Equations aux dérivées partielles

Chapite 3 Equations aux déivées patiees 3.1 Qu est-ce qu une EDP? Soit u = u(x, y,... une fonction de pusieus vaiabes indépendantes en nombe fini. Une EDP pou a fonction u est une eation qui ie : es vaiabes indépendantes (x, y,... a fonction "inconnue" u (vaiabe dépendante. un nombe fini de déivées patiees de u. F(x, y,..., u, u x, u y, 2 u,... = (3.1 x2 u est soution de EDP si, apès subsitution, a eation F(x, y,..., u, u x, u y, 2 u x 2,... = est satisfaite pou x, y,... appatenant à une cetaine égion Ω de espace des vaiabes indépendantes. y x Remaque Sauf mention contaie, on exige que a fonction u et es déivées patiees intevenant dans EDP soient continues su Ω. Les EDP inteviennent tès souvent dans es pobèmes physiques : en éectomagnétisme (équations de Maxwe, en mécanique des fuides (équation de Navie-Stokes, en mécanique quantique (équation de Schödinge i Ψ 2 t (x, t = 2 Ψ 2m (x, t+v(xψ(x, t,... x 2 59

6 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Exempe u x 2 u =avec u = u(x, y (équation de diffusion y2 u 1 (x, y =2x + y 2 soution dans tout R 2. u 2 (x, y =e x sin (y soution dans R 2. { u 3 (x, y = 1 x> e y2 4x soution dans Ω 4πx y R.2.18.16.14.12.1.8.6.4.2-1 -8-6 -4-2 2 4 6 8 1 Fig. 3.1 u 3 (x, y avec x =2 u 3 (x, y dy = 1 4πx = 1 π =1 e y2 4x dy on pose u = e u2 du y 2 x

3.1. QU EST-CE QU UNE EDP? 61 Remaque 1 I = e u2 du ( ( I 2 = e u2 du e v2 dv = e (u2 +v 2 du dv =2π e 2 d = π Remaque 2 im x +u 3(x, y est a distibution de Diac. 2 u x 2 + 2 u =où u = u(x, y y2 ( La fonction u : (x, y n x 2 + y 2 est soution dans R 2 \{} { Rq : Considéons coodonnées poaies θ ũ(, θ =u(x, y et 2 u x 2 + 2 u y 2 = 2 ũ 2 + 1 ũ + 1 2 ũ 2 θ 2 On cheche une soution ũ adiae, c est-à-die indépendante de θ. 2 ũ 2 + 1 ũ = ũ = α (α R ũ( =α n (+β (β R u(x, y = α 2 n ( x 2 + y 2 + β Remaque Signification du Lapacien. 2 u x 2 + 2 u =avec u = u(x, y y2 Soit ε> u(x ε, y =u(x, y ε u x (x, y+1 2 ε2 2 u x 2 (x, y+o( ε 3

62 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES u(x + ε, y =u(x, y+ε u x (x, y+1 2 ε2 2 u x 2 (x, y+o( ε 3 2 u u(x ε, y 2u(x, y+u(x + ε, y = x2 ε 2 +O(ε 2 u u(x, y ε 2u(x, y+u(x, y + ε = y2 ε 2 +O(ε 2 u x 2 + 2 u u(x ε, y+u(x + ε, y+u(x, y ε+u(x, y + ε 4u(x, y = y2 ε 2 +O(ε Si u est soution de u =,aos: u(x, y = 1 [ ] u(x ε, y+u(x + ε, y+u(x, y ε+u(x, y + ε 4 u =signifie que a vaeu de u en un point est égae à a vaeu moyenne de u su es quate pus poches voisins (voi schéma. (x,y+ε (x ε,y (x+ε,y (x,y ε u ne peut pas ête extemum en (x,y. u est soution de 2 u x 2 + 2 u =dans Ω. y2 Pus généaement, su un ouvet connexe, on monte que : u(x,y = 1 u(x, yd = 1 2π u(x + cos θ, y + sin θdθ 2πR C R (x,y 2π Pincipe du Maximum Soit u(x, y, une fonction soution de 2 u x 2 + 2 u =dans un ouvet boné connexe Ω de y2 R 2. On note Ω a fontièe de Ω. On suppose de pus u continue dans Ω Ω qui est une égion femée du pan. Si u n est pas une fonction constante su Ω Ω aos a vaeu maximae de u et a vaeu minimae de u sont atteintes uniquement su Ω.

3.2. GÉNÉRALITÉS SUR LES EDP 63 (x,y C (x,y Exempe u :(x, y, z 1 x 2 + y 2 + z 2 est soution de u =dans R3 \{(,, } On peut considée ici anaogie avec une chage à oigine. 3.2 Généaités su es EDP Définition On appee ode d une EDP ode e pus éevé des déivées patiees intevenant dans EDP. Exempe u x + u y = 1e ode. Définition Si u et ses déivées patiees appaaissent sépaément et "à a puissance 1" dans EDP, cee-ci est dite inéaie. Exempe u = u(x, y u x + u y = 1e ode inéaie. u x + u +sinu = y 1e ode non-inéaie. u x + u u 2 y 2 = 2ème ode non-inéaie.

64 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Remaque cos ( xy 2 u u y2 x x = tan ( x 2 + y 2 1 e ode, inéaie, inhomogène. Pou une EDP } inéaie homogène : u 1 soution λu 1 + µu 2 est soution. u 2 soution 3.3 EDP inéaies du 1 e ode A(x, y u +B(x, y u +C(x, yu =D(x, y x y { inéaie est a fome a pus généae pou une EDP 1 e ode Exempe (1 u x + u y = du = u u u dx + dy = ( dy dx x y y Si dx et dy sont eiés pa dx dy =,aos du = Su chacune des coubes de a famie y x = ξ u ne dépend de que ξ. (ξ R, a fonction u est constante. Donc u(x, y =f(ξ =f(x y où f est une fonction abitaie d une seue vaiabe, de casse C 1 (R Les doites y x = ξ sont es caactéistiques de EDP considéée. y x (2 u x + y u y =avec u = u(x, y, est une EDP du 1e ode, inéaie, homogène. du = u u dx + x y dy = ( y dx + dy u y

3.3. EDP LINÉAIRES DU 1 ER ORDRE 65 Si du et dx sont eiés pa y dx + dy =,aosdu =. u est constante e ong des coubes y = ξe x. y ξ x Concusion La soution généae de u x + y u =est de a fome : y u(x, y =f(ye x où f est C 1 (R (3 x u x +2 u 2u = y du = u u dx + x y dy = u x dx + 1 ( 2u x u dy 2 x = u ( dx 12 x x dy + u dy Si dx et dy sont eiés pa dx 1 x dy =,aos du = u dy. 2 y x x = ξe y 2. Su chacune de ces coubes, u = cste.e y

66 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Concusion : La soution généae est de a fome : u(x, y =e y f Poposition ( xe y 2 Si on impose es vaeus de u su une coube Γ qui n est pas une caactéistique de EDP, aos on peut identifie a fonction f. y Γ x Si on impose : u(x, y ==ϕ(x (ϕ est donnée aos i vient : u(x, y ==f(x =ϕ(x( x R et pa suite : ( f ϕ et u(x, y =e y.ϕ xe y 2 d où : ( u (x, y =e y.ϕ xe y 2 Remaque Si on impose u(x, y ==ϕ(x uniquement su x [ a, b] aos : ( x à a zone hachuée, u(x, y =e y.ϕ xe y 2 En dehos de a zone hachuée, a soution est de a fome u(x, y =e y f(xe y 2 avec f indéteminée (comme on exige u continue, i faut que : im (x =ϕ (a x a f im (x =ϕ (b x b +f 3.4 Cassification des EDP inéaies du 2 nd ode, à coefficients constants A 2 u x 2 +B 2 u y x +C 2 u y 2 +D u x +E u y +Fu +G= Les tois pemies temes coespondent à a patie pincipae. A,B,...,G sont des constantes. Le type de EDP dépend du signe de B 2 4AC.

3.5. CONDITIONS AUX FRONTIÈRES ET PROBLÈME "BIEN POSÉ" 67 y x e -y/2 = a a b x x e -y/2 = b Cassification : Si B 2 4AC >, aos EDP est dite hypeboique. Si B 2 4AC =, aos EDP est dite paaboique. Si B 2 4AC <, aos EDP est dite eiptique. Exempe (i 2 u y 2 c2 2 u =avec c> x2 B 2 4AC = 4c 2 >. Ainsi équation des ondes est hypeboique. (ii u t u d 2 =avec d> x2 B 2 4AC =. Ainsi équation de a diffusion est paaboique. (iii 2 u x 2 + 2 u y 2 = B 2 4AC = 4 <. Ainsi équation de Lapace est eiptique. (iv y 2 u x 2 2 u =: Equation de Ticomi. y2 y> EDP est hypeboique. y = EDP est paaboique. y< EDP est eiptique. 3.5 Conditions aux fontièes et pobème "bien posé" Soient u = u(x, y et une EDP vaide dans Ω domaine (ouvet connexe. Tois types de conditions aux fontièes existent : 1. On impose a vaeu de u su Ω. C est a condition de Diichet. 2. On impose a vaeu de u ( n = gad u. n. C est a condition de Neumann.

68 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES 3. On impose ces deux conditions su Ω. C est a condition de Cauchy. Remaque Si EDP est vaide dans tout espace, i n y a pas de fontièe. (On impose aos souvent des conditions à infini. Pobème "bien posé" Soit une EDP vaide dans Ω, munie de conditions aux fontièes. Le pobème est bien posé si : 1. i existe une soution de EDP satisfaisant es conditions fontièes (existence. 2. a soution doit ête unique (unicité. 3. a soution doit ête stabe pa appot aux conditions aux fontièes imposées (stabiité. Exempe Equation de Lapace en deux dimensions : 2 u x 2 + 2 u =avec Ω={ <x< + ; y>} y2 Conditions aux fontièes : (Cauchy u(x, y ==f(x x R u (x, y ==g(x y x R Ω δω Remaque Si f = g = u g On consièe (i f(x = 1 x cos (nx n R, n N Aos u(x, y = 1 n cos(nxch(ny Losque n est gand, a condition u(x, y == 1 cos(nx diffèe peu de a condition n u(x, y ==. La soution, ee, diffèe beaucoup à cause du cosinus hypeboique, e pobème n est pas stabe et donc i est "ma posé".

3.6. EQUATION DES ONDES 69 Tabeau écapituatif Pou une EDP du second ode inéaie à coefficient constants, on a un pobème bien posé dans es cas suivants (conditions suffisantes : 3.6 Equation des ondes Type Fontièe Conditions Hypeboique ouvete Cauchy Paaboique ouvete Diichet ou Neumann Eiptique femée Diichet ou Neumann x R, 2 u t 2 c2 2 u x 2 = Soution généae : { ξ = x ct η = x + ct 2 U U(ξ,η =u(x, t ainsi = : fome canonique. ξ η U(ξ,η =f (ξ+g (η f,g sont des fonctions abitaies de casse C 2 (R u(x, t =f(x ct+g(x + ct Toute patie pincipae d une soution d une équation hypeboique peut ête mise sous cette fome. On impose es conditions aux imites : u(x, = φ(x, avecφ de casse C 2 (R u t (x, = ψ(x, avecψ de casse C1 (R Soution de d Aembet : u(x, t = 1 2 [φ(x ct+φ(x + ct] + 1 2c x+ct x ct ψ(sds En un point (x, t avec t>, avaeudeu(x, t dépend uniquement des vaeus de φ en x ct et x + ct et des vaeus de ψ dans intevae [x ct, x + ct]. L intevae [x-ct,x+ct] est dit ête intevae de dépendance du point (x,t. D un point de vue invese : es vaeus de u et de u t en (x = x,t =n infuent su u(x, t que si (x, t appatient à a zone hachuée. 3.7 Equation de diffusion 3.7.1 Equation de diffusion su ensembe de a doite R u t u D 2 = (D> x2

7 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES t (x,t (x-ct, (x+ct, x t x Condition initiae : u(x, = φ(x avec x R, φ étant continue et bonée. On va monte que a soution est : u(x, t = + 1 φ(y e (x y2 4Dt 4πDt dy Poposition u(x, t ci-dessus est C su { <x<+,t>} On définit : G(x, t = 1 4πDt e x2 4Dt x R et t> G est a soution fondamentae ou "fonction de Geen" pou équation de Diffusion. On a : + G(x, t dx = 1, pou t>. On peut aos écie : u(x, t = + φ(yg(x y, t dy

3.7. EQUATION DE DIFFUSION 71 onde.nb 1.6.4.2 1 1.5-2.5 2 Fig. 3.2 Soution de d Aembet à équation des ondes (x en hoizonta, ct en pofondeu dans e cas où φ =exp( 1 1 x 2 si x < 1 et sinon

72 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Remaques I s agit d un poduit de convoution. La "vaie" fonction de Geen est : g(x, t =H(t e x 2 4Dt 4πDt définie su R x R (g se éduit à G su R x R +. Démonstation On utiise a tansfomée de Fouie : En penant a tansfomée de Fouie, û(k, t = 1 + u(x, te ikx dx 2π u t u û D 2 = = x2 t D(ik2 û = û t = Dk2 û = û(k, t =û(k, e Dk2 t O, en notant ˆφ a tansfomée de Fouie de φ, û(k, = ˆφ(k donc û(k, t = ˆφ(ke Dk2 t u(x, t = F 1 [ ˆφ(ke Dk2t ] 1 1 = φ(y e (x y2 4Dt 2π 2Dt dy Rappe F 1 [e Dk2t ]= 1 e x2 4Dt 2Dt Remaques Cette démonstation pa a TF suppose que φ L 1, mais e ésutat este vai si φ n est que continue et bonée. + 1 Siφ(x est continue pa moceaux et bonée aos a fonction u(x, t = φ(y e (x y2 4Dt dy 4πDt est soution de équation : u t u D 2 x 2 =. Mais quand t +, a fonction u(x, t 1 2 (φ(x +φ(x +, quand x est un point de discontinuité de φ. u(x, t este C su { <x<+,t>}.

3.7. EQUATION DE DIFFUSION 73 ϕ(x u(x,t t= u(x,t> x a b a b x { > su [a, b] Siφ(x = aos u(x, t > x R (t > en dehos de [a, b] Cea coespond à une "vitesse de popagation infinie". Cas{ paticuie : 1 si x < 1 φ(x = si x > 1 On a aos (pou tout t> u(x, t = 1 { ( ( } 1 x (1 x ef 2 2 ef t 2 t (voi figue 3.3 où ef(x = 2 x e β2 dβ est a fonction eeu. π Remaque : im t + u(x =1,t=1 2 im t + u(x = 1,t=1 2 3.7.2 Equation de diffusion avec un teme souce On cheche à ésoude e pobème de diffusion en incuant un teme souce f(x, t u t u D 2 = f(x, t x R,t>,f continue x2 u(x, = φ(x x R Pa inéaité, on peut sépae e pobème en deux : u Pobème A t u D 2 =x R,t> x2 u(x, = φ(x x R u Pobème B t u D 2 = f(x, t x R,t>,f continue x2 u(x, = x R Pobème A : u(x, t = + φ(yg(x y, t dy

74 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Untited-4 1 1.8.6.4.2-4 -2 2 4 Fig. 3.3 Soution de équation de diffusion à t =,.1 et 1 dans e cas φ(x =1si x < 1 et si x > 1

3.7. EQUATION DE DIFFUSION 75 Pobème B : On empace e teme souce pa une condition initiae. v(x, t est soution de équation de diffusion. v Pobème B t D 2 v =x R,t>τ x2 v(x, t = τ =f(x, t = τ x R Soit v(x, t = τ a soution du pobème B. Poposition (Pincipe de Duhame v(x, t = τ = La fonction u définie pa u(x, t = Soution du pobème initia u(x, t = + φ(yg(x y, t dy + + t t G(x y, t τf(y, τ dy ( v(x, t, τdτ est soution du pobème B. + G(x y, t τf(y, τ dydτ 3.7.3 Soution éémentaie (fonction de Geen de opéateu de diffusion Distibution dans R n (n N On appee D(R n ensembe des fonctions de R n dans C indéfiniment déivabes et à suppot boné. Exempe (n=3 ζ : R 3 R 1 exp( si <1 (x 1,x 2,x 3 ζ(x 1,x 2,x 3 = 1 2 si 1 = x 2 1 + x2 2 + x2 3 ζ D(R3 Définition On appee distibution de R n un éément de ensembe des fonctionnees inéaies et continues su D(R n. Exempe Soit f une fonction de R n C, ocaement sommabe. On peut ui associe une distibution éguièe T f tee que : T f,ϕ = f(x 1,..., x n ϕ(x 1,..., x n dµ(x 1...dµ(x n ϕ D(R n

76 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Distibution de Diac : δ : D(R n C ϕ(x 1,..., x n ϕ(,..., Déivées patiees dans D (R n Soit T D (R n ( ensembe des distibutions su R n. Aos, T x i,ϕ = T, ϕ x i ϕ D (R n C est a déivée patiee de a distibution. Remaques Soit T D (R n aos T δ =T Soit T D (R n, S D (R n. On suppose que T S existe. Aos Définition (T S = T S=T S x i x i x i Soit L un opéateu difféentie inéaie, d ode n (n N, à coefficients constants. Une distibution E de D (R n satisfaisant à : LE = δ est dite soution fondamentae de opéateu L. Remaque Si E est une soution fondamentae de L et si E D (R n est te que LE =,aos E+E est aussi soution fondamentae pou L. Poposition Tout opéateu difféentie inéaie à coefficients constants admet une soution fondamentae (dans D (R n. Poposition Soit L un opéateu difféentie à coefficients constants d ode n. Soit E une soution fondamentae de L(E D (R n /LE = δ. SoitF D (R n tee que E F existe dans D (R n aos a distibution U=E F est soution de LU = F.

3.7. EQUATION DE DIFFUSION 77 3.7.4 Soution fondamentae de opéateu de diffusion Considéons a fonction : L= t D 2 x 2 = g : R 2 R (x, t H(t e x2 4Dt 4πDt H(t est a fonction de Heavyside. La fonction g(x, t étant ocaement sommabe su R 2, on peut ui asssocie une distibution éguièe notée T g. Cacuons T g,ϕ = g(x, tϕ(x, tdµ(xdµ(t ϕ D(R n 1 = e x2 4Dt ϕ(x, t dx dt 4πDt ( x D 2 t 2 T g : x R t [,+ [ ( x D 2 t 2 T g,ϕ = T g, ϕ ϕ t +D 2 x 2 = x R t [,+ [ e x2 ( 4Dt ϕ ϕ 4πDt t +D 2 x 2 dx dt x R t [,+ [ Pa intégation pa paties, e x2 4Dt 4πDt ϕ t ( + dx dt = im ε R ε = im ε I ε e x2 4Dt ϕ 4πDt t dt dx I ε = 1 16π x R t [,+ [ ( x 2 2t 5 2 1 e x2 e x2 4Dε t 3 4Dt ϕ(x, t dx dt ϕ(x, ε dx 2 R 4πDε De même, x R t [,+ [ e x2 4Dt Apès deux intégations pa paties (vaiabe x, J ε = 1 16π x R t [,+ [ 2 ϕ dx dt = im 4πDt x2 ( x 2 2t 5 2 ε J ε 1 e x2 t 3 4Dt ϕ(x, t dx dt 2

78 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES e x2 4Dε I ε +J ε = ϕ(x, ε dx R 4πDε ( x 2 t 2 T g,ϕ = im I ε +J ε ε + = im ε + = im ε + = ϕ(, R R e x 2 4Dε ϕ(x, ε dx on pose y 2 = x2 4πDε 4ε e ϕ(2 εy, ε y2 dy π Donc, ( x 2 t 2 T g = δ dans D (R 2 où δ est a distibution de Diac : <δ,ϕ>= ϕ(,, ϕ D(R 2 T g est donc une soution éémentaie de opéateu de diffusion. Remaque ( Soit F D (R 2 dont e poduit de convoution avec T g existe, aos F T g satisfait t D 2 x 2 F T g =F. Cas paticuie : F est une distibution éguièe, notée T f, associée à une fonction f de R n C ocaement sommabe. F T g =T f T g =T f g ( t D 2 x 2 T f g =T f On peut aos die que : ( t D 2 x 2 (f g(x, t =f(x, t x R, t R 3.7.5 Equation de diffusion su R + u t u D 2 x 2 = avec x R+, t R + On impose u(x =,t=, quand t>. La condition initiae est : u(x, = φ(x, x> On définit :

3.7. EQUATION DE DIFFUSION 79 ϕ(x u(x, u(x,t φ(x si x> ψ(x si x = φ( x si x< Remaque ψ( = 1 2 [ψ(+ +ψ( ] = Ψ(x x v v(x, t est soution de t D 2 v =,x R,t> x2 v(x, = ψ(x,x R ϕ(x ϕ(x,t x + v(x, t = g(x y, tψ(y dy v(x =,t> =

8 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES im t + v(x, t =ψ(x La estiction de v(x, t à x> est bien a fonction u(x, t echechée. Pou t>, x> : u(x, t = + g(x y, tψ(y dy = + (g(x y, t g(x + y, tφ(y dy Donc, u(x, t = 1 + (e (x y2 4Dt 4πDt e (x+y2 4Dt φ(y dy Cas paticuie φ(x =1pou x> u(x, t = 2 π x 4Dt e 2 d x = ef( 4Dt où ef(y = 2 π y e 2 d est a fonction eeu. 3.8 Equation de diffusion su un domaine spatia boné u t u D 2 = pou <x<, t> x2 u(x =,t=,t> u(x =, t =,t> u(x, = ϕ(x pou <x< On utiise a méthode de sépaation des vaiabes en posant u(x, t =f(xg(t. L équation de diffusion devient donc : f(xg (t Df (xy(t = 1 g (t D g(t = f (x = cste = λ f(x λ R { g (t = Dλg(t Soit f (x = λf(x On se amène donc à des équations difféentiees odinaies. x == f(g(t = x = = f(g(t = On ne etient que a soution f( = f( =, en ejetant a soution g(t =.

3.8. EQUATION DE DIFFUSION SUR UN DOMAINE SPATIAL BORNÉ 81 Ef.nb 1.1.8 1.8.6.6.4.4.2.2 1.75.5.25 Fig. 3.4 Fonction ef ( x 4Dt en fonction de x et Dt

82 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Fonction f(x { f (x = λf(x La fonction f est soution du pobème f(x == f(x = = I s agit d un cas paticuie d un pobème pus généa : e pobème de Stum-Liouvie. Les vaeus de λ pou esquees i existe une soution non nue sont dites vaeus popes. Les fonctions f associées sont dites fonctions popes. Si λ =: f(x =ax + b f( = f( == a = b = λ =n est donc pas vaeu pope. Si λ< : λ = k 2 f(x =ae kx + be kx f( = f( == a = b = λ< n est donc pas vaeu pope. Si λ> : λ =+k 2 f(x =a cos kx + b sin kx f( = f( == a =et b sin k =donc k = k n = nπ avec n Z On a donc λ = λ n = n2 π 2 2 avec n N ( nπx Les fonctions popes sont donc f = f n = b sin avec n N. Fonction g(t g (t = Dλg(t = g(t =cste e λdt Pou n N, g(t =g n (t =c n e n2 π 2 2 Dt Soution généae ( u = u n (x, t =c n e n2 π 2 2 Dt nπx sin avec n N Afin de détemine es c n, on utiise a condition initiae u(x, = ϕ(x. Comme + ( u(x, t = c n e n2 π 2 2 Dt nπx sin n=1 I vient, u(x, t == + n=1 ( nπx c n sin = ϕ(x

3.8. EQUATION DE DIFFUSION SUR UN DOMAINE SPATIAL BORNÉ 83 ( mπx ϕ(xsin dx = n=1 = = 2 + n=1 + ( + ( nπx c n sin n=1 ( ( nπx c n sin n=1 c n δ n,m sin sin ( mπx ( mπx dx dx = 2 c m Donc c n = 2 ( nπx ϕ(xsin dx : i s agit des coefficients de Fouie de ϕ. La soution echechée est donc : + [ 2 ( ( nπx u(x, t = ϕ(xsin dx ]e n2 π 2 2 Dt nπx sin Conditions suffisantes Si, ϕ est continue su [,] ϕ est continue pa moceaux su [,] ϕ( = ϕ( = Aos + ( nπx c n sin convege unifomément et absoument ves ϕ(x su [,]. Unicité n=1 On mutipie es 2 membes équation de diffusion pa u. u u t u Du 2 x 2 = 1 u 2 u 2 t =Du 2 x 2 Pa intégation pa paties, on obtient : 1 u 2 2 [ u [u dx =D 2 x 2 =D u ] ( u 2 x] dx = D } {{ } x = Donc on a une fonction décoissante : ( u 2 dx x 1 u 2 (x, t dx 1 u 2 (x, dx 2 2 Soient u 1 (x, t et u 2 (x, t deux soutions du pobème. Soit v(x, t =u 1 (x, t u 2 (x, t aos v est soution de : v t D 2 v = pou <x<, t> x2 v(x =,t=,t>

84 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES v(x =, t =,t> v(x, = pou <x< O on a : 1 v 2 (x, t dx 1 2 2 Donc : v =et u 1 = u 2. v 2 (x, dx = Exempes (a ϕ(x =x(π x u t 2 u =,avec <x<π x2 u(,t=u(π, t =,pou t> c n = 2 π ( nπx x(x πsin =4 1 ( 1n π π n 3 π u(x, t = 8 π 1 sin((2m 1x (2m 1 3 e (2m 12 Dt (b ϕ(x =x Remaque ϕ(x pou x = π π c n = 2 x sin(nx dx = 2 π n ( 1n u(x, t = ( 2 n=1 n ( 1n sin(nxe n2 Dt Remaque Retou { su a diffusion su tout R. u t u D 2 x 2 x R, t>u(x, = ϕ(x x R Ici pas de CL donc pas de estictions su k. + ( u(x, t = dk a(k cos(kx +b(k sin(kx e k2 Dt + ( o ϕ(x = dk a(k cos(kx+b(ksin(kx et ϕ(x = 1 + a(k = 1 ˆϕ(k dke ikx ˆϕ(k d où 2π 2π b(k = i ˆϕ(k 2π + u(x, t = dk ˆϕ(k e ikx e k2dt = 1 dξϕ(ξ dke ikx e ikξ e k2 Dt 2π 2π 1 + o dke ik(ξ x e k2dt = 1 e (x ξ2 4Dt 2π 2Dt

3.9. SOLUTION FONDAMENTALE DE L OPÉRATEUR DE HELMHOLTZ DANS R 2 85 u(x, t = + 1 dξϕ(ξ e (x ξ2 4πDt 4Dt t> 3.9 Soution fondamentae de opéateu de Hemhotz dans R 2 Soit : f : R 3 C tee que ( ( + k 2 2 f = x 2 1 +k 2 (k R On cheche E te que dans D (R 3 : ( + k 2 E = δ Rappe : δ, ϕ = ϕ(,, ϕ D(R 3 + 2 x 2 + 2 2 x 2 f(x 1,x 2,x 3 +k 2 f(x 1,x 2,x 3 3 Remaque f = f( fonction adiae ( + k 2 f = f = f (+ 2 f (+k 2 f( = On pose g( =f( donc g est soution de g (+k 2 g( =. cos k Apès cacus, on obtient : f( =C 1 Attention : 1 cos k et +C 2 sin k sont ocaement intégabes dans R 3. avec (C 1, C 2 C C 1 cos k ( sin k cos k sin k +C 2,ϕ = dx 1 dx 2 dx 3 C 1 +C 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 R 3 1( + k 2 sin k ( + k 2 sin k,ϕ = = = = sin k, ( + k 2 ϕ d 3 sin k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 ( ( + k 2 sin k ϕ(x 1,x 2,x 3 d 3 x en effectuant des intégations pa paties et ca ( + k 2 sin k =dans tout R 3.

86 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES ( + k 2 sin k = O avec O a distibution nue 2( + k 2 cos k ( + k 2 cos k,ϕ = = cos k, ( + k 2 ϕ d 3 sin k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 ( ( + k 2 sin k ϕ(x 1,x 2,x 3 d 3 x L intégation pa paties ne mache pas ca es déivées patiees secondes de ne sont pas ocaement sommabes. d 3 cos k x ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 = im ε, >ε = im ε I ε I ε = d 3 x >ε cos k ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 cos k cos k dx 1 dx 2 dx 3 ( + k 2 ϕ(x 1,x 2,x 3 Rappe : d 3 cos k x ϕ = >ε >ε avec dσ ε = ε 2 sin θdθdϕ. ( cos k d 3 x ( cos k ϕ ϕ + =ε + ϕ Pou obteni cette égaité, on a utiisé e théoème de Geen. I ε = =ε ( cos k ϕ + ϕ ( cos k dσ ε (cos k dσ ε ( Soit dω =sinθdθdϕ cos k sin k cos k = k ϕ I ε = ε cos kε dω kε sin kε im ε =++( 4πϕ( ϕdω cos kε ϕdω ( + k 2 cos k = 4πδ dans D (R 3

3.1. ESPACE FONCTIONNEL 87 La soution fondamentae est donc : Remaques : ( + k 2 e±ikx = δ ( 4π 1 = 4πδ ( 1 = δ 4π cos k 4π 3.1 Espace fonctionne Soit [a, b] un intevae de R L 2 (a, b est ensembe des fonctions de caé sommabe su [a, b]. f(x 2 dµ(x < Remaque [a,b] Pou a constuction de L 2 (a, b, deux fonctions égaes pesque patout su [a; b] sont considéées comme identiques. L 2 (a, b est un espace vectoie de dimension. On peut muni L 2 (a, b de a nome suivante : f L 2 (a,b =( f(x 2 dµ(x 1 2 [a,b] Poposition L espace L 2 (a, b muni de a nome ci-dessus est un espace de Banach (Toute suite de Cauchy convege ves un éément de cet espace vectoie. L espace vectoie L 2 (a, b nomé est compet. La nome ci-dessus déive du poduit scaaie : (f,g L 2 (a,b = f(x g(xdµ(x Poposition L 2 (a, b estunespacedehibet. [a,b] Définition

88 CHAPITRE 3. EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES Soit f 1,f 2,.. L 2 (a, b On dit que cette suite de fonctions convege en moyenne quadatique ves un éément f L 2 (a, b si : im f n f L n 2 (a,b = Poposition Soit φ 1,φ 2,... L 2 (a, b te que : 1. (φ n,φ m L 2 (a,b =si n m. 2. La seue fonction g L 2 (a, b tee que (g, φ n L 2 (a,b = n =1, 2,... est a fonction nue. Aos ensembe φ 1,φ 2,... fome une base othogonae de L 2 (a, b. Exempe ( πx Les fonctions sin, sin L 2 (,. ( 2πx, sin ( 3πx,... foment une base othogonae de Poposition f L 2 (a, b, soitφ 1,φ 2,... une base othogonae de L 2 (a, b. Les coefficients de fouie de f sont : C n = (f,φ n (φ n,φ n On monte que a séie + C n (fφ n convege en moyenne quadatique ves f : n=1 im p + p C n (fφ n f = L 2 (a,b n=1 Remaque La poposition ne dit pas que a somme convege simpement ves a fonction f, ise peut que : ( p im C n (fφ n (x f(x p + n=1