La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront dans l appréciation des copies. Toute trace de recerce, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte et valorisée dans la notation. EXERCICE 1 (5 points) Les questions de cet exercice sont indépendantes 1) Restitution organisée de connaissances : a, b, c désignent 3 réels avec 0 on pose, pour tout x réel, =²++. Donner avec sa démonstration la forme canonique de f. COURS (1 point) 2) Résoudre dans R l équation 2 5²+3=0 (E) On a : 2 5²+3=0 2 5+3=0 =0 2 5+3=0 Résolvons l équation du second degré : (E ) 2 5+3=0 on pose : =2 5+3 pour tout réel x, ainsi est un trinôme de la forme =²++ avec a = 2 ; b = -5 et c = 3 d où le discriminant : =² 4= 5 423=25 24=1, comme >0 l équation (E ) admet donc deux solutions =! =1 et " =!# = " En conclusion, l ensemble S des solutions de (E) est : $=%0;1; '(1 point) 3) Résoudre dans R l inéquation 2 " * )# On écrit : 2 " 2 " )# )# 0 ))#" 0 )²#))" 0 )²)+ 0 )# )# )# L inéquation (I) est définie sur R - 1., on étudie le signe du trinôme =² 6 définie sur R de la forme =²++ avec a = 1 ; b = -1 et c = -6 d où le discriminant : =² 4= 1 41 6=25, comme >0 l équation =0 admet donc deux solutions =! = 2 et = #! =3 on peut alors construire le tableau de signes suivant : 2 1 3 + +1 - - 0 + + ² 6 + 0 - - 0 + ² 6 +1-0 + - 0 + On en déduit l ensemble de solution S de l inéquation(i) : $=] ; 2] ] 1;3] (1,5 points) 4) Soit définie, pour tout x réel, par = 3²+4+1. Donner la forme canonique de, ainsi que les coordonnées du sommet de sa courbe puis le tableau de variation. = 3²+4+1 pour tout réel x, f est un trinôme de la forme =²++ avec a = -3, b = 4 et c = 1 Pour trouver la forme canonique on calcule 4= = " = et 5=6 7= 36 7 +46 7+1="#8# = 4 +5= 36 7²+9 = 9 donc la forme canonique de f s écrit : Les coordonnées du sommet S :: $=4;5= ;9 On en déduit aussi le tableau de variation de f, sacant que a = -3 <0 2 + 3 9 (1,5 points)
EXERCICE 2 ( 1.5 points) Soit la fonction définie sur R par =²+:+: où : désigne un réel 1) Pour quelle valeur de m le nombre 1 est-il une racine de. Pour que 1 soit racine, il faut que : 1=1²+:1+:=0 2:= 1 := (0,25 points) 2) Calculer le discriminant de. est un trinôme de la forme =²++ avec : =1, ==: =² 4=:² 4:=:: 4 (0,5 points) 3) En déduire les valeurs de m pour lesquelles admet deux racines. est un trinôme de variable m, avec pour racines m=0 et m = 4, on obtient le tableau de signes suivant pour : 0 4 + =:: 4 + 0-0 + admet deux racines >0 < ] ;>[ ]@;+ [ (0,75 point) EXERCICE 3( 2.5 points) On considère l expression A= )²+)B )²)+B 1) Déterminer l ensemble de définition D de cette expression. On a : C 3² 3 60 0 ² 20 0 On est amené à étudier le trinôme =² 20 de la forme =²++ avec a= 1 ; b = -1 et c = -20 d où le discriminant : =² 4= 1 41 20=81=9², comme >0 l équation f(x) = 0 admet donc deux solutions = F = 4 et = # = #F =5 Donc C=R - 4;5. (0,75 points) 2) a) Résoudre dans D : A=0 On a les équivalences suivantes : A=0 2² 6 20=0 ² 3 10=0 On est amené à étudier le trinôme G=² 3 10 de la forme G=²++ avec a= 1 ; b = -3 et c = -10 d où le discriminant : =² 4= 3 41 10=49, comme >0 l équation g(x) = 0 admet donc deux solutions = 9 = 2 et = #9 =5 mais 5 HI JKLMK NHK C En conclusion l ensemble S des solutions de A=0 est : $=- 2.(0,75 points) b) Résoudre dans D : A 0 Dans D on a les équivalences : A 0 )²+)B )²)+B 0 )²)B )²)B 0 P) Q) 0 )#")! )#)! 0 )#" )# 0
On obtient le tableau de signes : 4 2 5 + +2 - - 0 + + +4-0 + + + A + - 0 + + D où S l ensemble des solutions de A 0 : $ I =] ; 4[ [ 2; 5[ ] 5;+ [ (1 point) EXERCICE 4( 2.5 points) 1) On considère l équation (E) dans R : R ²+2+9=1+ a) Pour quelles valeurs de x l expression R ²+2+9 est-elle définie? R ²+2+9 est définie que si = ²+2+9 0 On est amené à étudier le signe du trinôme = ²+2+9 de la forme =²++ avec a= -1 ; b = 2 et c = 9 d où le discriminant : =² 4=2 4 19=40, comme >0 l équation f(x) = 0 admet donc deux solutions = # "B On obtient alors le tableau de signes avec a=-1 <0 : =1 10 et = "B =1+ 10 1 10 1+ 10 + - 0 + 0 - Si on note S l ensemble des solutions de = ²+2+9 0 on a : $=[1 10 ; 1+ 10 ] (1 point) b) Existe-t-il des solutions à l équation si 1+<0? Justifier votre réponse. On sait que la racine carrée d un nombre réel est toujours positive donc si 1+<0 alors l équation (E) n a pas de solutions. (0,25 points) 2) a)on suppose à présent que 1. Trouver une équation du second degré équivalente à (E) puis la résoudre. On peut écrire : R ²+2+9=1+ T ²+2+9=1+ U V ²+2+9=²+2+1 JL [1 10 ; 1+ 10 ] JL [1 10 ; 1+ 10 ] 2² 8=0JL [1 10 ; 1+10 ] ² 2²=0JL [1 10 ; 1+10 ] 2+2=0JL [1 10 ; 1+10 ] =2 = 2 V JL [1 10 ; 1+ 10 ] U Or 2< 1 ne peut pas convenir et 2 [1 10 ; 1+ 10 ] donc l ensemble S des solutions de g(x)=0 est : $ =-2.(1 point) b) Conclure en donnant l ensemble des solutions de l équation initiale. D après ce qui précède on peut conclure que l ensemble des solutions de (E) est $ =-2.(0,25 point)
EXERCICE 5( 3 points) Les paraboles X, X, X et X " tracées, ci-contre, représentent quatre fonctions polynômes de degré 2 de la forme : ²++ Compléter le tableau suivant : (0.2 point par réponse) Courbes Valeur c Signe Signe a Forme factorisée Forme développée Coordonnées Sommet Forme canonique X 11 <0 f<0 Pas de forme factorisée d²+cd gg 3; 2 3² 2 X 5 2 X 1 2 >0 >0 1 2 1 5 g >0 f >0 1 2 1+1 1 2 1 2 d² id+j i; 1 2 3² 2 >; g/ g d g X " 3 >0 <0 i @ d d+) 3 4 ²+3 0;3 i @ d²+i EXERCICE 6( 1.5 points) La trajectoire du ballon dégagé par un gardien de but est modélisée dans un repère par un arc de parabole. La parabole représente la fonction définie, pour tout x réel, par : = )Y + a) A quelle distance du gardien le ballon retombe-t-il? On écrit pour x réel: = )Y += +1 On cerce à résoudre : =0 =0 +1=0 =0 =32 Ainsi le ballon retombe à 32 mètres du gardien. (0,75 point) b) Quelle est la auteur maximale atteinte par le ballon? (0,75 point) Ici = )Y + pour tour réel, de la forme =²++ avec a = -1/32, b = 1 et c = 0 Pour trouver la forme canonique on calcul 4= = et =16 5=16= 16 +16=8 donc la auteur maximale atteinte par le ballon est 8 mètres. EXERCICE 7( 4 points) 1. a) (MN) est perpendiculaire à (MQ)=(AB) car MNPQ est un rectangle. (CH) est également perpendiculaire de (AB) car H est le pied de la auteur issue de C dans le triangle ABC. On peut en conclure que les droites (MN) et (CH) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à la même droite (AB). Z [Y A, M et H sont alignés et A, N et C sont aussi alignés, le téorème de Talès nous permet d écrire : \] = ]_ \^ `^ Soit : ) 8 = ]_ + donc ab=cd e (1 point)
b) (PQ) est perpendiculaire à (MQ)=(AB) car MNPQ est un rectangle. On a vu que(ch) est également perpendiculaire de (AB). On peut en conclure que les droites (PQ) et (CH) sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AB). A,P et C sont alignés et B, Q et H sont alignés, le téorème de Talès nous permet d écrire : l^=nm lm `^ Soit : lm = ]_ (car BH = AB AH=12-8=4) avec op= cd donc : " + e qr=d (1 point) c. Les points A, M, Q et B sont alignés et on a : AB=AM + MQ + QB = 12 donc : +os+ ) =12 donc : ar=g id (0.5 point) 2. a) On peut écrire que l aire du rectangle MNQP est : $=op ar= cd e 6g id 7=id @ 6g id 7 (0.5 point) La fonction S(x) est une fonction trinôme et on a en développant : $= F 8 ²+9 $ est un trinôme de la forme $=²++ avec a = -9/8, b = 9 et c = 0 Pour trouver la forme canonique on calcul 4= = F et =4 5=4= F 8 4 +94=18 ainsi S admet un maximum 18, car a<0, atteint en d=w=@(1 point) u v