I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE Traditionnellement, le cours de géométrie de première année à l EPFL (et dans beaucoup d universités) touche à des sujets de géométrie classique au premier semestre et la géométrie analytique des courbes et des surfaces au deuxième semestre. Ainsi nous commencerons par (re)faire de la géométrie euclidienne et verrons quels axiomes doivent être adaptés, ajoutés, ou supprimés pour que les mêmes méthodes s appliquent au cadre de la géométrie sphérique, projective ou hyperbolique. Nous étudierons aussi un peu la géométrie vectorielle et parlerons des isométries du plan et de l espace. Nous commençons avec la géométrie axiomatique pour deux raisons. Nous avons abordé de cette façon la géométrie en première année du cours Euler et avons remarqué d une part que des raisonnements clairs sur la base de règles précises facilite l exposition et permet de démontrer des résultats au lieu de simplement convaincre de leur justesse. D autre part nous verrons que de comprendre clairement quels axiomes sont nécessaires et suffisants pour démontrer tel résultat permettent de les modifier pour construire d autres géométries que la géométrie euclidienne. Nous suivrons le livre de Greenberg (Euclidean and non-euclidean geometries) ou de Hartshorne (Geometry : Euclid and Beyond), d excellents livres qui proposent une approche historique et qui se lisent vraiment comme des romans! Nous nous basons donc sur les axiomes de la géométrie euclidienne développés par Hilbert vers 1900. Nous n allons pas démontrer tous les résultats que nous avons vus ces derniers trois ans, mais choisir quelques points clé qui illustrent la méthode! 1. Les axiomes d incidence Nous supposons donné un ensemble E dont les éléments sont appelés points et sont typiquement notés P ou Q. Certains sous-ensembles de E, appelés droites et notés habituellement d ou e, sont aussi donnés. Puisque notre point de vue est axiomatique, nous ne parlerons pas de ce que les points et les droites sont, mais plutôt des propriétés que ceux-ci vérifient. On dit qu une droite d passe par un point P si P d. Deux droites qui n ont pas de point en commun sont dites parallèles. 1

2 I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE Trois points sont dits colinéaires s il existe une droite qui passe par ces trois points. Un ensemble E, muni d un ensemble de droites D P(E), est nommé géométrie d incidence lorsque les axiomes suivants sont vérifiées. (I1) Pour deux points P et Q distincts, il existe une unique droite passant par P et Q. (I2) Toute droite contient au moins deux points. (I3) Il existe trois points non colinéaires. On peut immédiatement démontrer la proposition suivante. Proposition 1.1. Deux droites distinctes ont au plus un point en commun. Démonstration. Soient d et e deux droites qui contiennent toutes deux les points distincts P et Q. Alors d = e par l unicité dans l axiome (I1). Exemple 1.2. Il existe une géométrie n ayant que trois points et qui satisfait les axiomes d incidence. On pose E = {P, Q, R} et les droites sont d = {P, Q}, e = {P, R} et f = {Q, R}. e d P Q R f Les pointillés ne représentent pas des lignes de points dans le plan réel, mais indiquent seulement lesquels des points de E se trouvent sur les droites de cette géométrie.

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE 3 Exemple 1.3. Le plan réel cartésien R 2 est une géométrie d incidence où les droites sont de la forme {(x, y) R 2 : ax + by + c = 0}, pour a, b, c R, avec (a, b) (0, 0). Les équations de type ax + by + c = 0 sont appellées affines. L espace réel cartésien R 3 forme aussi une géométrie. On rapelle l axiome des parallèles, que vous avez vu en première année. (P) Pour chaque point P et chaque droite d, il existe au plus une droite parallèle à d passant par P. On remarque que R 2 vérifie (P ). On construit maintenant une géométrie d incidence qui ne vérifie pas (P ). Exemple 1.4. On pose E = {A, B, C, D, E} et dont les droites sont tous les sousensembles de deux points (il y a donc 10 droites) : D C E B A Les axiomes d incidence sont vérifiés, mais cette géométrie ne satisfait pas l axiome des parallèles! Les modèles sont donc importants pour vérifier que les axiomes sont cohérents : s il existe un modèle, cela veut dire que nous ne construisons pas sur du vide, la théorie s applique. S il existe des modèles qui satisfont tous les axiomes sauf un, cela veut dire que cet axiome est indépendant des autres et ne peut être démontré à l aide des autres. L exemple ci-dessus montre donc qu il est impossible de démontrer l axiome des parallèles avec les axiomes d incidence.

4 I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE 2. Axiomes d ordre Les axiomes d ordre définissent la relation pour un point de se trouver entre deux points. Nous supposons donc que E est muni d une structure de géométrie d incidence. On ajoute à cela une relation pour des triplets de points et disons que le point Q de se trouve entre les points P et R si cette relation est satisfaite pour P, Q, R. On notera P Q R pour rappeler graphiquement que Q est entre P et R. Le premier axiome d ordre nous assure qu entre P et R il y a les mêmes points qu entre R et P. Le deuxième indique qu une droite ne s arrête jamais" et le troisième que les droites ne sont pas circulaires. (O1) Si P Q R est vrai, alors P, Q, R sont trois points distincts de la même droite et on a aussi R Q P. (O2) Pour toute paire de points distincts P et Q, il existe un point R tel que P Q R. (O3) Soient P, Q, R trois points distincts d une même droite. Il existe un unique de ces points qui se trouve entre les deux autres. (O4) Axiome de Pasch. Soient P, Q, R trois points non colinéaires et d une droite ne contenant aucun des points P, Q, R. Si d contient un point S situé entre P et Q, alors d contient soit un point entre P et R, soit un point entre Q et R, mais pas les deux. d P S Q R Cet axiome était utilisé implicitement par Euclide, sans justification, sur la base du bon sens. Il fallut attendre 1882 pour que le géomètre allemand Moritz Pasch l énonce dans son ouvrage. Hilbert reprit ensuite cet axiome.

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE 5 Pour des points distincts P et Q, on notera dorénavant [P Q] pour le segment constitué de P, Q et tous les points entre P et Q. On pourra utiliser la notation suggestive [P Q[, ]P Q] et ]P Q[ pour indiquer que le segment ne comprend pas l une ou l autre de ces extrémités, ou aucune d entre elles. Exemple 2.1. Le modèle cartésien R 2 est une géométrie d ordre. On dit que le point (q 1, q 2 ) se trouve entre (p 1, p 2 ) et (r 1, r 2 ) si les trois points sont alignés et dans R on a p 1 q 1 r 1 ou p 2 q 2 r 2. Les axiomes (O1), (O2) et (O3) sont évidents. Pour vérifier (O4) considérons l équation ax + by + c = 0 l équation de la droite d et appelons f(x, y) = ax + by + c. Alors, puisque P = (p 1, p 2 ), Q = (q 1, q 2 ) et R = (r 1, r 2 ) ne se trouvent pas sur la droite on a f(p 1, p 2 ) 0, f(q 1, q 2 ) 0 et f(r 1, r 2 ) 0. Par hypothèse la droite d coupe le segment ]P Q[ si bien que le signe de f(p ) et de f(q) sont distincts. (Le graphe de la fonction réelle t f(p + t P Q) est une droite.) Ainsi le signe de f(r) sera soit égal à celui de f(p ), soit à celui de f(q), mais pas les deux. On en conclut que d coupe soit ]QR[, soit ]P R[, mais pas les deux car f est affine. Le modèle R 3 n est pas une géométrie d ordre... On déduit des axiomes d ordre les propriétés de séparation du plan en demi-plans. On dit que deux points P, Q de E se trouvent du même côté de la droite d si P = Q ou si P Q et le segment [P Q] ne coupe pas d, et on note P d Q. Proposition 2.2. Soit d une droite. Alors les points du plan E ne se trouvant pas sur d sont partagés en deux demi-plans non-vide P 1 et P 2. Chaque demi-plan est constitué de points se trouvant du même côté de d. Démonstration. On remarque d abord que la relation d se trouver du même côté de d" est une relation d équivalence. Le seul point délicat est la transitivité. Si P d Q et Q d R sont trois points non alignés, alors d ne peut couper ]P R[, car sinon (O4) impliquerait que d coupe aussi ]P Q[ ou ]QR[. Supposons donc que P, Q, R appartiennent à la même droite e. Par (I1) les droites d et e sont distinctes et par (I2) il existe un point D de d ne se trouvant pas sur e. Par l axiome d ordre (O2) il existe un point E tel que D P E :

6 I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE R E Q P d D e Par (O1) les points D, P, E sont alignés de sorte que E ne se trouve pas sur d par (I1). De plus P d E puisqu en cas contraire cela signifierait que P D E. Or on a D P E par construction et (O3) interdit cette situation. Nous avons réussi à construire un point du même côté de d que P, mais non alignés avec P, Q et R. On conclut alors par notre premier raisonnement que E d Q et E d R. Par conséquent P d R. Voilà. La relation d est une relation d équivalence. Elle sépare donc E en classes d équivalence disjointes et nous devons montrer qu il y a exactement deux classes. Par (I3) il existe un point P qui ne se trouve pas sur d. La classe de P est l ensemble de tous les points du plan qui se trouvent du même côté de d que P. Choisissons un point D sur d et par (O2) un point Q tel que P D Q. Ainsi P d Q et il y a au moins deux classes distinctes. Pour conclure considérons un point R arbitraire ne se trouvant pas sur d. L axiome de Pasch implique que d coupe soit ]P R[, soit ]QR[, mais pas les deux. Autrement dit R se trouve du même côté de d que P ou Q (lorsque P, Q, R sont alignés, on construit comme ci-dessus un point du même côté de d que R, mais non-alignés avec P et Q). Il est intéressant de noter que le cas le plus difficile est le cas ou les points sont alignés, car nous ne pouvons pas utiliser directment l axiome de Pasch. De la même façon, pour trois points P, Q, R d une droite d, on dit que P et Q sont du même côté de R si P = Q ou si P Q et R n appartient pas au segment [P Q], et on note P R Q. Cette définition partage la droite d en deux demi-droites issues de R. (cf Exercice 4 Série 1 point (1) ).

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE 7 On remarque que par les axiomes (O3) et (O1), on a P R Q si et seulement si P Q R ou Q P R. On définit alors les angles (non plats) donnés par deux demi-droites [P Q et [P R issues d un même point P telles que P, Q, R ne sont pas alignés. L intérieur de l angle est l ensemble de tous les points S tels que S et Q se trouvent du même côté de P R et tels que S et R se trouvent du même côté de P Q. L intérieur d un triangle est alors l intersection des intérieurs de ses trois angles. 3. Axiomes de congruence des segments Nous ajoutons à une géométrie d ordre E les notions de congruence de segments et trois axiomes supplémentaires. La congruence est une relation définie sur les paires de segments. On notera [P Q] = [RS] si les segments [P Q] et [RS] sont congruents (on pense et on dit parfois qu ils sont égaux, c est ce que faisait Euclide, mais il vaut mieux faire la distinction et plutôt penser qu ils ont la même longueur, même si la longueur n est pas définie!). (C1) Soit [P Q] un segment et r une demi-droite issue de R. Il existe alors un unique point S de r tel que [P Q] = [RS]. (C2) La relation de congruence des segments est une relation d équivalence. (C3) Axiome d addition. On considère des points alignés A B C et P Q R. Si [AB] = [P Q] et [BC] = [QR], alors [AC] = [P R]. Ces axiomes permettent de reporter des segments (Euclide aurait utilisé une construction à la règle et au compas pour (C1) par exemple). Remarquons encore que puisque [P Q] = [QP ], ces deux segments sont en particulier congruents! Il n y a pas d orientation, d origine, ni de but ici. Définition 3.1. Soient O, A deux points distincts. Le cercle Γ de centre O et de rayon [OA] est l ensemble Γ = {X E : [OX] = [OA]} Définition 3.2. On se donne deux segments [P Q] et [AB]. La somme [P Q] + [AB] est l unique segment [P R] donné par un point R de la droite P Q qui se trouve de l autre côté de Q que P et tel que [QR] = [AB].

8 I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE Il faut bien sûr vérifier que cette définition ait un sens (que la notion de somme de segments est bien définie, mais cela découle de (C1)). On montre maintenant que cette definition passe au classes de congruence de segments. Proposition 3.3. Congruence des sommes. On suppose que [P Q] = [P Q ] et [AB] = [A B ]. Alors [P Q] + [AB] = [P Q ] + [A B ]. Démonstration. On construit les points R et R selon la définition de la somme si bien que P Q R et P Q R : On a [P Q] = [P Q ] par hypothèse. De plus [QR] = [AB], [AB] = [A B ] et [Q R ] = [A B ] si bien que [QR] = [Q R ] par symétrie et transitivité de la congruence des segments, (C2). On conclut alors par (C3) que [P R] = [P R ]. On peut alors comparer des segments non congruents et nous dirons que [P Q] < [AB] s il existe un point C entre A et B tel que [P Q] = [AC]. On écrira encore [P Q] [AB] si [P Q] < [AB] ou [P Q] = [AB]. On peut montrer que est une relation d ordre sur les classes de congruence de segments, c est-à-dire qu elle est réflexive, antisymétrique et transitive...

I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE 9 Exemple 3.4. Dans la géométrie d ordre R 2 on introduit la notion de distance entre deux points P = (p 1, p 2 ) et Q = (q 1, q 2 ) en posant d(p, Q) = (q 1 p 1 ) 2 + (q 2 p 2 ) 2 On dit que deux segments sont congruents s ils ont la même longueur. Cette géométrie satisfait les axiomes (C1), (C2), (C3). Il nous manque encore des axiomes! Nous ne savons pas encore reporter des angles et nous ne pouvons pas non plus démontrer l inégalité du triangle dans une géométrie de congruence des segments... 4. Les axiomes de congruence des angles On ajoute donc aux dix axiomes dont nous disposons trois axiomes de congruence d angles. (C4) Soit ÂBC un angle et [QP une demi-droite. Il existe une unique demi-droite [QR d un côté donné de la droite QP telle que ÂBC = P QR. (C5) La relation de congruence des angles est une relation d équivalence. (C6) CAC. On se donne deux triangles ABC et P QR. On suppose que [AB] = [P Q], [BC] = [QR] et ÂBC = P QR. Alors les deux triangles sont congruents : [AC] = [P R], BCA = QRP et ĈAB = RP Q. On peut, comme pour les segments, montrer des résultats de somme et soustraction d angles, comparer des angles, etc. Si BAC est un angle et D AC se trouve de l autre côté de A que C, on dit que les angles BAC et BAD sont supplémentaires. Par exemple, on peut démontrer le résultat suivant. Proposition 4.1. Si deux angles sont congruents, alors n importe quels de leurs angles supplémentaires sont aussi congruents. On démontre ensuite les grands résultats sur les angles. Deux angles sont dits opposés par le sommet s ils sont définis par les demi-droites opposées de deux droites identiques. Proposition 4.2. Deux angles opposés par le sommet sont congruents.

10 I. GÉOMÉTRIE AXIOMATIQUE Démonstration. Appelons le premier angle α = ÂBC et le second α =  BC pour des points A B A et C B C. On observe que les angles α et ĈBA sont supplémentaires, mais α et ĈBA également. Ainsi α = α par la proposition précédente. Un angle droit est un angle qui est congruent à l un de ses supplémentaires. Proposition 4.3. Deux angles droits sont congruents. Démonstration. On appelle α = ÂBC et α =  B C ces angles droits, et β = DBC et β = D B C les supplémentaires respectifs. Supposons par l absurde que α < α, c està-dire qu il existe un point E à l intérieur de l angle α de sorte que  B E = ÂBC : E' C' D' B' α A' Il suit que C se trouve à l intérieur de l angle E B D. Mais cet angle est un supplémentaire de l angle  B E = α. Ainsi E B D = ĈBD = β. Par conséquent β < β. Or α est congruent à son supplémentaire β et α = β. Nous en déduisons par (C5) que α < α, une contradiction. Définition 4.4. Un plan de Hilbert est un ensemble de points E avec des sous-ensembles de droites, une notion d ordre sur les points alignés, de congruence sur les segments et de congruence sur les angles qui en font une géométrie satisfaisant les axiomes d incidence (I1), (I2), (I3), d ordre (O1), (O2), (O3), (O4), de congruence des segments (C1), (C2), (C3), et de congruence des angles (C4), (C5), (C6). Exemple 4.5. Le plan cartésien réel R 2 est un plan de Hilbert. Nous y reviendrons dans la troisième leçon!