Olympiades de mathématiques Corrigé de l épreuve du 3 octobre 2012 Exercice1 Soit x le nombre de frère et de sœurs de Sarah. Fred a donc (x-1) frères et (x+1) sœurs. Si le nombre de frères de Fred est égal à la moitié de son nombre de sœurs, alors : En résolvant l équation, on trouve x = 3 2(x-1) = x+1 Les enfants sont donc : Sarah, ses trois frères et ses trois sœurs : cela fait 7 enfants. Exercice 2 Notons «Pile» et «Face» les deux côtés d un steak et notons les différents steaks. La poêle pouvant recevoir deux steaks, pour cuire 4 steaks en 4 minutes on peut procéder comme suit : Côté pile Côté face 1 ere minute 2 ème minute 3 ème minute 4 ème minute Pour cuire 5 steaks en 5 minutes on peut procéder à une permutation «circulaire» : Côté pile Côté face 1 ere minute 2 ème minute 3 ème minute 4 ème minute 5 ème minute Exercice 3 Appelons RSTU le rectangle. Notons x la largeur du ruban recherchée. L aire A RSTU du rectangle RSTU est : A RSTU = RS TU = 6 4= 24 cm². La somme des aires des trapèzes RADU et BSTC est donnée par : A trapèzes = =
En observant que : RA+BS=DU+CT = RS-AB=5 cm, on a : A trapèzes = = 20 cm² L aire A ABCD du parallélogramme ABCD est donc : A ABCD = A RSTU -A trapèzes = 24 20 = 4cm² Or : A ABCD = BC x = 5x Conclusion : 5x = 4 soit x = = 0,8 La largeur du ruban est donc de 0,8 cm Exercice 4 Dans la suite, on appellera «moyen» une personne qui n est ni «grande», ni «petite». Soit P n la propriété : Pour n personnes autour de la table, il y a autant de «grands» que de «petits». P 3 est vraie : Il y a un grand (la personne de plus grande taille), un petit (celle de plus petite taille) et un moyen. Supposons que P n soit vraie. Montrons alors que P n+1 est vraie également : On peut imaginer que les personnes choisissent une place les unes après les autres en les classant par ordre de taille croissant (cela ne change pas le nombre de dispositions possible) Lorsque n personnes se sont placées, puisque P n est vraie, il y a donc autant de grands que de petits. Etudions les placements possibles de la (n+1) ème personne (donc la plus grande de l assemblée). 1) Elle se place entre un grand et un petit : Le grand devient moyen, le petit reste petit. 2) Elle se place entre un grand et un moyen : Le grand devient moyen, le moyen reste moyen. 3) Elle se place entre un moyen et un petit : le moyen devient petit, le petit reste petit. 4) Elle se place entre deux moyens : le moyen de plus petite taille reste moyen, le moyen de plus grande taille devient petit. Dans tous les cas de figure, le nouveau venu étant compté comme un grand, le nombre de petits va rester égal au nombre de grands. La propriété P n+1 est donc vraie si P n est vraie. Puisque P 3 est vraie, d après le principe de récurrence, la propriété P n est vraie pour tout n 3. Elle est donc vraie dans le cas particulier où n= 2013. Exercice 5 et 7 10 2011 + 10 2012 + 10 2013 = 10 2011 (1 + 10 + 100 ) = 10 2011 111 = 10 2011 3 37 10 2011 + 10 2012 + 10 2013 est un multiple de 37 ; il est donc divisible par 37.
Exercice 6 et 8 Les sommets de l étoile régulière sont les sommets d un pentagone régulier. Soit O le centre du pentagone et du cercle passant par ses sommets. En appelant A et B deux sommets consécutifs de ce pentagone, on a = degrés x est la mesure d un angle inscrit dans le cercle passant par les sommets, interceptant le même arc que l angle au centre. On a donc x = =, Soit x = 36 Exercice 9 Cas 1 Supposons que l on ait : p = 2. P+2q est alors un nombre pair. Comme p+2q doit être un nombre premier : p+2q=2. Cela suppose donc que l on ait q=0, ce qui est impossible puisque q est un nombre premier. De même, en supposant que q = 2, il s en suit que q+2p est pair, donc que p=0, ce qui est impossible également. Conclusion : si p=0 ou si q=0, il n y a pas de solution. Cas 2 Traitons le cas ou p 2 et q 2. p et q étant premiers, ils sont impairs. Mais, alors, p+q est un nombre pair, de même que p+q-18. Comme p+q-18 est supposé être un nombre premier, cela signifie que p+q-18 = 2. Donc, que : p+q= 20. Le couples (p,q) de nombres premiers possibles sont donnés par : { (1,19) ; (3 ; 17) ; (7 ; 13) ; (13 ; 7) ; (17 ; 3) ; (19 ; 1) } Calculons, pour chaque couple (p,q) les nombres (2p+q ), ( p+2q) et (p+q-18): p q 2p+q p+2q p+q-18 1 19 21 (=3 7) 39 (=3 13) 2 3 17 23 37 2 7 13 27 (=3 9) 33 (=3 11) 2 13 7 33 (=3 11) 27 (=3 9) 2 17 3 37 23 2 19 1 39 (=3 13) 21 (=3 7) 2 Conclusion : les seuls couples (p, q) de nombres premiers pour lesquels (2p+q), (p+2q) et (p+q-18) sont des nombres premiers sont : (3 ; 17) et (17 ; 3)
Exercice 10 On note : M le point d intersection de (CI) et de (AB) N le point d intersection de la bissectrice de et de (AB) J le point d intersection de (AI) et de (CN) x la mesure de l angle On a : = = = 2x et = = = x D après les mesures d angles, on déduit que les triangles MAC et JAC sont isocèles respectivement en M et J. (MJ) est donc la médiatrice de [AC] soit un axe de symétrie pour ces deux triangles. L image de (CJ) par la symétrie d axe (MJ) est (JA) et l image de (MA) est (MC). L image de (CJ) (MA) est donc (MJ) (MC), ce qui signifie que N et I sont symétriques par rapport à (MJ). Donc, [AI] et [CN] sont symétriques. Par conservation des longueurs par symétrie : AI=CN. Puisque AI= BC, alors : BC= CN. Par conséquent : Le triangle BCN est, isocèle en C. Par ailleurs : = = 3x Dans le triangle CNA : = 180-3x Donc : = 180 (180 3x) = 3x. Dans le triangle BCN on a :. Le triangle BCN est donc isocèle en B. BCN étant isocèle en C et en B, on en conclue qu il est équilatéral, soit = 60 Conclusion : La mesure de l ange est de 60.
Exercice 11 a) Voir l exercice 4 b) 2013 personnes étant invitées, le nombre n de grands étant égal à celui de petits, on a : n 2013/2, soit n 1006. Montrons que pour tout n 1006, il y a une disposition où l on retrouve n grands. En associant aux entiers 1, 2, 3,2013 chaque personne classée dans l ordre de taille croissant : Pour avoir un grand, il suffit de classer les personnes cotes à cotes dans l ordre croissant. (la dernière personne sera assise à côté de la première) 1 2 3 4 2012 2013 (on associe au rose les petits et au bleu les grands) Pour avoir deux grands, il suffit de prendre l ordre précédent et de permuter deux voisins : 1 3 2 4 2012 2013 Pour avoir 3 grands, on peut permuter encore deux voisins : 1 3 2 5 4 6 2012 2013 On peut procéder ainsi jusqu à 1006 permutations. Conclusion : pour tout entier n 1006, on peut trouver une disposition où l on retrouve n grands Exercice 12 Démontrons l égalité en raisonnant par équivalences. La somme de deux carrés est toujours positive ou nulle (comme somme de deux nombres positifs ou nuls). Pour tout x et y, on a donc : (x -2)² + (y-2x)² 0 x² -4x +4 + y² -4xy +4x² 0 5x² + y² +4 4x 4xy 0 5x² + y² + 4 4x + 4xy Conclusion : L inégalité est donc bien vraie pour tout couple (x,y) de nombres réels. L égalité est vérifiée si et seulement si : (x-2)² = 0 et (y -2x)² =0 c est-à-dire si : (x-2 )= 0 et si : (y-2x) =0 soit x =2 y - 2 2 = 0 y = 4