, est un objet stucturé) et on dit que les propriétés vérifiées par tout groupe sont des propriétés des groupes. 2.4. Quantificateurs. Ils sont utilisés (dans la pratique courante des mathématiques) pour abréger, encore plus, l écriture (bien qu on puisse ne jamais les utiliser), on les considère comme des symboles fixés une fois pour toutes : 1) le symbole... est mis pour quelque soit... (= pour tout... ) et est suivi, en général, de on a... (= il est vrai que... ) ; exemple : x E, on a..., où E est un ensemble déjà défini et x est une variable dans E ; 2) le symbole... est mis pour il existe un... (= on peut trouver un..., = on peut construire un... ) et est suivi, en général, de tel que... (= qui vérifie... ) ; exemple : x E, tel que... ; ici x est, en général, fixé ; 3) le symbole... est mis pour il n existe pas de (= il n existe aucun... = on ne peut trouver aucun... ) et est suivi, en général, de tel que... ; 4) le symbole!... est mis pour il existe un... et un seul (= il existe un unique... ) et est suivi, en général, de tel que.... L ordre dans lequel ces quantificateurs sont écrits est très important (à voir en exercice). Le contraire de x E, on a... est : x E, tel que l on n a pas.... Le contraire de x E, tel que... est x E, on n a pas.... 2.5. Démonstrations. Soient P et Q des propriétés. Les mathématiques progressent en essayant de répondre (en utilisant le raisonnement déductif) à des questions de types suivants : (*) Dans toute définition, si est mis pour s.s.si. 3

(I) (II) Existe-t-il un objet ayant (la propriété) P? Si un objet a (la propriété) P, a-t-il (la propriété) Q? En réponse à chacune de ces questions, on peut : 1) répondre oui ou non ; 2) savoir qu on ne peut pas répondre ; 3) ne pas savoir répondre pour l instant. Pour répondre oui ou non, on écrit un bloc mathématique appelé démonstration (= preuve) et on dit alors que l on a démontré (= prouvé) un résultat (mathématique) dit, en général, théorème (ou lemme, ou corollaire, selon son importance). A) Une démonstration du théorème Il existe un objet vérifiant P (ceci est la réponse oui à (I)) consiste à introduire des objets déjà connus (= définis) et à définir (= construire) à partir d eux, au moyen d opérations connues, un objet. On vérifie que cet objet a la propriété P en utilisant en général des théorèmes déjà démontrés. Exemple. Démonstration (due à Euclide) de il existe des nombres premiers arbitrairement grands dans N : soit n un entier 2, on pose N = n! + 1 ; on sait que N est divisible par un nombre premier et celui-ci est > n car le reste de la division de N par tout entier p, tel que 1 < p n, est égal à 1. (Noter que arbitrairement grand signifie > n,pour (n importe quel) n introduit, par soit n, au début de la preuve). B) Une démonstration, dite par l absurde, du théorème : il n existe aucun objet ayant P (ceci est la réponse non à (I)) consiste à considérer (= introduire) un objet ayant P et à en déduire logiquement une contradiction. En général on construit des objets A et B tels que l on ait à la fois A = B et A B. Exemple. On démontre x R t.q. x 2 4 et 1, 5 x par l absurde : supposons qu un tel x existe. On a x 2 4 < (1, 5) 4 x 2 = x 2, contradiction (où?). Remarque. On accepte aussi la démonstration par l absurde du théorème Il existe un objet vérifiant P qui consiste à supposer qu un tel objet (vérifiant P) n existe pas et à aboutir à une contradiction. C) Démonstration de la réponse oui à (II)) : si un objet a P alors il a Q. Pour ceci on accepte, en mathématiques ordinaires, trois types de démonstrations. 1) Une démonstration directe : on introduit un objet ayant P et on déduit de la propriété P et, en général, de théorèmes prouvés avant, que cet objet a la propriété Q. 2) Une démonstration par contraposée : on prouve si un objet a non Q alors il a non P que l on démontre directement. 3) Une démonstration par l absurde : on démontre Il n existe pas d objet ayant P et non Q, comme il a été dit plus haut en aboutissant à une contradiction. Par exemple, pour prouver par l absurde qu un nombre réel, ayant certaines propriétés, est nul, on suppose qu il est non nul et on en déduit une contradiction. 4

Remarques. 1) La réponse non à (II) est le théorème : il existe un objet qui a P et non Q. 2) La réponse non à (III) si un objet a P peut-il avoir Q? est le théorème : si un objet a P alors il a non Q. 2.6. Conditions. Soient P et Q deux propriétés. En 2.5. on a montré comment on démontre le théorème si un objet structuré (cf. 2.3.) a P alors il a Q qui s énonce aussi : tout (= chaque) objet structuré ayant P, a Q. Par abus de langage, lorsque la structure stucturant l objet est fixée et que ce théorème est démontré, on dit on a : P entraîne (= implique) Q et on note : P = Q. On dit aussi que P est l hypothèse du théorème et que Q en est la conclusion. On dit également que P est une condition suffisante pour avoir Q et aussi que Q est une condition nécessaire pour avoir P (= pour avoir P, il est nécessaire d avoir Q ). Exemple. Pour toute fonction réelle, définie sur un intervalle de R, on montre que être dérivable entraîne être continue. On dit, par abus de langage, que la dérivabilité entraîne la continuité. Si on a (= on démontre) : P = Q et Q = P, on dit que l on a prouvé que P est équivalent à Q, ou encore que pour avoir P il est nécessaire et suffisant d avoir Q, on note cela P Q. Dans ce cas l ensemble des objets structurés verifiant P est égal à l ensemble des objets structurés verifiant Q. Se poser la question la réciproque de P = Q est-elle vraie? est se poser la question a-t-on : Q = P? (on échange hypothèse et conclusion). Définition. Plus généralement, on dit que l écriture, sans préjuger de sa validité, de la réponse oui à une question mathématique, dépendante d un type de données et telle que, pour chaque donnée, on peut répondre oui ou non à la question correspondante, est une condition (= assertion = proposition). On dit qu une condition, pour des données, est vérifiée (= vraie) (resp. non vérifiée = fausse ) si on peut, en faisant une démonstration, répondre oui (resp. non) à la question correspondante. Attention. Une condition peut être soit vraie soit fausse (selon la donnée), alors qu un théorème est toujours vrai! Beaucoup d auteurs appellent aussi proposition un théorème de moindre importance, d où ambiguïté sur le sens du mot proposition, aussi nous éviterons de l utiliser. Définition. On dit que l on a démontré que la condition C entraîne (= implique ) la condition D et on note C = D si on peut prouver le théorème Pour toute donnée, si C est vraie alors D est vraie. Les conditions C et D sont dites équivalentes et on note C D si on peut prouver que C = D et D = C. Exemple. Les (trois) conditions suivantes, (dépendantes de la donnée (P,Q)), où P et Q sont deux propriétés (quelconques)), sont équivalentes : (i) P = Q ; (ii) non Q = non P ; (iii) un objet ayant P et non Q. (Ceci énonce l équivalence des démonstrations directes, par contraposées et par l absurde). 3. APPLICATIONS, SUITES et FAMILLES. 5

3.1. Applications. Soient X et Y deux ensembles. On appelle application (= fonction) définie sur X, à valeurs dans Y, tout procédé (= loi) qui, à tout (= chaque) élément de X fait correspondre un élément bien déterminé de Y. Notons f une telle application, on dit que (l application) f va de X, dit ensemble (= domaine) de définition de f, dans Y, dit ensemble où f prend ses valeurs (= ensemble d arrivée de f). Soit aussi x X, on note f(x) (qui se lit f de x ) l élément de Y correspondant à x par f. On dit que f(x) est l image de x par f (= la valeur prise par f en x), on dit aussi que y = f(x) est une variable dans Y dépendante, par f, de la variable indépendante x dans X. Soit y Y, on dit que y admet un antécédent x par f si l on a y = f(x). Pour définir une telle application f on procède de l une des façons suivantes : soit f : X Y (qui se lit soit f de (l ensemble) X dans (l ensemble) Y ), ou bien, soit X Y x f(x) ou bien posons (= définissons) pour x X, f(x) =... ou encore posons f(x) =... (x X). Un croquis est souvent utile. Remarques. 1) La notation f(x) est dite notation fonctionnelle et est à distinguer de f fois (= multiplié) par x. 2) Par soit f une fonction réelle (resp. complexe) définie sur X on entend soit f : X R (resp. C). 3.2. Suites. Soit n un entier 1. Une suite (finie) de n objets (dite aussi n-uple d objets) est une liste notée (x 1, x 2,..., x n ) (ou (x 1,..., x n ) ou (x k ) 1 k n ). Les termes (= objets) de la suite sont x 1,..., x n. On note {x 1,..., x n } = {x k } 1 k n l ensemble fini dont les éléments sont les objets x 1,..., x n. Contrairement à (x k ) 1 k n, {x k } 1 k n ne dépend pas de l ordre des objets. Si les objets x 1,..., x n sont deux à deux distincts, on dit que l ensemble E = {x 1,..., x n } est de cardinal (fini) (= a un nombre d éléments) égal à n et on écrit Card(E) = n (qui se lit cardinal de E égal n ). Les petites suites finies s appellent : couple (ordonné) (x 1, x 2 ) (ou (a, b)) au lieu (= à la place) de 2-uple ; triplet (ordonné) (x 1, x 2, x 3 ) (ou (x, y, z)) au lieu de 3-uple. Un 1-uple s identifie au singleton {x}, ensemble qui a pour seul élément (l objet) x. On a Card({x}) = 1 et Card(char 31) = 0. Une suite finie de n éléments (= de longueur n) dans un ensemble X est une suite (x 1,..., x n ) de n objets qui sont tous éléments de X. C est donc une application de l ensemble [[1, n]] = {1, 2,..., n} dans X, où l on utilise la notation indicielle x k au lieu de la notation fonctionnelle x(k). On définit de même une suite (infinie) d objets notée (x 1, x 2,...) (ou (x n ) n 1 ) et l ensemble des objets de la suite noté {x 1, x 2,...} (ou {x n } n 1 ). De même une suite (infinie) d éléments de l ensemble X est une application de 6

N = [[1, + [[ dans X, où l on utilise la notation indicielle x k au lieu de la notation fonctionnelle x(k). Plus généralement, soient I un ensemble et X un autre ensemble. On appelle famille, notée (x i ) i I, dans X, parametrée (= indexée) par i I, toute application I X. On dit alors que I est l ensemble d indices (= de paramètres) de la famille, ou que la famille est indexée par (l indice) i dans I. Étant donnée une famille (x i ) i I dans l ensemble X, on note {x i } i I l ensemble dont les éléments sont les x i, où i parcourt I. Pour I = N, on pose {x i } i N = {x i } i 0 = {x 0, x 1,...} et (x i ) i N = (x i ) i 0 = (x 0, x 1,...). 3.3. Récurrences. Soient P une propriété et (Q 0, Q 1,... ) = (Q k ) k 0 une suite finie ou infinie de propriétés. On dit que l on a prouvé par recurrence (= par récurrence sur k 0) le théorème : si un objet a P alors il a Q 0, Q 1,... (noté aussi P ( k 0 on a Q k ) ) si on a procédé de la façon suivante : soit z un objet ayant P. On démontre qu il a Q 0 (démonstration pour k = 0, le premier indice). Puis, soit k un entier 0 tel que (k + 1) est à la longueur de la suite (Q 0, Q 1,... ). On suppose que z est un objet ayant Q 0, Q 1,..., Q k et on démontre que z a Q (k+1). Exemples. 1) Soient a, b C, on suppose b 1. On montre, par récurrence sur n 0, que l on a, pour tout n N, a + ab + ab 2 +... + ab n = a(bn+1 1) b 1 (somme d une suite finie géométrique de raison b). On en déduit l identité : si x K et n N, on a x n+1 1 = (x 1)(1 + x +... + x n ) (où x 0 = 1). 2) Soient a, b C. On montre de même que, pour tout n 0, on a la Formule du binôme, ( ) ( où C k nk n = (a + b) n = a n + C 1 na n 1 b +... + C k na n k b k +... + b n = n! (n k)!k! (n, k N, k n) est le coefficient binômial). 4. DÉFINITIONS FONDAMENTALES. 4.1. Pour les ensembles. Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus (= contenu) dans F (ou aussi que F contient E) si tout élément de E est élément de F. On dit alors que E est une partie (= un sous-ensemble) de F et on écrit E F (noté aussi E F) ou bien F E (noté aussi F E). Remarques. 1) L inclusion est la première propriété que nous définissons qui est telle que, pour montrer qu un objet (ici le couple (E,F)) la vérifie, il est nécessaire de faire une démonstration. Plus précisément, les conditions suivantes (concernant ce couple(e,f)) sont équivalentes (par définition) : (E F) ( x E on a x F) (x E = x F) (x / F = x / E) ( x t.q. x E et x / F). 2) On a donc : (E = F) (E F et F E). Démonstration. On a : (E = F) (x E x F) [(x E = x F) et (x F = x E)] (E F et F E). 7

3) Si G est un autre ensemble et si l on a E F et F G alors on a E G (transitivité). Notations. 1) Soit E un ensemble. On note P(E) l ensemble des parties de E. On a, A étant un ensemble, A P(E) A E. Remarquer que l on a Ø, E P(E) et, si A P(E), on a Ø A E. 2) Si A est la partie de E qui est l ensemble des x E ayant la propriété P on note : A = {x E : x vérifie P} ou {x E x vérifie P}. 3) Pour K = N, Z, Q, R ou C, on note K = {x K : x 0}. 4) Si n, p Z et n p on note [[n, p]] = {k Z : n k p}. Pour K = Z, Q, ou R, on note K + = {x K : x 0} et K + =K K + = {x K : x > 0}. Définitions. Soient E et F deux ensembles. 1) On appelle intersection de E et F et on note E F l ensemble {x : x E et x F}. On dit que E et F sont disjoints si l on a E F = Ø. 2) On appelle réunion de E et F et on note E F l ensemble {x : x E ou x F}. Attention : Le ou dans 2) est le ou mathématique à distinguer du ou (bien) du langage courant qui est, en général, le ou exclusif. Si dans 2) le ou est lu comme un ou exclusif on obtient : {x : (x E et x / F) ou (x F et x / E)} qui est la différence symétrique de E et de F (cf. exercices). D autre part, ne pas confondre ou et où! 3) Soit (E i ) i I une famille d ensembles. On définit de même : E i = {x : i I t.q. x E i } et E i = {x : i I on a x E i }. i I i I 4) Soient E un ensemble et A P(E). On appelle complémentaire de A dans E et on note E A (ou E \ A ou E - A si, par le contexte, E est connu et fixé, ou A ou A c ) la partie de E égale à {x E : x / A}. Théorème. 1) Soient E, F, G des ensembles et (F i ) i I une famille d ensembles. On a : E F = F E ; E F = F E ; E (F G) = (E F) G ; E (F G) = (E F) G ; E ( F i ) = (E F i ) ; E ( F i ) = (E F i ) ; i I i I i I i I E (F G) = (E F) (E G) ; E (F G) = (E F) (E G) ; E ( F i ) = (E F i ) ; E ( F i ) = (E F i ) ; i I i I i I i I 2) Si A, B P(E) et si (A i ) i I est une famille de parties de E, on a : (A c ) c =A ; (A B) c = (A c B c ); (A B) c = (A c B c ); ( F i ) c = ( (F i ) c ); ( F i ) c = ( i ) i I i I i I i I(F c ). Définition. On dit que (A i ) i I est une partition d un ensemble E si (A i ) i I est une famille de parties de E telle que l on ait : i IA i = E et si, i, j I tels que l on ait i j, on a A i A j = Ø (on dit que les A i sont deux à deux disjoints de réunion E). Si (A i ) i I est une partition de E on peut définir une application f :E F de la façon suivante : f(x) =..., si x A i (i I). Inversement, une application f :E F définit la partition (A i ) i I de E, où I = f(e) et, pour i I, A i = f 1 ({i}) (voir plus loin, cette image réciproque est aussi notée f 1 (i) par abus de notation). 8

Par exemple, si a R, alors (], a[, {a}, ]a, + [) est une partition de R et on définit { si x < a f : R E souvent par f(x) = si x = a si x > a Définition. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit de E et F, noté E F, l ensemble de tous les couples (x, y) tels que x E et y F. On dit qu un point quelconque (x, y) E F a pour première coordonnée (resp. deuxième coordonnée) x (resp. y). Plus généralement, si (E i ) i I est une famille finie ou infinie d ensembles, on appelle produit de la famille (E i ) i I et on note E i l ensemble de toutes les familles (x i ) i I telles que, pour i I tout i I, on a x i E i. n Si n N et si (E 1,...,E n ) est une suite finie d ensembles leur produit se note E i et aussi i=1 E 1 E n. Si de plus on a E = E 1 = = E n, ce produit se note E n. Exemple. On a donc R R = R 2. Il est utile de le visualiser comme le plan géométrique rapporté à des axes de coordonnées. 4.2. Pour les applications. Dans tout ce paragraphe, X et Y sont des ensembles non vides et f : X Y une application. Si g : X Y est une autre application, on a : (f = g) ( x X on a f(x) = g(x)). Soit A P(X), on appelle restriction de f à A et on note f A l application g : A Y telle que, pour tout x A, on a g(x) = f(x). On appelle graphe de f la partie de X Y, notée souvent Γ f, où Γ f = {(x, f(x)) : x X} Soient Z un autre ensemble et g :Y Z. L application notée g f : X Z x g(f(x)) composée de g et de f. Donc : x X on a (g f)(x) = g(f(x)) Z. Exemple. Pour X = Y = Z = R, considérons f(x) = sin x, et g(x) = x 2 (x R). On a, pour x R, (g f)(x) = sin 2 x et (f g)(x) = sin(x 2 ). Pour x = π 2, on a (g f)(π 2 ) = sin2 ( π 2 ) = 1 > 0, 7 > sin((π 2 )2 ) = (f g)( π 2 ). Donc on a f g g f. est dite la Image directe. Image réciproque. Si A X, on appelle image de A par f et on note f(a) la partie de Y définie par : f(a) = {f(x) : x A} = {f(x)} x A = {y Y : x X t.q. f(x) = y}. On note encore f l application image directe par f : P(X) P(Y). A f(a) En particulier, f(x), image de X par f, s appelle image de f (= ensemble des valeurs prises par f sur X). Si B Y, on appelle image réciproque de B par f et on note f 1 (B) la partie de X définie par : f 1 (B) = {x X: f(x) B}. D où l application image réciproque par f : P(Y) P(X). B f 1 (B) Composantes d une application à valeurs dans un produit d ensembles. 9

Soient X,Y,Z des ensembles. On appelle : 1ère projection dans Y Z l application pr 1 :Y Z Y, 2ème projection dans Y Z l application pr 2 :Y Z Z. (y, z) z Si F : X Y Z est une application, on appelle : 1ère composante de F l application pr 1 F : X Y, et 2ème composante de F l application pr 2 F : X Z. (y, z) y On écrit F = (h, k) pour désigner les composantes h = pr 1 F et k = pr 2 F de façon que : F= (h, k) :X Y Z x (h(x), k(x)) Définitions. (i) On dit que f est injective (= est une injection) (de X dans Y) si deux éléments distincts de X ont des images (par f) distinctes dans Y. On peut écrire cette définition sous forme de conditions équivalentes (expliquer pourquoi) : (f est injective) ( x, x X, si on a x x alors on a f(x) f(x )) ( x, x X, si on a f(x) = f(x ) alors on a x = x ) ( si x, x X on n a pas à la fois x x et f(x) = f(x )). Exemples. 1) Si I est un intervalle de longueur > 0 de R et g : I R une fonction réelle strictement monotone (on note stictement croissante (resp. stictement décroissante par (resp. )) alors g est injective. Demonstration. Soient x, y I. Alors, par exemple, on a x < y et, si g est, on obtient g(x) < g(y) donc g(x) g(y) c.q.f.d. 2) Soit F = (h, k) : X Y Z. Supposons que h ou k est injective. Montrons que F est injective. Pour cela, soient x, x X. Supposons que l on a F(x) = F(x ) c.à.d. (h(x), k(x)) = (h(x ), k(x )) on a donc (1) h(x) = h(x ) et (2) k(x) = k(x ). Si h est injective, on déduit de (1) que x = x, de même, si k est injective, on déduit de (2) que x = x. Donc F est injective. (ii) On dit que f est surjective (= une surjection) de X sur Y, si tout élément de Y est image par f d un élément (au moins) de X. On a donc : (f est une surjection) ( y Y on a x X t.q. f(x) = y) (on a f(x) = Y). Exemples. Les projections pr 1 : Y Z Y et pr 2 : Y Z Z sont surjectives. (y, z) y (y, z) z (iii) On dit que f est bijective (= une bijection) de X sur Y, si, f est, à la fois, injective et surjective. On a donc : (f est bijective) ( y Y on a! x X t.q. f(x) = y). Exemples. 1) Une application bijective de X sur lui même est dite une permutation de X. En particulier, id X : X X (l application identique de X dans lui-même) est une permutation x x de X. Si f : X X, on a f id X = f = id X f. 2) Si f est injective de X dans Y, alors f est bijective de X sur (son image) f(x). 3) On a des bijections naturelles de (X Y) Z, et aussi de X (Y Z), sur X Y Z qui permettent d identifier ces ensembles produits d ensembles. 4) Si f est bijective, on définit l application réciproque de f notée f 1 par : 10.

pour chaque y Y, f 1 (y) est l unique x X t.q. f(x) = y de sorte que f 1 : Y X. On a donc : pour tout y Y, f(f 1 (y)) = y, c.à.d. f f 1 = id X Remarquer aussi que pour tout y Y on a {f 1 (y)} = f 1 ({y}). On a également f 1 f = id X car, si x X, alors x est l unique élément de X d image f(x) dans Y, donc on a f 1 (f(x)) = x d où c.q.f.d. Donc, si f est bijective et si x X et y Y, on a les conditions équivalentes : y = f(x) x = f 1 (y). Remarque. Soit f : R R. Alors f est, continue sur R et f(r) = R, donc f est bijective x x 3 et on a f 1 : R R qui n est pas égale à 1 x x 3 1 f : R R. Donc attention avec l écriture f 1. x 1 x 3 Exemple. Soit E : R Z la fonction partie entière où, pour x R, E(x) est l unique x E(x) p Z tel que l on a : p x < p + 1 de sorte que l on a (x E(x)) [0, 1[. Montrons que F = (E, id R - E) :R Z [0, 1[ est bijective et déterminons F 1. Il est plus rapide de x (E(x), x E(x)) procéder comme ce qui suit où l on prouve que F est bijective et, en même temps, on détermine F 1. Soit (p, y) Z [0, 1[, on montre qu il n existe qu un seul x R tel que F(x) = (p, y). On a, pour x R et (p, q) Z [0, 1[, les conditions { équivalentes suivantes : E(x) = p F(x) = (p, y) (E(x), x - E(x)) = (p, y) x E(x) = y x = p + y (si x = p + y, on a p x = p + y < p + 1 donc E(x) = p et x E(x) = y car p Z et y [0, 1[). Donc F est bijective et F 1 : Z [0, 1[ R (p, y) p + y Théorème 1. Soient X, Y des ensembles, f : X Y et g : Y X deux applications. 1) Si on a g f = id X, alors f est injective et g est surjective. 2) Si on a g f = id X et f g = id Y, alors f et g sont bijectives et on a f 1 = g et g 1 = f. 3) Si f est bijective, alors f 1 est bijective et on a (f 1 ) 1 = f. (Demonstration : voir en T.D.). Théorème 2. Soient X, Y des ensembles finis non vides t.q. Card(X) = Card(Y) = n N. Soit f : X Y. Alors les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est bijective ; (ii) f est injective ; (iii) f est surjective. Démonstration. Pour que f soit surjective il faut et il suffit que f(x) ait n éléments distincts (c.à.d. autant d éléments que Y) donc il faut et il suffit que f soit injective (car Card(X) = n). D où c.q.f.d. Exemple. Une permutation de l ensemble fini X tel que Card(X) = n N s écrit, en général, sous forme d une suite bijective (a 1,, a n ) dans X (c.à.d. t.q. si 1 i < j n on a a i a j ou aussi t.q. {a 1,, a n } = X). Par ( exemple on ) définit la permutation (4, 2, 1, 3) de [[1,4]] que l on écrit aussi : 1 2 3 4. 4 2 1 3 1.5. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES. 11

Définition. On dit qu un ensemble E est dénombrable (= a le cardinal du dénombrable) s il existe une bijection de N sur E, si c est le cas, on écrit Card(E) = ℵ 0 (*)). Théorème 1. Si E est un ensemble dénombrable, toute partie de E est soit finie, soit dénombrable, si elle est infinie. Démonstration basée sur le fait que toute partie non vide de N a un plus petit élément. On en déduit que E est dénombrable s.s.si E est infini et on peut écrire E = {x n } n 0. Théorème 2. Un produit fini d ensembles, finis non vides ou dénombrables, tel que l un au moins soit infini, est dénombrable. Démonstration. On se ramène à prouver que N 2 est dénombrable. Pour cela on montre que N 2 = {x n } n 0 où, pour n N, x n = (n p(p+1) 2, (p+1)(p+2) 2 (n + 1)), où p est l unique entier positif ou nul t.q. p(p+1) 2 n < (p+1)(p+2) 2 = p(p+1) 2 + p + 1 (regardez x 0, x 1,, x 6 ). Exemples. 1) Z et Q sont dénombrables. Voir en T.D. le cas de Z, puis remarquer qu il existe une bijection de Q sur une partie de Z 2 ) 2) Soient a, b R tels que a < b alors l intervalle ]a, b[ de R est infini non dénombrable et il contient une infinité dénombrable de nombres rationnels et une infinité non dénombrable de nombres irrationnels. Démonstration par l absurde où l on suppose que l on peut écrire ]a, b[= {x n } n 0, chaque x n étant écrit sous forme décimale. (*) aleph zéro, en mémoire de Georg Cantor (1845-1918) mathématicien créateur de la théorie des ensembles 12