Mster Métiers de l Eseigemet, Mthémtiques - ULCO, L Mi-Voi, /3 ANALYSE Fiche de Mthémtiques 7 - Itégrles simples. O cosidère ds ce chpitre des foctios (umériques ou vectorielles) orées sur u itervlle compct (c est-à-dire fermé et oré) de R. Itégrtio des foctios e esclier Défiitio. Soit [, ] u itervlle compct (c est-à-dire fermé et oré) de R. Ue sudivisio de [, ] est ue suite fiie et strictemet croisste de poits de [, ] dot le premier terme est, et le derier. À chque sudivisio σ de [, ] o ssocie l esemle S costitué pr les poits de l suite σ. Iversemet, à chque esemle fii S de poits de [, ], cotet et, o ssocier l sudivisio σ oteue e rget ces poits ds l ordre turel de R. Défiitio. Soiet σ et σ deu sudivisios de [, ]. O dit que l sudivisio σ est plus fie que σ, ou cosécutive à σ, si les esemles S et S respectivemet ssociés à σ et σ vérifiet l iclusio S S. E d utres termes, l sudivisio σ est plus fie si tous les poits de σ pprtieet à σ. Défiitio.3 Étt doé deu sudivisios quelcoques σ, σ de [, ] l réuio de σ et de σ est l sudivisio σ dot l esemle ssocié est l réuio des esemles ssociés à σ et σ. Défiitio.4 Soiet [, ] u itervlle de R et E u espce vectoriel ormé. Ue pplictio f : [, ] E est dite e esclier s il eiste ue sudivisio σ = ( =,,...,, = ) de [, ] telle que f soit costte sur chcu des itervlles ouverts ] i, i [ ( i ). U telle foctio e pred qu u omre fii de vleurs : ses vleurs f( i ) u + poits de l sudivisio, et les vleurs costtes qu elle pred sur les itervlles ouverts ] i, i [. Il e résulte qu ue foctio e esclier sur u itervlle de R est écessiremet orée. Propositio. Soit f ue foctio vectorielle e esclier sur [, ] et pour chque sudivisio σ = ( =,,...,, = ) de [, ] ssociée à f, posos : I(f, σ) = ( i i )f i, i= où f i désige l vleur costte de f sur l itervlle ouvert ] i, i [. Alors I(f, σ) e déped que de f et o du choi de l sudivisio σ ssociée à f. Défiitio.5 Soit f ue foctio e esclier de l itervlle [, ] à vleurs ds u e.v.. E. L itégrle de f sur [, ] est l élémet de E, oté f() défii pr f() = ( i i )f i i= où ( =,,...,, = ) désige ue sudivisio ssociée à f, et f i l vleur costte de f sur l itervlle ouvert ] i, i [. O oter que l itégrle de f e déped que des vleurs prises pr f à l itérieur des itervlles de l sudivisio, et o des vleurs prises pr f u poits de l sudivisio. Propositio. Additivité pr rpport u itervlles. Soit f ue foctio e esclier sur l itervlle [, ] et soit c u poit quelcoque de [, ]. Alors f est e esclier sur chcu des itervlles [, c] et [c, ] et o : f() = c f() + c f(). /3
Propositio.3 Liérité pr rpport u foctios. Soiet f, g deu foctios e esclier sur le même itervlle [, ] à vleurs ds le même e.v.. E (sur R ou C). Alors, quels que soiet les sclires λ, µ R, l foctio λf + µg est e esclier sur [, ] et o : (λf() + µg()) = λ f() + µ g(). Propositio.4 Croissce. L itégrle d ue foctio umérique positive e esclier sur [, ] est positive ; e coséquece, si f, g sot deu foctios umériques e esclier sur [, ], vérifit f() g()pour tout [, ], o : f() g(). Propositio.5 Mjortio. Soit f ue foctio e esclier sur [, ] à vleurs ds u e.v.. E. Alors l foctio f() est e esclier sur [, ] et o : f() f(). E coséquece, si f vérifie f() k pour tout [, ], o : f() k( ). Itégrle de Riem (foctios umériques) Défiitio. Ue foctio umérique f défiie sur u itervlle compct [, ] de R est dite itégrle u ses de Riem sur [, ] si quel que soit le omre ε >, il eiste u couple (g, h) de foctios umériques e esclier sur [, ], vérifit g() f() h() pour tout [, ] et : (h() g()) ε. De cette défiitio il résulte que toute foctio itégrle sur [, ] est écessiremet orée sur [, ] puisque les foctios e esclier sot elles-mêmes orées. À chque foctio umérique f, défiie sur l itervlle [, ] o ssocie les esemles E (f) et E + (f) isi défiis : E (f) est l esemle des foctios umériques g, e esclier sur [, ] et miort f, c est-à-dire vérifit g() f() pour tout [, ], E + (f) est l esemle des foctios umériques h, e esclier sur [, ] et mjort f, c est-à-dire vérifit h() f() pour tout [, ]. Théorème. À chque foctio umérique f, défiie et orée sur u itervlle [, ] de R, o ssocie l esemle E + (f) (resp. E (f)) costitué des foctios umériques e esclier mjort (resp. miort) f sur [, ] et o pose : I (f) = sup g E (f) g(), I + (f) = if h E +(f) Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que l o it : I (f) = I + (f). h(). Défiitio. Les ottios étt celles de du Théorème précédet, l itégrle d ue foctio umérique itégrle f sur [, ] est le omre I + (f) = I (f). O le ote : f(). Propositio. Si f est ue foctio umérique positive et itégrle sur l itervlle [, ], so itégrle est positive (évetuellemet ulle). Propositio. Foctios mootoes. Toute foctio umérique f, mootoe sur u itervlle compct [, ] de R est itégrle. /3
Propositio.3 Foctios cotiues. Toute foctio umérique f cotiue sur u itervlle compct [, ] de R est itégrle. Défiitio.3 Iterpréttio géométrique de l itégrle. Soit D u esemle pl défii pr des iéglités de l forme, y f(), où f désige ue foctio umérique positive itégrle sur l itervlle [, ]. L ire de D est le omre f(). Eercice Les foctios suivtes sot-elles itégrles u ses de Riem?. f() = [] sur [, ]. [ ] si <,. g : [, ] R, g() = si = ( ) 3. h : [, ] R, h() = si si < si = { si [, ] Q, 4. k : [, ] R, k() = si [, ]\Q Eercice ryo R. Clculer R R ( ) R (o poser pour cel, θ = rcsi ) et e déduire l ire d u disque de R Eercice 3 Clculer l ire de l régio délimitée pr les coures d équtio y = et y = +. 3 Itégrle de Riem (foctios vectorielles) Défiitio 3. Soiet E u e.v.. complet sur R ou C et [, ] u itervlle compct de R. Ue pplictio f : [, ] E est dite itégrle sur [, ] si quel que soit ε >, il eiste ue foctio vectorielle ϕ : [, ] E, et ue foctio umérique θ : [, ] R, toutes deu e esclier, vérifit : [, ], f() ϕ() θ(), θ() ε. Propositio 3. Soiet E u e.v.. complet sur R ou C et [, ] u itervlle compct de R. Pour qu ue pplictio f : [, ] E soit itégrle, il fut et il suffit qu il eiste ue suite (ϕ ) d pplictios e esclier de [, ] ds E, et ue suite (θ ) de foctios umériques e esclier sur [, ] telles que : [, ], N, f() ϕ () θ (), l suite ε = θ () tede vers zéro. Pour réger, o ppeller simplemet foctio vectorielle toute foctio à vleurs ds u e.v.. complet E (évetuellemet E = R ou C). Si f est ue foctio vectorielle défiie sur u itervlle compct [, ] de R, o ppeller suite ssociée à f toute suite (ϕ, θ ) de couples de foctios e esclier sur [, ] éocées ds l Propositio précédete : l eistece d ue telle suite est ue coditio écessire et suffiste pour que f soit itégrle. Efi, o emploier souvet les termes foctio itégrle u lieu de foctio vectorielle itégrle, ss préciser ds quel e.v.. complet cette foctio pred ses vleurs. Avec ces covetios, o l Propositio 3. Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle [, ] et soit (ϕ, θ ) ue suite ssociée à f. Alors l suite ϕ () est de Cuchy, doc covergete et s limite I e déped que de l foctio f. Défiitio 3. Les ottios étt celles de l Propositio précédete, le vecteur (ou omre) lim + ϕ () est ppelé itégrle de l foctio f sur l itervlle [, ] et oté f(). 3/3
Plços ous mitet ds le cs d u espce vectoriel E de dimesio fiie : soit (e i ) i ue se de E. Si ϕ : [, ] E est e esclier, il est évidet que les compostes de l itégrle de ϕ pr rpport à l se (e i ) sot les itégrles des compostes de ϕ. Pr pssge à l limite, o voit que cette propriété reste vrie pour toute foctio itégrle à vleurs ds E. O isi l Propositio 3.3 Soit [, ] u itervlle compct de R et soit E u espce vectoriel de dimesio fiie sur R ou C. Pour qu ue pplictio f : [, ] E soit itégrle sur [, ] il fut et il suffit que chcue de ses compostes f, f,..., f pr rpport à ue se (e i ) de E le soit et o lors : ( ) f() = f i () e i. E d utres termes, les compostes de l itégrle de f sot les itégrles de ses compostes. Ds le cs où f est ue foctio complee, o de même : i= Propositio 3.4 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f = u + iv : [, ] C ue foctio complee sur [, ]. Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que s prtie réelle u et s prtie imgiire v le soiet et o lors : f() = u() + i v(). 4 Propriétés géérles de l itégrle de Riem Propositio 4. Additivité pr rpport u itervlles. Soit f ue foctio vectorielle défiie sur u itervlle compct [, ] de R et soit c u poit de ], [. Pour que f soit itégrle sur [, ], il fut et il suffit que ses restrictios à chcu des itervlles [, c] et [c, ] le soiet. O lors : f() = c f() + c f(). Propositio 4. Liérité. Soiet f, g deu foctios itégrles sur l itervlle compct [, ], à vleurs ds le même e.v.. complet E (sur R ou C). Quels que soiet les sclires (réels ou complees) λ, µ, l foctio λf + µg est itégrle sur [, ] et o : (λf() + µg()) = λ f() + µ g(). O e déduit doc que les foctios itégrles (u ses de Riem) sur u itervlle [, ], à vleurs ds u e.v.. complet doé E, costituet u espce vectoriel R E sur le même corps (R ou C) que E et l pplictio : I : R E E, f f() est liéire. Lorsque E = R, cette pplictio I est ue forme liéire vérifit I(f) pour toute foctio itégrle positive f : o dit que c est ue forme liéire positive (ou croisste). Propositio 4.3 Croissce. Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ] vérifit pour tout [, ] : f() g(). O lors : f() g(). () Remrque 4. Si f, g sot deu foctios umériques ou vectorielles itégrles sur [, ] et si leurs vleurs e diffèret qu e u omre fii de poits de [, ], leurs itégrles sot égles : e effet, leur différece f g est ue foctio e esclier, ulle suf e omre fii de poits, so itégrle est doc ulle. Cet eemple motre que l iéglité () peut se réduire à ue églité ss que l o it f = g. Le Théorème fodmetl suivt motre que ce est ps possile si f et g sot cotiues. Théorème 4. L itégrle d ue foctio umérique f, positive et cotiue sur u itervlle [, ] de R, e peut être ulle que si cette foctio est prtout ulle. 4/3
Théorème 4. Mjortio. Soit f ue foctio vectorielle itégrle sur l itervlle compct [, ]. Alors, l foctio F : f() est itégrle sur [, ] et o f() f(). Corollire 4. Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ], vérifit pour tout [, ] l iéglité f() k (k =cste). O lors : f() k( ). () Iterpréttio : O désige pr R(,, E) l espce vectoriel costitué pr les foctios itégrles sur l itervlle [, ], à vleurs ds u e.v.. complet doé E. Les foctios itégrles étt orées, o peut muir R(,, E) de l orme de l covergece uiforme défiie pr ν(f) = sup f(). L iéglité () etrîe lors l iéglité f() ( )ν(f) qui motre que l pplictio liéire R(,, E) E, f f() est cotiue, de orme u plus égle à ( ). Propositio 4.4 Si f est ue foctio umérique (resp. complee), itégrle sur [, ], s vleur solue (resp. so module) f() est ue foctio umérique itégrle sur [, ] et o : f() f(). Corollire 4. Si f, g sot deu foctios umériques itégrles sur [, ], les foctios sot itégrles. sup(f, g) : sup(f(), g()) et if(f, g) : if(f(), g()) Eercice 4 Soit f l foctio défiie sur [, 3] pr f() = si = si < < 3 si = si < 4 si < 3.. Clculer 3 f(t)dt.. Soit [, 3], clculer F () = f(t)dt. 3. Motrer que F est ue foctio cotiue sur [, 3]. L foctio F est-elle dérivle sur [, 3]? Eercice 5 Motrer que les foctios défiies sur R, f() =, g() = et h() = ep(), sot itégrles sur tout itervlle fermé oré de R. E utilist les sommes de Riem, clculer les itégrles Eercice 6 suivts : f(), g() et h(t)dt. Clculer l itégrle de f : [, ] R comme limite de sommes de Riem-Drou ds les cs. f() = si() et f() = cos() sur [, π ] et k = kπ, k =,,...,.. g() = sur [, ] R + et k = q k, k =,,..., (q étt à détermier), 3. h() = α sur [, ], α >, et k = + ( ) k, k =,,...,. Eercice 7 Soit f : [, ] R ue foctio itégrle sur [, ] ( < ). 5/3
. O suppose que f est positive ou ulle sur [, ]. O suppose que f est églemet cotiue e u poit [, ] et que f( ) >. Motrer que positive sur [, ] telle que. O suppose que f est cotiue sur [, ], et que f() >. E déduire que si f est ue foctio cotiue f() = lors f est idetiquemet ulle. 3. Applictio : o suppose que f est ue foctio cotiue sur [, ] telle que eiste d [, ] tel que f(d) = d. f() =. Motrer qu il eiste c [, ] tel que f(c) =. f(t)dt =. Motrer qu il Eercice 8 Soit f : [, ] R cotiue, positive ; o pose m = sup{f(), [, ]}. Motrer que lim + ( (f()) Eercice 9 Soit f : [, ] R ue pplictio strictemet croisste telle que f() =, f() =. Clculer : lim + ) f (t)dt. 5 Produit de foctios itégrles, iéglités de Schwrz et de Mikowski Propositio 5. Si f, g sot deu foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle compct [, ], leur produit fg est itégrle sur [, ]. Propositio 5. Si f, g sot deu foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle [, ], elles vérifiet l iéglité de Schwrz : ( ) ( ) f()g() f() g() (3) et l iéglité de Mikowski : = m. ( / ( / ( / f() + g() ) f() ) + g() ). (4) De plus, si f et g sot cotiues, l iéglité (3) e se trsforme e églité que si o f = ou s il eiste ue costte complee k telle que l o it g() = kf() pour tout [, ] et l iéglité (4) e se trsforme e églité que si o f = ou s il eiste ue costte positive k vérifit g() = kf() pour tout [, ]. 6 Eemples de foctios itégrles : foctios réglées, foctios cotiues Défiitio 6. Foctios réglées. Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u e.v... Ue pplictio f : [, ] E est dite réglée si quel que soit le omre ε >, il eiste ue pplictio e esclier ϕ : [, ] E vérifit pour tout [, ] : ϕ() f() ε. Propositio 6. Ue pplictio f : [, ] E est réglée si et seulemet si il eiste ue suite (ϕ ) d pplictios e esclier de [, ] ds E, coverget uiformémet vers f sur [, ]. Théorème 6. Toute pplictio réglée d u itervlle compct [, ] ds u e.v.. complet E est itégrle. Théorème 6. Cs prticulier : foctios cotiues. Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u e.v... Toute pplictio cotiue f : [, ] E est dite réglée. E coséquece, si E est complet, toute pplictio cotiue de [, ] ds E est itégrle. 6/3
Propositio 6. Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u e.v.. complet. Si f est orée sur [, ] et itégrle sur tout itervlle compct [α, β] coteu ds l itervlle ouvert ], [, lors f est itégrle sur [, ]. Corollire 6. Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u e.v.. complet E. Si f est orée sur [, ] et cotiue sur l itervlle ouvert ], [ lors f est itégrle. Plus géérlemet o : Propositio 6.3 Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio de [, ] ds u e.v.. complet E. Pour que f soit itégrle sur [, ], il suffit que f soit orée et que l esemle de ses poits de discotiuité soit fii. Propositio 6.4 Approimtio des foctios itégrles pr des foctios cotiues. Soit f : [, ] E ue foctio itégrle. Quel que soit le omre ε > doé, il eiste ue foctio cotiue g : [, ] E vérifit f() g() ε. Cette pproimtio permet souvet de rmeer l démostrtio de propriétés des foctios itégrles à celles des propriétés des foctios cotiues. 7 Itégrle idéfiie. Dérivtio Propositio 7. O f() = Propositio 7. Formule de Chsles. O f() et f() = c f() =. f() + c f() pourvu que f soit itégrle sur l itervlle [α, β] d etrémités α = if(,, c) et β = sup(,, c). Défiitio 7. Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ]. Pour tout t [, ], f est itégrle sur l itervlle [, t] et l foctio t f() est ppelée itégrle idéfiie de l foctio f. Propositio 7.3 Cotiuité. Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue pplictio itégrle de [, ] ds u e.v.. complet E. Alors l foctio est lipschitziee, de rpport k = F : [, ] E, t t f() sup f(), doc cotiue sur [, ]. Propositio 7.4 Dérivilité. Si f est ue foctio itégrle sur [, ], l foctio F : t t f() dmet f(t + ) pour dérivée à droite (resp. f(t ) pour dérivée à guche) e tout poit où cette limite eiste. Corollire 7. Si f est ue foctio itégrle sur l itervlle compct [, ], l itégrle idéfiie F : t t f() dmet f(t) pour dérivée e tout poit t de [, ] où f est cotiue. Défiitio 7. Soit f ue pplictio d u itervlle I de R ds u e.v.. quelcoque E. O ppelle primitive de f toute pplictio F : I E vérifit pour tout t I : F (t) = f(t). Théorème 7. Soit f : [, ] E ue pplictio cotiue de l itervlle [, ] ds u e.v.. complet E. Alors l itégrle idéfiie 7/3
F : t t f() est ue primitive de f sur [, ] et si G est ue primitive quelcoque de f sur [, ], o : f() = G() G(). Théorème 7. Toute foctio cotiue défiie sur u itervlle quelcoque I de R et à vleurs ds u e.v.. complet dmet ue primitive. Eercice Soit f : R R ue foctio cotiue sur R et F () = u ffirmtios suivtes :. F est cotiue sur R.. F est dérivle sur R de dérivée f. 3. Si f est croisste sur R lors F est croisste sur R. 4. Si f est positive sur R lors F est positive sur R. 5. Si f est positive sur R lors F est croisste sur R. 6. Si f est T -périodique sur R lors F est T -périodique sur R. 7. Si f est pire lors F est impire. f(t)dt. Répodre pr vri ou fu Eercice Soiet u et v deu foctios dérivles sur R et f ue foctio cotiue sur R.. O pose F () = v() u(). Clculer l dérivée de G() = f(t)dt. Motrer que F est dérivle sur R et clculer s dérivée. dt + t + t 4. Eercice Soit F () = l(t) dt.. Quel est l esemle de défiitio de F? F est-elle cotiue, dérivle sur so esemle de défiitio?. Détermier lim F () e comprt F à H() = + 8 Chgemet de vrile t l(t) dt. Théorème 8. Soit ϕ ue foctio umérique défiie sur u itervlle compct I = [, ] de R, et pourvue d ue dérivée cotiue. Pour toute foctio f (umérique, complee ou à vleurs ds u e.v.. complet) défiie et cotiue sur l itervlle compct ϕ(i), o l formule dite de chgemet de vrile : ϕ() ϕ() f() = f[ϕ()]ϕ (). Propositio 8. Cs où l itervlle d itégrtio est symétrique pr rpport à l origie. Soit f ue foctio itégrle sur u itervlle compct [, ] de cetre O, lors f() = (f() + f( )). Propositio 8. Ivrice pr trsltio. Applictio u foctios périodiques. Soit f ue foctio itégrle quelcoque sur l itervlle compct [, ], lors l foctio trsltée f u : f(+u) est itégrle sur l itervlle [ u, u] et qu elle vérifie l reltio : u u f u () = u u f( + u) = f(). E prticulier, si f est ue foctio périodique, de période T sur R, o quels que soiet, R : +T +T f() = f(). 8/3
9 Itégrtio pr prties Propositio 9. Soiet u, v deu foctios umériques ou complees défiies sur u itervlle compct [, ] de R et pourvues de dérivées cotiues. O l formule d itégrtio pr prties : soit, sous forme codesée : u()v () = [u()v()] udv = [uv] vdu. u ()v() Propositio 9. Soiet [, ] u itervlle compct de R et E u e.v.. complet sur le corps K = R ou C. Si les pplictios u : [, ] K et v : [, ] E sot de clsse C sur [, ], o : u()v () () = [u()v ( ) () u ()v ( ) () +... + ( ) p u (p) ()v ( p ) () +... + ( ) u ( ) ()v()] + ( ) u () ()v(). Propositio 9.3 Cs prticulier des polyômes de degré u plus. Si u est u polyôme de degré u plus, o u () = d où : u()v () () = [u (p) ()v ( p ) ()] = ( ) k [u ( k ) ()v (k) ()]. E chget les ottios et e pret pour u le polyôme t p= k= (t ), o otiet l ( )! Propositio 9.4 Applictio. Formule de Tylor vec reste itégrl. Soiet [, ] u itervlle compct de R et f : [, ] E ue foctio de clsse C m sur [, ], à vleurs ds u e.v.. complet E. Pour tout t [, ] o lors : f(t) = f() + Clcul des primitives k= (t ) k k! t f (k) () + (t ) f () (). ( )! Eercice 3 Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : ) rct() ) t () c) d) l() + e) rcsi() f) g) 3 + ep( ) h) 4 l + i) j) + ep() k) + + l) cos() ep() 3 4 Eercice 4 Clculer les primitives suivtes : si() et si() + cos() cos() si() + cos(). Eercice 5 Clculer les primitives suivtes, e précist si écessire les itervlles de vlidité des clculs : ) si 8 () cos 3 () ) cos 4 () c) cos 3 () si() d) + si() + cos() 3 si() e) f) g) h) si() cos() cos() + 3 t() 7 + t() Eercice 6 Soit I = π Itégrles de Wllis. si () si N. 9/3
. Motrer que (I ) est positive décroisste.. Motrer que I + = + + I et epliciter I, e déduire 3. Motrer que I I +. π 4. À l ide de ( + )I I + motrer que I..3... ( + ) 5. E déduire.4... () π. ( ). Voici u tleu (o limittif) de primitives utiles : α = α+ α + + cste, α = Log + cste ep((α + iβ)) ep((α + iβ)) = + cste si() = cos + cste α + iβ cos() = si() + cste t() = Log cos() + cste ( t ) si() = Log ( t π + cste cos() = Log 4 + ) + cste cot() = Log si() + cste cos = t() + cste () si = cot() + cste = Log t() + cste () si() cos() sh() = ch() + cste ch() = sh() + cste th th() = Log(ch()) + cste sh() = Log + cste = rct(ep()) + cste = Log sh() + cste ch() th() ch = th() + cste () sh = coth() + cste () ) = Log th() + cste sh()ch() + = ( rct + cste = ( ) Log + + cste = rcsi + cste ( ) + = rg sh + cste = Log( + + ) + cste ( ) = rg ch + cste = Log + + cste ( + α) = 3/ α + α + cste Vleur pprochée d ue itégrle défiie (α ) = 3/ α α + cste, α Lorsqu o e coît ps l epressio d ue itégrle défiie u moye de foctios cotiues, o peut e chercher ue vleur pprochée e remplçt l foctio à itégrer pr ue foctio voisie plus simple. Propositio. Méthode des rectgles pour ue foctio mootoe. Soit f ue foctio mootoe (supposée croisste) sur l itervlle compct [, ]. L etier N étt fié ritriremet, o pose h = ( )/ et o cosidère l sudivisio O otiet lors c est-à-dire l vleur de h (, + h,..., + kh,..., + h = ). f( + kh) k= f() h f( + kh), f() vec ue erreur u plus égle à E(f) = [f() f()]. k= /3
Propositio. Méthode des trpèzes. Soit f : λ + µ ue foctio ffie sur l itervlle [, ] où λ, µ désiget des costtes. O : f() = ] [ [λ + µ = ( ) λ + ] f() + f() + µ = ( ). Plus géérlemet, soit f ue foctio itégrle quelcoque sur l itervlle [, ] et soit ( =,,..., = ) ue sudivisio quelcoque de cet itervlle. O désige pr g l foctio qui pred les mêmes vleurs que f u poits,,..., et qui se réduit à ue foctio ffie sur chque itervlle [ i, i+ ] ( i ). O otiet lors : i g() = g() = ( i i ) f( i) + f( i ). i i= Si f est pourvue d ue dérivée secode vérifit pour tout [, ] : α f () β vec α, β des costtes, o lors : vec S = [ f() + f() + f k= α( ) 3 S ( + k ) ]. i= ( )3 f() β Propositio.3 Autre méthode, pplicle u foctios vectorielles. Soit f ue foctio vectorielle défiie sur l itervlle compct [, ] et pourvue d ue dérivée secode vérifit pour tout [, ] : f () k vec k ue costte. O lors : ( ) + ( )3 f() ( )f k 4 et plus géérlemet pour tout etier > : f() f k= ( + (k + ) ) k( )3 4 3. Propositio.4 Méthode de Simpso. Soit f ue foctio umérique ou vectorielle défiie sur l itervlle [, ] de R et pourvue d ue dérivée d ordre 5 vérifit pour tout [, ] : f (5) () k vec k ue costte. O lors : f() d où pour tout etier > : ( ) f() 6 k= ( ) 6 [ f() + f() + 4f ( + )] ( )5 k 88 [ ( f( + kh) + f( + kh h) + 4f + kh h )] ( )5 k 88 4. Limite uiforme de foctios itégrles. Itégrtio terme à terme d ue série Théorème. Soit (f ) N ue suite uiformémet covergete de foctios itégrles sur [, ] à vleurs ds le même e.v.. complet E. Alors l foctio limite f = lim f est itégrle sur [, ] et o : + f() = lim + f (). (5) Il fut ie predre grde que l covergece uiforme de l suite (f ) est ue coditio suffiste mis o écessire pour etrîer l églité (5) et l théorie de Leesgue permet d étlir le résultt puisst que voici : Propositio. Soit (f ) ue suite de foctios umériques ou complees itégrles sur l itervlle [, ] coverget simplemet vers ue foctio f itégrle sur [, ]. Si les foctios f sot orées pr u même omre, o ecore l églité (5). /3
Propositio. Soit (f ) ue suite de foctios itégrles sur l itervlle compct [, ] coverget simplemet vers ue foctio f sur [, ]. Si les foctios (f ) st orées pr u même omre k, et si l covergece de f vers f est uiforme sur tout itervlle compct [α, β] coteu ds l itervlle ouvert ], [ lors f est itégrle sur [, ] et o ecore l églité f() = lim + f (). Propositio.3 Applictio u séries. Sit (u ) ue suite de foctios itégrles sur l itervlle compct [, ], à vleurs ds u e.v.. complet E. Si l série u est uiformémet covergete sur [, ], s somme S : sur [, ]. L série de terme géérl v = soit u () est covergete et o : S() = [ + ] u () = = + v = + = u (). + = u () est ue foctio itégrle E prtique, o retiedr les deu fits suivts : e itégrt terme à terme ue série uiformémet covergete sur l itervlle compct [, ], o otiet ue série covergete, l covergece uiforme d ue suite (resp. série) de foctios défiies sur u même itervlle compct est ue coditio suffiste pour pouvoir échger les siges lim et (resp. les siges et ). Eercice 7 Soit I = +.. E mjort l foctio itégrée, motrer que lim I =. +. Clculer I + I +. ( ) ( ) k+ 3. Détermier lim. + k k= Eercice 8 Clculer l limite des suites suivtes :. u = k + ;. v = k= k= ( + k ). 3 Formules de l moyee Propositio 3. Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ]. Si l foctio g est positive et si m, M désiget respectivemet l ore iférieure et l ore supérieure de f sur [, ], o : m g() f()g() M g(). Si de plus l foctio f est cotiue, il eiste u mois u poit c [, ] tel que : f()g() = f(c) g(). Propositio 3. Deuième formule de l moyee. Soiet f, g deu foctios umériques itégrles sur l itervlle [, ], l foctio f étt supposée positive et décroisste. Il eiste lors u poit c de [, ] tel que l o it : f()g() = f( + ) c g(). /3
4 Sommes de Riem Théorème 4. Soit f : [, ] E ue pplictio itégrle d u itervlle compct de R ds u e.v.. complet E. Quel que soit le omre ε >, il eiste u omre h > possédt l propriété suivte : pour toute sudivisio σ = ( =,,...,, = ) de [, ], de ps u plus égl à h et toute suite (ζ,..., ζ ) de poits de [, ] vérifit i ζ i i pour i =,,...,, o S(f, σ, ζ,..., ζ ) f() ε. Propositio 4. Soit f ue foctio itégrle sur l itervlle [, ] et soit (σ p ) ue suite de sudivisios de [, ] dot le ps ted vers zéro. Si pour chque sudivisio σ p = ( p,, p,,..., p,p ) o choisit u poit ζ p,i ds chque itervlle [ p,i, p,i ], l somme de Riem ted vers l itégrle p S p = ( p,i p,i )f(ζ p,i ) i= f() qud p ted vers l ifii. E prticulier, si f est itégrle sur [, ], l suite (S ) défiie pr ted vers Référeces S = ( ) f() qud l etier ted vers +. f k= ( + k [] Jcquelie LELONG-FERRAND, Je-Mrie ARNAUDIÈS. Cours de mthémtiques. Tome, Alyse, 4ème éditio. [] Eercices collectio EXO7. Clculs d itégrles. http ://eo7.emth.fr/ficpdf/fic5.pdf ) 3/3