Chapitre 4: Exemples Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck Université de Montpellier Cours HLME 301 2015-2016 1/29
Système mécanique - Schéma 2/29
Système mécanique - Description littéraire On considère un système dans un mouvement plan constitué d une barre S 1 = (AB), homogène, de longueur 2l, liée au bâti par une rotule coulissant sur un appui sur rouleaux le long de l axe (O, y 0 ). Deux ressorts participent à la liaison, l un linéique de direction y 0, de raideur k, exerçant un effort nul pour y = 0, l autre spiral, de raideur K, exerçant un couple nul pour θ = 0. Le système est plongé dans le champ de pesanteur terrestre d axe vertical ascendant y 0. R 1 = (G 1, x 1, y 1, z 0 ). I(G 1, S 1 ) = 0 0 0 0 ml 2 3 0 0 0 ml 2 3 R1, I(A, S 1 ) = 0 0 0 0 4ml 2 3 0 0 0 4ml 2 3 R 1 3/29
Efforts extérieurs à S 1 Ils sont constitués, du poids, (G 1, m g), de la réaction de la liaison au bâti, R = R x 0, de la force de rappel du ressort linéique, k y y 0, du couple de rappel du ressort spiral, Mres = K θ z 0 4/29
Application du théorème de la résultante (ou PFD en résultante) m d 0 dt V (G 1 /R 0 ) = R ext = m g y 0 + R x 0 k y y 0 avec, V (G 1 /R 0 ) = V (A/R 0 ) + Ω(S 1 /R 0 ) AG 1 = ẏ y 0 + θ z 0 l x 1 = l θ sinθ x 0 + (ẏ + l θ cosθ) y 0 Après un calcul direct de la dérivée cinématique et projection sur R 0, il vient deux premières équations, { m l ( θ sinθ + θ 2 cosθ) = R (a) m ÿ + m l ( θ cosθ θ 2 sinθ) + k y = m g (b) 5/29
Application du théorème de moment cinétique (ou PFD en moment) Il est intéressant de calculer les moments cinétique et des efforts extérieurs au point A, l inconnue de liaison R y étant éliminée. Nous allons effectuer les calculs selon que l on connait l une ou l autre expression de l opérateur d inertie. I(G 1, S 1 ) = 0 0 0 0 ml 2 3 0 0 0 ml 2 3 R1, I(A, S 1 ) = 0 0 0 0 4ml 2 3 0 0 0 4ml 2 3 R 1 6/29
Cas 1 : on connait l opérateur en G 1 On calcule successivement le moment cinétique en G 1, puis en A, enfin le moment dynamique en A et le moment des efforts extérieurs en A. σ(g 1, S 1 /R 0 ) = I(G 1, S 1 ) Ω(S 1 /R 0 ) 0 0 0 m l = 0 2 3 0 0 0 m l 2 3 θ z 0 = m l2 3 ( x 1, y 1, z 0 ) 0 0 θ ( x 1, y 1, z 0 ) 7/29
Cas 1 (suite) calcul du moment cinétique en A σ(a, S 1 /R 0 ) = σ(g 1, S 1 /R 0 ) + AG 1 m V (G 1 /R 0 ) = m l2 3 = m l2 3 θ z 0 + ml[cosθ x 0 + sinθ y 0 ] [ l θ sinθ x 0 + (ẏ + l θ cosθ) y 0 ] θ z 0 + m l (ẏ cosθ + l θ) z0 σ(a, S 1 /R 0 ) = ( 4 3 m l 2 θ + m l ẏ cosθ) z 0 8/29
Cas 1 (suite) moments dynamique et des efforts extérieurs δ(a, S1 /R 0 ) = d 0 dt σ(a, S 1/R 0 ) + m V (A/R 0 ) V (G 1 /R 0 ) = ( 4 3 m l 2 θ + m l ÿ cosθ m l ẏ θ sinθ) z 0 + m ẏ y 0 [ l θ sinθ x 0 + (ẏ + l θ cosθ) y 0 ] = ( 4 3 m l 2 θ + m l ÿ cosθ) z0 M ext (A) = K θ z 0 + AG 1 ( m g y 0 ) = ( K θ m g l cosθ) z 0 L application du théorème du moment cinétique fournit la troisième et dernière équation, 4 3 m l 2 θ + m l ÿ cosθ + K θ + m g l cosθ = 0 (c) 9/29
Cas 2 : On connait directement l opérateur en A On calcule donc directement le moment cinétique en A, σ(a, S 1 /R 0 ) = AG 1 m V (A/R 0 ) + I(A, S 1 ) Ω(S 1 /R 0 ) = 4 3 m l 2 θ z 0 + m l (cosθ x 0 + sinθ y 0 ) ẏ y 0 = ( 4 3 m l 2 θ + m l ẏ cosθ) z0 expression identique au premier cas. Il suffit alors de poursuivre le calcul comme dans le premier cas. 10/29
Equations du système m l ( θ sinθ + θ 2 cosθ) = R m ÿ + m l ( θ cosθ θ 2 sinθ) + k y = m g (a) (b) 4 3 m l 2 θ + m l ÿ cosθ + K θ + m g l cosθ = 0 (c) Le système (a), (b) et (c) comprend 3 fonctions inconnues y(t), θ(t) et R(t) ; mais les dérivées ne concernent que les inconnues de position y(t) et θ(t). Les equations (b) et (c) sont couplées en les variables cinématiques y(t) et θ(t) : { m ÿ + m l ( θ cosθ θ2 sinθ) + k y = m g (b) 4 3 m l 2 θ + m l ÿ cosθ + K θ + m g l cosθ = 0 (c) Une fois résolues, (a) permet de calculer l effort de liaison R(t). 11/29
Gyroscope Il est généralement constitué de deux solides : le gyroscope S 1 lui même, solide de révolution, appelé gyro par la suite, de masse m 1 et de moment d inertie maximisé par rapport à son axe de révolution, et le carter S 2, de masse m 2 << m 1. On attache à ses deux corps les repères R 2 = (O; u, w, z 1 ) et R 1 = (O; x 1, y 1, z 1 ). En utilisant les angles d Euler le vecteur instantané de rotation de S 1 /R 0 se décompose, Ω(S 1 /R 0 ) = Ω 01 = Ω 02 + Ω 21 = Ω 02 + φ z 1 Ω 02 = θ u + ψ z 0 = θ u + ψsinθ w + ψcosθ z 1 12/29
Moment cinétique du gyroscope σ(o, S/R 0 ) = σ(o, S 1 /R 0 ) + σ(o, S 2 /R 0 ) = I(O, S 1 ) Ω 01 + I(O, S 2 ) Ω 02 = {I(O, S 1 ) + I(O, S 2 )} Ω 02 + I(O, S 1 ) Ω 21 = σ(o, S /R 0 ) + C φ z 1 avec S = S 1 S 2 soudés et doté du mouvement de S 2 et A 0 0 I(O, S 1 ) = 0 A 0 C >> A 0 0 C R2 13/29
Moment dynamique du gyroscope En supposant O point fixe pour simplifier, δ(o, S/R0 ) = d 0 dt σ(o, S/R 0) + m V (O/R 0 ) V (G/R 0 ) } = d 0 dt σ(o, S /R 0 ) + d 0 dt {C φ z 1 = d 0 dt σ(o, S /R 0 ) + C φ z 1 + C Ω 02 φ z 1 En supposant de plus que la rotation propre est entretenue à une vitesse φ constante ( φ = 0) et élevée pour dominer les variations des autres angles d Euler ψ et θ, dont dépend σ(o, S /R 0 ), le moment dynamique peut être approché par, δ(o, S/R0 ) C Ω 02 φ z 1 = C Ω 02 Ω 21 14/29
Gyroscope 15/29
Couple gyroscopique et raideur gyroscopique Couple gyroscopique (définition) : C g = C Ω 21 Ω 02 L application du théorème du moment cinétique donne après approximation, M(O, ext S ) + C g = 0 Dès que l on applique un couple extérieur à S, le couple gyroscopique a tendance à s y opposer (raideur gyroscopique). 16/29
Application ludique 1 17/29
Application ludique 2 Ω Salle,Chaise = k Ω Chaise,Roue M ext C = k B A Dès que l on applique un couple extérieur, le couple gyroscopique a tendance à s y opposer (raideur gyroscopique). 18/29
Autre application (moins ludique) Braquage d une moto 19/29
Autre application (moins ludique) Contre-braquage d une moto 20/29
Dérive gyroscopique On simplifie en négligeant m 2 et I(O, S 2 ). Ceci revient à considérer une toupie avec pour moment extérieur, M(O, ext S 1 ) = mga z 0 z 1 = mga sinθ u. Le couple gyroscopique s écrit aussi, C g = C φ z ( 1 θ u + ψsinθ w + ψcosθ ) z 1 = C φ ψsinθ u + C φ θ w Projection sur u : mga sinθ C φ ψ sinθ = 0 (a) Projection sur w : C φ θ = 0 (b) Si φ = cste, alors (b) donne θ = 0. Si sinθ 0 (singularité en 0), (a) donne ψ = mga C φ. Dérive, ou précession, d autant plus faible que φ est élevé. 21/29
Applications Stabilisateur de fusée 22/29
Applications Stabilisateur de la fuse e de Goddard et du V2 de Von Braun 23/29 Franc oise Krasucki
Applications Stretching 24/29
Applications Expérience effets gyroscopiques 25/29
Applications Manette gyroscopique 26/29
Applications Monorail gyroscopique 27/29
Applications 28/29
A SUIVRE... 29/29