Ch 11 Produit sclire et pplictions 1 ère S 1 Tble des mtières I. Produit sclire de deux vecteurs...1 A. Norme d'un vecteur (rppel)...2 B. Définition du produit sclire à l'ide des normes uniquement...2 C. Le produit sclire permet de crctériser les vecteurs orthogonux...2 D. Expression du produit sclire à l'ide des coordonnées dns un repère orthonormé...2 E. Expression du produit sclire à l'ide des normes des vecteur et du cosinus de l'ngle qu'ils forment...3 F. Règles de clcul (Bilinérité)...3 G. Identités remrqubles...4 H. Expression du produit sclire à l'ide du projeté orthogonl...4 II. Applictions du produit sclire...5 A. Appliction u clcul du trvil des forces en physique...5 B. Appliction du produit sclire ux équtions de droites et de cercles...5 1.Équtions de droites...5 2.Équtions de cercles...6 C. Appliction à l trigonométrie...6 D. Applictions ux problèmes métriques...7 1.Théorème de l médine...7 2.Formule d Al-Kshi = Théorème de Pythgore générlisé...7 3.Formules lint ngles, côtés et ire S d un tringle...8 I. Produit sclire de deux vecteurs Exercice 1. (à fire à l'orl, tous ensemble, et vnt de distribuer le polycopié évidemment!)et visnt à expliquer ce que l 'on ttend de notre nouvel objet mthémtique. Un âne tire une chrrette sur un pln incliné (dessin u tbleu). 1) Quelles sont les forces qui s'ppliquent à l chrrette? 2) Prmi ces forces, certines fvorisent le mouvement en vnt, d'utres s'y opposent et d'utres sont neutres: Elles ne freinent ps le mouvement mis ne le fvorisent ps non plus. Quelle est l contribution de chque force u mouvement si l'âne monte l pente? Et si l'âne descend l pente? On voudrit ssocier à chque force un nombre qui indique si l force fvorise le mouvement en vnt, si elle s'y oppose ou si elle est neutre pr rpport à ce mouvement: Il semble nturel d'ssocier un nombre négtif si l force s'oppose u mouvement, un nombre positif si l force contribue u mouvement en vnt et zéro si l force n' ps d'incidence sur le mouvement. 3) Avec une force de 1 Newton et un déplcement de 1 mètre, cel donne...(leur fire deviner le cosinus en donnnt l vleur du nombre pour les différentes positions de l force et du déplcement: Contribution mximle = 1; opposition mximle = -1...etc) 4) Avec une force 2 fois plus intense, cel doit donner...(leur fire deviner le nombre doit être proportionnel à l'intensité de l force.) Biln Configurtion Produit sclire u v 0 u v=0 u v 0 u v = produit des normes On voit donc que le produit sclire sert à Le produit sclire sert à crctériser les vecteurs orthogonux. Avec u= v, on u u= u 2 Le produit sclire sert à clculer des normes. u v = opposé du produit des normes Les signes vous rppellent-ils une fonction trigonométrique bien connue? Mis si, llez, un effort Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 1
A. Norme d'un vecteur (rppel) Définition, nottion et propriété: Une unité étnt choisie, l norme d'un vecteur u= AB est l distnce AB. On note u = AB = AB Quels que soient le vecteur u et le nombre réel λ, λ u = λ u (mis comment fisit-on vnt de connître l vleur bsolue?) B. Définition du produit sclire à l'ide des normes uniquement Définition : [Expression 1 du produit sclire] Quels que soient les vecteurs u et v du pln, on ppelle produit sclire des vecteurs u et v, le nombre réel noté u v et défini pr u v 1 2 ( u+ v 2 u 2 v 2 ). Remrque : Le produit sclire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur. C est bien pour cel que cette opértion s ppelle produit sclire cr «sclire» veut dire «nombre, pr opposition à vecteur». (On verr plus loin le pourquoi du mot «produit» dns «produit sclire».) Exercice 2. Soit ABC un tringle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Clculer le produit sclire de CB et AC. Exercice 3. L'ordre des vecteurs est-il importnt qund on clcule leur produit sclire? Autrement dit, u v et v u sont-ils égux quels que soient les vecteurs u et v? C. Le produit sclire permet de crctériser les vecteurs orthogonux Exercice 4. Déterminer tous les cs où u v = 0. Et voilà pourquoi on l définition suivnte : Définition: Deux vecteurs u et v sont orthogonux si l un des deux est nul ou si leurs directions sont orthogonles (c'est à dire portées pr des droites perpendiculires). Les vecteurs u et v sont orthogonux se note u v. Crctéristion de l orthogonlité : u et v sont orthogonux si et seulement si u v = 0. D. Expression du produit sclire à l'ide des coordonnées dns un repère orthonormé Propriété : [Expression 2 du produit sclire] Si u et v ont pour coordonnées crtésiennes respectives u( x, y) et v(x ', y' ) dns un repère orthonormé, lors u v = x x' + y y'. Exercice 5. Démonstrtion Remrques: Ce résultt est indépendnt du repère orthonormé choisi. C'est fou, non? Si on chnge de repère orthonormé, x, x', y et y ' chngent mis pr contre le nombre x x ' y y' est toujours le même! Cette formule n'est vlble que si le repère est orthonormé. Cette formule est très commode pour svoir si deux vecteurs dont on connît les coordonnées ds un repère orthonormé sont orthogonux. Elle peut donc servir à prouver qu'un ngle est droit ou que deux droites sont perpendiculires. Exercice 6. Le pln étnt rpporté à un repère orthonormé O ; i, j, on considère les points A, B, C et D définis pr leurs coordonnées crtésiennes A 3; 2, B 1; 4, C 7;6 et D 9; 0. Quelle est l nture du qudriltère ABCD? Exercice 7. [Utiliser le produit sclire pour déterminer si un tringle est rectngle] Soient A 2; 3, B 1;1,C 3; 1, D 4; 2, E 1; 3 et F 2; 1 dns un repère orthonormé. Les tringles ABC et FDE sont-ils rectngles en C et E respectivement? Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 2
E. Expression du produit sclire à l'ide des normes des vecteur et du cosinus de l'ngle qu'ils forment Propriété [Expression 3 du produit sclire]: Si u et v sont deux vecteurs non nuls, lors u v = u v cos( u, v). Exercice 8. Démonstrtion. Coup de pouce : Un repère orthonormé bien choisi peut vous ider... Remrques: On suppose que u et v sont deux vecteurs non nuls cr lorsque u ou v est nul, l ngle ( u, v) n est ps défini. Le chpeu sur l'ngle n'est ps indispensble, il est juste là pour que tout le monde rélise bien qu'il s'git d'un ngle. Que l'on mette l'nge orienté ou l'ngle géométrique dns l formule ne chnge rien cr un ngle orienté et son opposé ont le même cosinus. Le cs prticulier des vecteurs colinéires Si u et v sont colinéires et de même sens lors u v = u v. Si u et v sont colinéires et de sens contrire lors u v = u v. Exercice 9. Démonstrtion Exercice 10. ABCDEF est un hexgone régulier direct de côté et de centre O. Clculer chcun des produits sclires suivnts: ) OA OB b) OB OA c) EC EB d) CE EB e) CE EA f) CE AE g) CE EF Exercice 11. u et v sont deux vecteurs non nuls du pln; on désigne pr une mesure en rdin de l ngle ( u, v ). Schnt que u = v et u v = 3 u, déterminer. Exercice 12. Clculer un ngle u moyen du produit sclire. Le pln étnt rpporté à un repère orthonormé O ; i, j, on considère les points A, B et C définis pr leurs coordonnées crtésiennes A 1; 3, B 4; 2, et C 1; 3. Clculer AB AC et en déduire une vleur pprochée de BAC en degré, à 0,1 degré près. Exercice 13. u et v sont deux vecteurs non nuls; on désigne pr une mesure en rdin de l ngle u, v. ) u =5, u v=10 et v =4. Déterminer. b) u = 3, u v= 12 et α= π 4. Déterminer v. F. Règles de clcul (Bilinérité) Propriété : Si u et v sont des vecteurs du pln et k un réel lors : u v = v u. (le produit sclire est symétrique) u (k v) = k ( u v) et u ( v+ w) = u v+ u w (le produit sclire est linéire) Pr symétrie, on bien sûr (k u) v = k ( u v) et ( u+ v) w = u v+ u w et voilà pourquoi cette opértion s ppelle produit sclire: Elle des propriétés qui ressemblent à celles du produit de deux réels comme l distributivité pr rpport à l'ddition (dns le même ordre d idée, voir ussi les identités remrqubles un peu plus bs). Exercice 14. Démonstrtion Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 3
Crré sclire d'un vecteur: Si u est un vecteur du pln, u u = u 2. Ce nombre est ppelé crré sclire de u et est ussi noté u 2. L nottion peut être troublnte: u 2 u u = u 2 est un sclire, ps un vecteur! Mis comme le produit sclire se comporte comme le produit hbituel, on décidé de le noter vec les mêmes nottions. G. Identités remrqubles Le produit sclire se comporte comme le produit des réels et on des identités remrqubles qui ressemblent ux identités remrqubles hbituelles : Exercice 15. Prouvons-le! u et v étnt des vecteurs quelconques du pln, développer les expressions suivntes () u v 2 (b) u v 2 (c) u v u v puis expliquer l phrse d'introduction de ce prgrphe. Identités remrqubles : Si u et v sont des vecteurs du pln, on les églités suivntes : ( u+ v) 2 = u 2 +2 u v+ v 2 ou u+ v 2 = u 2 +2 u v+ v 2 ( u v) 2 = u 2 2 u v+ v 2 ou u v 2 = u 2 2 u v+ v 2 ( u+ v) ( u v)= u 2 v 2 ou ( u+ v) ( u v)= u 2 v 2 Exercice 16. Prouvez que quels que soient les vecteurs u et v, u v= 1 2 u 2 v 2 u v 2. On urit d'illeurs pu prendre cette formule comme définition du produit sclire. Exercice 17. Montrer que si u et v sont des vecteurs de même norme lors les vecteurs u v et u v sont orthogonux. Étudier l réciproque. Fire le lien vec une propriété d'un qudriltère bien connu. H. Expression du produit sclire à l'ide du projeté orthogonl Le théorème suivnt permet de rmener le clcul du produit sclire de deux vecteurs quelconques à celui du produit sclire de deux vecteurs colinéires, qui est en générl plus fcile. Propriété [Expression 4 du produit sclire]: Soient AB et CD deux vecteurs son nuls et soient C' et D' les projetés orthogonux de C et D sur l droite (AB), lors AB CD= AB C ' D ' Exercice 18. Démonstrtion. Chsles es-tu là? Remrques: De fçon symétrique, en considérnt les projetés orthogonux de A et B sur l droite (CD), on obtient AB CD= A' B ' CD Pr bus de lngge, on dit que C ' D' est le projeté orthogonl de CD sur AB (sur l droite (AB) en rélité). On peut lors reformuler l propriété précédente sous l forme : Propriété. Pour clculer le produit sclire de deux vecteurs, on peut remplcer l'un des vecteurs pr son projeté orthogonl sur l'utre vecteur. Exercice 19. ABC est un tringle équiltérl de côté 2. Soit K le milieu de [BC]. Clculer BA BC, AB BC et AB AK. Exercice 20. 1) ABC étnt un tringle quelconque d orthocentre H, démontrer les églités suivntes : HA HB= HB HC= HC HA. 2) Clculer l vleur de ces produits sclires lorsque ABC est un tringle équiltérl de côté. Biln : Nous vons donc mintennt qutre expressions du produit sclire. Il fut les voir en tête et choisir l meilleure pour chque sitution! Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 4
II. Applictions du produit sclire A. Appliction u clcul du trvil des forces en physique Définition : Lorsqu un objet soumis à une force constnte F se déplce d un point A à un point B, on définit le trvil de l force lors du déplcement AB comme le produit sclire de l force pr le déplcement c'est à dire W = F AB. (W comme Work en nglis). Si l force s oppose u déplcement, utrement dit si elle tend à freiner le mouvement lors de ce déplcement, lors le trvil est négtif. On prle de trvil résistnt. Si l force tendnce à fire vncer l objet dns le déplcement, utrement dit si elle tend à ccélérer le mouvement lors de ce déplcement, le trvil est positif. On prle de trvil moteur (= qui fit vncer). Remrque : Le trvil d une même force peut être prfois résistnt et prfois moteur suivnt le déplcement. Ainsi, lorsque que vous montez une côte, il fut lutter contre l grvité et le trvil de l force de grvité est négtif. Pr contre, lorsque que vous descendez une côte, l grvité vous ide à descendre et le trvil de l force de grvité est positif. B. Appliction du produit sclire ux équtions de droites et de cercles Dns toute cette prtie, le pln est muni d un repère orthonormé. 1. Équtions de droites Définition : On ppelle vecteur norml à une droite tout vecteur non nul orthogonl à un vecteur directeur de l droite. Vecteur directeur et vecteur norml d une droite : Sur le dessin ci-dessous, u 1, u 2 et u 3 sont des vecteurs directeurs de l droite (d) et n 1, n 2 et n 3 sont des vecteur normux pour cette droite. n 2 u 1 n 1 u 3 (d) u 2 n 3 Propriété : Soit et b deux réels qui ne sont ps tous les deux nuls. Dns le pln 1, toute droite de vecteur norml n ( dmet une éqution de l forme x+b y+c=0. Réciproquement, dns le pln, toute éqution de l forme x+b y+c=0 est celle d une droite de vecteur norml n. b) b et de vecteur directeur u b Prtique : Qund on connît l éqution d une droite, on donc peut en déduire imméditement un vecteur directeur et vecteur norml. Démonstrtion : Soit ( ; b) un vecteur norml à une droite d et A(x A ; y A ) un point de d. Un point M pprtient à d AM est orthogonl à n AM n=0 (x x A )+b(x x B )=0 x+b y+c=0 vec c= x A b x B. 1 Dns l'espce x+b y+c=0 est l éqution d un pln (dont un vecteur norml pour coordonnées (, b, 0)) et non celle d une droite. Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 5
Si et b ne sont ps tous les deux nuls lors l ensemble des points M(x ; y) tels que x+b y+c=0 { contient u moins un point: 0; c si 0. On nomme A un de ces points. Ses coordonnées vérifient c ; b 0 si b 0 x A +b ya+c=0. Or x+b y+c= x A +b y A +c (x x A )+b( y y A )=0 AM n=0 AM est orthogonl à n. L ensemble des points cherchés est donc l droite pssnt pr A et de vecteur norml n b. Exercice 21. [Éqution d une huteur]: Soient A 1; 2, B 4; 1 et C 2; 4 et l huteur issue de A dns le tringle ABC. Trouver l éqution de. 2. Équtions de cercles Propriété : Soit (c) le cercle de centre Ω(x 0 ; y 0 ) et de ryon r. Un point M(x ; y) pprtient à (c) Ω M =r Ω M 2 =r 2 (x x 0 ) 2 +( y y 0 ) 2 =r 2. On dit que (x x 0 ) 2 +( y y 0 ) 2 =r 2. est une éqution du cercle (c) Exemples: Le cercle trigonométrique dmet comme éqution x 2 y 2 =1. Le cercle de centre A 2; 1 et de ryon 3 dmet comme éqution x 2 2 y 1 2 =9. Propriété : Le cercle de dimètre [AB] est l ensemble des points M tels que AM BM =0. Prtique : On n donc besoin ni du centre ni du ryon du cercle de dimètre [AB] pour trouver son éqution. Exercice 22. Le repère O ; i, j est un repère orthonormé direct du pln. Soient A 1; 3 et B 2; 5 deux points du pln. Déterminer l éqution du cercle de dimètre [AB] u moyen du produit sclire et en déduire les coordonnées de son centre et l distnce AB. Exercice 23. Le repère O ; i, j est un repère orthonormé direct du pln. Soient A 1 2 et B 5 6 deux points du pln. Soit d 1 l droite pssnt pr A et de vecteur norml n 2 1 et soit d 2 l droite pssnt pr A et de vecteur directeur u 3 2. 1) Déterminer une éqution de d 1 dns le repère O ; i, j. 2) Déterminer une éqution de d 2 dns le repère O ; i, j. 3) Soit d 3 l droite prllèle à d 1 pssnt pr B. Déterminer une éqution de d 3. 4) Soit (c) le cercle de dimètre [AB]. Déterminer une éqution de (c). 5) Soit d 4 l tngente à (c) pssnt pr B. Déterminer une éqution de d 4. 6) Soit (c 1 ) le cercle de centre A pssnt pr B. Déterminer une éqution de (c 1 ). C. Appliction à l trigonométrie Formules d'ddition: Quels que soient les nombres et b, cos(+b)=coscos b sin sin b cos( b)=cos cos b+sin sin b sin(+b)=sin cos b+sin bcos sin( b)=sin cos b sin b cos. Moyen mnémotechnique : sinus est simple et symp cosinus est égoïste et compliqué Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 6
Exercice 24. Démonstrtion des formules d'ddition. Exercice 25. Clculer π 3 π 4 et en déduire l vleur de cos ( π 12 ). Formules de dupliction: Quels que soient le nombre, cos(2)=2 cos 2 1=1 2sin 2 sin(2)=2sin cos Exercice 26. Démonstrtion des formules de dupliction. Exercice 27. Prouver que cos ( π 8 ) = 2+ 2 2. Exercice 28. Prouvez que pour tout x pour lequel l'expression est définie sin 3 x sin x cos3 x cos x =2. Exercice 29. Résoudre cos 2 x+5cos x =2. D. Applictions ux problèmes métriques 1. Théorème de l médine Théorème de l médine : Soient A et B deux points du pln et I le milieu de [AB]. Pour tout point M du pln, on : Exercice 30. Démonstrtion: A vos stylos! MA 2 +MB 2 =2 MI 2 + AB2 2. Le théorème de l médine permet de clculer les longueurs des médines d un tringle connissnt les longueurs des côtés. Autre formultion du théorème de l médine (plus fcile à retenir à mon vis): Dns tout prllélogrmme, l somme des crrés des digonles est égle à l somme des crrés des côtés. A I L somme des crrés des digonles = 2MI 2 AB 2 =4 MI 2 AB 2. L somme des crrés des côtés = 2 MA 2 2 MB 2. M B On obtient donc : 2 MA 2 2 MB 2 =4 MI 2 AB 2, et en divisnt tout pr 2 on retrouve l formule précédente. Exercice 31. Démontrer que MA 2 MB 2 = AB I M et MA MB=MI 2 AB 2 4. 2. Formule d Al-Kshi = Théorème de Pythgore générlisé Formule d Al-Kshi (Générlistion du Théorème de Pythgore ): Pour tout tringle ABC, 2 =b 2 +c 2 2b c cos Â. B c b  Remrques : Les trois côtés et les trois ngles jount des rôles similires on bien sûr: et b 2 = 2 c 2 2 c cos B. c 2 = 2 b 2 2b ccos C. L formule d'al-kshi permet de clculer les mesures des ngles d'un tringle connissnt les longueurs des côtés. Elle permet ussi des clculs du type Pythgore même si le tringle n'est ps rectngle! Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 7
3. Formules lint ngles, côtés et ire S d un tringle Propriété: S = 1 2 bsin C = 1 2 bc sin A = 1 2 csin B. Loi du sinus ou formule du sinus: sin A = b sin B = c sin C. B c b  Exercice 32. Démonstrtion: A vos stylos! Sources : Le polycopié de cours de Mme Dubois du LFT (Mdgscr) que je tiens à remercier ici, L excellent site http://xmths.free.fr/ de Xvier Delhye. Le livre Trnsmth 2011, Le livre Mth x, Le livre Déclic, Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 8
Oui, ç tourne bien insi, Suggestion de pln de cours de Mrc Tenti - prtir de l définition en termes de longueurs uniquement, - qui donne l crctéristion de l'ngle droit, - en déduire u plus vite l'expression nlytique dns un RON, - d'où l bilinérité, - qui permet le clcul à l'ide du projeté, - c'est à dire l'expression vec le cosinus Mis on peut ussi le fire un peu dns n'importe quel ordre...! MT "Mrc Tenti" mtenti@club-internet.fr Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 9
/5 /1,5 /2,5 Exercice 33. 1) Clculer π 4 +π 6. 2) En déduire cos( 5π 12 ) et sin ( 5π 12 ). 3) En déduire cos( 7π 12 ) et sin ( 7π 12 ). Exercices Produit Sclire Rppel : Clcultrices INTERDITES. Mme Helme-Guizon http://mthemtoques.weebly.com Produit sclire COURS 1 ère S 2011-12 10