MPSI Tigooméie ciclaie Fomlaie de mahémaiqes Acs emaqables α (ad) siα cosα aα 6 4 coα cos α = si α si α = cos α a α = co α co α = a α cos + α = si α si + α = cos α a + α = co α co + α = a α cos cos si si a a co α = co α cos ( α ) = α ( α ) = α ( α ) = α ( + α ) = cosα si ( + α ) = si α a ( + α ) = a α co Fomles d'addiio cos ( α + β ) = cos α cosβ si αsi β si ( α + β ) = si α cosβ + cos αsi β a a α + a β a a ( α + β ) = a α β cos α = cos α si α = cos α = si α si α = si α cos α + α = co α cos α β = cos α cosβ + si αsi β si α β = si αcosβ cos αsi β a α a β α β = + a α a β cos α = 4 cos α cos α si α = si α 4si α a α a α a α a α = a α = a α a α Somme podi cos p + cos q = cos cos cos p cos q = si si si p + si q = si cos si p si q = cos si si ( p + q) si ( p + q) a p + a q = co p + co q = cos p cos q si p si q Podi somme cos α cosβ = cos α + β + cos α β si α cosβ = si ( α + β ) + si ( α β) α E focio de = a cos si si si α + β α β si α si β = cos ( α + β) cos ( α β) cos α = + si α = a α = + Tigooméie ciclaie
MPSI Tigooméie hpeboliqe Fomlaie de mahémaiqes Défiiios cosh (cosis hpeboliqe) e sih (sis hpeboliqe) so especiveme les paies paie e impaie de la focio epoeielle : e + e e e sih e e cosh = sih = ah = = coh = cosh e + e ah cosh sih = cosh + sih = e cosh sih = e Fomles d'addiio ( + v) = v + v ( + v) = v + v cosh cosh cosh sih sih sih sih cosh cosh sih ah ah + ah v ah ah v ( + v) = ah ( v) + cosh v = cosh cosh v sih sih sih v = sih cosh v cosh sih v ah ah v = ah ah v = + = = + sih = sih cosh ah ah = + ah cosh cosh sih cosh sih Somme podi cosh p + cosh q = cosh cosh cosh p cosh q = sih sih sih p + sih q = sih cosh sih p sih q = cosh sih Podi somme cosh cosh v = cosh + v + cosh v sih cosh v = sih ( + v) + sih ( v) E focio de = ah cosh sih v = sih v + sih v sih sih v = cosh ( + v ) cosh ( v ) cosh + = sih = ah = + Tigooméie hpeboliqe
MPSI Déivées e pimiives Fomlaie de mahémaiqes Das le ablea qi si es, à pioi, e focio de e ' sa déivée. O oe F=fo la focio composée de f pa ; po avoi la déivée de la focio f() il sffi de emplace pa e ' pa. Rappel ès impoa : si F=fo alos F'='.f'o F F' F F' ' v 'v + v' + v ' + v' v v v ' v si 'cos acsi cos 'si accos a ( a ) cos = + aca + co acco = ( + co ) si + e 'e a 'a la (a > ) l log a loga e sih 'cosh agsh cosh 'sih agch ah coh cosh sih agh agcoh Das ce ablea oes les focios so spposées défiies s l'ievalle d'iégaio. + ( > ) ( < ) ( > ) α+ d α d = + C l C α + = + si d = cos + C cos d = si + C a d = l cos + C co d = l si + C d l a si = + C d = l a + + C cos 4 d co C si = + d a C cos = + a d = a + C co d = co + C e d e = + C a a d = + C sih d = cosh + C cosh d = sih + C l a ah d = l cosh + C coh d = l sih + C d l ah sih = + C d aca e C cosh = + d coh C sih = + d ah C cosh = + d aca C + = + d + = agsh + C = l + + + C d d = acsi + C d + = l + C = l + + C : à savoi absolme! Déivées e pimiives
MPSI Développemes limiés Fomlaie de mahémaiqes Fomle de Talo-Yog Si la focio f es défiie, coie e pove de déivées sccessives jsq'à l'ode s ievalle I compea, le développeme limié de f à l'ode a voisiage de s'éci : avec ( ) lim ε =. Fomle de Mac-Lai ( ) '( ) "( )... f = f + f + f + + f + ε!!!! Ce développeme coespod à développeme de Talo a voisiage de = : avec ( ) lim ε =. Développemes limiés sels a voisiage de = ( ) f = f + f ' + f " +... + f + ε!!!! ( ) O ilise la oaio de Lada : ε ( ) = ( ) A savoi absolme :! ( )...( ) + = + α + +... + + e α α α α α α +!! = + + +... + + ( ) d'où l'o ie : e = + +... + ( ) + ( )!!!!!! ( + ) = + + + ( ) + ( ) d'où l'o ie : l ( ) = + + +... + + ( ) l... 5 + si = +... + +! 5! +! + 4 cos = +... + +! 4!! ( ) 7 a = + + + + 5 5 5 7 7 ( + ) sih = + +... + +!!! ( + ) + ( ) (facile à eei : c'es la paie impaie de e ) 4 cosh = + + +... + + ( ) (facile à eei : c'es la paie paie de e )! 4!! U pe mois iles (e phsiqe!) : 5 +...5... ( ) + acsi = + + +... + + ( ).4 5.4.6... + ( ) 5 +...5... accos =... +.4 5.4.6... + 5 + aca = +... + + 5 + + 7 ah = + + 5 5 5 7 7 5 + ag ah = + +... + + 5 + + + Développemes limiés 4
MPSI Fomlaie de mahémaiqes Ssèmes de coodoées Coodoées caésiees M = ca Domaies de défiiio :,, R Vece posiio : OM = e + e + e Déplaceme élémeaie : dl = de + de + de de de = dde Sfaces élémeaies : de de = dde de de = dde Volme élémeaie : ddd O d d e M e d e Coodoées clidiqes M = cl [ [ + = OH, R Défiiios e domaies de défiiio : = O, OH,, Vece posiio : OM = e + e Déplaceme élémeaie : dl = d e + d e + de de d e = dde Sfaces élémeaies : d e de = d de de d e = dde Volme élémeaie : ddd O e d d M e d d H e Coodoées sphéiqes M = sph θ + = OM, R Défiiios e domaies de défiiio : θ = ( O, OM), θ [, ] = ( O, OH), [, [ (H a la même défiiio qe s le schéma des coodoées clidiqes) Vece posiio : OM = e Déplaceme élémeaie : dl = de + dθ e + si θde de dθ eθ = ddθe Sfaces élémeaies : dθeθ si θd e = si θdθde si θde de = si θddeθ θ dθ θ O d M e e θ d e Volme élémeaie : siθddθd Ssèmes de coodoées 5
MPSI Opéae gadie Fomlaie de mahémaiqes Défiiio : O appelle gadie a poi M d champ scalaie f(m) le vece oé gadf(m) el qe : gadf ( M ). dl ( M ) = df = f ( B) f ( A) AB où dl(m) désige le vece déplaceme élémeaie a poi M appaea à la cobe AB. Sos fome difféeielle : df ( M ) f ( M ). ( M ) Popiéés = gad dl. L'opéae gadie asfome champ scalaie e champ vecoiel. Le vece gadf(m) es : pepediclaie a sfaces isoscalaies f = ce oieé das le ses des f coissas Pa sa défiiio même, la ciclaio d vece gadf es idépedae d chemi sivi, gadf es doc à ciclaio cosevaive. Récipoqeme, si champ vecoiel F(M) es à ciclaio cosevaive, il eise champ scalaie U(M), défii à e cosae addiive pès, el qe F = gadu ; o di alos qe F déive d poeiel scalaie U. Epessios das les diffées ssèmes de coodoées gad f = = = θ si θ ca cl sph AB Opéae gadie 6