à pss éctons Tab s atès : Intocton ) Généatés a) Poston pobè b) Cas 'ato 'hyogèn ) L'appoxaton chap cnta : vson atatv s atos à pss éctons 4 a) Pncp a étho 4 b) Nvax 'éng 'ato 5 c) Confgatons éctons s atos : égaté ans pssag s cochs Ls coffcnts Sat : n pè appoch 7 ) La étho at-fock t chap "sf-consstnt" 9 a) Poston pobè 9 b) Evaaton E[Φ] c) Mnasaton E[Φ] ; étnaton s éatons at ) Contn phys s éatons at-fock ; Chap sf-consstnt ; Théoè Koopan 5 ) Popétés s potnts t s fonctons 'on at-fock ; véfcaton a égtté 'appoxaton 6 f) Rto s a étho s coffcnts Sat ; copaason s éstats 7 g) Concson 8 4) Coctons à 'appoxaton chap cnta Copag L-S 9 a) Rapp s 'hatonn 'n ato à pss éctons 9 b) Tatnt ptbatf copag Rss-Sans (L-S) c) Cassfcaton éngét s ts; ègs n; schéa 'écatnt s ts Concson 4 Annx : ésoton 'ato 'hyogèn 5 Annx : copénts s a étho s coffcnts Sat Annx : caactè sphé potnt at-fock po n ato à sos cochs pns Annx 4: Obtas atos néon 6 Annx 5: étnaton potnt cnta ans oè statst Thoas-F_ 8 Annx 6: Cassfcaton péo s éénts 44 Bbogaph 45
Intocton I st ntéssant 'ét s atos, t n patc stct écton, afn povo xp t pé copotnt os's ngagnt n ason ch avc 'ats atos, o bn s popétés agnéts, co Cpnant co s'agt systès à ps x cops n ntacton éctostat (noya t éctons), a ésoton anayt xact s atos à pss éctons st possb En fft, co 'hatonn systè copn n t 'ntacton coobnn nt s éctons, potnt épn fotnt 'état s ffénts éctons D ps, c t st on 'êt ptt vant s ats ts 'hatonn, c p 'on n pt pas tat n ptbaton I s'agt onc 'ts n étho vaatonn La pont épat tots s éthos ésoton 'éaton Schöng po s atos à pss écton s'app appoxaton chap cnta L'é bas ctt appoxaton st chacn s éctons s t ans n potnt sphé pn n copt 'attacton noya t s contbtons s ats éctons, t onc pobè s ét à n pobè patcs népnants ans n potnt sphé ffctf Nos aons tos 'abo nos ntéss ax vss popétés c potnt t n é n ctan nob éstats pvnt êt cops sans étn anè pécs; ps nos nos ntéssons à vss éthos pttnt 'ét c potnt, n patc a étho at, éaboé n 98 t généasé n 9 pa Sat t Fock afn s éstats spctnt pncp Pa Nos concons pa s coctons à appot ax éstats sss 'appoxaton chap cnta ) Généatés a) Poston pobè Conséons n ato à éctons I st constté 'n noya ass N t chag 9 +, t éctons chag,6 C t ass 5kv La ass noya étant tès spé à a ass s éctons, on pt tot st s pac ans n oè où noya st fx t où ss s éctons sont obs En néggant s ffts atvsts t s ffts copag avc s spns s noyax t s éctons, 'hatonn écvant ovnt s'éct : P R + < R R, avc 4πε Ls x ps ts cosponnt spctvnt a t 'éng cnét s éctons ( ont été néotés abtant à ) t a t 'éng potnt 'ntacton nt noya t chacn s éctons L tosè t, ant à, cospon à 'éng potnt 'ntacton éctostat nt s vs éctons On a tot st, s c tosè t n'appaassat pas ans 'hatonn, on poat asént étn s fonctons 'ons t s éngs sotons 'éaton Ψ EΨ () En fft s éngs n sont a so s éngs s éctons pacés ans potnt coobn t s fonctons 'ons pot tnso s
fonctons 'on cosponants, sat bn ntn antsyétsé po satsfa a pncp Pa C'st onc bn n t st sponsab 'possbté à éso anè anaytnt xact 'éaton () On poat aos nvsag tat c t n ptbaton 'hatonn n copotant s x ps ts, as n ap évaaton appot ρ nt tosè t scon t ont, n conséant ρ ( ) R R R R, on a :, t vat 4 po t tn vs po s gans I paaît onc ffc consé c t co n ptbaton, t s éstats obtns ctt anè sant pobabnt tès éognés a éaté I s'agt onc tov n étho 'appoxaton ps fn b) Cas 'ato 'hyogèn Avant 'a ps on, sb appopé 'ét copotnt 'ato 'hyogèn, ont on pt à po étn s états statonnas t s éngs s sont assocés L'hatonn 'ato 'hyogèn s'éct : P o, c vnt a ê : h () La ésoton xact 'éaton ax vas pops Ψ EΨ st onné ans 'annx Nos nos contntons c 'xan s éstats obtns A cos a ésoton, tos nobs ants appaassnt : - n : nob ant aa, t n - : nob ant azta, t n - : nob ant agnét, t + Pa as, on pt consé x nobs ants sppéntas, spn s 'écton t sa pocton s 'ax z, ts s t s ; L tatnt c pobè onn ctnt aga 'éng 'ato 'hyogèn, c'st à s vas pops cosponant ax états statonnas 'hyogèn : E n EI, avc E I, 6, c pt êt pésnté pa aga n
E () -,85 -,5 4s 4p 4 4f s p -,4 s p Daga : Nvax 'éng 'ato 'hyogèn On a a égénéscnc accnt cs nvax, cst-à- éng n épnnt nob ant aa n I st ntéssant not ctt égénéscnc s èv ans cas s atos à pss éctons -,6 s ) L'appoxaton chap cnta : vson atatv s atos à pss éctons Nos avons v a paagaph )a) s ffctés és ax ntactons nt éctons t a nécssté tov n appoxaton ps fn tatnt n ptbaton t R R < (ntactons écton/écton) Un appoch atatv pobè, conn sos no appoxaton chap cnta, pt 'obtn ctans éstats, n patc n é, atatv cts, as assz xact, spct éngét s atos Ctt vson étant s-cass, on tsa c s ts poston s éctons t ats notons n'aant pas sns ans n tatnt pnt ant a) Pncp a étho Conséons n écton con 'n ato poyécton En pè appoxaton, on pt sppos ct écton "vot" potnt éctostat s ats éctons co n écantag potnt céé pa noya Dans ca ctt appoxaton, on pt onc 'écton n'st ps sos à n potnt tota +, as à n potnt ffctf c ( R ) appé ass potnt cnta R R R 4
Cc constt bn ntn n appoxaton, étant onné ovnt, t 'écton nfnc ovnt s ats éctons, t onc potnt ( ) c R s' s tov a vosnag éat 'n at écton, potnt a st sos n pt ps êt conséé co cnta Cpnant t ctt é st 'atant ps vaab n écan ant fat a éocasaton spata s éctons 'é 'n potnt oyn appaaît ans natnt Cs conséatons aènnt onc natnt à éc 'hatonn sos a fo : P + c ( R ) + W, où W + ( R ) R < R R S potnt cnta c ( R ) st bn chos, W oa ô 'n ptbaton P + c ( R ) On vot tot st a agonasaton vnt à n pobè éctons népnants ans n potnt cnta : c'st onc n pobè patcs népnants Nos vons ps ta pobè 'xstnc t a étnaton 'n t potnt c b) Nvax 'éng 'ato Bn a étnaton potnt ( ) R c constt n pobè assz a, on pt tot ê s fa n é son copotnt asyptot En fft, n ason a syét sphé pobè ans ca 'appoxaton chap cnta, théoè Gass nos pt 'aff : - po gan, 'écton st sos à n potnt c ( ) - po ptt, 'écton st sos à n potnt c ( ) c (aga ) Cs conséatons nos onnnt 'a potnt ( ) c() Daga : a potnt c () On a ass pésnté ss asyptots n t à 'nfn 5
D ps, cs conséatons pttnt s fa n pè é spct 'éng s atos Co c ( ) n'st ps n, s éngs épnnt non snt n, as ass Cpnant, co c ( ) st toos n potnt cnta, s éngs n épnnt toos pas On obtnt onc s nvax 'éngs ont a égénéscnc s'éct ( ) g, + E n, caactésés pa x nobs ants t n n tnant copt spn 'écton pt toos pn x vas s ± On pt pa as ébach s ègs sccsson cs nvax : - s éngs E n, cossnt avc n po n va onné - s éngs E n, cossnt avc po n va n onné En fat, cs x os s généasnt pa a èg p Kchkovsk : - 'éng coît son s vas cossants ( n + ) - En cas 'égaté, on pn a ps bass va n Ctt èg p pt 'éabo aga : E n, + ( n ) () p (6) s () 4f (4) 4 () 4p (6) 4s () 5f (4) 5 () 5p (6) 5s () 6 () 6p (6) 6s () 7s () Daga : nvax 'éng 'n ato à pss éctons On a a vé a égénéscnc accnt obsvé ans cas 'ato 'hyogèn On a égant ctans nvax ont s éngs tès pochs, t s postons atvs snt chang avc p (6) s () s () n n n n4 n5 n6 n7 6
C schéa st pnt atatf, t n'a acn pétnton à spct éch 'éng c sot Cpnant, onn n pè é 'nchaînnt s nvax 'éng s atos Pa as, on pt égant avo n ptt é s fonctons 'on à 'o zéo n P ptbaton + c ( R ) En fft on vot éatnt, co po 'ato 'hyogèn, [, L ] [, L ] t onc, pa sépaaton s vaabs, on aa s fonctons 'on typ : Ψ n,, R S n ( ) Y ( θ, ϕ ) χ s,, c'st à 'on tov a ê épnanc anga t spn po 'ato 'hyogèn S "xpanson" aa (n fat a nsté pobabté pésnc 'écton à n stanc ) noya st ofé c) Confgatons éctons s atos : égaté ans pssag s cochs Ls coffcnts Sat : n pè appoch La pè appcaton cs éstats, n patc aga, st étn a confgaton écton ans 'état fonanta s atos I sfft n fat p s cochs sccssvs avc s éctons 'ato n spctant pncp Pa (x éctons n pvnt avo s ês at nobs ants n,,, s ) On n ét pa xp a confgaton écton 'hé ans son état fonanta st s, où : - ésgn a va n - s ésgn a va pa s notatons spctoscops ( : s, : p, :, : f,) - ésgn nob 'éctons ans ctt coch (nsb s états nvs ayant a ê éng) En aant ps on ans taba péo, on tov pa xp cabon ( 6 ) a a confgaton écton : s s p L'nsb s confgatons éctons s atos st onné ans a cassfcaton péo s éénts Cpnant, st évnt ans ca 'appoxaton chap cnta, s éngs ans 'o s cochs vont épn fotnt, étant onné potnt c () a st sos 'écton épn s ntactons nt éctons, n patc po s nvax 'éngs pochs co 4 s t o bn 4 f, 5 t 6 s Cf annx 6 7
On pt aos ts n étho sp, consst à potnt c () s'éct ff c ( ), où n fat on pac, po n écton, 'nsb phys s ntactons attacton pa noya/épson pa s ats éctons pa 'nsb vt 'n attacton pa n noya n copnant potons, avc ff <, s ats éctons xçant n fft éct 'écan On éfnt onc, po cha écton, n constant 'écan acton épsv vs-à-vs 'écton t on a a aton : ff ( ) σ ff σ caactés son L cac s σ s fat gâc a taba p svant, appé tab s coffcnts Sat : Ogn 'écton conséé Contbton s ats éctons à a constant 'écan Cochs Coch Coch n <n- n- s, p f s o p,,85,5,,,,5 f,,,,,5 Cochs >n D ps, co c oè vnt à pac n ato poyécton pa n spposton 'atos hyogénoïs avc n noya copotant potons, on assoc à ff cha obta χ 'éng E K, avc K, 6 t n * n s n [, ], n * n *,7 s n 4, n * 4 s n 5, n * 4, s n 6 Gâc à cs coffcnts, on pt n copt ans c oè : - po 9, on pt bn a coch 4 s avant a coch En fft, 'éng 'n écton pacé s a coch 4 s ans 'ato potass vat 4,8 aos pacé s a coch s son éng vat,5 D ê po 'ato cac ( ), on tov co éngs : 4s : 8, ; : 6, 4 - 'à pat, a coch s stabs n s pssant En fft, on tov co éng ans a confgaton écton 4s s éngs : 4s : 8,94 ; :, 6 : c'st onc a coch a a ps bass éng Pa cont, c oè n n pas copt 'anoa pssag écton po 4 (confgaton 5, 4s a 4, 4s ) En fat cc sb noa ps c oè n pn pas n copt 'éng 'appant s éctons aos c'st c phénoèn ntvnt c ('éng nécssa po appa s x éctons a coch 4 s st spé à c nécssa po pac n écton sppénta s a coch, avc s ffts 'écantag ctt confgaton p s 'éng ctt coch) ff 8
D ps, t cc téogn bn ss ts, c oè n èv pas totant a égénéscnc accnt 'hyogèn ps' tat anè nt s sos cochs s t p ) La étho at-fock t chap "sf-consstnt" Ctt étho st n étho ps éaboé pn n copt s conséatons physs sas à 'appoxaton chap cnta L pont épat ctt étho st consé n fft cha écton st sos à n potnt pn n copt 'attacton noya écanté pa a épson ax ats éctons Pa consént, cha écton systè poyécton sa éct pa sa pop foncton 'on t sa onc ans n état éngét onné Ctt étho, poposé pa at, consst n n étho 'téaton ogna foné s 'ato-cohénc (sf-consstncy) chap écton Cpnant, a étho at n satsfasat pas a pncp 'xcson Pa, c'st à a foncton 'on tota s éctons vat êt antsyét La généasaton ctt étho a n fat été appoté pa Sat t Fock n 9, t c'st ctt généasaton nos aons pésnt a) Poston pobè On conc pa consé 'hatonn systè s'éct nco : où, t + h h h <, On tov bn c s ts )a) : p t pésnt n so hatonns à n cops nts, cosponnt à a so 'éng cnét t 'éng potnt cha écton (nco n fos néotés abtant à ), t ( ) scon t a so hatonns à x cops nts cosponnt ax ntactons écton-écton On va c pat 'n étho vaatonn, t onc nos aons po ca pn n foncton 'ssa Φ Cf annx 9
Nos povons 'os t éà, n vt a nat a étho vaatonn, s 'on consè 'éng fonanta 'n ato E, on aa E < E[ Φ] Φ Φ Afn satsfa ctnt a pncp Pa, nos pnons a foncton 'ssa sos a fo 'n étnant Sat : Φ (,,, )! α α α ( ) β ( ) υ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β υ La foncton sa onc atoatnt antsyét Ic s nobs α, β,, υ n,,, Pa as, on pos s contons pésntnt n nob ant ( ) 'othonoasaton ( ) δ, c p Φ sa égant othonoé s b) Evaaton E[Φ] Réécvons Φ sos n fo ps copact : Φ σ σ α β! σ où! AΦ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Φ st sp pot tnso s états nvs s éctons : Φ α ( ) ( ) ( ) β t où A st 'opéat 'antsyétsaton : A ( ) σ σ! σ Ct opéat st ht t st n poct, c sgnf A A D ps, s x hatonns t sont nvaants ans 'échang s éctons, c'st σ σ p,, t onc cotnt avc A à [ ] { } p p Cs as nos pttnt éatnt cac 'éng E [ Φ] : E [ ] Φ Φ + Φ Φ Φ
L p t s cac asént : Φ Φ! Φ! Φ! Φ A A Φ A Φ A Φ On n ét nst : Φ Φ σ N Φ ( ) h σ Φ ( ) h Φ h σ Φ ( ) On a tsé c fat s h étant s hatonns à n cops t onc s a ptaton ntté n fasat pas appaaît ans Φ hσ Φ s ts n ( ) ( ) s t nst fat ans s ts stnt tos s ts n'avant pas a cooonné onnant pa ntégaton (on so nst s ca tos s hatonns h sont nts t on a attbé à cha écton abtant noté n état ) En éfnssant aos I ( ) h ( ) co a va oynn 'hatonn h ans 'état, on obtnt Φ Φ I En fat, I pésnt a so 'éng cnét 'écton ans 'état t 'éng potnt à 'attacton noya E cospon n c sns à n éng hyogénoï L scon t,, st n p ps copé, as s tat a ê anè On a égant : Φ Φ! Φ A Φ Et pa consént : Φ Φ < σ N < Φ ( ) σ Φ ( P ) σ Φ Φ où P st 'opéat ptaton ntchang s cooonnés (spatas t spn) s éctons t
Enst, n ffctant ê asonnnt po p t, on obtnt : Φ Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) La so s t s fasant s s pas 'obtas Défnssons aos t ct : J ( ) ( ) ( ) ( ), pésnt a va oynn 'ntacton nt 'écton ans 'obta t 'écton ans 'obta Nos ntosons égant t 'échang : K ( ) ( ) ( ) ( ), st 'éént atc 'ntacton t ( ) ( ) obtn n ntchangant s éctons t nt s x états ( ) ( ) On a éatnt J t K sont és t sont syéts n t On a onc éstat svant : E [ Φ] I + [ J K ] c) Mnasaton E[Φ] ; étnaton s éatons at Mantnant nos avons n xpsson E[Φ], nos vons ts fat ctt éng st statonna, t onc ' st na pa appot ax vaatons s obtas atos, sont soss ax contons 'othonoasaton Nos ntosons onc tpcats Lagang nos notons ε L'éaton ax vaatons s'éct aos : δe ε δ Avant pocé à 'anays ctt aton t cs conséncs, ntéssons-nos ax coffcnts ε L'éaton ax vaatons ont cant ε ε, t onc s tpcats Lagang pvnt êt conséés co n atc htnn Ξ, t onc agonasab
Ecvons aos a tansfoaton nta pt agonas Ξ : Ξ ΞU U st n atc caé nta U, où ( ) U S 'on vt tov 'xpsson s obtas ans ctt nov bas, fat éc a aton : U L nova étnant Sat tsé co foncton 'ssa s'éca aos : Φ ( tu )Φ O, co U st nta, on a t U, onc a foncton 'ssa n épn pas a bas, chos On pt onc ctnt pn a foncton ssa Φ ans a bas où Ξ st agona, c spf 'éaton ax vaatons à : δe Eδ, où s E sont ts Ξ ( E δ ), c'st-à- 's pésntnt s vas pops a atc Ξ En tsant aos 'xpsson [ Φ] E t s éfntons I, J, K, on obtnt n systè 'éatons ntgo-ffénts : h ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ), α, β,, υ C systè 'éaton st conn sos no 'éatons at-fock Co a soaton s pésnt n soaton s s vaabs 'spac t spn, on pt, n posant ( ) ( ) χ /, S t n tsant a aton 'othonoasaton s fonctons spn, χ χ δ /, s /, s s, s é s éatons at-fock à a pat spata s obtas : h δ ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ), α, β υ,,, S S
4 On pt foas cs éatons anè ps copact n éfnssant 'opéat ct : ( ) ( ) ( ) ( ) st spnt a épson éctostat 'écton pacé ans 'obta, ans 'opéat 'échang : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f f, où ( ) f st n foncton con Po ( ) ( ) f, on a aos : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) χ δ χ δ S S S S S S x x, /,, /, où on a éfn anè sa n opéat 'échang agt nnt s s vaabs spatas : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f f Fnant, s éatons at-fock s'écvnt : ( ) ( ) ( ) x E + ) ( h Enfn, n éfnssant s potnts ct t 'échang : ( ) ( ) t ( ) ( ) x x ans potnt goba at-fock : ( ) ( ) ( ) x + s éatons at-fock pnnnt a fo étonnant sp : ( ) ( ) ( ) E + h
) Contn phys s éatons at-fock ; Chap sf-consstnt ; Théoè Koopan On a v s éatons s ésant à n xpsson xtênt sp, t ssb a p abo à n tva éaton ax vas pops po chacn s En fat, ctt éaton n'st pas n éaton ax vas pops ca fonctons 'on ( ) potnt ( ) épn ctnt s ats fonctons 'ons En fat, po éso systè 'éaton ntégo-ffénts at-fock, on pocè pa téatons () () () sccssvs On ntt s fonctons 'ons nvs,, t on cac pa c () bas potnt ( ) nos onn n at sé 'obtas α, β υ On énct ctt xpsson ans systè 'on ésot, c () () () α, β,, υ () potnt ( ) ( n) ( n) ( ) st nt a potnt 'étap pécént ( ), c nos onn n at t ans st On tè a pocé s'à obtn n potnt L potnt ans obtn st conn sos no chap "sf-consstnt" (o ato-cohént) Bn s éatons at-fock n sont pas s "vas" éatons ax vas h hf + co pops, on pt tot ê ntpét 'hatonn ( ) 'opéat éng 'n écton ans 'état En fft, s 'on ga 'n p ps pès s éfntons potnt ct t potnt 'échang, on s'apçot asént : x ( ) ( ) ( ) ( ) En pnant 'xpsson ogna s éatons at-fock, on s'apçot aos ' n'y a pas 'ato-contbton ( ) éngét a potnt On pt onc aos éfn s potnts ct t 'échang ofés a anè svant: x ( ) ( ) t ( ) ( ) t anè 'éaton at-fock va s'éc: h + x ( ) ( ) ( ) E ( ) On s'apçot aos 'n ps t 'éng cnét t t 'éng 'attacton ncéa, 'hatonn h contnt n t pésnt potnt F x oyn û ax ats éctons, t n t n pn n copt s ffts 'échang nt 'état t s ats états occpés pa s éctons S on ntpèt s éstats ctt façon, a antté E pn bn a sgnfcaton 'n va pop 'n systè à n écton népnant Rappons c'st à a bas 'appoxaton chap cnta 5
Po onn n sgnfcaton ps pécs à 'éng E, on pt éc, n tsant a fo pè s éatons at-fock, : E I + J K, c onn, n soant s tos s : E I + J K Φ Φ + Φ Φ pa éfnton s opéats éng ncéa, éng ct t éng 'échang On s'apçot aos : E[ ] E Φ Φ Φ, t on s'apçot, non sans nét 'as, 'éng tota n'st pas a so s éngs nvs Cc st û a fat os 'on so s éngs nvs s éctons, s éngs 'échang sont coptés x fos I fat onc t t Φ E Φ Φ 'xpsson [ ] Mantnant, agnons 'écton sot té systè à éctons ( pt s'ag a pè onsaton 'n ato, pa xp Na) S 'on ga 'xpsson E [ Φ] étn a paagaph )b), t n conséant s fonctons 'ons s éctons stants sont s ês ans s systès à t éctons, on a: E E I + J K E La antté [ ] E pésnt onc appoxatvnt 'éng nécssa po ôt n écton 'obta, sot n fat 'éng 'onsaton 'écton C éstat st conn sos no théoè Koopan Ctt va, cpnant, n pt pas êt a va xact, ps nos n'avons pas tn copt éaangnt s obtas éstant épat 'écton Pa as, st potant not E n'st pas nécssant n aoant 'éng 'onsaton, bn avons ps a ffénc cs x ts E t E sont, ca nos ) Popétés s potnts t s fonctons 'on at-fock ; véfcaton a égtté 'appoxaton Rgaons à pésnt s éatons at-fock spfé La pè chos 'on a st, po n état onné, tos s éctons s tovnt sos a ê potnt Cc vnt éà coobo 'appoxaton chap cnta : on tov c 'é 'n potnt oyn n épnat 'état ans s tov s éctons Pa as, on pt égant éont, po s atos o ons ont tots s sos cochs ps (, L +, B, B +, C +, N, tc), potnt at-fock st sphé, t onc 'on véf a vaté 'appoxaton chap cnta apès tatnt vaatonn, n tot cas po cs atos Pa as, co n généa on s'ntéssa à 'état fonanta s atos, on pt consé tos s atos aont n potnt at snsbnt sphé, ca s n'aont 'n s sos coch non p, t 'écat à a sphè sa néggab, t cc sa 'atant ps va 'ato aa n gan nob 'éctons On véf pa as s fonctons 'on cosponant à n éng onné sont tots othonoés La éonstaton ctt popété st onné n annx 6
Nos avons éà né a ésoton s éatons at-fock s fasat pa téatons sccssvs pa a étho chap ato-cohént D fat, à cha étap, s éatons ovnt êt éso nént t éstat fna n'st aos 'nsb s vas nés a pat aa s obtas at-fock (s pats angas sont toos s ês, à savo s vcts pops s opéats L t L z, s Y ( θ,ϕ)) Cpnant, po s asons pats évnts, on péfè anp s fonctons anayts Po ctt ason, on a posé co n bas convnab cac n fa fonctons, conns sos no 'obtas Sat, ont a fo généa st: χ n ( θ, ϕ) n α N Y où N st n constant 'ntégaton vat ( ) n+ N α ( n)! Tot 'abo, on pt asént s'apcvo po gan vant a, s obtas Sat s copotnt a ê anè s fonctons 'on 'ato 'hyogèn, c st tot à fat noa, ps, confoént à c a été éà t ans ca 'appoxaton chap cnta, n écton on noya vot chags postvs écantés pa chags négatvs (s ats éctons), t onc ' s tov ans n potnt cnta n On chch aos s obtas at sos a fo: ( ) c χ ( ) La ésoton s éatons at-fock consst aos, n c concn s obtas, à étn s coffcnts c On tova 'xp s sotons avc n t tatnt po 'ato néon ans 'annx 4 f) Rto s a étho s coffcnts Sat ; copaason s éstats Ls paagaphs )) t )) ntpétant s éatons at-fock ans s popétés potnt at-fock t s fonctons 'ons sss a étho chap sf-consstnt pvnt s és ans: - copotnt s éctons ans n ato poyécton pt êt conséé co n copotnt patcs népnants pacés ans n potnt cnta h h +, à pat C'st n fft sns 'xpsson 'hatonn ( ) ont où 'on tov potnt ( ) st cnta - Ls fonctons 'on sss ctt étho s copotnt, po s vas sffsant gan, co s fonctons 'on 'n systè hyogènoï - Po n état onné, s éctons sont tos sos a ê potnt cnta - L'éng E assocé à n état onné st 'éng 'n s écton népnant, t cospon appoxatvnt à 'éng nécssa po nv ct écton 'ato Tots cs conséatons tnnt n fat à égt c sbat a épat n appoxaton gossè, à savo consé s éctons 'n ato poyécton F 7
ff sont s patcs népnants sos à n potnt a fo, où ff épn, co potnt at-fock, 'état ans s tovnt s ats éctons, t s éngs s états sant onnés pa a o généa s systès EI ff hyogènoïs En I s'agt n fat antnant véf a concoanc s n éstats nés obtns pa appot à a éaté phys On onn ans taba c-ssos s vas 'éng tota 'n systè à pss éctons: E xact Systè Moè F Moè Sat ato E F E/E E S E/E -,94 -,86,4 -,7,6 B -4,667-4,57,6-4,7,7 B + -4,49-4,8,5 -,798, N -8,9-8,55, -7,5, Copaason s éngs obtns pa s oès F t Sat avc s éngs és Ls éngs sont onnés n a ( h ; E / ) Es cosponnt à 'éng tota 'ato I à savo E E n, n, n, Pa as, 'éng xact st c 'ato non-atvst A v cs éstats, on pt fa n ctan nob contas: - on tov bn fat 'éng obtn pa a étho at-fock st spé à 'éng xact, fat a étho st n étho vaatonn - Etant onné potnt at-fock st n potnt oynné s tos s éctons, a étho ot êt 'atant ps vaab nob 'éctons st évé, t c'st c s ssn ans taba - L oè (ps goss) Sat onn s éstats xtênt satsfasants (6% a ax po ), bn ' sot nvon cn fos ps évé c cos ans oè at Fock On pt t co concsons cs vss as: - a étho s coffcnts Sat st égté ans son pncp pa 'ntpétaton s éatons at-fock - ctt étho, bn pocéant 'n appoxaton appant xtênt gossè, onn s éstats atvnt satsfasants g) Concson L tatnt s atos poyéctons pa a étho at-fock onn, a v s vas nés onnés ans paagaph pécént, s éstats xtênt satsfasants ant à a poston s nvax 'éng 'ato Pa as, n c concn s fonctons 'on, tatnt opéé ans ca oè éctons népnants ont 'on pt consé a foncton 'on tota systè co n On poa s pot à 'annx po vsas a fo potnt onné pa a étho Sat, ans 'évoton s éngs s nvax n foncton 8
pot tnso antsyétsé fonctons 'ons nvs cosponant à n écton onné t, ps, 'éng assocé à ct état cospon égant à 'éng 'n écton népnant pacé ans n potnt ffctf ( potnt at-fock) Enfn, a écoposton s fonctons 'on s s obtas Sat ont 'état nv 'n écton st toos caactésé pa s at nobs ants n,,, s t onc 'on pt bn éc 'état 'n ato poyécton pa sa confgaton écton C'st 'as ans 'on pt const pas à pas a cassfcaton péo s éénts n onnant s confgaton s vs atos Ls x éthos ont pa as cont à a étnaton potnt c () avat été ané a paagaph )a): ans a étho s coffcnts Sat s'agt 'n potnt sct, t ans a étho at-fock cospon xactnt a potnt at I xst égant 'ats éthos étnaton c potnt Cpnant, on a v a paagaph )a) 'n ntosant ctt noton potnt cnta, appaassat n t povat êt taté n ptbaton 'hatonn C'st c nos aons tat à pésnt 4) Coctons à 'appoxaton chap cnta Copag L-S a) Rapp s 'hatonn 'n ato à pss éctons On a v a paagaph )a) 'on povat éc 'hatonn 'n ato à éctons sos a fo: P + c ( R ) +, où + c ( R ) R < R R t s potnt cnta c ( R ) st bn chos, oa ô 'n ptbaton P + c ( R ) Po potnt c (), on pt pa xp pn potnt at, o tot at potnt cnta On pt tot ê n tac 'a généa n ntpoant s s vas scèt C'st tatnt 'on a ffcté ans 'annx Et non pas potnt at-fock, copn potnt 'échang t onc épn s vaabs spn On pt c s pot à 'annx où 'on tov s éatons aas at ans potnt aa, svnt sppot spfé po ffct s cacs chap sf-consstnt I xst pa as a étho F-Dac pn n copt s conséatons s-casss t statsts (vo annx 5) 9
b) Tatnt ptbatf copag Rss-Sans (L-S) L'hatonn nos aons onc ét s'éct aos: +, t nos aons tat 'hatonn n ptbaton Sgnaons tot ê nos n'étons c s vs copag atatvnt, c'st à nos nos contntons ga 'écatnt s états non ptbés sss 'ét ans s ts appaassnt Nos n cacons onc pas anttatvnt s éngs sépaant s vs états xctés Avant s anc ans s cacs hasax, convnt (co toos ) ga s syéts pobè En fft a pè étap cac consst à agonas 'opéat ans 'état s éctons ss Défnssons s opéats ont cnét obta tota t ont cnét spn tota : L L S S Co nagt s, cot évnt avc L t S, t onc avc L t S En c concn, on ont bn ' n cot pas avc s onts cnéts obtax nvs s éctons, cot pa cont avc L, t bn ntn avc S ps' n'agt s s vaabs spatas On a onc a aton cotaton, avc + :, S, L [ ] [ ] O s opéats L, Lz, S, S z génènt 'spac s fonctons 'ons, t, gâc ax atons cotaton étab c-sss, on vot s opéats,, L, Lz, S, S z font n ECOC, t onc s vas pops vont êt caactésés pa s vas pops s opéats L t S nnt, ca co, 'apès s atons cotatons, cot égant avc L ± t S ±, 'éng 'écat avc nva non ptbé n épn n M L, n M S Cha nva 'éng va onc onn nassanc à s nvax péés pa s vas S + L t S, noés ts, t sont notés Α( L), où Α ( L) st a tt cosponant à a va L La égénéscnc cs nvax st toos bn ntn onné pa 'nsb s vas pvnt pn M t L + S + L M, sot ( )( ) S C tatnt n ptbaton n'st vaab po s atos à bas En fft, os vnt top évé, on ot tn copt s ffts copag spn obt (-), t a stct fn 'ato appaaît co t péponéant ans s ptbatons Nos n nos étnons pas c s c phénoèn
Afn étn s vss vas L t S onnés pa n état, on ot ts s ègs 'aton s onts cnéts Pa xp, s L L + L (sp S S + S ), aos s vas pops L (sp S ) 'opéat L (sp S ) sont onnés pa: L +, +, S s + s, s + s, s s En fat, po s nvax à ps x éctons, on conc pa cobn x éctons, ps on cobn t obtn avc n at écton, t ans st s'à avo cobné tos s éctons Raons tot ê ' st nt s'occp ans c tatnt s éctons sont s s cochs pns, ca, co M L M S s, s t poa êt ss 'n t coch st S (égénéscnc éga à n), t copag 'n t t avc n'pot écton onn n t sa avc 'état ct écton (n fft L t S po S ) Nos nos tons onc à consé s atos posséant s cochs ncopèts Co 'n a a pécént, nos n'avons 'à consé s éctons n s L, S tovnt pas s s cochs pns po étn s vas possbs cop ( ) Tos cas s pésntnt aos: Ectons appatnant à s sos cochs ffénts (éctons non-évants) Dans c cas, x éctons stncts n pvnt avo ê nobs ants, t onc pncp Pa sa atoatnt satsfat Nos aons st a tchn L, S pa x xps: étnaton s vss vas possbs po cop ( ) Confgaton np, np: Nos avons t sont onc: s s, t onc L,, t S, Ls ts possbs S, P, D, S, P, D Raons nos tovons a égénéscnc tota systè: n fft, a égénéscnc 'n état np, np st onné pa G ( + )( + )( s + )( s + ) 6, t s égénéscncs s vs ts sont: - S : g - P : g - D : g 5 - S : g - P : g 9 - D : g 5 Et on a bn : + + 5 + + 9 + 5 6
Confgaton np, n: Ic nos avons, t toos s s, c onn L,, t S, Ls ts possbs sont onc: P, D, F, P, D, F Et on tov c ass a égénéscnc tota vat g 6 Ectons appatnant à a ê coch (éctons évants) Contant à c s pass po s éctons non-évants, c pncp Pa L, S pos a contant 'antsyétsaton va nt ctans vas cop ( ) Pa xp on vot po 'état fonanta 'ato 'hé s, n'st pas égénéé, a tchn 'aton s onts cnét fat appaaît n t S t n t S, c n étant évnt à xc po consv a égénéscnc tota nva Po s nvax à x éctons évants, on pt ont a stcton posé pa pncp Pa s ét à n consv s ts ts L + S pa Cpnant, n'xst acn èg c typ po s nvax copotant ps x éctons évants On ot onc ts n étho ps éaboé pn n copt s vas M L t M S s I s'agt 'n étho s fon s s popétés s onts cnéts L t S, n patc fat 'on a M L L M L t M S En étnant tots s états ants possbs s éctons ans a S M S sos coch conséé, on tov s sés vas M L t M S 'on assoca à s vas L t S Et co os a étnaton s états ants possbs, on a ps n copt pncp Pa, tos s ts possbs t toéés pa c pncp t snt cx-à appaaîtont Ctt étho s'appant a cas pa cas t étant ps tès fasts ( fat st t cass tos s états ants possbs, c fat pa xp états po n coch ) nos nos contntons c 'n onn s éstats: Confgaton ns S ns S np np 5 P np np 4 S, D np P, D np 6 S n n 9 D n n 8 S, D, G n n 7 P, D, F, G, n 4 n 6 S, D, F, G, I n 5 S, P, D, F, G,, I n S P 4 S P, F 4 P, 4 F P, D, F, G, Ts sss s confgatons (n) k, avc,, 4 P, 4 D, 4 F, 4 G 5 D 6 S
A ga cs éstats, on a pss choss: - po n coch pn, n'y a 'n s stbton possbs s éctons, t on a obgatont n n t S - on vot 'écatnt s ts st ê po n coch ( n ) k po n coch ( ) ( + ) k n, c vnt à s ts possbs po n coch à k éctons sont s ês po n coch où an k éctons (c'st-à- à k tos) - Po n coch à oté p, on a ' xst n confgaton s éctons où 'on obtnt a va axa M Ctt confgaton n'xst po M L, t onc onn n t sphé + S Ctt popété pn tot son potanc avc s ègs n (vo ps on) nnt c'st ct état st 'état fonanta Atnt t n coch à oté p possè ass n état fonanta sphé Pa as, cc pt xp 'égaté 5 pssag s cochs po 4 ( 4 4s a 5 4s ), ca a coch fat appaaît n t 6 S tès bass éng, t st possb 'éng tota systè sot ps bass ans ctt confgaton ans a confgaton "noa" n fat appaaît 'n t 5 D, 'éng ps hat 6 S Ectons évants t non évants: Po tat c pobè, sfft st étn n p s ts sss copag s éctons évants Enst, on obtnt s ts éfntfs n tsant s ègs 'aton s onts cnéts évoés ans p cas S c) Cassfcaton éngét s ts; ègs n; schéa 'écatnt s ts Nos avons onc obtns pa copag L-S s ts povnnnt a cocton à 'hatonn, as nos n savons po 'nstant n s s postons atvs n éng cs ffénts ts Ds cacs pvnt êt nés n cacant a va oynn ans a confgaton bas : δ L S n, ; n, ; L, M, S, M n, ; n, ; L, M, S, M, où kt (, ) L S L S n,, ; n, ; L, M L, S M S st bn ntn antsyétsé Cpnant, on pt app, po s états fonantax s atos t, ps généant, s états à éctons évants, s ègs n, étabs pnt, s'énoncnt ans: - t posséant a ps fot va S po n confgaton onné a a ps bass éng, t 'éng s ats ts coît an S écoît - Po n va onné S, ts a a ps gan va L st t ps bass éng C cas pt sb tès stctf Cpnant, co on 'a v ans 'annx t a paagaph )), s éstats s ps pobants sont onnés po s atos s'écatant tès p a sphécté potnt, c'st-à s atos n'ayant 'n sos coch ncopèt t onc n posséant s éctons évants
Cs conséatons nos pttnt onc 'avo n pésntaton, atatv cts, as confo à a éaté, a stct éngét é s atos poyécton Concson Nos avons onc passé n v s ffctés és a fat s atos poyéctons étant s systès à ps x cops n ntacton, t onc 'on n povant tov soton anayt xact C'st onc ans ca 'appoxaton chap cnta nos avons p étn s sotons t n patc n scpton assz poch a éaté s nvax éngéts s atos poyécton C oè, co nos 'avons v, p s éctons sont pacés ans n potnt ffctf pn n copt 'attacton noya t a épson nag écton Physnt, ctt appoxaton vnt xactnt à consé pobè co n pobè éctons népnants C oè nos a ps, ans n p tps, 'ffct s cononcts atatvs s a stct écton s atos pt, nt at, const taba péo s éénts Enst, s cacs ps possés nos ont ps étn a fo potnt cnta, tot 'abo anè scèt (étho s coffcnts Sat), ps anè né t contn (étho at t étho Thoas-F) Nos avons aos tové s éstats, tès pochs a éaté, t égtant à posto 'appoxaton chap cnta Cpnant, cs éstats vant nco êt ofés po nc ans 'ét s coctons à appot à c oè, t c'st c nos avons fat n étant copag Rss-Sans Ls éstats ctt ét ont énoént 'appcatons Tot 'abo, s pttnt copn (patnt ca s ffts stct fn t stct hypfn n'ont pas été tatés), spct s atos Ds cacs sps ( oè s coffcnts Sat pt sff) nos pttnt véf a cohénc c oè n cacant s gans ts 'éng 'onsaton, s ayons ons Pa as, s nos nsgnnt s s éngs s nvax t onc s a anè ont cs atos vont ngag s asons chs nt x po constt s oécs Enfn, a cassfcaton péo s éénts ont on a égté a constcton nos pt x copn s sts popétés po s atos à po totant ffénts (as stés ans a ê coonn t onc ayant n stct écton sa) L'ét étaé s atos poyéctons vêt onc ans ctt pspctv n potanc pat fonanta Sans tn copt s ffts stct fn t hypfn 4
Annx : ésoton 'ato 'hyogèn I s'agt onc c éso 'éaton ax états statonnas: h Ψ EΨ () ) Sépaaton s vaabs On pt ont 'opéat pt s'éc sos a fo: L, où L st 'opéat ont cnét obta 'écton h L'éaton ax états statonnas () vnt onc: h L + Ψ EΨ Co L n'agt s s vaabs angas n syét sphé, st ca 'on a s at atons cotaton: [, L] [, L ] On pt onc tov s fonctons pops cons à, L t L z (pocton son 'ax z vct L ) Ls fonctons pops cons à L t L z sont s haons Y θ,ϕ, vont contn tot a épnanc n θ t ϕ a foncton 'on sphés ( ) Ψ On va onc chch Ψ sos a fo: Ψ (, θ, ϕ) R( ) ( θ, ϕ) Y On nct ctt xpsson ans 'éaton () t on obtnt, apès spfcaton pa Y θ,ϕ, ( ) h ( + ) R( ) h + R( ) R( ) E R( ) () On obsv éà po cha va y aa n nov éaton à éso Ass nos aons not s fonctons aas R () Pa as, fat bn ntn cs fonctons obéssnt à a conton noasaton R ( ) 5
) Résoton 'éaton aa; étnaton E t Ψ po s états és 'éng E< Posons à pésnt ( ) R( ) 'éaton () vnt: h ( + ) ( ) h + ( ) E ( ) () ( ) + h Avant contn, s'agt 'ét potnt ff S on t 'éaton () sos a fo: ( ) h + ( ) E ( ) ff, on s'apçot 'on st ané à n pobè à n nson 'n patc pacé ans n potnt ffctf ff, ont on a tacé 'a cssos ff On constat aos, po E >, n'xst pas 'état é Nos chchons onc nnt s états statonnas po ss E < Posons tot 'abo: 4 h E EI ; a ; ρ ; > ps E < h a EI On connaît c 'éng 'onsaton t ayon a pè obt éà nconté ans oè panéta Boh po 'ato 'hyogèn Apès n changnt vaabs t s spfcatons, 'éaton () vnt: ( + ) + ( ) ρ (4) ρ ρ ρ 6
S ρ, 'éaton (4) appaaît sos a fo t, ont s soton ρ ±ρ athéats sont s fonctons A, as ont s ss sotons physnt ρ accptabs po s asons évnts convgncs sont s A ρ sos a fo: Nos aons onc chch ( ) ( ρ) ρ f ( ρ) En nctant ctt xpsson ans 'éaton (4), on obtnt: ( + ) + ( ) f ρ (5) ρ ρ ρ ρ I s'agt aos 'éc f (ρ) sos a fo 'n évoppnt n sé ntè: f ( ρ) s ρ c ρ Rvnons c à a conton noasaton R ( ) Po c-c sot véfé, fat ( ), ca s on pn ( ) K, K aos K R( ) t onc n'st pas ntégab n En pnant n copt c éstat, on vot S >, ca S ntaînat c, c nat a éfnton évoppnt n sé abs t S < fat vg f () On cac aos: f ( S + ) c ( S + ) ρ ρ f ρ c ( S + ) ( S + )( S + ) ρ En nctant cs xpssons ans 'éaton (5), vnt aos: S + S + S + S + [ c ( S + )( S + ) ρ c ( S + ) ρ + c ρ ( + ) c ρ ] t sfft 'ann tos s coffcnts a sé ntè, pa ncté évoppnt n sé ntè S On a onc po t n ρ, S ( S + ) ( + ) ca c On obtnt aos x sotons S t S +, s a scon étant à consv n ason a contant s sgn S On a onc fnant S + 7
Po s ats ts, on a a aton écnc: c + + + + c, sot, n aangant n p: [( + )( ) ( )] [ ( ) ] c c ( + ) ( + + ) Etant onné copotnt a sé ans éfn (c'st-à- ê a sé ρ ntè cosponant à ), on ot att a sé st toné à pat 'n va k t k t c c k Po ctt conton sot satsfat, fat ( k + ) avc n k + nt stctnt postf (ca c ), onc, k + n On a onc s éngs s états statonnas 'ato 'hyogèn, ps E E : I EI E, n IN * n On pt égant po n va onné n, on pt avo n vas, t po n va on a + vas po, c nos pt cac asént a égénéscnc 'n nva 'éng copt spn s éctons ) Cac s fonctons 'on: E : g ( + ) n n n n, n tnant égant On a onc bn s nvax 'éng caactésés pa n s nob ant n t s fonctons 'ons caactésés s pa at nobs ants n,,, s On pt 'as cac cs fonctons 'ons: Po a pè, ( n, ), on a k t onc f ( ρ ) ρ c ρ c On n ét ctnt ( ρ) c ρ t onc R( ) a Avc a conton noasaton, on obtnt R, ( ) π a fonctons 'ons assocés ax états statonnas 'ato 'hyogèn En cobnant cs sotons avc s fonctons pops Y ( θ,ϕ) a a L, on obtnt s 8
On tova ans taba c-ssos s fonctons on po n, : Nva s Nva s Nva p Ψ Ψ Ψ,, Ψ,, a πa a 8πa a a,, snθ 8 πa a Ψ,, 4 πa a a cosθ a,, + snθ 8 πa a ϕ ϕ On pt égant pésnt s épnancs angas s fonctons 'on: on obtnt n sfac étant a zon où a pobabté pésnc 'écton st spé à n constant onné Dépnanc anga s fonctons 'ons 'ato 'hyogèn On a n fat c pésnté s sfacs étant a zon 'spac où 'écton à n ctan pobabté s tov (n généa 9/) Dépnanc aa s fonctons 'ons 'ato 'hyogèn En fat cs fonctons nnnt pas gan chos I faat ptôt tac a nsté pobabté, à savo D() R () 9
Annx : copénts s a étho s coffcnts Sat ) Un xp cac 'éng 'n nva Nos avons onné a paagaph )c) s éngs s nvax 4s t po s atos potass (9), cac () t scan (), t nos aons c ont cont nos avons pocéé On app tot 'abo taba s coffcnts Sat : Ogn Contbton s ats éctons à a constant 'écan 'écton conséé Cochs <n- Coch n- s, p Coch n f Cochs >n s o p,,85,5,,,,5 f,,,,,5 La confgaton écton 'ato potass st onné pa taba péo s éénts (Cf annx 6): K (): s s p 6 s p 6 4s Dans c oè, on pt onc 'écton sté s a coch 4s "vot" : - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat - s sx éctons stés s a coch p t ont a constant 'écan vat - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat,85 - s sx éctons stés s a coch p t ont a constant 'écan vat,85 L'éng nva 4s po 'ato potass vat onc: E 4s,6,6 4s, ( 9 ( 6,85 6,85) ) σ + + + + n,7 4,8 Et on pt cac ê c s pass s 'écton st sté s a coch, c'st à po a confgaton écton s s p 6 s p 6 En fft, ct écton vot: - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat - s sx éctons stés s a coch p t ont a constant 'écan vat - s x éctons stés s a coch s t ont a constant 'écan vat - s sx éctons stés s a coch p t ont a constant 'écan vat Sot n éng E,6,6, ( 9 (8 ) ) σ n 9,5
) aaton avc s éngs t postons atvs s sos cochs En ffctant s ês cacs po tots s cochs ans tos s atos, on pt tac aga 'évoton 'éng s cochs n foncton,,,, 4, 5, 6,, -, -4, -6, -8, Eng () -, -, 5s t 5p -4, -6, -8, s s t p s t p 4s t 4p 4 -, Daga 'évoton 'éng s cochs n foncton Po ffct cac 'éng s cochs non ps, on a conséé 'état xcté 'ato où n écton s tov ans ct état On a tot st s c aga s postons atvs s cochs n éng n cosponnt pas à c onné pa a èg Kchkowsky En fft, on vot s cochs n passnt n ssos s cochs ( n + )s ès 's concnt à s p (ntvsons sgnaés pa é) Cc généas c nos avons éà aé po s cochs 4s t Enst, on a tots s éngs ont n tnanc asyptot hyogènoï, n s sns po sffsant gan, 'fft 'écan va vn néggab vant t 'éng 'n nva sa aos onné pa: E n Cc st assz copéhnsb ca n os nob poton vnt gan, 'écantag céé pa s éctons stés nt n écton onné t noya va s fa ps n ps fab
) sasaton potnt ffctf Sat: L oè Sat n'étant 'n spposton 'atos hyogènoïs, on pt app s éstats oè Boh po 'ato 'hyogèn généasés ax atos hyogènoïs On pt onc éfn a "stanc" 'n sos coch a noya (n écan ant, ctt stanc cospon à c où a pobabté pésnc 'n écton ans ct état st axa), t on pt onc tac s vaatons potnt ffctf n posant ff E On obtnt ans gaph c-ssos, s on a égant tacé s potnts 'ato 'hyogèn t 'n ato hyogènoï à éctons 5 5 5 5 Potnt ffctf ans oè s coffcnts Sat On tov aos gaph atatf nos avons ébaché a paagaph )b), à savo n cob ntéa nt a cob (copotnt po ) t a cob (copotnt po ) : oè Sat st onc xtênt poch 'appoxaton chap cnta, st bas à tos s oès 'ét s atos poyéctons
Annx : caactè sphé potnt at-fock po n ato à sos cochs pns Pobè tatnt ans cas généa; éatons at I s'agt c éont caactè sphé (c'st à népnant s vaabsθ t ϕ ) potnt at-fock ans cas 'atos o 'ons n possènt s cochs pns Afn éont c éstat stf tatnt pa a étho F, nos vons pos s obtas spatas sont a fo: ( ) P Y θ,ϕ, où P ( ) R ( ) n n ( ) ( ) n n On s sovnt potnt at-fock contnt n t (cnta) n x n t potnt ct t n t 'échang, Dans cas 'n sos coch copèt ( n ), vnt: n P n n ( ) ( ) Y ( θ, ϕ ) Ω fact vnant fat 'n ê état st occpé pa x éctons spn opposés D ps, on sat 'apès s popétés s haons sphés : + Y ( θ, ϕ ) 4π Et on n ét: n ( + ) Pn ( ) Ω 4π L'ntégaton s a pat anga s fat son a étho cass n xpotant fat ( ) + 4π < Y (, ϕ ) (, ϕ ) + θ Y θ, où < n (, ); > ax(, ) + ( ) > En énctant cc ans 'xpsson pécént, on obtnt: + ( + ) 4π ( ) ( < ) n Pn Y ϕ + θ, Y θ 4π + ( ) ( ) ( ϕ ) Ω, > n ( + ) Pn ( ) 4π ( ) ( < + > ) 4π Y + ( θ, ϕ ) Y ( θ, ϕ ) θ ϕ
4 Et, n s sovnant 4π Y, on obtnt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ + + + > < n n Y Y Y P θ θ θ θ π π,,, 4 ) ( 4 Ic on vot ctnt 'n ason s popétés 'othonoasaton s haons sphés, 'ntégaton s s vaabs angas ( ) ϕ, θ st non n s D'où éstat: ( ) ( ) > + ) ( n n P, xpsson st cant népnant s vaabs angas ( ) ϕ, θ On n ét ctnt, co st a so tos s contbtons cts cha coch, st à syét sphé Intéssons-nos à pésnt a potnt x D a ê anè po potnt ct, vnt po n sos coch copèt : ( ) ( ) [ ] ( ) ), ( ), ( ) ( ), ( ) (,,, n n n n x n Y P Y P Y P Y P ϕ Ω ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ On évopp aos a ê anè po potnt t n tsant s popétés 'othonoasaton s haons sphés t s coffcnts Cbsch- Goan, on tov: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ), ( ) ( ) (,, n L n L L n n x n Y P P P L L Y P ϕ + + ϕ + + > < θ θ On vot aos os c potnt 'échang agt s n état n, t n patc s a pat anga Y, onn n éstat popotonn à ctt ê pat anga, coffcnt popotonnaté étant ant à népnant s vaabs angas Lacton potnt 'échang n épn onc pas s vaabs θ t ϕ t st onc à syét sphé L potnt 'échang goba n'étant 'n so s tos s états potnts ctt fo, st ass sphé D cs cononcts on t onc potnt at-fock st cnta
Po s atos possènt s (n généa n s 'as) cochs nsatés, on ééct 'éaton at-fock: h x + ( ) ( ) ( ) E ( ) t on négg potnt 'échang vant s potnts éctostats ncéa t ct On obtnt aos: h + ( ) ( ) E ( ) Pa as, on sat potnt n épn s vaabs spatas, t tos s ts 'hatonn obtn sont népnants s vaabs spn D ps, n s svant n nov fos 'appoxaton chap cnta, on pt n fat oynn potnt s s vaabs angas t obtn s éatons aas at: h ( ) + + ( ) Pn ( ) En Pn ( ) Ic, on vot anè tès ca 'on pt obtn s sotons pa n étho vaatonn n tsant co foncton 'ssa n sp pot tnso (non antsyétsé) 'obtas atos Labsnc potnt 'échang ans s éatons at n satsfont onc pas a pncp 'antsyét systè posé pa pncp 'xcson Pa I st égant ntéssant not, ans cs éatons, potnt épn 'état ans s tov 'écton, t onc, contant à c 'on avat obtn os 'ntpétaton s éatons at-fock, po n état onné, s éctons n sont ps tos sos a ê potnt Cc aa po consénc ct s obtas at n sont pas othonoés 5
Annx 4: Obtas atos néon ans son état fonanta évoppés n obtas Sat I s'agt st c onn n xp éstat obtn n conséant po n ato, s obtas spatas at-fock sont onnés pa: c χ ( ) ( ) On tov s sotons svants: P Y θ, ϕ,977χ s s s ( ) ( ) [,64χ +,55χ +,999χ P Y s 4 ( ) ( θ, ϕ) [ +,66899χ +,9χ,87χ 5 +,4899χ +,58χ,9χ +,65χ +,86χ 4 5 6 p P p Y 87 ( ) ( θ, ϕ),799χ 7 +,58χ 8 +,9χ 9 +, χ 6 avc: χ N χ χ N 4 5 6 7 8 9 χ N χ N 4 χ N 5 χ N 6 χ N 7 χ N 8 χ N 9 N 9,48486 5,5659,9684,864 4,85 7,794,458,868 4,48489 Y Y Y Y 9,464 ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) ( θ, ϕ) Y ( θ, ϕ) Y Y Y Y Y n α où s constants noasaton sont onnés pa, s χ Y ( θ, ϕ) ( ) n+ N α ( n)! n N, Ls fonctons aas po néon sont pésntés à a fg I st potant not 'on connaît égant s fonctons 'on anga, sont cs 'hygogèn (cf annx ) 6
, pésnt a pobabté pésnc 'écton à n stanc noya pa nté ong: Pa as, on pt égant éfn a foncton nsté aa D ( ) ( ) D( ) n Pn, où n st nob 'éctons évants ans a sos coch n n, sot po néon: D( ) P ( ) + P ( ) P ( ) (fg ) s s + 6 p Gaph : Fonctons aas néon P s, P s, P s Gaph : Foncton nsté aa 'ato néon On stng bn x zons où a nsté pobabté pésnc s éctons st fot, cosponnt ax obtas s n pat t s t p at pat I st as potant not s ctt foncton a n vétab sgnfcaton phys Maxa nsté pobabté pésnc 7
Annx 5: étnaton potnt cnta ans oè statst Thoas-F ) Rapp s gaz éctons F Avant anays a théo évoppé pa Thoas t F po état fonanta n ato, st t consé pobè ps sp gaz éctons F C systè st éfn co n gan nob N éctons bs contns ans n gan cb côté L Consént, cha écton s t anè népnant ans n potnt constant (t nos pnons n) ans cb t nfn à xté Léaton Schöng po cha écton ans c systè séct: h ( ) E( ) + + x y z ψ à nté cb, t ψ à xté Ls sotons ctt éaton sont obtns n y sépaant s vaabs t n ésovant éaton néa à coffcnts constants obtn Es sont onnés pa: n n xπ yπ nzπ 8 ψ ( ) y n C x z x, ny, n sn sn sn où C st n constant z L L L L noasaton t où s n, n, n sont s nts postfs Ls éngs cosponants sont x y z onnés pa: π h π h E ( n n n ) n x + y + z, où n n x + n y + nz L L Nos aons c n ê nva éng pt êt obtn pa pss cobnasons s nobs n, n, n, t st généant égénéé x y z Pa as, co s éctons ont n spn ½, nos vons tp s sotons spatas pa s fonctons spn χ /, s, avc s ± Ls fonctons ons nvs s éctons sécvnt aos: ψ ψ t s états ants assocés sont onc éfns pa a ( ) / s nx, nx, nz, s nx, nx, n χ z, onné at nobs ants En ason fat s spacs nt s vs nvax éng st ptt vant s nsons caactésts systè acoscop conséé, on pt pass n scpton scèt s éngs à n scpton contn On pt onc nto a noton, éfn co nob états ants éctons pa nté éng En consénc, D ( E) E st nob états ont éng st cops nt E t E + E Po étn D ( E), nos fat nos pac ans spac s n x, n y, nz nsté états D ( E) Un va n tpt (n x, n y, n z ) cont à a soton tva t possb ψ, t s vas négatvs cs nts consnt stctnt ax ês sotons po s nts postfs 8
Co s n, n, n sont postfs, nos x y n nos ntéssons à n htè spac Nos voyons (fg 5), n état caactésé pa tpt n, n, n occp n cb nta Pa as, po s gans vas tpt n, n, n, nob tota état éng nfé à n va onné E st snsbnt éga a vo n htè a sphè ayon n n + n + n L nob état ans n x conséé st onc onné pa: 4π Fg 5: pésntaton 'spac s n N S n πn, où fact 8 povnt a égénéscnc a spn En tsant aos a va éng t n posant L, on obtnt: N S E π h En fféncant ctt xpsson, vnt: N S D( E) E E E, π h où on t ctnt D( E) E π h On pt ont cs éstats stnt vas sot vo acoscop chos, à conton s nsons caactésts c vo stnt tès gans vant a stanc nt x nvax éngéts S on s éfè a pncp Pa, a foncton on tota écvant c systè st n pot tnso antsyétsé s fonctons ons étnés pa a ésoton D(E) E F n z Fg 5: nsté 'état D(E) Ls états occpés ans 'état fonanta sont pésnté pa a pat obé E n y x y z éaton Schöng L éng tota cosponant st a so s éngs nvs S on at systè st ans son état fonanta (c st-à- gaz éctons F st à T), éng a ps bass st obtn an s éctons pssnt tos s états éng nfé à n ctan éng, appé éng F E F, s obtas stants étant vs Cc st sté pa a fg 5 Cc nos onn n oyn éva éng E F, ca c-c ot êt t : N E F D ( E) E z x y x z y z 9
Et n ntégant on obtnt: h N E ( π ρ) F, où ρ pésnt a nsté écton Nos povons as a éng tota n gaz écton F ans son état fonanta st onné pa: EF Etot ED( E) E NEF 5 L éng oynn n écton st onc E EF 5 I st nfn coo nto a noton vct on éfn pa: π k ( k x, k y, k z ) où on a k n, x, y, z L On pt c xp éng n foncton k : h k E En fasant ê asonnnt ans état s n, on pt éc ans état fonanta gaz, tos s états ont n va k nfé à n va k F sont occpé, tans s ats sont vs Consént, n conséant htè sphè cosponant t n n obant pas a tpcté spn, on obtnt: N k F, sot k F ( π ρ) π On pt égant à a sfac ctt sphè, éng st éng F, t onc : h EF k F ) L oè Thoas-F po s ons t atos poyéctons Dans c oè, on tat s N éctons systè co n gaz éctons F ans son état fonanta, ocasé ans n égon spac pa n potnt cnta ( ) s ann à nfn On sppos potnt st snsbnt constant s a ong on Bog s éctons, c p a pésnc n gan nob éctons ans n vo où potnt pt êt conséé co constant, t onc on pt app oè statst F L bt c oè st cac potnt ( ) t a nsté écton ρ ( ) p L éng tota n écton pt êt éct co + ( ), t ctt éng n pt êt postv ca snon écton s échappat à nfn Co éng cnét axa n écton ans n gaz éctons F st éng F E F, on pt ctnt éc: E EF + ax ( ) 4
I st évnt Eax n pt épn, ca snon s éctons s gopant tos ans a égon où E ax a a ps ptt va D ps, on sat Eax ot êt négatf o n On pt onc éc: k F ( ) [ E ( ) ] ans ρ ( ) E ( ) h ax On a ρ s ann po ( ) ax ntt E < F [ ax ] π h E, t nos vons fx ρ po a égon > Eax, ps s n n état pas ans, on aat n éng cnét axa φ potnt éctostat t φ n constant postv Φ φ φ Φ sont és pa: Posons ( ) ( ) S on pos nst ( ) ( ), on vot ρ ( ) t ( ) ρ π h ( ) [ Φ( ) ] Φ Φ < E ax Un scon aton nt ρ ( ) t ( ) potnt éctostat φ ( ) sont: Φ pt êt obtn n conséant s cass - a chag conséé co ponct noya, ocasé à ogn - a stbton éct ax N éctons S on consè a nsté chag ρ( ) éaton Posson éctostat: ( ) [ Φ( ) ] Φ ρ( ) ε s éctons st contn, on pt ts En tsant cs x atons t n y énant ρ, on obtnt : π ε h [ Φ( ) ] [ Φ( ) ] Φ Φ < On pt éà Φ( ), étant onné po ptt, potnt st 4πε nnt û a noya, t, ps s N éctons sont spposés êt ocasés ans n sphè ayon ( st onné pa éaton Φ ), on ot avo N 4 ρ( ) π Co on consè nffént s atos o s ons, on n'a pas obgatont N 4
Po spf s éatons c-sss, on pos: ( π ) bx t Φ ( ) χ( x), avc b 7 4πε a,885a t où a st ayon a pè obt Boh L éaton ffént s Φ s éct onc, avc cs vaabs sans nsons, χ χ χ x, éatons conns sos no éatons Thoas-F x χ < En ps, on a s atons: χ ρ χ 4πb x χ < ans a contons ax ts n, s éct χ ( ) I st ca χ possè a ons n zéo ans IR + Sot x a poston c zéo D apès a scsson pécént, nos avons x, où st a «bon» systè On b not pa as χ st sgn x x I st cx vo 'éaton Thoas-F st n éaton nvs, n épn n, n constants physs ts h,, ont été énés pa s changnts vaabs Nos voyons égant ' s'agt 'n éaton scon o non néa La soton 'éaton Thoas-F po x > x st ctnt onné pa: χ x C x, où C st n constant négatv Nos aons aos ( ) ( ) x éatnt po n va fn x, on n pt avo C n ps ctt staton conat à a soton tva t physnt naccptab χ Co nos povons asént étn χ po x > x, s sotons 'éaton Thoas-F sont copètnt étnés pa a onné χ po x < x On pt éà a co a conton n x n onn 'n contant, xst n nfnté sotons à ctt éaton I st cpnant évnt cs éatons ovnt êt concavs On pt onc stng x typ sotons : n soton at 'ax s x co asyptot à 'nfn ( x ) n soton s'ann po n va fn x x On n s'ntéssa c 'a p typ sotons, concn s atos nts, s ss nos ntéssnt c 4
Lntpétaton phys s cs x sotons st onné pa a conton noasaton: N x x xχ x xχ x [ xχ χ] x En tsant a conton n N x χ ( x ) x t fat χ( x ) on obtnt : S on consè onc n ato nt (c'st-à- pas n on), on obtnt ( x ) χ, t onc ctnt x On vot onc a soton typ cospon ax atos nts D ps, on vot ans oè Thoas-F, n ato nt n'at pas bons Consént, on ntot po s atos nts n scon conton ax ts st χ ( ) On obtnt onc n foncton nvs χ ( x), caactés tos s atos nts L'a ctt foncton, obtn pa ntégaton né, st onné ans gaph 5 χ,,8,6 Gaph 5: foncton nvs χ(x) On vot bn c a foncton st concav, t ' s'ann à 'nfn, c n ans oè Thoas-F, s atos nts n sont pas bonés,4, 4 5 6 En tsant ctt foncton, on pt ont a potnt cnta ( ) En aant po n ato nt, φ, t n ffctant s changnts vaabs x ans 'at sns, on vot : ( ) χ 4πε Pa as, on pt cac χ (), 588, t onc potnt cnta ans oè Thoas-F pt s évopp co: 4 ( ) +,794 +, t 'on pt ntpét p t co 4πε a t 'attacton ncéa, aos scon, st épsf, vnt a contbton s éctons 4
Annx 6: Cassfcaton péo s éénts 44
Bbogaph & Ca Cohn-Tanno, Bna D, Fanck Laoë, Mécan ant t I & II, ann, Co Ensgnnt s scncs, 996 & B Bansn an CJ Joachan, Physcs of atos an ocs, Longan Scntfc an Tchnca, Nw-Yok, 99 & Abt Mssah, Mécan ant t, Dno, 995 & Mtch Wssbth, Atos an Mocs, Stnt ton, Acac Pss, Nw- Yok, 978 & Jan-Ca Mat, Rog Fon, Cos ch, Dno, 995 & Rné D, Ch généa, Tchn t ocntaton - Lavos, Pas, 988 & Phys ant ésé cos JP Masat & L copént IA poycopé M Kn 45