Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2 = i i n x 2 i ; x = sup x i. i i n 1 Fonctions de plusieurs variables réelles Fonction f : U R n R p (U est ouvert de R n ). Définition 1.1 f admet une limite en a U s il existe l R p tel que S il existe, l est unique et on note l = lim x a. ε > 0, α > 0, x R n, x a < α = f(x) l < ε. {f l, l = lim x a f} est un R-espace vectoriel ; φ : f lim x a f est linéaire. Définition 1.2 f est continue en a U si lim x a f(x) = f(a). On note f C 0 (a). {f f C 0 (a)} est un R-espace vectoriel. Si f est linéaire, f est continue (en particulier, si f est une projection, f est continue). Définition 1. f admet des fonctions partielles associées à f au point a = (a 1,...,a n ) U : f (a) i : x i f(a 1,...,a i 1, x, a i+1,...,a n ). f admet une limite au point a = f (a) i admet une limite en a i. Mais la réciproque est fausse. f C 0 (a) = f (a) i C 0 (a i ). Mais la réciproque est fausse. Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France 1

Définition 1.4 f admet un développement limité d ordre 2 en a U si L forme linéaire, q forme quadratique, f(a + h) = f(a) + L(h) + q(h) + φ(h) avec φ(h) = o( h 2 n(n+1) n+ ), i.e. (α 1,...,α n, ω 1,1, ω 1,2,...,ω n,n ) R 2 tels que avec φ(h) = o( h 2 ). f(a 1 + h 1,...,a n + h n ) = f(a 1,...,a n ) + 1 i n α i h i + 1 i j n ω i,j h i h j + φ(h) 2 Différentielle Fonction f : U R n R p (U est ouvert de R n ). Définition 2.1 f est différentiable en a (on note f Diff(a)) si L forme linéaire, h, f(a + h) = f(a) + L(h) + φ(h) avec φ(h) = o( h ). De façon équivalente, ε > 0, α > 0, h, h < α = f(a + h) f(a) L(h) < ε h. df a. L application L, si elle existe, est unique et est appelée la différentielle de f au point a U. On la note Lorsque f est différentiable en a U et que la différentielle de f est continue en a U, on dit que f est continûment différentiable en a (on note f C 1 (a)). L = df a est linéaire de U dans R p. Mais attention, la différentiabilité et L ne dépendent pas du choix des normes. f Diff(a) = f C 0 (a). {f f Diff(a)} est un R-espace vectoriel ; φ : df a est linéaire. f C 1 (a) df a C 0 (a). Définition 2.2 On dit que f admet une dérivée dans la direction u (u est tel que u = 1), s il existe lim λ 0 f(a+λu) f(a) λ = u (a). Si f Diff(a), alors f admet des dérivées dans toutes les directions et u (a) = df a(u). Mais la réciproque est fausse. 2/12 Mathématiques

Exemples d applications différentiables Si f est linéaire, df a = f. Si f : U R 2 R p est bilinéaire, df a1,a 2 (h 1, h 2 ) = f(a 1, h 2 ) + f(h 1, a 2 ). Si f : U R R p, f Diff(a) f D(a) et hf (a) = df a (h). Si f : U R n R p, f Diff(a) i, f i Diff(a) et df a (h) = (df 1a (h),..., df pa (h)) avec f = (f 1,...,f p ). Dans le cas particulier où n = 1, f (a) = (f 1 (a),..., f p(a)). 4 Différentielle de la composée de deux applications U R n Proposition 4.1 f R p g R q. f Diff(a), g Diff(f(a)) = g f Diff(a) et f C 1 (a), g C 1 (f(a)) = g f C 1 (a). d(g f) a = dg f(a) df a. 5 Différentielle du produit et du quotient de deux applications Proposition 5.1 Si f Diff(a), g Diff(a), alors fg Diff(a) et d(fg) a = f(a)dg a + g(a)df a. Proposition 5.2 Si f Diff(a), g Diff(a) et si g ne s annule pas dans un voisinage de a, alors f g Diff(a) et d( f g ) a = g(a)df a + f(a)dg a (g(a)) 2. 6 Dérivées partielles Définition 6.1 On dit que f admet une dérivée partielle d indice i si f (a) i est dérivable au point a i. (a) = (f (a) i ) f(a 1,...,a i 1, a i + ρ, a i+1,...,a n ) f(a 1,...,a n ) (a i ) = lim. ρ 0 ρ f Diff(a) = f admet en a des dérivées partielles à tous les indices et df a (h) = 1 i n h i (a). Mais, la réciproque est fausse. f admet en a des dérivées partielles continues à tous les indices = f Diff(a). Mais, la réciproque est fausse. f C 1 (U) i, C 0 (U). /12 Mathématiques

7 Matrice jacobienne Définition 7.1 J f (a) donnée par J f (a) = est appelée matrice jacobienne de f au point a. 1 x 1 (a).... p x 1 (a)... 1 x n (a). p x n (a), Cas particuliers. p = 1, df a (h) = 1 i n h i (a). n = 1, f (a) = 1 i n f i (a)e i. n = p, det(j f (a)) = j f (a) = D(f 1,...,f n) D(x 1,...,x n). Proposition 7.1 U R n f R p g R q. Si f Diff(a) et si g Diff(f(a)), Proposition 7.2 (formule de changement de variable). J g f (a) = J g (f(a)) J f (a). (g f) i (a) = g i (f(a)) k (a) x l k x l 1 k p 8 Difféomorphismes f : U R n V R n. Dans cette section, p = n. Définition 8.1 Φ est un difféomorphisme si c est une bijection différentiable ainsi que Φ 1. Soit Φ est un difféomorphisme. Pour tout a U, la matrice jacobienne J Φ (a) est inversible et J Φ 1(Φ(a)) = (J Φ (a)) 1. Soit Φ est un difféomorphisme. Pour tout a U, le jacobien j φ (a) ne s annule pas et j Φ 1(Φ(a)) = 1 j Φ (a)). Définition 8.2 Φ est un C 1 -difféomorphisme si c est une bijection de classe C 1 ainsi que Φ 1. Soit Φ est un C 1 -difféomorphisme. Alors, l application a j φ (a) est continue. Proposition 8.1 théorème d inversion locale. Soit U un ouvert de R n, et f : U R n une application de classe C 1 dans U telle que J f (a) soit inversible. Alors, il existe un voisinage W 1 de a et un voisinage W 2 de f(a) tel que la restriction de f à W 1 soit un C 1 -difféomorphisme de W 1 sur W 2. 4/12 Mathématiques

9 Formule des accroissements finis f : U R n R. Dans cette section, p = 1 et U est convexe. Proposition 9.1 Si f Diff(U), θ ]0, 1[ tel que Proposition 9.2 f(a + h) f(a) = 1 i n h i (a + θh) Si df est bornée (i.e. M R + tel que x U, (x) M), alors inégalité des accroissements finis. K R +, (a, b) U 2, f(b) f(a) k b a. 10 Dérivées successives, fonctions de classe C k f : U R n R. Dans cette section, p = 1. Définition 10.1 Si l application a (a) admet en a une dérivée partielle d indice j, on la note dérivée partielle seconde de f en a. 2 f x j (a). C est une Proposition 10.1 théorème de Schwarz. Si f admet des dérivées partielles secondes a et si ces dérivées partielles sont continues en a, alors Définition 10.2 2 f x j (a) = 2 f x j (a). On définit par récurrence les dérivées partielles successives si elles existent. 2 f x j et 2 f x j dans un voisinage de Si f admet sur U des dérivées partielles continues jusqu à l ordre k, on dit que f est de classe C k dans U. On peut alors intervertir l ordre des dérivations. 11 Formules de Taylor-Lagrange et de Taylor-Young, développements limités f : U R R. Dans cette section, n = et p = 1. 5/12 Mathématiques

Proposition 11.1 formule de taylor-lagrange. Si f est de classe C ρ, alors il existe θ ]0, 1[ tel que Proposition 11.2 f(a + h) f(a) = + 1 ρ! 1 k ρ 1 1 k! α 1 +α 2 +α =ρ α 1 +α 2 +α =k k! α 1!α 2!α! hα 1 1 hα 2 ρ! α 1!α 2!α! hα 1 1 hα 2 2 hα 2 hα x α 1 1 xα 2 k f (a) 2 xα x α 1 1 xα 2 ρ f (a + θh). 2 xα formule de taylor-young. Si f est de classe C ρ, alors il existe une fonction φ telle que avec φ(h) = o( h ρ ). Proposition 11. f(a + h) f(a) = 1 k ρ 1 k! α 1 +α 2 +α =k k! α 1!α 2!α! hα 1 1 hα 2 2 hα k f (a) + φ(h). 2 xα x α 1 1 xα 2 Si f est de classe C 2 dans U, alors f admet en tout a U un développement limité à l ordre 2 fourni par la formule de Taylor-Young f(a + h) = f(a) + L(h) + q(h) + o( h 2 ). où et q(h) = 1 2 ( 2 f h 2 1 x 2 1 + h 2 2 f 2 x 2 2 L(h) = + h 2 ( ) h 1 + h 2 + h (a) x 1 x 2 x x 2 [ 2 f 2 f + 2 h 1 h 2 + h 2 h + h h 1 x 1 x 2 x 2 x x x 1 ]) (a). 12 Extrema f : U R n R. Dans cette section, p = 1. Définition 12.1 On dit que f admet un maximum (respectivement minimum) relatif en a U s il existe un voisinage V de a tel que x V, f(x) f(a) (repsctivement f(x) f(a)). Le maximum (respectivement minimum) est dit strict si Proposition 12.1 x V \{a}, f(x) f(a). Si f est exrtemum en a et différentiable en a, alors df a = 0. En particulier, si U = R n, pour que f présente un extremum relatif en a, il est nécessaire que (a) = 0. La réciproque est fausse. Cas où n = 2. On suppose que f est une application de classe C 2 d un ouvert U de R 2 et a U est choisi tel que x (a) = y (a) = 0. On note alors r(a) = 2 f (a), s(a) = 2 f x 2 x y (a) et t(a) = 2 f (a) et y 2 δ(a) = (s 2 rt)(a). 6/12 Mathématiques

Si δ(a) < 0, a est un extremum relatif pour f (maximum si r(a) < 0 ; minimum si r(a) > 0). Si δ(a) > 0, a n est pas un extremum relatif, mais un col pour f (tout voisinage de a contient x et y tels que f(x) < f(a) < f(y)). Si δ(a) = 0, on ne peut conclure. Cette discussion résume de l étude de la signature de la forme quadratique q(x, y) = r(a)x 2 + 2s(a)xy + t(a)y 2. 1 Fonctions implicites f : U R R. Dans cette section, n = et p = 1. Proposition 1.1 théorèmes des fonctions implicites Si f C 1 (U), et que (a, b, c) U est tel que f(a, b, c) = 0 et z (a, b, c) 0, alors il existe un voisinage V de (a, b, c), un voisinage W de (a, b) et une fonction φ : W R de classe C 1 vérifiant c = φ(a, b) et (x, y, z) V, f(x, y, z) = 0 (x, y) W, z = φ(x, y), alors 0. φ x (x, y) = x z (x, y, φ(x, y)) et φ y y (x, y) = (x, y, φ(x, y)). z Autrement dit, on peut résoudre localement l équation f(x, y, z) = 0. Les relations concernant les dérivées partielles s obtiennent par dérivation de la relation f(x, y, φ(x, y)) = 14 Gradient, divergence, laplacien, rotationnel Soit U un ouvert d un espace vectoriel euclidien E, de dimension. Définition 14.1 Un champ scalaire défini sur U est un application φ : U R. Un champ vectoriel défini sur U est un application V : U E. Ces définitions s étendent à un espace affine euclidien moyennant le chiox d une origine. On dit que le champ scalaire ou vectoriel est continu (respectivement différentiable, respectivement de classe C k ) si φ ou V est continu (respectivement différentiable, respectivement de classe C k ). 14.1 Gradient d un champ scalaire φ est un champ scalaire différentiable dans U. Définition 14.2 Le vecteur φ i+ φ j + φ k est indépendant de la base orthonormée ( i, j, i j k) choisie. On l appelle le gradient k du champ φ et on le note grad φ. 7/12 Mathématiques

Proposition 14.1 Si u = x i + y j + z k et qu on note φ( u) = Φ(x, y, z), on a alors Propriétés du gradient. φ grad φ est linéaire. grad φ = Φ x i + Φ y j + Φ z k. Si φ 1 et φ 2 sont deux champs scalaires différentiables, grad (φ 1 φ 2 ) = φ 1 grad φ2 + φ 2 grad φ1. 14.2 Divergence d un champ vectoriel V est un champ vectoriel différentiable dans U. Définition 14. Le réel i V i + j V j + k V k est indépendant de la base orthonormée ( i, j, k) choisie. On l appelle divergence du champ V et on le note div V. Proposition 14.2 Si u = x i + y j + z k et qu on note V ( u) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, on a alors Propriétés de la divergence. V div V est linéaire. div V = P x + Q y + R z. Si φ est un champ scalaire différentiable et si V est un champ vectoriel différentiable, div (φ V ) = φdiv V + V grad φ. 14. Laplacien d un champ scalaire φ est un champ scalaire de classe C 2 dans U. Définition 14.4 Le réel (div grad)(φ) est indépendant de la base orthonormée ( i, j, k) choisie. On l appelle le laplacien du champ φ et on le note φ. Proposition 14. Si u = x i + y j + z k et qu on note φ( u) = Φ(x, y, z), on a alors Propriétés du laplacien. φ φ est linéaire. φ = 2 Φ x 2 + 2 Φ y 2 + 2 Φ z 2. Si φ 1 et φ 2 sont deux champs scalaires de classe C 2, (φ 1 φ 2 ) = φ 1 φ 2 + φ 2 φ 1 + 2 grad φ 1 grad φ2. 8/12 Mathématiques

14.4 Laplacien d un champ vectoriel V est un champ vectoriel de classe C 2 dans U. Définition 14.5 Le vecteur ( grad div)( V ) est indépendant de la base orthonormée ( i, j, k) choisie. On l appelle le laplacien du champ V et on le note V. Proposition 14.4 Si u = x i + y j + z k et qu on note V ( u) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, on a alors Propriétés du laplacien. V V est linéaire. V = P i + Q j + R k. Si φ est un champ scalaire de classe C 2 et si V est un champ vectoriel de classe C 2, (φ V ) = φ V + V φ + 2div V grad φ. 14.5 Rotationnel d un champ vectoriel E est, dans cette sous-section, orienté. V est un champ vectoriel différentiable dans U. Définition 14.6 ( ) ( ) ( ) Le vecteur i V + j V + k V i j est indépendant de la base orthonormée ( i, j, k) choisie. On k l appelle le rotationnel du champ V et on le note rot V. Proposition 14.5 Si u = x i + y j + z k et qu on note V ( u) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, on a alors ( rot V R = y Q ) ( P i + z z R ) ( Q j + x x P ) k = y Propriétés du rotationnel. V rot V est linéaire. x y z P Q R Si φ est un champ scalaire différentiable et si V est un champ vectoriel différentiable, rot (φv ) = φ rot V + grad φ V.. 15 Champ de gradient, champ de rotationnel Définition 15.1 Un champ vectoriel V défini sur un ouvert connexe U est un champ de gradient s il existe un champ scalaire φ différentiable sur U (appelé potentiel scalaire de V ), tel que V = grad φ. 9/12 Mathématiques

Deux potentiels scalaires de V diffèrent d une constante. Pour tout réel λ, l ensemble des points M tels que φ(m) = λ est appelée surface équipotentielle. Si V C 1 (U), la condition rot V = 0 est nécessaire pour que V soit un champ de gradient car rot grad φ = 0. Cette condition devient suffisante lorsque U est convexe. Si u = x i + y j + z k et qu on note V ( u) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, la condition précédente (i.e. rot V = 0) équivaut à R y Q z = 0 ; P z R x = 0 ; Q x P y = 0. Dans la pratique, si V vérifie rot V = 0, on écrit φ φ φ x = P, y = Q et z = R, puis on intègre l une des équations pour obtenir par exemple, φ(x) = x x 0 P(t, y, z)dt + λ(y, z) que l on dérive pour écrire Q = φ y, ce qui donne une condition sur λ. Définition 15.2 Un champ vectoriel V défini sur un ouvert connexe U est un champ de rotationnel s il existe un champ vectoriel Ω différentiable sur U (appelé potentiel vecteur de V ), tel que V = rot Ω. Deux potentiels vecteurs de V diffèrent d un gradient. Si V C 1 (U), la condition div V = 0 est nécessaire pour que V soit un champ de rotationnel car div rot Ω = 0. Dans la pratique, pour déterminer les potentiels vecteurs Ω = P i + Q j + R k, on cherche une solution particulière Ω 0 dont on fixe arbitrairement l une des composantes à 0, puis Ω 0 + grad φ (où φ est un champ scalaire arbitraire de classe C 2 ) est aussi un potentiel vecteur. 16 Formes différentielles de degré un U R n. Définition 16.1 Une forme différentielle de degré un sur U est une application ω de U dans l ensemble des applications linéaires de R n dans R. Soit a U et h = (dx 1,...,dx n ) R n, on a : ω(a)(h) = P i (a)dx i. 1 i n Pour que la forme différentielle ω soit de classe C k dans U, il faut et il suffit que chaque P i le soit. Si f : U R est différentiable dans U, l application df : a df a est un exemple de forme différentielle de degré un. 10/12 Mathématiques

Définition 16.2 Une forme différentielle ω est exacte sur U s il existe f de classe C 1 dans U telle que df = ω (f est une primitive de ω et si U est connexe, deux primitives de ω diffèrent d une constante). Définition 16. Une forme différentielle ω = Pdx + Qdy + Rdz de degré 1 et de classe C 1 dans U est fermée si R y Q z = 0 ; P z R x = 0 ; Q x P y = 0. Toute forme exacte est fermée. La réciproque est vraie si U est convexe. Si on regarde P, Q et R comme les composantes d un champ vectoriel V = P i + Q j + R k, alors ω est fermée rot V = 0. ω est exacte et φ est une primitive de ω V est un champ de gradient et φ est un potentiel scalaire de V. Définition 16.4 Un champ scalaire µ est un facteur intégrant de la forme différentielle ω si la forme µω est fermée. Définition 16.5 ω = Pdx + Qdy est une forme différentielle de degré un et de classe C 1 dans U, W un ouvert de R 2 et φ : W = U un changement de variables admissible (C 1 -difféomorphisme) donné par x = f(u, v) et y = g(u, v). On appelle image transposée de la forme ω par φ la forme ( ) ( ) φ g (ω) = P(φ(u, v)) du + u v dv g + Q(φ(u, v)) du + u v dv = [(P φ) u + (Q φ) g ]du + [(P φ) + (Q φ) g u v v ]dv φ (ω) est de classe C 1 dans W. φ (ω 1 + ω 2 ) = φ (ω 1 ) + φ (ω 2 ). (φ ψ) = ψ φ. Exemple : si φ est la transposition polaire x = ρ cos θ et y = ρ sin θ, ω 1 = xdy ydx ; φ (ω 1 ) = ρ 2 dθ. ω 2 = xdx + ydy ; φ (ω 2 ) = ρdρ. 17 Intégrales curvilignes Définition 17.1 Soit ω = Pdx + Qdy + Rdz une forme différentielle de degré un, continue dans un ouvert U R et γ = ([a, b], F) un arc géométrique orienté de classe C 1, dont le support Γ est contenu dans U. Si F : t F(t) = f 1 (t) i + f 2 (t) j + f (t) k, alors l intégrale b a [P( F(t))f 1(t) + Q( F(t))f 2(t) + R( F(t))f (t)]dt ne dépend pas du choix de la paramétrisation de γ et on l appelle intégrale de la forme différentielle ω sur l arc orienté γ ou intégrale curviligne selon γ (notée γ ω). 11/12 Mathématiques

γ ω = γ ω. Si γ est C 1 par morceaux, il est réunion finie d arcs γ i de classe C 1 et on définit l intégrale de ω par γ ω = 1 i n γ ω. i Définition 17.2 Si (P, Q, R) sont regardées comme composantes du champ vectoriel V = P i + Q j + R k, on note alors γ ω = γ V dm et on dit que c est la circulation du champ vectoriel V le long de l arc orienté γ. γ étant fixé, ω γ ω est linéaire. γ V dm l(γ)supm Γ V (M) où l(γ) est la longueur de l arc γ. Si φ (ω) désigne la transposée de la forme ω, on a φ( γ ) ω = γ φ (ω) où φ( γ ) est l image par φ de l arc ω. Si ω est une forme différentielle exacte dans U, γ ω ne dépend que des extrémités de l arc γ et γ ω = φ(b) φ(a) où φ est une primitive de ω (i.e. dφ = ω) et A et B les extrémités de l arc (i.e. OA = F(a) et OB = F(b)). En particulier, si ω est une forme différentielle exacte et si l arc γ est fermé (i.e. A = B), γ ω = 0. Références [1] M. Serfati, Exercices de mathématiques.. Analyse II, Belin, Collection DIA, 1987. 12/12 Mathématiques