Pricing des produits dérivés de crédit dans un modèle

Pricing des produis dérivés de crédi dans un modèle à inensié Nordine Bennani & Cyril Sabbagh Table des maières 1 Présenaion générale des dérivés de crédi 3 1.1 Inroducion................................... 3 1.2 Pourquoi des produis dérivés sur risque de crédi : la nécessié de els produis..................................... 3 1.3 Les dérivés de crédi.............................. 4 1.3.1 Définiion................................ 4 1.3.2 Typologie................................ 5 1.4 L uilisaion concrèe des dérivés de crédi.................. 10 1.5 Evoluion récene du marché des dérivés de crédi.............. 11 2 Analyse empirique 13 2.1 Analyse facorielle de la srucure par erme risquée............. 13 2.2 Naure des données uilisées e principaux résulas............. 14 2.3 Conclusion.................................... 18 3 Modélisaion du défau e règle de pricing risque-neure 19 3.1 Srucure d informaion e hypohèses de modélisaion........... 19 3.2 Une règle de pricing risque-neure....................... 20 3.2.1 Présenaion............................... 20 3.2.2 Hypohèse RMV e approche en emps discre............ 20 3.2.3 Cadre héorique en emps coninu................... 22 4 Modélisaion du aux risqué : un cadre HJM adapé 24 4.1 Moivaion e cadre de modélisaion...................... 24 4.2 Obligaion zéro-coupon risquée........................ 24 4.3 Condiion de drif HJM............................ 25 4.4 Choix d un modèle à faceurs......................... 26 5 Pricing des produis dérivés de crédi 28 5.1 Inroducion................................... 28 5.1.1 Prix d une obligaion zéro-coupon................... 28 5.1.2 Obligaion à coupons.......................... 28 1

5.2 Credi Defaul Swap.............................. 28 5.3 Toal Reurn Swap............................... 29 5.4 Opion sur zéro-coupon risqué......................... 30 5.5 Opion sur obligaion risquée à coupon.................... 34 5.6 Opion sur spread de crédi.......................... 34 5.6.1 Descripion du conra......................... 34 5.6.2 Modélisaion.............................. 35 5.6.3 Méhode e formule de pricing..................... 37 6 Une méhode de calage par ACP 40 6.1 Inroducion................................... 40 6.2 Modélisaion via deux faceurs......................... 40 6.3 Méhode de calage uilisan les résulas de l ACP.............. 41 6.3.1 Cadre héorique............................. 41 6.3.2 Applicaion............................... 42 6.3.3 Conclusion................................ 43 7 Annexes 44 7.1 Annexe 1 : Diffusion du zéro-coupon risqué.................. 44 7.2 Annexe 2 : ACP sur aux risqués....................... 46 7.3 Annexe 3 : ACP sur spread de crédi..................... 47 7.3.1 ACP pour la classe de raing AAA.................. 47 7.3.2 ACP pour la classe de raing BBB1.................. 49 2

1 Présenaion générale des dérivés de crédi 1.1 Inroducion Avec la mondialisaion des échanges, l arrangemen financier d une ransacion es devenu ou aussi imporan que la ransacion commerciale elle-même. Mais cee mondialisaion e recherche consane de nouvelles pars de marché, que ce soi dans le monde commercial ou le monde financier, condui enreprises e insiuions financières à s engager dans des ransacions où les risques de marché côoien de rès près un risque de plus en plus présen se rapporan à la qualié de leurs inerlocueurs en an que débieurs : le risque de crédi. 1.2 Pourquoi des produis dérivés sur risque de crédi : la nécessié de els produis Le risque n es pas nouveau, ni l exisence de moyens pour le gérer. Les méhodes de gesion radiionnelle du risque de crédi reposen sur la gesion a priori e la gesion a poseriori du risque de crédi. L exposiion au risque de crédi es radiionnellemen gérée a priori dans les banques par des méhodes d analyse financière e par l allocaion de limies d engagemens. La gesion a poseriori es celle du suivi des engagemens. Une fois le crédi accordé, si la qualié de l empruneur se déériore, il ne rese généralemen que deux soluions à la banque : avoir recours aux provisions ou bien solder leur posiion en enregisran une pere. De manière générale, ce risque de déérioraion es appréhendé e pris en compe de manière direce grâce à l uilisaion de leres de crédi, du crédi fracionné ou reconducible, de demandes de garanies e d assurances diverses. E de manière indirece, avec les limies de crédi, l amorissemen progressif (sinking fund), les appels de marge e le provisionnemen des prês. Ensuie, en irisan la dee e en offran des asse derivaives on s es rendu compe que l on pouvai en quelque sore arriver à ransférer ce genre de risque, mais pas encore à l isoler. Effecivemen la irisaion des empruns perme de se débarrasser en quelque sore du risque de défau de la conreparie mais l on se débarasse aussi du placemen réalisé dans ce emprun. On dispose aujourd hui pour les risques de marché d insrumens e de moyens de couverure financière e indépendane de la naure des flux que l on veu couvrir. De plus, la flexibilié de ces insrumens provien de leur sandardisaion e de leur liquidié. C es ce genre de moyens que l on recherche aujourd hui pour le risque de crédi. Au rang des différenes raisons qui on poussé à la créaion des dérivés de crédi au débu des années 1990, on peu donc déjà reenir les suivanes : la voloné des inermédiaires financiers de se proéger de manière plus efficace conre le risque de crédi, la consaaion d un écar de plus en plus grand enre les méhodes de gesion des risques de marché (aux e change) don la sophisicaion éai croissane, e celles de 3

gesion du risque de crédi. Mais il ne fau pas omere de menionner la présence de conraines réglemenaires : la réglemenaion prudenielle des banques, définie par le comié de Bâle en 1988, qui impose aux inermédiaires financiers une meilleure connaissance du couple risque / renabilié, noammen en erme de consommaion de capial (raio Cooke), e une gesion acifs / passifs plus dynamique, la croissance exponenielle des aciviés de produis dérivés de gré à gré e la fore implicaion des banques dans ces marchés qui on rapidemen condui à des dépassemen de limies d auorisaion par conreparie (Ceci a éé un des faceurs décisifs qui a amené les insiuions financières à rouver des soluions afin de générer de nouvelles lignes de crédi). Enfin, il y a égalemen la nécessié de répondre à un impéraif sraégique d innovaion e d exploiaion de nouveaux créneaux. 1.3 Les dérivés de crédi 1.3.1 Définiion Les produis dérivés sur risque de crédi son de manière rès générale des accords fais sur mesure enre deux conreparies où le profil de résula es lié à une mesure de la valeur de crédi d un acif de référence, plus ou moins indépendammen de l évoluion des faceurs de marché. En fai, plus simplemen un dérivé de crédi es un insrumen financier qui perme de se proéger conre la défaillance d une conreparie. On peu donc, pour résumer ener de donner la définiion suivane : Peu ainsi êre considéré comme un credi derivaive ou insrumen dérivé permean de valoriser e de négocier le risque de crédi d un acif sous-jacen, plus ou moins indépendammen des risques de marchés inhérens à ce même acif. Les credi derivaives prennen donc la forme de conras financiers impliquan un échange de paiemens e don l un au moins des flux échangés es déerminé par l évoluion du risque de crédi de la référence sous-jacene au conra. Le risque de crédi que l on vise ainsi à isoler s analyse comme une combinaison du risque de défaillance, e du coû d une elle défaillance évenuelle. La nouveaué apporée par les credi derivaives réside dans cee séparaion du risque de crédi e des aures composanes du risque d un acif, e dans la possibilié de réaliser un ransfer de ce risque sur le marché. Ce isolemen de la composane risque de crédi d un acif es héoriquemen réalisable quel que soi l acif sous-jacen : ires obligaaires, prês bancaires, swaps... Les événemens reenus comme éan consiuifs du risque de crédi son : la faillie, l insolvabilié ou un impayé d une conreparie, le changemen de raing de celle-ci ou de l acif de référence, e aure événemen qui lui es lié : l évoluion de la prime de crédi (credi spread) dans le prix de l acif de référence. C es à parir de ces deux séries d événemens que von se décliner les principaux dérivés de crédi. 4

1.3.2 Typologie Les principales caracérisiques des dérivés de crédi son qu ils son échangés de gré à gré e qu il y a une singularié du sous-jacen qui dans un sens large es le crédi (son principalemen uilisés les ires obligaaires e les asse swaps). On peu disinguer rois grandes classes de dérivés de crédi : les dérivés de crédi sur la probabilié de défaillance d un émeeur, les dérivés de crédi qui ne s inéressen qu à une variaion du spread de l émeeur, c es à dire à un variaion de leur coû de financemen qui enraînerai une baisse de leurs ires de dee déjà émis, e enfin, les dérivés de crédi composies qui inègren les deux noions précédenes. Produis dérivés sur le risque de défau (credi defaul derivaives) Les swaps sur événemen de crédi (credi defaul swaps) : Ils son raiés sous la même forme que celle réglemenée par l ISDA (Inernaional Swap and Derivaives Associaion : associaion regroupan les principaux inervenans sur les produis dérivés (swaps, opions,...) e ayan défini un conra cadre pour régir les opéraions sur ces produis). L acheeur de la proecion, c es-à-dire celui qui déien une ceraine exposiion au risque de crédi, paie périodiquemen une prime à la conreparie (exprimée en poins de base du monan noionnel) en échange d un paiemen déclenché par un des événemens de risque de crédi. Par exemple, ce paiemen peu êre calculé d après la différence enre la valeur au pair de l obligaion e la valeur recouvrable de celle-ci dans le cas du défau de la conreparie en référence. Fig. 1 Credi Defaul Swap De manière générale ce ype d insrumen se défini comme «un conra financier bilaéral amenan une des conreparies (l acheeur de la proecion conre le risque de 5

défau) à payer une commission périodique - ypiquemen exprimée en poins de base du monan noionnel oal de la ransacion - e l aure conreparie (le vendeur de la proecion conre le risque de défau) à se enir prêe à effecuer un paiemen coningen au défau (ou à la survenance de ou aure événemen de crédi prédéerminé) d une (ou plusieurs) parie(s) ierce(s) sur des crédis servan de référence au conra» La jambe «fixe»du swap (m poins de base par an mulipliés par le monan noionnel de la ransacion) représene le paiemen périodique que l acheeur de la proecion es prê à payer pendan la durée de vie du conra. Négocié sur une base annuelle, le versemen de la prime es généralemen rimesriel, e son paiemen ne peu dépasser la dae d exercice du conra.. Le calcul de cee prime sera déaillé dans la parie desinée au pricing. La jambe «variable»du swap représene la pere des crédieurs sur l acif de référence si l événemen de crédi survien. Le déclenchemen du paiemen de la compensaion en cas de survenance de l événemen de crédi es le plus souven auomaique. Dans ce cas on parle de defaul swap. Le paiemen peu aussi êre déclenché par l acheeur de la proecion, e dans ce cas on parle de «credi defaul opion»(les opions de vene - «credi defaul pu opion»- son les plus répandues). Les obligaions à opion sur crédi (credi-linked noes) : Malgré le succès des swaps sur défau, les conraines de gesion des invesisseurs, les besoins de financemen des banques e le besoin de diversificaion des produis (rendemenrisque, maurié), on crées un besoin de produis cash de ype obligaaires, auxquels son aachées des opions sur le risque de défau d un empruneur de référence. Ces insrumens son surou desinés à des invesisseurs ne pouvan ou ne préféran pas pariciper à des swaps ou aures produis dérivés. Ils consisen en général en un ire à rendemen fixe sandard auquel es aaché une opion sur crédi qui donne droi à l émeeur de réduire le niveau des coupons suie à la déérioraion de variables financières-clé prédéerminées. Ils permeen à l émeeur d obenir des invesisseurs une assurance de crédi. Ces produis son souven éablis sur la base de regroupemens d acifs qui permeen aux invesisseurs, au ravers de special purpose vehicles, d avoir accès à des porefeuilles diversifiés de prês. C es de nouveau une manière comme une aure de ransférer le risque de crédi. La seule remarque que l on peu de nouveau faire c es que ce genre de produi ne perme pas vériablemen à lui seul d isoler e de raier uniquemen le risque de crédi. Tou dépend des aures posiions que déiennen les invesisseurs dans leur porefeuille. Les flux se résumen ainsi : à l origine (0), l émeeur reçoi le monan du prê ; enre 0 e T, l émeeur paie les inérês du prê mais a l opion de réduire ces paiemens si une des var. finanacières définies dans le conra venai à se déériorer, à l échéance T, l émeeur rembourse l emprun. Les credi linked noes permeen de réduire ou de supprimer le risque de conreparie pour les deux paries du conra. En effe, ces noes son généralemen émises par de banques ou par des véhicules d émission spécialisées (SPVs), appelées bankrupcy - remoe special - purpose vehicles. Ces dernières on l avanage de réduire le risque lié à l émeeur des noes, car les liquidiés résulan de l émission de ces produis son réinvesies dans des ires sûrs, au profi des invesisseurs. Le risque de défau de l émeeur de l acif de 6

référence es dans ce cas le risque principal supporé par le vendeur de la proecion. De plus, l acheeur de la proecion es couver conre le défau du vendeur de la proecion car il reçoi au débu du conra le monan correspondan au principal. La variane «classique»d une noe liée au risque de crédi a la paricularié de lier les paiemens au défau d un seul crédi de référence. Fig. 2 Credi-Linked Noes Un événemen de crédi inervenan avan la maurié de la noe déclenche l arrê de paiemen des coupons e le remboursemen anicipé du principal selon les différenes modaliés vues précédemmen. Produis dérivés sur prime de crédi (credi spread derivaives) Les conras à erme sur prime de crédi (credi spread) : Les plus simples mais pas les premiers à apparaîre. Ils se basen sur l évoluion de la prime de crédi ajouée au prix d un emprun par rappor à un emprun hors-risque. Ce conra perme aux conreparies de prendre des posiions sur : nnle prix fuur d une obligaion, nnou l écar fuur enre deux acifs financiers, un des deux éan un acif de référence el qu un emprun d éa ou inerbancaire. L écar enre l obligaion e l obligaion d éa consiue le credi spread. A échéance, l acheeur de ce conra paie un monan dépendan de la différence enre le spread conclu à l origine du conra e le spread prévalan à l échéance. Le risque de crédi es donc à la charge de l acheeur du conra. Dans le cas d un événemen de crédi el que défini ci-dessus pendan la durée du conra, on fai appel au marking-o-marke e au dénouemen de la ransacion. Les opions sur prime de crédi (credi spread) : 7

Leur principe es le même que pour les conras à erme sauf que leur profil es asymérique. Le règlemen final es au pire des cas nul pour l acheeur de l opion qui n exercera que si ce règlemen es favorable pour lui. Il es principalemen raié sous forme de pu de défau. L acheeur paie la prime du pu lequel lui donne droi à un paiemen de la par du vendeur en cas d un des événemens de crédi définis anérieuremen, pendan une période prédéfinie. La prime peu êre soi un paiemen unique soi un versemen périodique. Le paiemen en cas événemen peu aussi revêir différenes formes : nnsoi la différence (si posiive à l échéance, ce qui consiuerais un des événemens ciés) enre la prime de crédi à l échéance d un acif de référence (ex. : une obligaion) e la prime définie comme prix d exercice, nnsoi la différence enre la valeur au pair e la valeur après-défau de l acif de référence el que définie par un pool de dealers, nnsoi un pourcenage fixé du monan noionnel de la ransacion, nnsoi encore le paiemen au pair de la par du vendeur en échange de la livraison physique de l acif de référence qui se rouve en défau de paiemen. Comme dans ou conra d opion, la pere maximale pour l acheeur du pu es la prime de l opion elle-même. Le plus souven, les crédis spreads opions son srucurées sur des asse swaps (En effe, en cas de défau le spread augmene foremen e le pu devien dans la monnaie). Si à l exercice l opion es dans la monnaie, une soule es payée (cash selemen) ou l asse swap es livré (physical delivery). Fig. 3 Credi Spread Opion Dans le cas d un pu, l acheeur livre à l exercice l acif de référence conre le paiemen du srike (foncion du spread de crédi). L acheeur du pu enregisre un gain si le spread de l acif de référence augmene au delà du spread d exercice. Le profi du vendeur es égal à la prime, an que le spread ne dépasse pas le srike. Le profil d une ransacion sur un call es symérique. L acheeur profie d une baisse du spread de l acif de référence en dessous du spread d exercice, andis que le vendeur 8

du call gagne la prime an que le spread de l acif de référence ese au dessus du spread d exercice. Les opions exoiques sur spread de crédi (1) Opions digiales La paricularié de ces produis es le paiemen par l acheeur de l opion d une somme fixée à l avance, indépendane de la valeur du sous-jacen par rappor à la marge d exercice, lorsque l opion expire dans la monnaie. Les opions digiales peuven êre appliquées soi aux spreads de crédi soi aux defaul swaps. La principale limie de ce ype d opion es sa valorisaion. (2) Opions à barrière (defaul-and-ou) Une opion à barrière sur spread de crédi es une opion qui es acivée ou désacivée par la survenance de crédi. Les pus à barrière permeen à leurs vendeurs de prendre seulemen le risque de dégradaion de la marge de crédi, sans supporer le risque de défau. Ce dernier es pris par l acheeur du pu, car en cas de désacivaion du pu, il cour un risque de défau sur l acif de référence. Les caps e floors sur spread de crédi Le foncionnemen des caps e des floors sur marge de crédi es semblable à celui des mêmes produis sur aux d inérês. L acha d un cap perme de fixer un spread de crédi plafond sur des empruns fuurs. Symériquemen, l acha d un floor bloque une marge de crédi plancher. Ces produis son uilisés esseniellemen pour les financemen de projes de long erme. Malgré son inérê pariculier, l uilisaion des caps e floors es limiée par plusieurs faceurs. On peu noer le niveau élevé du hêa du à la pene rès fore de la courbe de crédi forward ; la déerminaion difficile des fixings, le marché n éan pas cenralisé ; les difficulés à esimer une volailié sur risque de crédi. Produis de réplicaion synhéique Les swaps de rendemen oal (oal reurn swap) : Ce son les plus raiés. Ce furen les premiers insrumens à apparaîre en 1991 avec les opions. Ils permeen le ransfer de la performance économique oale de l acif financier de référence (don la valeur es définie au dépar) pour une durée définie conre un aux de référence (fixe ou floan, généralemen LIBOR) plus une prime refléan la qualié de la conreparie, son raing e la liquidié de l acif de référence sous-jacen. Les ermes du swap son ensuie soi revus à des inervalles prédéfinis d après l évoluion de la valeur de marché de l acif de référence, ou, a l échéance, les conreparies réévaluen l acif de référence. Si l acif s es apprécié, c es la conreparie receveuse de l acif de référence qui se voi ocroyée un paiemen de cee différence. Sinon, c es le conraire. Comme pour les conras à erme, on peu voir des conras de swap où le paiemen final es en ermes de prime de crédi par rappor à un emprun hors-risque. A ce niveau deux remarques peuven êre faies concernan l indépendance des profils de résula de ces insrumens par rappor aux risques de marché. Premièremen, elle n es pas forcémen respecée dans la mesure où la qualié inrinsèque d un débieur peu se rouver alérée par l évoluion d un faceur de marché comme les aux d inérê, 9

par exemple. Deuxièmemen, cee indépendance es relaive. Dans le cas d un swap de rendemen oal, le profil des paiemens nes dépend aussi de l évoluion des aux d inérê mais ce profil dépendan perme à un invesisseur déenan des swaps de aux d inérê de limier effecivemen son exposiion au risque de crédi. Fig. 4 Toal Reurn Swap Il fau indiquer que, comme pour les aures familles de dérivés de crédi, les oal reurn swaps peuven êre repackagés sous forme de noes srucurées répliquan les performances économiques d un acif sous-jacen. 1.4 L uilisaion concrèe des dérivés de crédi Les dérivés de crédi réponden à un besoin fondamenal des inervenans sur les marchés de capiaux, celui de pouvoir idenifier le risque de crédi, le négocier e le couvrir. Les rois principaux avanages des dérivés de crédi son les suivans : séparaion des risques de marché e de crédi, négociaion du risque de crédi : au lieu de vendre l acif, il y a la possibilié de vendre pluô le risque associé à ce acif ; pour les banques les dérivés de crédi permeen de dissocier le risque de crédi du risque de financemen, couverure du risque de crédi ; les dérivés de crédi collen plus à leur sous-jacen que les indices de marché, la couverure n en éan que plus efficace. Compe enu de ces avanages e dans une perspecive d efficience de marché, les dérivés sur risque de crédi comme leurs confrères peuven permere à l invesisseur de limier ses coûs de ransacion e d évier cerains raiemens fiscaux défavorables. En plus, dans leur concepion idéale, ils devraien permere à l invesisseur de modifier son exposiion au risque ou en ne l obligean pas à renrer dans de lourdes e rop chères ransacions, surou dans le cas d acifs relaivemen illiquides. Bref, ils apporen une alernaive à la vene pure e simple des acifs dans le marché secondaire. Ils permeen aussi l accès d un cerain nombre invesisseurs à des segmens de marché qui leur éaien 10

jusque-là inerdis pour des raisons de poliique de placemen. De l aure côé, ils permeen aux exclus de ne plus l êre forcémen. Un marché dynamique e acif des dérivées sur risque de crédi perme aux invesisseurs e différenes insiuions financières de réduire les concenraions excessives de leurs prês dans des seceurs spécifiques de l économie. Cela perme égalemen de libérer plus facilemen les limies de crédi pour ceraines conreparies ou en ou cas de mieux les uiliser. Les insiuions qui parviennen à uiliser correcemen ces insrumens peuven en reirer un avanage concurreniel indéniable pour auan bien sûr que la coordinaion e la communicaion enre les déparemens crédis e produis soien de ou premier ordre. Via un modèle donné, il es possible d exraire des srucures de credi spread e de forward credi spread ce qui perme ensuie d en déduire des prévisions sur les probabiliés fuures de défau. La comparaison de ces srucures implicies enre différens marchés e l uilisaion de dérivés sur risque de crédi facilien évidemmen l arbirage sur les primes de crédi enre les différenes classes d acifs financiers pour un même niveau de risque de conreparie. 1.5 Evoluion récene du marché des dérivés de crédi Selon une éude récene de BBA (Briish Banker s Associaion : hp ://www.bba.org.uk) réalisée auprès de 24 inervenans majeurs sur le marché, le marché des dérivés de crédi qui a aein près de 900 milliards de dollars à la fin de l année 2000, devrai aeindre près de 1600 milliards de dollars en 2002 ; ce qui, en se fondan sur une éude précédene de BBA, représenerai une muliplicaion par 9 en 5 ans (1997-2002). Toujours selon cee éude, ce marché coninuer à évoluer non seulemen en aille mais égalemen en sophisicaion e en diversificaion e n es pas encore complèemen mûr. Les lignes de produis son devenus plus floues e un grand nombre de produis hybrides son en rain de se développer. Il es à noer l imporance croissane des credi-linked obligaions (CLOs) qui représenen 20% du marché oal en 2000 e qui son amenés à avoir une place de plus en plus grande. Tandis que les produis vanille sur le risque de défau (credi defaul producs), représenan 38% du marché acuel risquen d avoir une par réduie à 35% d ici 2002. Les banques représenen les principaux acheeurs e vendeurs de proecion conre le risque de crédi (63% des acheeurs e 47% des vendeurs en monans). Un nombre croissan d aures inervenans son aendus sur les prochaines années, fournissan alors une plus grande profondeur e une plus grande liquidié au marché des dérivés de crédi. En pariculier les compagnies d assurance s inéressen de plus en plus à ce marché en an que vendeurs de proecion conre le risque de défau (ils pèsen aujourd hui 25% de la vene). Concernan la réglemenaion, l ISDA (Inernaional Swap and Derivaives Associaion) a permis en sandardisan ces dernières années de nombreux produis dérivés de crédi, une plus grande lisibilié des produis e par voie de conséquence une plus grande liquidié. 11

Pour ce qui es des sous-jacens, il y a eu une augmenaion noable des adossemens à la dee de sociéés côés e une noable diminuion des adossemens à la dee souveraine. On s aend à ce que la première caégorie aeigne 60 % du marché en 2002 (son niveau acuel es de 50% e éai de 35% sur l année 1997/1998) e à ce que la deuxième rese sable à 20% sur les rois prochaines années (son niveau éai de 35% en 1997/1998). De manière générale, on peu dire que, même s il n es pas encore ou à fai mûr, la plupar des signaux sur le marché des produis dérivés de crédi son posiifs : croissance, diversificaion des produis, des inervenans. Quan aux problèmes relaifs à la réglemenaion e à la sandardisaion, ils on laissé place à des problèmes plus quoidiens de liquidié e visan à renseigner le clien. 12

2 Analyse empirique 2.1 Analyse facorielle de la srucure par erme risquée L analyse hisorique de la srucure par erme risquée es calquée sur celle qui es classiquemen menée sur la srucure par erme des aux d inérês. Ainsi, elle se fonde sur des hisoriques de courbes de aux risqués ou de spread, e a pour bu d éudier les évoluions de ces courbes au cours du emps, e d en dégager les principales caracérisiques. Les enjeux de cee éude son muliples. Il s agi ainsi de déerminer par exemple le nombre de faceurs explicaifs des mouvemens de la srucure par erme risquée, dans un bu de modélisaion de ces évoluions, de calibraion d un modèle de aux ou de spread risqué, ou encore dans un bu de couverure. Concrèemen, on procède à l analyse d une série emporelle X composée des aux zéro-coupon risqué ou des spreads de crédi à une dae donnée, pour différenes mauriés. L un des objecif de l éude es de monrer que les composanes de X ne son pas indépendanes e qu il exise une relaion de la forme : X = µ + C.F + u (1) où (X ) es un veceur de aille N, correspondan au nombre de mauriés disponibles pour l analyse, (µ ) es une série déerminise, C une marice de aille N p, e (F ) es un veceur de aille p correspondan aux faceurs mis en évidence. Le veceur (u ) correspond à une perurbaion aléaoire indépendane de aille N. Cee relaion posule qu il exise p faceurs relian les N composanes de (X ). Ces faceurs permeen de réduire l éude de la dynamique de la srucure par erme risquée à u nsysème de aille p. La représenaion facorielle d ordre p donnée par (1) nécessie l inroducion d hypohèses relaivemen fore sur la naure des perurbaions. Plus précisémen, (u ) doi êre un veceur de perurbaion d espérance condiionnelle nulle, de variance condiionnelle diagonale, indépendane de, e non corrélée avec F, ce qui se résume sous la forme : ) X 1 E (u = 0 ) X 1 V (u = D diagonale ) X 1 Cov (F, u = 0 La condiion de diagonalié de la marice de variance-covariance n es pas nécessaire, mais elle es cependan naurelle. En effe, la mise en évidence de p faceurs doi fournir la oalié des liens de corrélaions enre les N composanes de (X ), e il en résule que les ermes résiduels doiven êre non corrélés. La méhode reenue pour l éude empirique es en fai une Analyse en Composanes Principales (ACP). Cee méhode es simple, e elle perme d obenir rapidemen des résulas. Son auomaisaion perme par ailleurs de répéer le procédé sur différenes séries de données. 13

Cependan, l ACP suppose que les p composanes obenues son des séries saionnaires, ce qui consiue une hypohèse relaivemen fore. Dans le cas où elle n es pas saisfaie, les résulas issus de l ACP doiven êre uilisés avec précauion, car la méhode aura endance à privilégier les faceurs de plus for degré de non saionnarié. 2.2 Naure des données uilisées e principaux résulas L analyse empirique présenée dans le paragraphe précéden a éé menée sur plusieurs ypes de données. Il s agi en fai à la fois de vérifier que les résulas obenus, noammen le nombre de faceurs, es sable suivan le ype de données uilisées, e de s adaper à la paricularié des sources de données disponibles sur le marché du crédi. En effe, on dispose de deux ypes de données au sens financier : les aux risqués zéro-coupon d une par e les spreads de crédi d aure par. Ces deux caégories peuven ensuie êre déclinées pour un panier d émeeurs d un même seceur économique, ou pour un émeeur seul. Enfin, la paricularié des donées issues du crédi es d êre caégorisées par classe de raing. La sabilié du nombre de faceurs, ainsi que leur inerpréaion, d une classe de raing à l aure es alors cruciale, si on souhaie inégrer les résulas de l analyse empirique à l éude héorique e à la modélisaion de la srucure par erme risquée. Le aux sans risque de référence peu aussi différer suivan les données sources, ce qui renforce encore leur héérogénéié. Les aux des empruns d Ea son le plus souven pris pour référence, mais les aux de swaps son aussi d usage couran. Concrèemen, on dispose de deux sources de données principalemen : données quoidiennes de spread de crédi par rappor au aux de swap, pour un panier d émission ud seceur indusriel américain. Ces données son disponibles sur une période de deux ans, e par classe de raing. données hebdomadaires de aux zéro-coupon risqués pour l émeeur Philip Morris par rappor au Treasury Bill américain, pour une période de deux ans. Ces aux zérocoupon son consruis à parir de prix d obligaions côées Philip Morris, suivan une méhode classique de consrucion de courbe de aux. Des ACP on éé réalisées sur les deux échanillons de données e pour plusieurs classes de raings dans le premier cas. Les résulas de ces analyses son laissées en annexe, e on ne développe dans ce paragraphe que les principaux résulas obenus. Pour fixer les idées, on s inéressera plus spécifiquemen à l ACP réalisée sur les données Philip Morris. Ces données s avèreron plus inéressane pour les développemens suivans, puisqu il s agi de données de aux risqué e non de spread. L ACP es réalisée sur les variaions hebdomadaires des aux risqués, e pour la gamme de mauriés suivane : 2 mois, 6 mois, 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6 ans, 7 ans, 8 ans. L examen des valeurs propres, à l aide de la règle du coude ou de la règle Kaiser, perme de diagnosiquer un nombre de faceur égal à deux. Ces deux premiers faceurs permeen d expliquer un peu plus de 85% de l inerie. 14

Fig. 5 Tableau d inerie Le premier cercle des corrélaions (1 er axe facoriel conre 2ème axe facoriel) donne une première inuiion de l inerpréaion des deux faceurs (cf. 6). Ainsi, le fai que les variables acives (les 10 mauriés) aien sensiblemen la même coordonnée sur le 1 er axe correspond bien à un 1 er faceur de niveau. Ce 1 er faceur représene les mouvemens de ranslaion de la courbe, c es à dire les modificaions de courbe impacan de façon ideniques l ensemble des mauriés. Par ailleurs, il es possible d observer un échelonnemen des différenes mauriés suivan le 2ème axe. Les mauriés les plus coures son siuées du côé posiif de l axe, andis que les mauriés les plus longues son siuées du côé négaif. Ceci semble indiquer que le faceur correspondan es un faceur de roaion de la courbe. En effe, le graphique de la sensiblié des aux au 2ème faceur (??) es caracérisé par une forme descendane, d abord posiive sur la parie inférieure à 3 ans, puis négaive au-delà. Ce 2ème faceur s apparene donc bien à un faceur de roaion ou pivoemen auour d un poin, qui en l occurrence es proche de la maruié 3 ans. 15

Fig. 6 1 er cercle des corrélaions 16

Sensibilié des variaions de aux zéro-coupon risqués aux faceurs 1 e 2. 17

2.3 Conclusion L analyse empirique qui a éé menée a permis de mere en évidence l exisence de deux faceurs explicaifs de l évoluion de la srucure par erme des aux risqués. Ces faceurs peuven s inerpréer comme un faceur de niveau e un faceur de pene. Les résulas obenus consiue une première approche de l éude des aux risqués. En effe, cela va permere d oriener sur cerain poins la modélisaion du défau, e ce qui aura un impac sur le pricing noammen. Cependan, il es imporan de noer que cee parie ne consiue pas en soi une éude précise e exhausive de l évoluion de la srucure par erme. En effe, la méhode mise en oeuvre souffre de criiques ideniques à celles qui son faies dans son applicaion à l éude des aux d inérê, parmi lesquelles on peu cier les problèmes de non-saionnarié ou encore les discussions méhodologiques enre ACP e Analyse Facorielle (cf. [4]). L éude qui nous préoccupe n a pas pour obje de reprendre cee discussion, e même si l analyse empirique réalisée es imporane, elle ne consiue qu une première éape. Cee première éape va permere d oriener la modélisaion de deux façons disinces. Tou d abord, le nombre de faceurs va permere d oriener le choix de modélisaion pour ce qui concerne le modèle héorique de déformaion de la courbe des aux risqués. Ce choix aura des conséquences direces à la fois en erme de calibraion (nombre de paramères, forme de la foncion de pénalisaion,ec.), e en erme de pricing e de couverure. Par ailleurs, les faceurs en an que séries emporelles peuven permere une calibraion adapée d un modèle de aux risqué ou de spread sur l hisorique. 18

3 Modélisaion du défau e règle de pricing risqueneure 3.1 Srucure d informaion e hypohèses de modélisaion Un enjeu imporan de la modélisaion du défau es de mere en place la srucure d informaion la plus appropriée aux réaliés du marché, e de bien prendre en compe les conséquences de ce choix sur le pricing des produis dérivés de crédi. Ainsi, le défau es considéré dans ce qui sui comme éan pariellemen observable, ce qui signifie qu à un insan, les aceurs du marché n on comme seule informaion, oure les prix de marché, la survenance du défau avan ce insan. D une manière plus formalisée, on se munie d un veceur de mouvemen browniens (W i ) 0, d un espace probabilisé (Ω, F, P) e de la filraion brownienne, noée (F ) 0. i=1..n L insan de défau sera noé τ. L hypohèse précédene implique que la srucure d informaion adéquae sera la filraion (G ) 0 donnée par : G = F σ (τ ) Cee filraion représene l informaion disponible sur le marché en, e elle conien bien F e {s < τ; s }. Une hypohèse classique consise ensuie à poser : Axiom 1 le emps de défau es indépendan de F pour ou. Cee hypohèse es rès uile echniquemen car elle perme de conserver la srucure brownienne sur G. Les acifs de base conserven leurs propriéés iniiales, ainsi que leurs propriéés différenielles. Une fois définie la srucure d informaion, il es imporan de préciser commen la mesure de probabilié qui va êre uilisée, noammen pour le pricing. Pour cela, on commence par considérer que le F-marché es comple, e sans arbirage, ce qui donne l exisence e l unicié d une mesure maringale Q, la probabilié risque-neure. La règle d évaluaion risque-neure classique peu donc êre appliquée sur ce marché, relaivemen au aux d inérê sans risque (r ) 0. Afin de prolonger cee règle de pricing au G-marché, on considère qu il exise un acif coé permean de couvrir le risque de défau. Les porefeuilles sandards, arrêés à l insan de défau éan des porefeuilles admissibles à G, le G-marché es ainsi compléé, e la règle de pricing risque neure peu lui êre appliqué. Plus précisémen, un conra classique de maurié T, noé (Z, T ), se décompose comme ((X, T ) ; (X, τ)). (X, T ) représene l obligaion de payer X en T, andis que τ défini le emps d arrê associé au défau, e X le monan associé. La règle de pricing risque-neure classique perme d écrire le prix à un insan de ce conra : ( T ) ] V (Z) = E [exp Q r s ds Z G (2) ( E [exp Q T ) ( T ) ] r s ds X1 {T <τ} + exp r s ds X 1 {τ T } G 19

Il es pariculièremen inéressan de noer que cee règle de pricing fai inervenir le aux sans risque comme paramère d acualisaion, e que la srucure d informaion de référence pour le condiionnemen correspond à la filraion la plus grande, i.e. à G. 3.2 Une règle de pricing risque-neure 3.2.1 Présenaion Cee parie s appuie esseniellemen sur la modélisaion proposée par Duffie e Singleon dans [2]. Son objecif es de donner une version modifiée e plus facilemen uilisable de la règle de pricing (2). Le conra de dépar (Z, T ), de maurié T, se décompose comme ((X, T ) ; (X, T )). Comme précédemmen, (X, T ) représene l obligaion de payer X en T, andis que τ défini le emps d arrê associé au défau, e X le monan associé. En conservan les noaions e les hypohèses précédenes, e en inroduisan l hypohèse, cruciale, de Recovery of Marke Value (RM V ), [2] monre qu il es possible d associer la règle de pricing suivane au conra ainsi décomposé : ( T ) ] V (Z) = E [exp Q R s ds X F (3) où Q désigne la probabilié risque-neure. Cee règle es valable pour ou insan anérieur au défau, i.e. pour ou < τ. Cee règle de pricing modifiée fai apparaîre un aux d acualisaion différen de celui uilisé dans (2). L acualisaion se fai à l aide du aux risqué (R s ) s 0. De même, il es inéressan de remarqué que le condiionnemen es réalisé par rappor à la srucure d informaion iniiale, i.e. par rappor à F. 3.2.2 Hypohèse RMV e approche en emps discre Dans ce paragraphe, on se propose de décrire en emps discre le mécanisme permean de passer de (2) à (3). L objecif es en fai de préciser le sens de l hypohèse de Recovery of Marke Value, e de monrer son imporance. Enfin, pour simplifier l approche, on va s aacher esseniellemen à donner les inuiions qui amènen à un changemen de faceur d acualisaion. Considérons un bien coningen payan X +T en dae d échéance + T, sans coupons inermédiaires. On défini ou d abord les quaniés suivanes : h s : probabilié de défau enre s e s+1 sachan que le défau n a pas eu lieu avan s. Cee probabilié es donnée sous la mesure Q risque neure, e condiionnellemen à l informaion disponible en s. φ s : monan du recouvremen en unié monéaire, en cas de défau en s. Dans le cas où le défau es posérieur à la dae, le processus de gain aaché au bien coningen X es décri par la relaion de récurrence suivane : V (X) = h exp ( r ) E Q [ φ+1 ] + (1 h ) exp ( r ) E Q [V +1 (X)] (4) 20

Cee équaion de récurrence se résoud direcemen pour donner : [ T 1 ( ) ] j j V (X) = E Q h +j exp r +k (1 h +l 1 ) +E Q j=0 k=0 φ +j+1 l=0 [ ( ) T 1 T ] X +T exp r +k (1 h +l 1 ) k=0 Cee dernière équaion es assez inuiive, car elle fai apparaîre expliciemen les probabiliés de défau ou de non défau à chaque éape. Cependan, elle es peu uile en générale, car son évaluaion requier la donnée des lois joines des différens processus aléaoires uilisés. C es ici que l hypohèse RMV va permere de grandemen simplifié les calculs. Axiom 2 Hypohèse de Recovery of Marcke Value dans le cadre discre Soi un processus (L s ) s 0 adapé e majoré par 1. On appelle RMV l hypohèse de recouvremen qui éabli que l espérance de recouvremen en cas de défau en + 1, vu de, es une fracion de la valeur espérée en + 1, vu de, du bien coningen soumis au risque de crédi. Ceci se radui par : l=0 E Q [ φ+1 ] = (1 L ) E Q [V +1 (X)] L hypohèse RMV ainsi formulée dans un conexe discre es assez inuiive e naurelle. Son exension dans le cas coninu (cf. infra) sera légèremen différene ouefois. L idée sous-jacene rese idenique : il s agi d exprimer que le recouvremen es une fracion du prix coé juse avan défau de l acif soumis au risque de crédi. La formalisaion varie ensuie suivan le cadre de modélisaion e inègre les hypohèses adéquaes. Les hypohèses faies sur le recouvremen son fondamenales pour l évaluaion des produis dérivés de crédi. Ce effe es pariculièremen visible en emps discre, où apparaissen expliciemen les deux éas probabilisés de défau e non défau. Dans un conexe plus général, le recouvremen n es pas oujours sous forme RMV. Il es en effe possible d adoper d aures convenions, ce qui inrodui des différences imporanes à la fois en erme de srucure de produi dérivé de crédi, de prix, e de formulaion héorique de modèle de crédi. On peu cier ici pour comparaison deux approches classiques du recouvremen : Recovery of Treasury (RT) : dans ce cas, l évènemen de défau donne le droi à récupérer une fracion d une obligaion sans risque spécifiée iniialemen. Cela se radui par un recouvremen de la forme : φ = (1 L ) B, où (L ) 0 représene le processus de pere, e B le prix d un bon du Trésor par exemple. Recovery of Face Value (RFV) : dans ce cas, le déeneur du bien coningen reçoi en cas de défau une fracion (possiblemen aléaoire) du nominal. Le recouvremen s exprime alors sous la forme : φ = (1 L ). L hypohèse RMV s inscri dans une logique relaivemen différene de ces deux approches. Cependan, il n es pas vériablemen possible de rancher enre ces différenes 21

hypohèse de recouvremen. Cela a pour conséquence de complexifier encore l approche des dérivés de crédi, noammen en erme de modélisaion. Ce dernier poin es crucial pour l ensemble des paries héoriques qui von suivre. En effe, comme on va le monrer, la règle de pricing risque-neure (3) n es valide que sous l hypohèse de RMV. Dans le cas discre, cee dernière perme noammen de réécrire (4) : V (X) = h exp ( r ) (1 L ) E Q [V +1 (X)] + (1 h ) exp ( r ) E Q [V +1 (X)] d où une simplificaion de l expression finale donnan le prix du bien coningen en : [ ( ) ] T 1 V (X) = E Q exp R +k X +T où on a posé : k=0 exp ( R ) = h exp ( r ) (1 L ) + (1 h ) exp ( r ) En uilisan un développemen limié de la foncion e x, pour des inervalles de emps peis noammen, il es alors possible d écrire R comme : R = r + h L e d en donner une inerpréaion en erme de aux risqué, expliciemen comme le aux sans risque plus une marge. Dans le cas discre, cee marge dépend expliciemen de la probabilié de défau e du aux de pere. 3.2.3 Cadre héorique en emps coninu L obje de ce paragraphe es de préciser le cadre héorique en emps coninu e de donner un cerain nombre d idées permean d abouir au résula donné dans (3). Comme décri précédemmen, un bien coningen (Z, T 0 ) correspond à la donnée d un couple ((X, T ), (X, τ)) decrivan les pay-offs en cas de défau ou d absence de défau. Le prix en de ce conra es noé U, e on a U T = X. On noe (Λ ) 0 le processus qui rend compe de la survenance du défau. Plus précisémen, on a Λ = 1 {τ }, e on noe (h ) 0 la G-inensié de (Λ ) 0 pour la mesure risque neure Q. On considèrera par la suie que Q es la mesure adopée en l absence de précision conraire. Cela donne alors la diffusion de (Λ ) 0 : dλ = (1 Λ ) h d + dm où (M ) 0 es une G-maringale, désignée en générale comme la maringale compensée de (Λ ) 0. L hypohèse RMV en emps coninu prend la forme suivane : 22

Axiom 3 Hypohèse de Recovery of Marcke Value En cas de survenance du défau à la dae, le déeneur du bien coningen Z reçoi X = (1 L ) U où, (L ) 0, le fracionnal loss, es un processus prévisible e majoré par 1, (U ) 0 es le prix du bien coningen, e U = lim s U s es le prix juse avan le défau. Par la suie, on supposera que le processus de prix ne connaî pas de disconinuié à l insan de défau, ce qui permera de considérer indifféremmen U e U. L idée principale permean d abouir à la règle de pricing (3) consise à prendre le processus de gain acualisé G comme une maringale sous Q. Ainsi, G s écri : ( ) G = exp r s ds U (1 Λ ) 0 ( s ) + exp r u du (1 L s ) U s dλ s 0 ce qui perme ensuie de conlure pour obenir la règle de pricing risque-neure. 0 Theorem 1 Règle de pricing risque neure pour les prduis dérivés soumis au défau Soi Z = ((X, T ), (X, τ)) un bien coningen soumis au risque de défau, Λ = 1 {τ }, (h ) 0 la G-inensié de (Λ ) 0, e (L ) 0 le fracionnal loss. Sous l hypohèse RMV, le prix de Z en, sachan qu il n y a pas eu défau avan, es donné par la relaion suivane : ( T ) ] V (X) = E [exp Q R s ds X F < τ avec R s = r s + h s L s 23

4 Modélisaion du aux risqué : un cadre HJM adapé 4.1 Moivaion e cadre de modélisaion La règle de pricing risque-neure (3) applicable pour les produis dérivés de crédi es rès semblable à la règle de pricing classique, e ne diffère de celle-ci que par le erme d acualisaion. La modélisaion du processus (R ) 0 va alors permere d explicier la formule de pricing, pour un cerain nombre de produi dérivés. On es alors dans une problémaique voisine de celle du pricing de produis de aux d inérê, e il semble naurel d essayer des modélisaions similaires pour le processus (R ) 0. Les objecifs son enre aures de permere une bonne uilisaion praique de la règle de pricing mise en évidence, de permere une adéquaion enre le modèle héorique e les données de marché, en donnan les prix héoriques nécessiares à une bonne calibraion, e de vérifier si un modèle issus de la héorie des aux d inérê perme de valider les condiions d absence d opporuniés d arbirage noammen. Ainsi, on suppose que le prix du zéro-coupon risqué de maurié T, noé par la suie (p (, T )) 0, peu êre modélisé, à une dae anérieure au défau, sous la forme : ( T ) p (, T ) = exp F (, s) ds < τ où F (, T ) joue le rôle du aux forward insanané dans un cadre HJM classique. Ainsi, on suppose qu il vérifie l EDS : df (, T ) = µ (, T ) d + σ (, T ) dw (5) où (W ) 0 es un n-mouvemen brownien sous la probabilié risque-neure Q. On fai par ailleurs l hypohèse que µ (, T ) e σ (, T ) vérifien les condiions echniques données dans [1]. Comme F (, T ) vérifie (5), on dispose alors de l EDS suivane pour p (, T ) 1 : [ T dp (, T ) = p (, T ) F (, ) µ (, s) ds + 1 ( T ) 2 ] σ (, s) ds d (6) 2 ( T ) p (, T ) σ (, s) ds dw 4.2 Obligaion zéro-coupon risquée De la même façon que précédemmen, on noe τ le emps d arrê associé au emps de défau, e Λ = 1 { τ}. Le processus Λ vau zéro avan le défau e un après. Par ailleurs, Λ sui l EDS suivane sous Q : 1 cf. annexe pour le déail des calculs dλ = (1 Λ ) h d + dm (7) 24

avec M une Q-maringale e (1 Λ ) h l inensié, sous Q, du processus de sau associé au défau, i.e. Λ. On suppose que lorsque le défau inervien, une fracion de la valeur de marché de l obligaion risquée juse avan l insan de défau es récupérée. C es une hypohèse de ype RMV. Ainsi, si le défau inervien en, le déeneur du zéro-coupon risqué reçoi : X = (1 L ) p (, T ) où p (, T ) es le prix du zéro-coupon risqué juse avan le défau, e où L représene le aux de pere de valeur de marché du zéro-coupon risqué au momen du défau. On fai l hypohèse que L es un processus prévisible majoré par 1. Sous ceraines condiions echniques, e en supposan noammen que le prix du zérocoupon risqué ne saue pas au momen du défau, le prix en, < τ, on a vu que le prix du zéro-coupon risqué es donné par : ( T ) ] p (, T ) = E [exp Q R s ds F (8) en posan : où r désigne le aux d inérê sans risque. 4.3 Condiion de drif HJM R = r + h L Comme le processus de gain acualisé G es une maringale sous Q, son drif es nul. On va appliquer Iô à G, pour oue dae anérieure au défau, i.e. pour < τ, en ulisan les relaions suivanes, pour (W ) 0 un mouvemen brownien : dm, dw = 0 dλ, dw = 0 dλ, dλ = 0 dm, dm = 0 Le processus de gain acualisé s écri, en noan D = exp On en dédui : G = p (, T ) (1 Λ ) D + 0 ( ) r 0 sds : D s (1 L s ) p (s, T ) dλ s dg = D p (, T ) dλ +(1 Λ ) p (, T ) dd +(1 Λ ) D dp (, T )+(1 L ) D p (, T ) dλ soi après simplificaion : dg = (1 Λ ) p (, T ) dd + (1 Λ ) D dp (, T ) L D p (, T ) dλ 25

On uilise ensuie les équaions (6) e (7) ainsi que l écriure dd = r D d, ce qui donne : [ T dg = ((1 Λ ) D p (, T )) F (, ) r h L µ (, s) ds + 1 ( T ) 2 ] σ (, s) ds d 2 ( T ) L D p (, T ) dm (1 Λ ) D p (, T ) σ (, s) ds db Comme < τ, on a alors 1 Λ > 0 p.s. e par définiion, D p (, T ) > 0. La condiion de nullié du drif devien ainsi : T F (, ) r h L µ (, s) ds + 1 ( T ) ( T ) σ (, s) ds σ (, s) ds = 0 (9) 2 En dérivan (9) par rappor à T, on rerouve une condiion de drif de la forme de celle qui prévau dans un cadre HJM classique : µ (, T ) = σ (, T ) T Par ailleurs, si on remplace (10) dans (9), on en dédui : F (, ) = r + h L σ (, s) ds, < τ (10) ce qui perme d inerpréer h L comme le spread de crédi. Par ailleurs, la diffusion du zéro-coupon es donnée, sous la probabilié risque-neure Q, par : dp (, T ) = p (, T ) F (, ) d + p (, T ) S (, T ) dw () (11) où W () es un mouvemen brownien sous Q, e en noan S (, T ) = T σ (, s) ds. Par convenion, il es possible d écrire F (, ) = R. 4.4 Choix d un modèle à faceurs Le cadre HJM pour les aux risqués a éé présené jusqu à mainenan dans le cas général d un mouvemen brownien de dimension n. Cependan, l analyse empirique déaillée dans la parie deux a permis de mere en évidence deux faceurs explicaifs des déformaions de la courbe des aux zéro coupon risqués. Ces deux faceurs corresponden à un faceur de niveau e un faceur de pivoemen, qui son deux mouvemens classique de déformaion de la srucure par erme. Afin de prendre en compe dans la modélisaion ces considéraions empiriques, il es possible prendre un modèle HJM pariculier, à deux faceurs. Les deux faceurs considérés son alors paramérables via les foncions de volailié qui apparaissen devan les mouvemens browniens. Un cas classique e facilemen ransposable consise à prendre pour le premier faceur une volailié de ype Ho-Lee e pour le second une volailié de ype Vasicek. 26

Ces deux foncions s écriven respecivemen : σ Ho Lee = σ 1 σ V asicek () = σ 2 exp ( λ (T )) e vérifien les condiions d indépendance garanissan la compléude du marché des zérocoupon dans le cadre HJM (cf. [5]). Ainsi, on rerouve bien les deux mouvemens de courbe pré-ciés. La foncion de volailié Ho-Lee ransme les effes de ranslaion, andis que la foncion de volailié Vasicek ransme les effes de roaion. Cee paramérisaion facorielle sera conservée dans la suie des développemens. On examinera dans une dernière parie une méhode de calibraion permean d exraire le riplé (σ 1, σ 2, λ) des données de marché disponibles. 27

5 Pricing des produis dérivés de crédi 5.1 Inroducion L obje de cee parie es de présener de façon déailler les prix obenus pour différens produis dérivés de crédi classique dans le cadre d un modèle à inensié où le aux forward risqué insanané es modélisé suivan un cadre HJM. Pour chacun des produis qui seron abordés, on sera ainsi amené à uiliser d une par la règle de pricing risque-neure éablie ci-dessus, e d aure par la modélisaion HJM, noammen pour les zéro-coupons risqués. Par ailleurs, l approche empirique qui a éé conduie sur les spreads a permis de mere en évidence la présence de deux faceurs explicaifs pour l évoluion de la srucure par erme des spreads. En plus d une formule de prix donnée pour une foncion de volailié générale, on donnera comme applicaion le prix correspondan au modèle HJM deux faceurs mis en évidence. 5.1.1 Prix d une obligaion zéro-coupon La règle de pricing (3) donne direcemen l expression du zéro-coupon risqué comme : e la modélisaion HJM a permis d écrire : ( T ) ] p (, T ) = E [exp Q R s ds F dp (, T ) p (, T ) = F () d (σ 1 (T )) dw 1 () ( ( )) 1 exp ( λ (T )) σ 2 dw 2 () λ (T ) Cee EDS s inègre ensuie direcemen pour donner le prix du zéro-coupon. 5.1.2 Obligaion à coupons Si on considère une obligaion à coupons fixes, noé C, présenan un risque de défau, d échéancier (T i ) i, alors, de la même façon que pour une obligaion couponnée sans risque, on a : π C () = C p (, T i ) i 5.2 Credi Defaul Swap Le CDS consiue l un des produis dérivés de crédi les plus uilisés sur le marché. Il se rapproche de par sa forme d un produi d assurance, puisqu il consise, pour l acheeur, à payer une prime de x b.p. an qu il n y a pas eu défau, aux daes ( ) T j, e à recevoir j l écar enre le prix avan e après l insan de défau, lors de la survenance de ce dernier. 28

Il es assez habiuel de supposer que le CDS es en fai adossé à une obligaion risquée, payan un coupon fixe R 0 aux daes (T i ) i. Le CDS ser alors à couvrir le risque de défau lié à l obligaion. La srucure de l opéraion financière consisan à acheer un CDS e une obligaion risquée es équivalene à celle qui consise à acheer une obligaion sans risque versan des coupons R 0 aux daes (T i ) i e à vendre une obligaion risqué 2 versan des coupons x aux daes ( ) T j. Ainsi, la valeur d un CDS es donné par : j CDS ( ( ) ), x CDS, T j = j i R 0 (B (, T i ) p (, T i )) j p (, T j) xcds (12) où B (, T ) représene le prix d un zéro-coupon sans risque. Le prix du CDS correspond à la valeur x CDS qui annule la valeur présene du swap. Il es ainsi donné par : i P CDS = R 0 (B (, T i ) p (, T i )) j p ( ), T j Il es imporan de noer que le calcul du prix du CDS a éé réalisé en considéran que les deux conreparies de ce conra ne son pas soumises à un risque de défaillance. Le prix héorique du CDS ne fai inervenir que les zéro-coupons sans risque e les zéro-coupons risqués. Dans un objecif de calibraion par exemple, ils n apporen aucune informaion supplémenaire par rappor à la courbe des aux risqués. 5.3 Toal Reurn Swap Le TRS es un produi dérivé de crédi qui a renconré un grand succès auprès des invesisseurs, pour des raisons qui seron déaillées un peu plus loin.le TRS es en général adossé à un sous-jacen, une obligaion risquée par exemple, e ser en général à couvrir le risque de défau lié à l obligaion. On considère plus précisémen un TRS sur une obligaion risqué de valeur iniiale P 0 e payan des coupons fixes C aux daes (T i ) i. Le vendeur du TRS paie aux mêmes daes le aux Libor de enor δ 3, plus une marge consane, noée x. A ces paiemens réguliers s ajouen des flux visan à prendre en compe l appréciaion ou le dépréciaion de la valeur de marché du sous-jacen sur chaque période [T i 1 ; T i ]. En cas de survenance d un défau, le vendeur du TRS paie la différence enre la valeur P 0 iniialemen fixée e la valeur correspondan au recouvremen. Le pricing du TRS nécessie de faire ceraines hypohèses. Ainsi, on considèrera que le conra s arrêe dès lors qu un défau survien, e que les évènmens de défau ne son consaés qu en dae de règlemen, i.e. pour chaque T i. Si le défau a lieu enre deux daes T i 1 e T i consécuives, on considèrera que la valeur de l obligaion uilisée en T i es idenique à la valeur juse avan défau. On choisira de plus un aux de recouvremen L consan. 2 le risque éan celui de l émeeur de l obligaion risquée sous-jacene à la première opéraion. 3 on suppose que δ = T i T i 1 rese consan 29

La srucure même du TRS perme au vendeur du produi de bénéficier des flux financiers de l obligaion risquée sans en êre le déeneur, e cela avec un coû de financemen égal au aux Libor plus une marge. Le suivi du mark-o-marke de l obligaion risquée sous-jacene consiue un gage de sécurié pour l acheeur du TRS. Les différens flux auxquels donne lieu un TRS son ainsi les suivans : Tan qu il n y a pas de défau en dae T i : - Libor + marge : L (T i 1, T i 1 ) + x, fixé en dae T i 1 e payé en dae T i = T i 1 + δ - Coupon de l obligaion risquée : C payé en dae T i - Ecar en mark-o-marke sur la période [T i 1 ; T i ] : O (T i ) O (T i 1 ) Si il y a défau en T i : - Ecar enre la valeur recouvrée e la valeur en T i 1 : (1 L) O (T i ) O (T i 1 ) Le prix du TRS es alors donné par : T RS (, C, T i ) = i E Q exp i ( Ti r s ds) j i ( ) O (T i ) O (T i 1 ) 1 +δ (L (T i 1, T i 1 ) + x) + C {τ>ti } + ((1 L) O (T i ) O (T i 1 )) 1 {τ=ti } où τ es la noaion usuelle de l insan de défau. En uilisan la règle de pricing ainsi que le cadre HJM, il vien : T RS (, C, T i ) = C p (, T i ) + C p (, T j ) i i j i ( Ti ) ] C E [exp Q R s ds p (T i 1, T j ) F + i E Q [exp ( Ti ) ] R s ds (δ (L (T i 1, T i 1 ) + x)) F Ainsi, les deux derniers ermes doiven êre expliciés, car ils fon apparaîre respecivemen un erme de correcion de convexié, e un erme de corrélaion enre aux risqué e aux sans risque. 5.4 Opion sur zéro-coupon risqué On considère un call européen de maurié T e de srike K sur un zéro-coupon risqué de maurié T 1. On désigne par τ le emps d arrê associé au défau. La décomposiion de l opion en un couple de biens coningens s écri : Y = [(Z, T ) ; (Z, τ)] où Z = (p (T, T 1 ) K) +. La règle de pricing (3) donne alors la formule d évaluaion suivane de l opion, < τ : ( T ) ] V = E [exp Q R s ds (p (T, T 1 ) K) + F (13) G 30

où p (T, T 1 ) désigne le prix du zéro-coupon de maurié T, pris en T 1, sachan qu il n y a pas eu défau avan T. On supposera par la suie que < τ. Dès lors que l on dispose de cee formule de pricing, il va êre possible de ransposer les méhodes de pricing classiquemen uilisées pour les produis dérivés de aux d inérê. Cependan, il es inéressan de remarquer que la formule de pricing (13) consise à prendre l espérance de la parie des flux erminaux non affecée par le risque de défau, sous la probabilié risque-neure e sous le numéraire associé à R s. Ainsi, le numéraire uilisé n es pas celui qui es naurellemen associé à la probabilié risque-neure. Cela va induire un cerain nombre de différences par rappor aux méhodes classiques. On commence par écrire : ( T ) ] V = E [exp Q R s ds (p (T, T 1 ) K) 1 {p(t,t1) K} F D après la modélisaion HJM décrie au paragraphe précéden, on sai que : ( T ) ] p (, T ) = E [exp Q R s ds F avec de plus : dp (, T ) = p (, T ) R d + p (, T ) S (, T ) db () où B () es un mouvemen brownien sous Q, e en noan S (, T ) = T σ (, s) ds (cf. (11)). On réalise alors un premier changemen de probabilié forward, associé au zéro-coupon risqué de maurié T, qui prend forme suivane : avec : dq T dq F = L T () = p (, T ) p (0, T ) β () ( β () = exp 0 ) R s ds On réalise un changemen de probabilié similaire avec le zéro-coupon de maurié T 1, ce qui condui à définir la probabilié Q T 1. La suie des calculs sera déaillée pour le changemen de probabilié associée à Q T. Les mêmes développemens peuven êre menés pour Q T 1. La forme de la diffusion du zéro-coupon risqué (11) perme de déduire direcemen que : dl T () = L T () S (, T ) db () ce qui indique que le héorême de Girsanov s applique e que le processus défini par : es un mouvemen brownien sous Q T. db T () = db () S (, T ) d (14) 31

Les changemens de probabilié effecués permeen de simplifier la formule d évaluaion, qui devien : V = p (, T 1 ) E [ ] [ ] QT 1 1 {p(t,t1 ) K} F Kp (, T ) E Q T 1{p(T,T1 ) K} F (15) Comme il s agi de la première évaluaion d un produi dérivé de crédi, les calculs von êre déaillés. Ainsi, la première éape consise à opérer les changemens de probabilié sur l équaion de diffusion donnan le prix du zéro-coupon ( risqué ) avan défau. Plus précisémen, on va êre amené à s inéresser au processus p(,t1 ), e à ses diffusions p(,t ) R + respecivemen sous Q, Q T, e Q T 1. L applicaion du lemme d Iô donne direcemen : ( ) ( ) p (, T1 ) d = p (, T 1) d (p (, T 1 )) + p (, T 1 d 1) p(,t ) 1 + d p (., T 1 ) ; p (, T ) p (, T ) p (, T 1 ) p (, T ) p (., T ) 1 p(,t ) 1 On se place ou d abord sous la probabilié risque-neure Q. La diffusion de s obien p(,t ) de nouveau en appliquan Iô 4 : d ( 1 ) p (, T ) = 1 p (, T ) ( R S (, T ) 2) S (, T ) db () p (, T ) Cee dernière équaion perme de calculer : 1 d p (., T 1 ) ; = p (, T 1) p (., T ) p (, T ) S (, T ) S (, T 1) ( ) La diffusion de p(,t1 ) sous Q es alors donnée par : p(,t ) R + ( ) p (, T1 ) d = p (, T 1) ( S (, T ) 2 S (, T ) S (, T 1 ) ) d+ p (, T 1) p (, T ) p (, T ) p (, T ) (S (, T 1) S (, T )) db () Il suffi enfin d appliquer les deux changemens de probabilié définis précédemmen pour obenir : ( ) p (, T1 ) d = p (, T 1) p (, T ) p (, T ) (S (, T 1) S (, T )) db T () (16) ) qui représene la diffusion de sous Q T, e ( p(,t1 ) p(,t ) R + ( ) p (, T1 ) d = p (, T 1) p (, T ) p (, T ) (S (, T 1) S (, T )) 2 d + p (, T 1) p (, T ) (S (, T 1) S (, T )) db T 1 () ( ) (17) qui représene la diffusion de p(,t1 ) sous Q T 1. p(,t ) R + 4 avec la foncion f (x) = 1 x en noan que p (, T ) > 0. 32

La seconde éape consise à inégrer les équaions (16) e (17) enre e T. En uilisan le fai que p (T, T ) = 1, on obien : ( ) p (T, T 1 ) = p (, T T 1) p (, T ) exp (S (u, T 1 ) S (u, T )) db T (u) (S (u, T 1 ) S (u, T )) 2 du 1 2 T ainsi que : ( p (T, T 1 ) = p (, T T 1) p (, T ) exp + 1 2 (S (u, T 1 ) S (u, T )) dbt 1 (u) (S (u, T 1 ) S (u, T )) 2 du T ) On uilisera par la suie la noaion suivane : Σ (, T, T 1 ) = T (S (u, T 1 ) S (u, T )) 2 du. [ ] La dernière éape du calcul consise à résoudre expliciemen E QT 1{p(T,T1 ) K} F, en foncion de Σ (, T, T 1 ). Les calculs seron parfaiemen symériques pour le second erme. Ainsi, ] [ ] E QT 1{p(T,T1 ) K} F = E Q [1 T { ( ) } T F (S(u,T 1) S(u,T ))db T (u) ln K p(,t ) + 1 p(,t 1 ) 2 Σ(,T,T 1) Or, T (S (u, T 1 ) S (u, T )) db T (u) es une variable aléaoire gaussienne indépendane de F, e de loi N (0; Σ (, T, T 1 )), avec de plus p (, T ) e p (, T 1 ) F -mesurables, ce qui donne finalemen : ] [ ] E QT 1{p(T,T1 ) K} F = E Q [1 T { ( ) } T (S(u,T 1) S(u,T ))db T (u) ln K p(,t ) + 1 p(,t 1 ) 2 Σ(,T,T 1) soi avec d 1 = E QT [ 1{p(T,T1 ) K}] = Φ (d1 ) ( ) ln p(,t1 ) 1Σ (, T, T Kp(,T ) 2 1) Σ (, T, T1 ) En procédan de même pour le erme E QT 1 [ 1 {p(t,t1 ) K} F ], on obien la formule de pricing suivane : Lemma 2 Pricing d un call européen sur bond risqué Considérons un call européen de maurié T e de srike K sur un zéro-coupon risqué de maurié T 1. Alors, la règle de pricing éablie dans [2] donne la formule d évaluaion suivane : ( T ) ] V = E [exp Q R s ds (p (T, T 1 ) K) + F Par changemen de probabilié forward, le calcul explicie de V s effecue en foncion de Σ (, T, T 1 ) = T (S (u, T 1 ) S (u, T )) 2 du : V = p (, T 1 ) Φ (d 2 ) Kp (, T ) Φ (d1) 33

avec : e d 1 = d 2 = ( ) ln p(,t1 ) 1Σ (, T, T Kp(,T ) 2 1) Σ (, T, T1 ) ( ) ln p(,t1 ) + 1Σ (, T, T Kp(,T ) 2 1) Σ (, T, T1 ) La formule d évaluaion d une opion sur bond risqué va jouer un rôle imporan pour obenir les prix d aures produis dérivés de crédi. Cee formule a éé déduie en uilisan la règle de pricing définie dans [2], ainsi que des méhodes classiques de changemen de probabilié. Il es cependan inéressan de remarquer qu il ne s agi pas d un changemen de numéraire, mais seulemen d un changemen de probabilié forward (cf. (14)). 5.5 Opion sur obligaion risquée à coupon 5.6 Opion sur spread de crédi 5.6.1 Descripion du conra La secion suivane va développer le pricing de produis mis en vene sur le marché pour les Bradys Bonds argenin noammen. La méhodologie mise en oeuvre s appuie en parie sur le paragraphe 3.1 (pp. 713-717) de [2]. Ainsi, une opion européenne de vene sur spread de aux obligaaire enre emprun d Ea e obligaion risquée, ou credi yield-spread pu opion, se défini comme une opion de vendre l obligaion risquée avec un spread S par rappor à l obligaion du Trésor, prise comme acif sans risque de référence. Le aux obligaaire, ou yield, désigne ici le aux acuariel associé à une obligaion, que celle-ci soi ou non soumise à un risque de défau. Ainsi, dans une modélisaion en emps coninu, le yield s exprime comme : p (, T ) = exp ( (T ) Y (, T )) On suppose que l opion considérée a pour maurié T, e que les deux obligaions sous-jacene on même maurié, noée T m. Le pay-off à l échéance es donnée par : X T = max ( p ( Spr + Y (T, T m ), T ) p (Spr (T, T m ) + Y (T, T m ), T ) ; 0 ) où : p (Y (, T ), ) = exp ( (T ) Y (, T )) représene le prix du zéro-coupon associé au yield Y (, T ) en. Spr (, T ) représene quan à lui le spread de marché en, pour la maurié T. 34

5.6.2 Modélisaion La première éape imporane dans l évaluaion de ce produi consise à remarquer qu à priori, l émeeur de l opion es supposé sans risque de défau. La règle de pricing qui prévau es alors l évaluaion risque-neure classique au sens où : ( T ) ] P = E [exp Q r (s) ds X T F (18) en désignan par r (s) le aux sans risque. L évaluaion de ce produi va donc nécessié de définir les processus associés au aux sans risque e au aux risqué. Le spread de marché se défini en effe sans difficulé en foncion de ces deux aux, puisque, si on noe Y d (, T ) le yield associé à un zéro-coupon risqué, on a par définiion : p (Y (, T ) + s (, T ), ) = p (Y d (, T ), ) soi : Spr (, T ) = Y d (, T ) Y (, T ) (19) Le pay-off d un yield-spread pu fai inervenir deux aux : le aux sans risque e le aux risqué correspondan au spread sur lequel l opion es formée. Disposan de (19), il exise alors rois choix de modélisaion. Le premier consise à modéliser le aux risqué e le spread, ce qui perme de conserver une parie des résulas obenus au paragraphe précéden. Cee méhode se révèle cependan inadéquae, éan donné la forme du faceur d acualisaion dans (??). Une seconde approche, plus naurelle, serai de prendre les deux aux d inérê, puis d en déduire le spread. Ce choix es peu efficace en erme de pricing, car il va faire inervenir une différence enre les deux yield pour le calcul du spread, ce qui se révèlera peu facile d uilisaion. Ce dernier poin sera évoqué dans le paragraphe suivan. La bonne approche, ou pluô celle qui va se révéler êre la plus efficace pour l obenion des formules de pricing, consise à modéliser le aux sans risque e le spread. Dans le paragraphe suivan, on monrera pourquoi cee méhode es finalemen la plus naurelle, même si elle ne correspond pas exacemen aux développemens effecuués dans les apries précédenes. Conformémen au choix de modélisaion décri précédemmen, on se place dans un cadre HJM pour le aux sans risque, e on procèdera de même pour le spread de crédi. Cela revien à définir une srucure par erme pour les spreads, e à inroduire des noions ideniques à celles uilisées courammen pour les aux, comme par exmple le spread forward insanané, qui sera noé λ (, T ). Plus précisémen, on commence par définir la diffusion du prix du zéro-coupon sans risque, sous la probabilié risque-neure Q, par : dp (, T ) = p (, T ) r () d + p (, T ) S (, T ) dw () (20) avec T S (, T ) = σ (, s) ds 35

e de même pour la diffusion du aux forward sans risque sous Q : df (, T ) = σ (, T ) S (, T ) d + σ (, T ) dw () Afin d obenir la modélisaion de λ (, T ) sous Q, on commence par remarquer que : λ (, T ) = F (, T ) f (, T ) ce qui perme de déduire direcemen, en uilisan : la diffusion de λ (, T ) : df (, T ) = σ d (, T ) S d (, T ) d + σ d (, T ) dw () dλ (, T ) = (σ d (, T ) S d (, T ) σ (, T ) S (, T )) d + (σ d (, T ) σ (, T )) dw () (21) Il es enfin nécessaire de définir l équivalen d un zéro-coupon pour un aux, i.e. : ( T ) Π (, T ) = exp λ (, s) ds Il es alors inéressan de remarquer que : Π (, T ) = exp ( (T ) Spr (, T )) (22) Le Q-mouvemen brownien choisi dans la modélisaion es idenique pour les deux diffusions. Il s agi en fai d un mouvemen brownien de dimension d, avec la condiion suivane : d 2. Remark 1 Ce choix de modélisaion offre l avanage echnique de ravailler avec des browniens indépendans. En conreparie, la corrélaion enre les deux processus de prix modélisés n apparai pas expliciemen. Pour conclure ce paragraphe, on va préciser la diffusion de Π (, T ) sous Q. Celle-ci sera en effe rès uile pour déerminer le yield-spread, ( ) à l aide de (22). Plus précisémen, on va êre amener à calculer la diffusion de Π(,Tm), ce qui se révèle plus efficace. Cee Π(,T ) quanié représene l équivalen d un zéro-coupon forward de aux d inérê égal au spread. On par de : ( T ) Π (, T ) = exp λ (, s) ds = p d (, T ) p (, T ) d où : e enfin : ( ) Π (, Tm ) d Π (, T ) dπ (, T ) = Π (, T ) ( F (, ) r () + S (, T ) 2 S d (, T ) S (, T ) ) d +Π (, T ) (S d (, T ) S (, T )) dw () = Π (, T m) Π (, T ) ( S (, T m ) 2 + S d (, T ) 2 S d (, T m ) S (, T m ) S d (, T ) S (, T ) ) d (23) + Π (, T m) Π (, T ) ((S d (, T m ) S (, T m )) (S d (, T ) S (, T ))) dw () 36

5.6.3 Méhode e formule de pricing La première éape de pricing consise à réécrire (18) sous la forme : P = exp ( (T m T ) Spr ) [ ( exp ) T r (s) ds exp ( (T E Q m T ) Y (T, T m )) 1 {exp((tm T )(Y d (T,T m) Y (T,T m))) exp((t m T )S)} F [ ( exp ) ] T r (s) ds exp ( (T E Q m T ) Y d (T, T m )) 1 {exp((tm T )(Y d (T,T m) Y (T,T m))) exp((t m T )S)} F ] ce qui donne P = exp ( (T m T ) Spr ) ( T ) ] E [exp Q r (s) ds p (T, T m ) 1 {Yd (T,T m) Y (T,T m) Spr} F ( T ) ] E [exp Q r (s) ds p d (T, T m ) 1 {Yd (T,T m) Y (T,T m) Spr} F Cee formule de valorisaion fai apparaîre classiquemen deux ermes sous forme d espérances condiionnelles. Cependan, le second erme inrodui un problème nouveau, puisqu il s agi de calculer l espérance, acualisée sous le numéraire risque-neure, de flux fuurs soumis au risque de crédi. Il es en pariculier inéressan de remarquer la différence enre ce dernier erme e la règle de pricing uilisée au paragraphe précéden. On commence par ravailler sur l expression précédene afin de mere en évidence une ceraine symérie e de se rapprocher de méhodes classiques de pricing : P = exp ( (T m T ) Spr ) ( T ) ] E [exp Q r (s) ds p (T, T m ) 1 {Spr(T,Tm) Spr} F ( T ) ] E [exp Q r (s) ds p (T, T m ) exp ( (T m T ) Spr (T, T m )) 1 {Spr(T,Tm) Spr} F La echnique consise ensuie à effecuer un changemen de probabilié afin de se ramener à la probabilié forward-neure associée ( au zéro-coupon sans risque de maurié T m, en remarquan que p (T, T m ) = E [exp Q ) ] T m r (s) ds F T T e que les aures ermes figuran dans les deux espérances son F T - mesurables : P = exp ( (T m T ) S ) ( Tm ) ] E [exp Q r (s) ds 1 {S(T,Tm) S} F ( Tm ) ] E [exp Q r (s) ds exp ( (T m T ) S (T, T m )) 1 {S(T,Tm) S} F d où en appliquan le changemen de probabilié : P = exp ( (T m T ) Spr ) p (, T m ) E [1 QTm {Π(T,T m Π)} F ] p (, T m ) E [Π QTm (T, T m ) 1 {Π(T,T m Π)} F ] (24) 37

en noan Π = exp ( (T m T ) Spr ). Le changemen de probabilié effecué s écri expliciemen comme : dq Tm dq F = p (, T m) p (0, T m ) β e l applicaion du héorême de Girsanov donne direcemen que le processus défini par : dw Tm () = dw () S (, T m ) d es un mouvemen brownien ) sous Q Tm. Ce changemen de probabilié se ransme à la diffusion de, qui devien (cf. (23)) : d en noan : ( Π(,Tm) Π(,T ) ( ) Π (, Tm ) = µ (, T, T m ) Π (, T m) Π (, T ) Π (, T ) d + ψ (, T, T m) Π (, T m) Π (, T ) dw Tm () µ (, T, T m ) = S d (, T ) 2 S d (, T ) S (, T m ) + S (, T ) S (, T m ) S d (, T ) S (, T ) ψ (, T, T m ) = (S d (, T m ) S (, T m )) (S d (, T ) S (, T )) Cee dernière équaion s inègre facilemen enre e T, pour donner : ( Π (T, T m ) = Π (, T T m) Π (, T ) exp ( µ (u, T, Tm ) 1 2 ψ (u, T, T m) 2) du + T ψ (u, T, T m ) dw Tm (u) ) e on remarque que : Π (, T m ) Π (, T ) = pf d (, T, T m) p f (, T, T m ) en désignan par p f (, T, T m ) le zéro-coupon forward vu de, pour la période [T, T m ]. Par conséquen, on s es ramené à des calculs d espérances condiionnelles pour des processus log-normaux. La suie des calculs es donc relaivemen classique. Lemma 3 Pricing d un yield-spread pu opion Soi un pu européen de maurié T sur le spread de aux acuariel, ou yield, enre un zéro-coupon risqué e un zéro-coupon sans risque, ou deux de maurié T m. S désignan le srike en yield-spread, la règle de pricing risque-neure classique, applicable si on considère que l émeeur de l opion n es pas soumis au risque de défau, donne : ( T ) ] P = E [exp Q r (s) ds X T F Par changemen de probabilié forward, le calcul explicie de P s effecue en foncion de Σ 2 (, T, T m ) = T ψ (u, T, T m ) 2 du : 38

avec e P = exp ( (T m T ) Spr ) p (, T m ) N (d 1 ) p (, T m ) pf d (, T, T ( T ) m) p f (, T, T m ) exp µ (u, T, T m ) du N (d 2 ) d 1 = ( ) ln Spr pf (,T,T m) T µ (u, T, T p f d (,T,Tm) m ) du + 1 2 Σ2 T,T m Σ (, T, T m ) d 2 = d 1 Σ (, T, T m ) 39

6 Une méhode de calage par ACP 6.1 Inroducion Ne disposan pas de prix de produis dérivés de crédi (prix d opions en pariculier), mais disposan de données de spread e de aux (cf précédemmen), nous avons fai le choix de réaliser un calage du modèle par ACP. Pour ce qui es du choix du modèle, les résulas de l analyse en composanes pricipales on permis de consaer que deux faceurs permeaien d expliquer dans les deux cas éudiés plus de 85 % des déformaions de la courbe des aux. Compe-enu du cadre HJM dans lequel nous nous sommes placés depuis le débu de l éude, nore choix s es donc ourné naurellemen vers un modèle HJM risqué à deux faceurs. Il n exise pas de consensus général sur le ype de faceurs à adoper, néanmoins il paraî esseniel d adoper un modèle markovien afin de simplifier grandemen les echniques de calcul e il paraî égalemen esseniel que les faceurs choisis puissen raduire les résulas de l ACP. Remark 2 Nous aurions pu, afin d êre encore plus en adéquaion avec les résulas empiriques de l ACP, considérer ou aussi bien rois sources d inceriudes, ce qui correspondrai dans ce cadre précis à l exisence de rois faceurs markoviens affecan la courbe des aux d inérê. Les développemens héoriques ci-après n en seraien pas modifiés. L inérê d un roisième faceur apparai néanmoins limié au vu des résulas de l ACP puisque celui-ci explique oujours moins de 10% des déformaions de la courbe. En oure, ce ajou compliquerai le calage du modèle puisque deux nouveaux paramères apparairaien. 6.2 Modélisaion via deux faceurs Comme nous l avons vu dans une parie précédene, deux faceurs se dessinen clairemen dans les résulas de l ACP : un premier faceur de niveau affecan de manière semblable les aux de même maurié e un deuxième faceur de roaion, pivoemen où s échelonnen les aux suivan leurs mauriés. Compe-enu de ces résulas, les deux faceurs que nous avons reenus dans le cadre HJM risqué son un faceur Ho-Lee e un faceur Vasicek. En écrivan le processus de diffusion suivi par le aux zéro-coupon risqué, on comprendra mieux ce choix. Tou d abord, en imposan dans le cadre HJM le choix d un faceur Ho-Lee e d un faceur Vasicek (c es-à-dire avec une foncion de volailié des aux à erme insananés respecivemen du ype σ Ho Lee (, T ) = σ 1 e σ V asicek (, T ) = σ 2 e λ(t ) ) le prix du zéro-coupon risqué sui sous Q, avec les noaions précédenes, le processus lognormal suivan : soi : dp (, T ) p (, T ) = R d σ 1 (T )db 1 () ( T σ 2 e λ(s ) ds)db 2 () dp (, T ) p (, T ) = R d σ 1 (T )db 1 () σ 2 λ (1 e λ(t ) )db 2 () 40

E le aux zéro-coupon Y (, T ) = 1 d Iô : dy (, T ) = 1 T + 1 1 2 T soi, après simplificaions : T ln(p(, T )) vérifie, en appliquan le lemme dp (, T ) p (, T ) 1 d < p(, T ) > (p(, T )) 2 ln(p(, T ))d (T ) 2 dy (, T ) = R T d + σ σ 2 1dB 1 () + λ(t ) (1 e λ(t ) )db 2 () e finalemen : 1 (T ) ln(p(, T ))d + 1 σ 2 2 2 [σ2 2 1(T ) + λ 2 (T ) [1 e λ(t ) ] 2 ]d dy (, T ) = ( R T 1 ln(p(, T )) (T ) 2 + 1 σ 2 2 [σ2 2 1(T ) + λ 2 (T ) [1 e λ(t ) ] 2 ])d + α 1 ()db 1 () + α 2 ()db 2 () avec α 1 (, T ) = σ 1 e α 2 (, T ) = σ 2 λ(t ) [1 e λ(t ) ]. On remarque alors que α 1 () (provenan du faceur Ho-Lee ) qui es consan, affece de la même façon les aux zéro-coupons quelle que soi la maurié e es donc bien un faceur de niveau, e que α 2 () (provenan du faceur Vasicek ) s apparene à un faceur de pivoemen. 6.3 Méhode de calage uilisan les résulas de l ACP 6.3.1 Cadre héorique dr(,θ k ) dr(.,θ k ) T σdr(.,θk ) Disposan de données e d un modèle pour les aux risqués, nous avons réalisé une analyse en composanes principales sur les aux pris en variaions (quoidiennes), l inérê éan de pouvoir caler le modèle reenu en foncion des résulas de l ACP. L idée du calage es la suivane : on considère pour une maurié donnée les aux en variaions dr(, θ k ) = R( + 1, θ k ) ( R(, θ k ), l ACP) va normaliser ces aux, c esà-dire considérer dr = (dr k ) [1..T ] = [1..T ] avec T représenan le k [1..K] k [1..K] nombre de daes disponibles e K le nombre de mauriés. L ACP va permere d écrire dr(, θ k ) = dr(., θ k ) + K l=1 T σdr(.,θk ) λl V l U lk avec (U kl ) 1 k,l K es la marice des veceurs propres de dr T dr (marice de corrélaion des variaions de aux). Ceci peu se réécrire dr(, θ k ) = dr(., θ k )+ K l=1 c lkc l (en posan c lk = T σ dr(.,θk ) λl U lk e V l = C l. C l es alors la l ième composane principale e c lk la coordonnée du aux en variaion de maurié θ k sur le l ième axe facoriel. 41

On peu finalemen écrire : dr(, θ k ) = dr(., θ k ) + M c lk C l + ε lk l=1 avec M nombre d axes facoriels reenus e ε lk le erme résiduel jugé non explicaif des déforamions de la courbe. On voi donc que le calage va consiser en une idenificaion des composanes α 1 (, T ) e α 2 (, T ) de dy (, T ) suivan les browniens db 1 () e db 2 () avec les composanes de ce même dy (, T ) suivan les axes principaux issus de l ACP, on pourra alors en déduire les paramères du modèle à savoir : σ 1, σ 2 e λ. 6.3.2 Applicaion Les données don nous disposons son : des données quoidiennes sur deux ans (1998 2000) de spead sur l indusrie américaine (aux de swap sans risque - aux d émission obligaaire des corporaes) pour différenes mauriés 2 ans, 5 ans, 10 ans, 15 ans, 20 ans, 30 ans e classées par raings, e des données hebdomadaires sur l année 2000 de aux obligaaires de l émeeur Philip Morris pour les mauriés 2 mois, 6 mois, 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6 ans, 7 ans, 8 ans. Après avoir réécri les données en variaions (quoidiennes pour les spread sur l indusrie américaine, hebdomadaires pour l émeeur Philip Morris), nous avons effecué des ACP en prenan les mauriés comme variables acives. Une première ACP a éé lancée sur les données de spead de l indusrie américaine pour le raing AAA e une deuxième ACP sur les données de aux obligaaires Philip Morris. Les résulas de ces ACP qui nous avaien permis dans un premier emps d isoler deux faceurs prépondérans de niveau e de pivoemen, von cee fois êre uilisés pour déerminer les coordonnées des variables acives (les mauriés) suivan les axes principaux (c 1k e c 2k avec nos noaions) e l on pourra ainsi procéder au calage des paramères de la façon suivane : (σ 2, λ 2) = Arg min σ 1 = Arg min σ 1 K σ 2,λ 2 T =1 K T =1 σ 2 (σ 1 c 1,T ) 2 ( λ(t ) [1 e λ(t ) ] c 2,T ) 2 Pour le calage de σ 1, il es clair qu on aura σ 1 = c 1,T (c es-à-dire la moyenne arihméique des coordonnées sur le premier axe), quan au calage de σ 2 e λ 2, une résoluion par l algorihme de Newon ou du gradien perme d abouir aux résulas suivans, pour un calage du modèle effecué sur les données Philip Morris : 1 er coefficien : σ 1 2ème coefficien : σ 2 3ème coefficien : λ RMSE 0.82 1.27 5.47 0.775 42

6.3.3 Conclusion On peu ou d abord regreer de ne pas avoir eu à nore disposiion plus de données de aux zéro-coupons risqués e surou des données de prix qui nous auraien permis de pouvoir comparer les résulas issus du calage avec des prix de marché. On peu égalemen faire une aure remarque : le modèle el que nous l avons écri es un modèle sur les aux zéro-coupons risqués e non sur les spreads or nous avons effecué une ACP sur les spreads (pour les données sur l indusrie américaine). L idée éai simplemen de eser le fai qu on puisse avoir des résulas similaires. Il s avère que même si l ACP effecuée sur les spreads fai appaîre les mêmes ypes de faceurs que pour l ACP sur les aux risqués (faceur de niveau e de pivoemen ), le calage es bien plus insable que pour celui effecué sur les aux (rès grande insabilié des algorihmes de Newon e du gradien, en foncion du poin iniial) 43

7 Annexes 7.1 Annexe 1 : Diffusion du zéro-coupon risqué Lemma 4 Soi Q la probabilié risque-neure, on suppose que la dynamique des aux forward insanané es donnée par : df (, T ) = µ (, T ) d + σ (, T ) db () le prix du zéro-coupon associé, sous Q en es donné par : dp (, T ) p (, T ) = S (, T ) = [ T T µ (, s) ds + F (, ) + 1 2 S (, T )2 ] d + S (, T ) db () σ (, s) ds ( Proof. On par de la relaion p (, T ) = exp ) T F (, s) ds pose Z (, T ) = T F (, s) ds. En inégran (5), on obien : e de l équaion (5). On D où : F (, s) = F (0, s) + µ (u, s) du + 0 0 σ (u, s) db (u) (25) T T Z (, T ) = F (0, s) ds 0 µ (u, s) duds T En permuan les inégrales doubles e en les décomposan, on obien : T Z (, T ) = + T F (0, s) ds F (0, s) ds + T 0 u T On remarque ensuie que Z (0, T ) = T 0 F (s, s) = F (0, s) + Enfin, on remarque que 0 ce qui perme de conclure : Z (, T ) = Z (0, T ) + 0 s 0 u µ (u, s) dsdu µ (u, s) duds + 0 T 0 u T u σ (u, s) db (u) ds σ (u, s) dsdb (u) σ (u, s) dsdb (u) F (0, s) ds, puis avec F (s, s) dans (25) : µ (u, s) du + u α (u, s) dsdu = 0 F (s, s) ds T 0 u s 0 σ (u, s) db (u) s α (u, s) duds en appliquan Fubini, 0 µ (u, s) dsdu T 0 u σ (u, s) dsdb (u) 44

On a alors direcemen : dz (, T ) = S (, T ) = [ T F (, ) T σ (, s) ds ] µ (, s) ds d S (, T ) db () Or, Z (, T ) e p (, T ) son reliés par la relaion : Z (, T ) = ln (p (, T )), ou encore p (, T ) = exp (Z (, T )). On peu alors calculer la diffusion de p (, T ), par Iô : [ T dp (, T ) = p (, T ) µ (, s) ds + F (, ) + 1 ] 2 S (, T )2 d + p (, T ) S (, T ) db () 45

7.2 Annexe 2 : ACP sur aux risqués Cee annexe reprend les aides à l inerpréaion données par SAS pour l ACP menée sur les aux risqué en variaions hebdomadaires, pour l émeeur Philip Morris. La gamme de mauriés suivane a éé uilisée : 2 mois, 6 mois, 1 an, 2 ans, 3 ans, 4 ans, 5 ans, 6 ans, 7 ans, 8 ans. Fig. 7 Aides à l inerpréaion Axes 1 & 2 46

7.3 Annexe 3 : ACP sur spread de crédi Cee annexe reprend les résulas de l ACP menée sur les spreads de crédi, conre aux de swap US, en variaion quoidienne, pour le seceur indusrie américaine. On présene successivemen le ableau des valeurs propres, le premier cercle des corrélaions e les aides à l inerpréaion données par SAS. La gamme de mauriés suivane a éé uilisée : 2 ans, 5 ans, 10 ans, 15 ans, 20 ans, 30 ans. 7.3.1 ACP pour la classe de raing AAA Fig. 8 Tableau des valeurs propres : classe de raing AAA 47

1 er cercle des corrélaions : classe de raing AAA 48

Fig. 9 Aides à l inerpréaion Axes 1&2 : classe de raing AAA 7.3.2 ACP pour la classe de raing BBB1 Fig. 10 Tableau des valeurs propres : classe de raing BBB1 Fig. 11 Aides à l inerpréaion Axes 1&2 : classe de raing BBB1 49

1 er cercle de corrélaion : classe de raing BBB1 50

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