L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM

FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE L2PC et Cycles. Mathématiques: SERIES et INTEGRALES Cours Elisabeth REMM Chapitre 2 Séries etières Cotets. Gééralités sur les séries etières 2.. Défiitio 2.2. Domaie de covergece 3.3. Rayo de covergece d ue série etière 3 2. Calcul du rayo de covergece 4 2.. Règle de d Alembert 4 2.2. Règle de Cauchy 5 2.3. Autres méthodes pour calculer le rayo de covergece. 5 3. Opératios sur les séries etières 6 3.. Somme de deux séries etières 6 3.2. Multiplicatio par u scalaire d ue série etière 7 3.3. Produit de deux séries etières 7 3.4. Série etière dérivée 7 4. Foctio défiie comme somme d ue série etière réelle 8 4.. Domaie de défiitio 8 4.2. Dérivabilité 8 4.3. Itégrabilité 9 5. Développemet e série etière d ue foctio 0 5.. Série de Taylor 0 5.2. Foctios développables e série etière 0 5.3. Tableau des développemets e séries etières usuels 2 5.4. Applicatio. Recherche de solutios d équatios différetielles 3

2 L2PC Chapitre 2. Séries etières. Gééralités sur les séries etières Nous avos étudié au chapitre précédet les séries umériques qui sot des suites de sommes partielles. Si le terme gééral de la série umérique déped d u paramètre, ou d ue variable, la somme de la série, lorsqu elle existe, est ue foctio de ce paramètre. O obtiet ce que l o appelle ue série de foctios. Parmi les plus itéressates de ces séries de foctios, citos les séries de Fourier a cos (t) + b si (t) que ous étudieros das u des chapitres suivats, et les séries etières, objet de ce chapitre. Elles s écrivet a x. Pour ue valeur de la variable x fixée, la série est ue série umérique, et o s itéresse alors à la covergece de cette série et évetuellemet au calcul de la somme. U problème se pose alors cocerat la détermiatio des valeurs de la variables x pour lesquelles la série coverge. Exemple. La série géométrique de premier terme et de raiso x se présete comme ue série etière. Nous savos que pour x < cette série coverge et a pour somme S(x) = x. Si x, la série diverge. O dira que R = est le rayo de covergece de la série... Défiitio. Das ce qui suit, la variable x est réelle ou complexe. Défiitio. Ue série etière de variable réelle ou complexe x, est ue série de terme gééral a x, où est u etier aturel, et (a ) N est ue suite de ombres réels ou complexes. x Exemples.. x! est ue série etière avec a =!. 2. x 2p = a x a avec = a 2p = si est pair et p! p! p 0 a = a 2p+ = 0 si est impair. L usage aussi veut que l o adopte la otatio a x ou 0 a x ( si a est défii que pour 0 ) pour parler d ue série etière, tadis que l o écrira somme, e cas de covergece, pour u x doé. + = 0 a x pour so évetuelle

Elisabeth Remm 3.2. Domaie de covergece. Pour chaque série etière a x le problème est de trouver l esemble des poits x 0 où la série umérique associée a x 0 coverge. Défiitio 2. Soit a x ue série etière (a, x K = R ou C). L esemble des x K tel que a x coverge est appelé le domaie de covergece de la série etière. Notos que le domaie de covergece est jamais vide, il cotiet toujours la valeur 0. Le lemme fodametal suivat, appelé le Lemme d Abel, doe ue iformatio importate sur la ature géométrique du domaie covergece. Lemme. Soit a x ue série etière avec a K = R ou C. Soit x 0 0 K tel que la suite (a x 0) N soit borée. Alors pour tout x K tel que x < x 0 la série umérique a x coverge, et tout x K tel que x < x 0 est das le domaie de covergece (et il y a covergece absolue). Démostratio. Comme la suite (a x 0) N est borée, il existe M tel que a x 0 < M pour tout N. Soit x tel que x < x 0 c est à dire x x 0 <. O a alors x Comme <, la série M x 0 a x coverge. 0 a x = a x 0 x x 0 x x 0 < M x x 0. coverge doc par comparaiso la série umérique.3. Rayo de covergece d ue série etière. Le problème de détermier l esemble des x K = R ou C pour lesquels la série etière a x coverge se résoud par simple usage de critères de comparaiso et du lemme d Abel. O e déduit Théorème. Cas complexe. Soit a z ue série etière de variable complexe z. Il existe u disque de rayo R tel que () Pour tout z C tel que z < R, la série a z coverge (o a même covergece absolue). (2) Pour tout z C tel que z > R, la série a z diverge. Le disque D = {z C, z < R} est appelé le disque de covergece. Cas réel. Soit a x ue série etière de variable réelle x. Il existe segmet ( R, R) tel que () Pour tout x R tel que x < R, la série a x coverge (o a même covergece absolue). (2) Pour tout x R tel que x > R, la série a x diverge. Le segmet D = {x R, x < R} est appelé le segmet de covergece Ce ombre R [0, + [ {+ } est appelé rayo de covergece de la série etière.

4 L2PC Chapitre 2. Séries etières O déduit de ce théorème, qu il suffit de coaître le rayo de covergece R de la série etière pour coaître presque toutes les valeurs de z ou x pour lesquelles la série coverge. Notos que le théorème e dit rie pour les valeurs z = R das le cas complexe ou bie x = ±R das le cas réel. Ue étude spécifique des séries umériques correspodat à chacue de ces valeurs s impose doc. Exemple. Les séries etières 2 z, z et z ot pour rayo de covergece (o le calculera das le paragraphe suivat), la série etière 2 z coverge absolumet e tout poit de module alors qu o a covergece absolue de z e aucu poit de module mais covergece (simple) e tout poit autre que et la série etière z e coverge e aucu poit de module. Lorsque le rayo est ifii, le domaie de covergece est soit le pla complexe e etier das le cas complexe, soit la droite réelle das le cas réel. 2. Calcul du rayo de covergece 2.. Règle de d Alembert. Soit a x ue série etière de variable complexe ou réelle x. Supposos que les coefficiets a soiet o uls. La règle de d Alembert est la suivate: si a + + a = L (cette ite état évetuellemet ifiie), alors le rayo de covergece est R = /L. Lorsque L = +, alors R = 0 et la série e coverge que pour x = 0. Si L = 0, alors R = + et la série coverge pour toutes les valeurs de x. Exemple. Cosidéros la série etière réelle x. Alors a 2 =. O a doc 2 >0 a + a = 2 ( + ) 2 et doc a + + a = 2 + ( + ) =. 2 O e déduit R = /L =. Aisi la série x coverge pour < x < et diverge pour x > et x <. Il reste à 2 >0 étudier les cas x = et x =. Si x =, la série s écrit. C est ue série umérique 2 >0 à termes positifs de Riema. D après les rsultats du chapitre, cette série coverge. Si

Elisabeth Remm 5 x =, la série s écrit ( ). C est ue série umérique alterée. Comme la suite 2 2 >0 est décroissate, le critère des séries alterées motre que cette série coverge. Aisi la série x coverge pour x et diverge pour x > et x <. 2 >0 2.2. Règle de Cauchy. Soit a x ue série etière de variable complexe ou réelle x. Supposos que les coefficiets a soiet différets de 0. La règle de Cauchy est la suivate : si a = L + (cette ite état évetuellemet ifiie), alors le rayo de covergece est R = /L. Lorsque L = +, alors R = 0 et la série e coverge que pour x = 0. Si L = 0, alors R = + et la série coverge pour toutes les valeurs de x. Exemples.. Cosidéros la série etière réelle >0 x. Alors a = /. O a doc et doc O e déduit Aisi la série >0 + a = = a = R = /L = +. x coverge pour tout x R. + = 0. 2. Cosidéros la série etière réelle 3 x. O a a = 3 et a = 3. Le rayo de covergece est R = 3. Aisi pour tout x ] 3, 3 [ la série 3 x coverge et pour tout x. ], 3 [ [ 3, + [ la série 3 x diverge. Ue étude e x = 3 et x = 3 motre qu e ces poits la série diverge. 2.3. Autres méthodes pour calculer le rayo de covergece. Parfois aucue des deux règles précédetes e doe u résultat cocret ou e peut être utilisé. O peut alors utiliser le lemme d Abel. E effet, si o trouve ue valeur x 0 telle que a x 0 coverge, alors pour tout x tel que x < x 0 la série a x coverge et R x 0. Si pour ue valeur x de x la série umérique a x diverge, alors pour tout x tel que x > x la série a x diverge et R x. Ceci permet parfois de détermier le rayo de covergece lorsqu o e peut pas utiliser les règles de Cauchy et de d Alembert. Si les coefficiets a e sot pas tous différets de 0 à partir d u certai rag, alors aucue des deux règles e s appliquet. Il faut parfois faire u chagemet de variables pour récupérer ue série etière pour laquelle ue des règles s applique.

6 L2PC Chapitre 2. Séries etières Exemple. Cosidéros la série etière réelle 3 x 2. Pour cette série, tous les coefficiets d idice impair sot uls. O e peut appliquer la règle de d Alembert car les quotiets e sot pas défiis, i la règle de Cauchy car la suite a a pas de ite. Posos t = x 2. a 2 a 2 La série deviet 3 t. La règle de d Alembert, qui s applique pour cette ouvelle série, doe a + = 3 + a et doc cette série etière e la variable t a pour rayo de covergece R =. O e déduit 3 que 3 x 2 coverge lorsque x 2 < 3 et diverge lorsque x2 >. Aisi le rayo de covergece 3 de la série doée est R = 3. 3. Opératios sur les séries etières 3.. Somme de deux séries etières. Soiet a x et b x deux séries etières. O appelle somme de ces deux séries, la série etière (a + b )x. Si R et R 2 sot les rayos de covergece de ces séries, alors le rayo de covergece R de la série somme vérifie () R = if(r, R 2 ) si R R 2, (2) R R si R = R 2 où if(r, R 2 ) désige le plus petit des deux ombres R et R 2. Exemple. Cosidéros les séries etières ( ) x et 4! x. Le rayo de covergece de la première est R = 4. E effet ( ) = + 4 + 4 =. R Le rayo de covergece de la deuxième est R 2 = +. E effet, d après la règle de d Alembert,! + ( + )! = + + = 0 =. R 2 La série somme est la série etière [( ) + ] x. 4!

Elisabeth Remm 7 So rayo de covergece est R = 4. Remarquos que la série etière [( ) ( ) ] x est de rayo R = + alors que les 4 4 séries etières ( ) x et ( ) x sot de rayo R = R 2 = 4. 4 4 3.2. Multiplicatio par u scalaire d ue série etière. Soiet a x ue série etière de rayo de covergece R et λ K u scalaire o ul. Le produit de cette série par λ est la série etière λa x. So rayo de covergece est égal à R. 3.3. Produit de deux séries etières. Soiet a x et b x deux séries etières de rayo de covergece respectivemet R et R 2. O appelle produit de ces deux séries, la série etière c x avec c = a 0 b + a b + + a b + a b 0. Das ce cas, le rayo de covergece R de la série produit vérifie R if(r, R 2 ). 3.4. Série etière dérivée. Défiitio 3. Soit a x ue série etière de rayo de covergece R. O appelle série dérivée, la série etière a x. Propositio. Soit a x ue série etière de rayo de covergece R. Alors le rayo de covergece de la série dérivée est égal à R. Démostratio. Motros que la série etière a x a pour rayo de covergece R. Par hypothèse, la série a x a pour rayo de covergece R. Supposos que cet rayo ait été

8 L2PC Chapitre 2. Séries etières trouvé par la formule de d Alembert. O a R = Le terme gééral de la série dérivée est Calculos so rayo a +. + a b = ( + )a +. b + ( + 2) a +2 = + b + ( + ) a + = R et R est aussi le rayo de covergece de la série dérivée. 4. Foctio défiie comme somme d ue série etière réelle Das ce paragraphe o se propose d étudier les foctios défiies comme somme d ue série etière, le domaie de défiitio, les propriétés de dérivabilité, d itégrabilité. 4.. Domaie de défiitio. Soit a x ue série etière réelle de rayo de covergece R. Sa somme f(x) = a x est doc ue foctio de la variable x. So domaie de défiitio est ] R, R[ si les séries umériques a R et a ( R) diverget, [ R, R[ si la série umérique a R diverge et a ( R) coverge, ] R, R] si la série umérique a R coverge et a ( R) diverge, [ R, R] si les séries umériques a R et a ( R) coverget. Lorsque les bores e serot pas précisées, o otera ( R, R) ce domaie de covergece. 4.2. Dérivabilité. Théorème 2. Soit f(x) = a x la somme d ue série etière de rayo de covergetce R. Alors la foctio f est dérivable sur ] R, R[ et f (x) = a x = + )a + x (, et le rayo de covergece de la série etière a x est égal à R.

Elisabeth Remm 9 Démostratio. Nous savos que la série etière dérivée a x a pour rayo de covergece R. Pour tout x ] R, R[ o a f(x + h) f(x) = a (x + h) a x. h h Or (x + h) x = hx + O e déduit a (x + h) a x h ( ) h 2 x 2 + + h x + h. Aisi 2 = x + f(x + h) f(x) h 0 h ( ) hx 2 + + h 2 x + h. 2 = a x. Aisi f est dérivable sur ] R, R[ et a pour dérivée la somme de la série dérivée. Plus gééralemet o a Théorème 3. La foctio f(x) = a x défiie sur ] R, R[ est ifiimet dérivable sur ] R, R[ et la dérivée d ordre p est doée par f (p) (x) = + )( + 2) ( + p)a +p x (, cette série ayat aussi u rayo de covergece égal à R. Démostratio. La démostratio est assez aalogue à la précédete. 4.3. Itégrabilité. Soit f(x) = a x défiie sur ] R, R[ où R est le rayo de covergece de la série a x. Nous avos vu que das le domaie ] R, R[ cette foctio est idéfiimet de fois dérivable. Elle est doc e particulier cotiue et admet ue primitive. Théorème 4. Soit f(x) = a x défiie sur ] R, R[. Si o ote F ue primitive de f sur ] R, R[ o a, pour x, x 2 ] R, R[, F (x 2 ) F (x ) = x2 x f(u)du = E particulier, si F est la primitive s aulat e 0, alors o a F (x) = x 0 f(u)du = x2 a u du. x a x + +.

0 L2PC Chapitre 2. Séries etières Aisi F est somme de la série etière obteue e itégrat chacu des termes de la série a x. Notos que cette série itégrée, x + a a aussi pour rayo de covergece R + car sa série dérivée est a x a pour rayo R. 5. Développemet e série etière d ue foctio Das le paragraphe précédet ous avos étudié les propriétés de la somme d ue série etière. Das celui-ci, ous allos regarder les coditios pour qu ue foctio doée soit la somme d ue série etière qu il faudra détermier. 5.. Série de Taylor. Soit f(x) ue foctio d ue variable rélle idéfiimet de fois dérivable. Cette hypothèse est justifiée par les résultats du paragraphe précédet. Ue telle foctio sera dite de classe C. Défiitio 4. Soit f : R R ue foctio de classe C. O appelle série de Taylor de f la série etière f (0) x.! Exemples. Soit f(x) = e x. Cette foctio est de classe C et l o a f p (x) = e x. O e déduit la série de Taylor de e x :! x. Le rayo de covergece de cette série etière est R = +. Soit f(x) =. Cette foctio est défiie pour x et das so domaie de x défiitio, f est de classe C. Comme f p (0) = pour tout p, la série de Taylor de f est x. So rayo de covergece est R = 5.2. Foctios développables e série etière. Défiitio 5. Soit f ue foctio d ue variable réelle de classe C. O dit que f est développable e série etière si f est égale à la somme de sa série de Taylor das le domaie de covergece de cette série: f(x) = f (0) x! pour tout x ] R, R[ où R est le rayo de covergece de la série de Taylor. Exemples.

Elisabeth Remm Soit f(x) = e x. Cette foctio est de classe C et développable e série etière: e x =! x pour tout x R. E effet soit S(x) la somme de la série! x. O sait que S(x) est dérivable et sa dérivée est la somme de la série dérivée qui est aussi! x. O e déduit que S (x) = S(x). Comme S(0) =, la foctio S(x) est égale à e x. Soit f(x) =. Cette foctio est défiie pour x et das so domaie de x défiitio, f est de classe C. Comme f (p) (0) =, sa série de Taylor est x. De plus Aisi x = p + p x = xp+ x. p x x p+ = p + x = x dès que x ], [ et x est la somme de la série etière! x. Aisi f est développable e série etière et l o a x = pour tout x ], [. Notos que f est défiie pour tout x, mais le développemet est valable que pour x ], [. La foctio f(x) = est défiie sur R {} et développable e série etière au x voisiage de 0 avec x f(x) = x pour x ], [. Alors f (x) = qui est aussi défiie sur R et développable e série etière ( x) 2 au voisiage de 0 avec f (x) = x = ( + )x pour x. Soit la foctio f(x) = l( + x). Pour chercher so développemet e série etière, il est préférable, das ce cas, de chercher celui de sa dérivée. O a (l( + x)) = x. Or + x = ( x) = ( x) = ( ) x pour x doc

2 L2PC Chapitre 2. Séries etières x pour x. D où x 0 + u du = 0 ( ) x + + + u du = [l( + u)]x 0 = l( + x) l = l( + x) et pour x. O e déduit l( + x) = ( ) x + + = ( ) + x pour x. 5.3. Tableau des développemets e séries etières usuels. Ces développemets sot doés ici avec idicatio du rayo de covergece. () z C, e z = + (2) x R, cos x = (3) x R, si x = (4) x R, ch x = (5) x R, sh x = (6) x ], [, z!. + + + + ( ) x2 (2 )!. ( ) x 2 + (2 + )!. x 2 (2 )!. x 2 + (2 + )!. + x = x. (7) x ], ], l( + x) = (8) x [, ], Arcta x = + = + ( ) ( ) + x. x2 + (9) x ], [, α N, ( + x) α = + (0) x R, α N, ( + x) α = + () x ], [, Argth x = + 2 +, et e particulier, π = 4 + + = x 2 + 2 +. + = α (α )... (α + )! α (α )... (α + )! x = x. α ( ) 2 +. ( ) α x.

Elisabeth Remm 3 5.4. Applicatio. Recherche de solutios d équatios différetielles. Preos par exemple ue équatio différetielle ( ED e abrégé) du secod ordre liéaire a(x)y + b(x)y + c(x)y = d(x) Si a, b, c sot des costates, o a ue ED liéraire à coefficiets costats. O saît, das ce cas, trouver toutes les solutios (voir le cours sur les ED). Si a(x), b(x) et c(x) sot des foctios o costates, o a pas de règle géérale d itégratio. Ue faço de procéder et de chercher s il existe des solutios y(x) qui s écrivet sous la forme y(x) = + a x, c est à dire qui sot développables e série etière. Les coditios doées sur la foctio par l ED se traduiset par des relatios de récurrece sur les coefficiets a, que l o doit résoudre. Puis o cherche le rayo de covergece R de la série trouvée + a x. Aisi sur ] R, R[, f(x) = + a x est solutio de l ED. Si R = 0, il y pas de solutio de l ED dveloppable e série etière. Exemple. Soit l ED liéraire d ordre 2 O pose y(x) = + O remplace das ED a x. O a alors xy (x) + y (x) + xy(x) = 0. y(x) = a 0 + a x + + a x + y (x) = a + 2a 2 x + + ( + )a + x + y (x) = 2a 2 + 6a 3 x + + ( + 2)( + )a +2 x + xy(x) = 0 + a 0 x + a x 2 + + a x + y (x) = a + 2a 2 x + + ( + )a + x + xy (x) = 0 + 2a 2 x + 6a 3 x 2 + + ( + )a + x + Aisi e additioat termes à termes o obtiet sachat que xy + y + xy = 0: 0 = a + (4a 2 + a 0 )x + (a + 9a 3 x 2 ) + + (a + ( + )a + + ( + )a + ) x + O e déduit a = 0 4a 2 + a 0 = 0. a + ( + ) 2 a + = 0 d où { a = a 3 = = a 2p+ = = 0 a 2p + (2p + 2) 2 a 2p+2 = 0 pour tout p 0

4 L2PC Chapitre 2. Séries etières D où { a2p+ = 0, a 2p = (2p + 2) 2 a 2p+2 = 2 2 (p + ) 2 a 2p+2, pour tout p 0. Aisi o obtiet, par u raisoemet par récurrece a 2p+ = 0, a 2p+2 = 2 2 (p + ) a ( ) p+ 2 2p = 4 p+ [(p + )!] a 0, 2 pour tout p 0. Doc y(x) = ( ) p 4 p (p!) a 0x 2p 2 p 0 est solutio de l ED sur ] R, R[ où R est le rayo de covergece de la série etière. (si R = 0 cela sigifiera qu il existe pas de solutio à l ED développable e série etière). Détermios R. O a p 0 ( ) p 4 p (p!) 2 a 0x 2p = p 0 ( ) p 4 p (p!) a 0X p = b 2 X p. p 0 Le rayo de covergece de la série etière b X p se calcule e utilisat, par exemple, le p 0 critère de d Alembert puisque b 0. Comme b = 4 p (p!) a 2 0, o a b + = + b + 4(p + ) = 0. 2 Doc le rayo de covergece de la série etière e la variable X est R = + et la série ( ) p 4 p (p!) a 0x 2p 2 p 0 coverge pour x 2 R doc pour x R. Le rayo de covergece R est doc +. Aisi pour tout x R la foctio ( ) p 4 p (p!) a 0x 2p 2 est solutio de l ED doée. f(x) = p 0