CI 3 CIN : ÉTUDE DU COMPORTEMENT CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES CHAPITRE 5 CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE Activité proposée par F. Mathurin Robot ramasseur de fruits On étudie un robot ramasseur de fruits. Il permet à un agriculteur de cueillir, de manière automatique, les fruits mûrs dans les arbres, et de les mettre dans un conteneur spécifique. Le bras 1 tourne autour de l axe (O, z ) par rapport au bâti. Le bras 2 tourne autour de l axe (O 1, z ) par rapport à 1. Le bras 3 tourner autour de l axe (O 2, z ) par rapport à 2. On pose : O O 1 = R x 1 ; O 1 O 2 = R x 2 ; O 2 M = L x 3 ; Question 1 Construire les figures planes de repérage/paramétrage puis exprimer les vecteurs vitesse instantanée de rotation Ω(1/), Ω(2/1), Ω(3/2). 1 CI 3 : CIN TD
y 1 y y 2 y 1 y 3 y 2 θ 1 1 x 1 θ 2 2 x 2 θ 3 3 x 3 θ 1 z x z 1 x 1 Ω 1/ = θ 1 z Ω 2/1 = θ 2 z Ω 3/2 = θ 3 z θ 2 θ 3 z 2 x 2 Question 2 Déterminer V (O 1 1/). V O1 1/ = V O 1/ + Ω 1/ O O 1 = θ 1 z R x 1 V O1 1/ = R θ 1 y 1 Question 3 Déterminer V (O 2 2/). V O2 2/ = V O1 2/ + Ω 2/ O 1 O 2 = V O1 2/1 + V O1 1/ + ( Ω 2/1 + Ω 1/ ) O 1 O 2 V O2 2/ = R θ 1 y 1 + R ( θ 2 + θ 1 ) y 2 = R θ 1 y 1 + ( θ 2 + θ 1 ) z R x 2 Question 4 Déterminer V (M 3/). V M 3/ = V O2 3/ + Ω 3/ O 2 M = V O2 3/2 + V O2 2/ + ( Ω 3/2 + Ω 2/1 + Ω 1/ ) O 2 M = R θ 1 y 1 + R ( θ 2 + θ 1 ) y 2 + ( θ 3 + θ 2 + θ 1 ) z L x 3 V M 3/ = R θ 1 y 1 + R ( θ 2 + θ 1 ) y 2 + L( θ 3 + θ 2 + θ 1 ) y 3 2 CI 3 : CIN TD
Question 5 Dans la configuration de rapprochement horizontal, (θ 2 = π 2θ 1 et θ 3 = θ 1 π ) montrer que V (M 3/) x = et déterminer 2 V (M 3/). θ 2 = π 2θ 1 θ 3 = θ 1 π 2 θ2 = 2 θ 1 θ 3 = θ 1 V M 3/ = R θ 1 y 1 + R ( θ 2 + θ 1 ) y 2 + L( θ 3 + θ 2 + θ 1 ) y 3 = R θ 1 y 1 R θ 1 y 2 + L( θ 1 2 θ 1 + θ 1 ) y 3 = R θ 1 ( y 1 y 2 ) Or y 1 = cosθ 1 y sinθ 1 x y 2 = cos(θ 1 + θ }{{} 2 ) y sin(θ 1 + θ 2 ) x }{{} π θ 1 π θ 1 = cosθ 1 y sinθ 1 x D où y 1 y 2 = 2 cosθ 1 y Ainsi V M 3/ = 2R θ 1 cosθ 1 y Ce qui prouve que V M 3/ x = et que : V M 3/ = 2R θ1 cosθ 1 Question 6 Déterminer la valeur numérique de la vitesse maximale (R = 48 cm, L = 72 cm et θ 1 =, 8t r /mi n ) et conclure quant à la capacité du robot à satisfaire le critère de vitesse d approche du fruit du cahier des charges. R =.48 m L =.72 m Application numérique : θ 1 =, 8 tr/min =, 838 rad/s 3 CI 3 : CIN TD
La valeur maximale de V M 3/ est atteinte pour θ1 =, ce qui donne : V M 3/ = 2R θ1 =, 84 m/s =, 8 cm/s Le cahier des charges est bien respecté, car V M 3/ < 3 cm/s Manège Magic Arms La manège Magic Arms dont la modélisation ainsi qu un extrait de cahier des charges fonctionnel est composé d une structure métallique d environ 12 m de haut avec deux bras mobiles. Les passagers s assoient sur 39 pièces disposées sur une plate-forme tournante. Dès que tous les passagers sont assis et attachés, la nacelle tourne autour de son axe, le bras principal (bras 1) et le bras secondaires (bras 2), liés l un à l autre au début du cycle, commencent à tourner. Après 9 secondes, le maximum de hauteur est atteint et les deux bras se désindexent et se mettent à tourner indépendamment l un de l autre. Tous les mouvements sont pilotés par ordinateur. Le manège, schématisé ci-dessus, comporte : un bras principal 1 assimilé à une barre AO 1 O 2. Il est en liaison pivot parfait d axe (O 1, z 1 ) caractérisée par le paramètre α avec le bâti. On pose O 1 O 2 = l 1 y1 ; un bras secondaire 2 assimilé à une barre B O 2 O 3. Il est en liaison pivot parfait d axe (O 2, z 2 ) caractérisée par le paramètre β avec le bras principal 1. On pose O 2 O 3 = l 2 y2 ; 4 CI 3 : CIN TD
une nacelle 3 assimilée à un disque de centre O 3 et de rayon R. Elle est en liaison parfaite d axe (O 3, y 2 ) caractérisée par le paramètre ϕ avec le bras 2. On s intéresse plus particulièrement à un passager considéré comme un point matériel P tel que O 3 P = R z 3. Question 1 Construire les figures planes associées au schéma cinématique. y 1 y y 2 y 1 x 3 x 2 α 1 α z x 1 x β 2 β z 1 x 2 x 1 ϕ 3 ϕ y 2 2 z 3 z Question 2 Calculer Ω(1/), Ω(2/1) et Ω(3/2). Ω 1/ = α z Ω 2/1 = β z Ω 3/2 = ϕ y 2 On admet que Ω(3/) = Ω(3/2) + Ω(2/1) + Ω(1/). Question 3 Calculer Ω(2/) et Ω(3/). Ω 2/ = Ω 2/1 + Ω 1/ = ( α + β) z Ω 3/ = Ω 3/2 + Ω 2/ = ( α + β) z + ϕ y 2 Question 4 Calculer les produits vectoriels suivants : z 2 z 3, x 3 x 2, x 3 z 2, z 2 z 1, x 2 x, x 3 z. 5 CI 3 : CIN TD
z 2 z 3 = sinϕ y 2 x 3 x 2 = sinϕ y 2 π x 3 z 2 = sin 2 + ϕ y 2 z 2 z 1 = = cosϕ y 2 x 2 x = cosβ x 1 + sinβ y 1 x = cosβ sinα z sinβ sin = ( cosβ sinα sinβ cosα) z π 2 + α z = sin(β + α) z π x 3 z = sin 2 + ϕ y 2 = cosϕ y 2 Question 5 Calculer V (O 2 2/), V (O 3 3/) et V (P 3/). V O2 2/ = V O2 2/1 + V O2 1/ = V O1 1/ + Ω 1/ O 1 O 2 V O2 2/= l 1 α x 1 = α z ( l 1 y 1 ) V O3 3/ = V O3 3/2 + V O3 2/ = V O2 2/ + Ω 2/ O 2 O 3 = l 1 α x 1 + ( α + β) z ( l 2 y 2 ) V O3 3/= l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 V P 3/ = V O3 3/ + Ω 3/ O 3 P V P 3/ = l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 R sinϕ( α + β) y 2 R ϕ x 3 = l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 + ( α + β) z + ϕ y 2 ( R z3 ) On donne l évolution des vitesses angulaires des moteurs du manège en fonction du temps. 6 CI 3 : CIN TD
Question 6 Déterminer les valeurs des paramètres α, β et ϕ puis l expression analytique des positions angulaires α(t ) et β(t ) et ϕ(t ) dans l intervalle de temps [17; 27] secondes en sachant qu à l instant t = 17 s, on a α = 1, 5 r a d, β = 3, 76 r a d et ϕ = 1, 676 r a d. Dans l intervalle de temps compris entre 17 et 27 secondes, les vitesses angulaires sont constantes. Ainsi, par intégration : α=, 84 rad/s β=, 94 rad/s ϕ=, 628 rad/s t α(t ) α(17) = αd τ 17 Question 7 Déterminer les valeurs numériques à l instant t 1 = 19, 8 s de α, β et ϕ. Pour t = 19, 8 s, α =, 84 (19, 8 17) + 1, 5 = 12, 85 rad β =, 94 (19, 8 17) + 3, 76 = 6, 39 rad ϕ =, 628 (19, 8 17) 1, 676 = 12, 43 rad 7 CI 3 : CIN TD
Question 8 On pose V (P 3/) = V x 2 x2 +V y 2 y2 +V z 2 z2. Déterminer les expressions littérales de V x 2, V x 2, V z 2 puis les valeurs numériques de à t 1 = 19, 8 s. (On donne : l 1 = 3, 9 m, l 2 = 2, 87 m, R = 2, 61 m.) Il s agit de projeter le vecteur V P 3/ dans la base ( x 2, y 2, z ). En effet, le vecteur z 2 est identique au vecteur z. V P 3/ = V x 2 x 2 + V y 2 y 2 + V z 2 z V x 2 = V P 3/ x 2 = l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 R sinϕ( α + β) y 2 R ϕ x 3 x2 V x 2 = l 1 α cosβ + l 2 ( α + β) R ϕ cosϕ V y 2 = V P 3/ y 2 = l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 R sinϕ( α + β) y 2 R ϕ x 3 y2 V y 2 = l 1 α sinβ R sinϕ( α + β) V z 2 = V P 3/ y 2 = l 1 α x 1 + l 2 ( α + β) x 2 R sinϕ( α + β) y 2 R ϕ x 3 z V z 2 = R ϕ sinϕ Valeurs numériques à t = 19, 8 s : V x 2 = 3, 9, 84 cos(6, 39) + 2, 87 (, 84 +, 94) + 2, 61, 628 cos(12, 43) = 9, 99 m/s V y 2 = 3, 9, 84 sin(6, 39) 2, 61 sin(12, 43) (, 84 +, 94) =, 28 m/s V z 2 = 2, 61, 628 sin(12, 43) =, 22 m/s Question 9 Calculer Γ (P 3/). 8 CI 3 : CIN TD
Γ P 3/ = d V P 3/ dt = d l1 α x 1 + l 2 ( α + dt β) x 2 R sinϕ( α + β) y 2 R ϕ x 3 d x1 = l 1 α x 1 + l 1 α +l 2 ( α + dt β) x 2 + l 2 ( α + β) d x2 R ϕ cosϕ( α + dt β) y 2 }{{}}{{} α y 1 ( α+ β) y 2 R sinϕ( α + β) y 2 R sinϕ( α + β) d y2 d x3 R ϕ x 3 R ϕ dt dt }{{} d x3 d x3 = + Ω 3/ x 3 dt dt 3 = ( α + β) z + ϕ y 2 x3 = ( α + β)cosϕ y 2 ϕ z 3 ( α+ β) x 2 D où : Γ P 3/ = l 1 α x 1 + l 1 α 2 y 1 + l 2 ( α + β) x 2 + l 2 ( α + β) 2 y 2 2R ϕ cosϕ( α + β) y 2 R sinϕ( α + β) y 2 + R sinϕ( α + β) 2 x 2 R ϕ x 3 + R ϕ 2 z 3 Question 1 Calculer Γ (P 3/) dans l intervalle de temps [17; 27] secondes pour lequel les vitesses angulaires sont constantes. Dans le cas ou les vitesses angulaires sont constantes, les accélérations angulaires α, β, et ϕ sont nulles. L expression de Γ P 3/ se simplifie donc : Γ P 3/ = l 1 α 2 y 1 + l 2 ( α + β) 2 y 2 2R ϕ cosϕ( α + β) y 2 + R sinϕ( α + β) 2 x 2 + R ϕ 2 z 3 Le graphe ci-dessous, obtenu par simulation numérique, présente le module de la vitesse du passager P par rapport au bâti ainsi que le module de l accélération du passager P par rapport au bâti en fonction du temps. 9 CI 3 : CIN TD
Question 11 Comparer les résultats obtenus à la question 6 à ceux du graphe pour le temps t 1 = 19, 8 s.. Le graphe montre qu à t = 19, 8 s, l intensité du vecteur V P 3/ vaut 1 m/s. Or d après la question 8, V P 3/ = Vx 2 2 + V y 2 2 + V 2 z 2 = 9, 99 2 +, 28 2 +, 22 2 = 1 m/s On constate que le calcul littéral nous donne le même résultat que l exploitation de la courbe. Question 12 Relever l accélération maximale subie par le passager et conclure vis-à-vis du CdCF. D après la courbe de l accélération (en pointillés), la valeur maximale de l accélération subie par le passager vaut 17,5 m/s 2. Le cahier des charges exige que l accélération maximale ne dépasse pas 2,5 g, soit 24,5 m/s 2. Le cahier des charges est donc respecté. 1 CI 3 : CIN TD