Correctio : Limites, cotiuité, dérivabilité Exercices de base U algorithme a est la valeur de la variable x pour laquelle o cherche ( x ), p est la précisio utilisée das le calcul : plus o avace das la boucle, plus p dimiue (divisé par 0 à chaque itératio) Pour a=, la octio deviet très grade : ( + 0,00 ) 4758, ted vers l iii (+ ou ) lorsque x ted vers (par valeurs supérieures ou iérieures) 0,00 4750 O dira que 6 Pour a=, o a das tous les cas u résultat proche de 0 (par exemple ted vers 0 lorsque x ted vers + 0,00000, 0 ): Pour a=0, o a das tous les cas u résultat proche de (par exemple ( 0 + 0,00000 ),0004) : ted vers lorsque x ted vers 0 Par exemple pour + : Etrée : octio ; a réel ; etier Traitemet p Tat que p < 0 a + p y p 0 p Fi tat que Sortie y 4 O modiie l algorithme de la maière suivate : Etrée Traitemet : octio ; a réel ; etier p Tat que p > 0
Sortie ( + ) ( a ) a p p/0 Fi tat que y p p y a Cet algorithme ait la même chose que précédemmet sau que le résultat obteu est le ombre dérivé de e a b O obtiet 4 das les deux cas c Le coeiciet directeur de la tagete e 0 à la courbe de est 4 Foctio ratioelle Lorsque x deviet grad (e + et e ), x deviet le terme prépodérat das + x + x ted vers + et ted vers 0 La droite y = 0 est asymptote de la courbe de '( x ) = x ( + x + x ), est croissate avat /, décroissate après ; ( / ) = 4/ + x + x, doc Positio de ( Γ ) par rapport à (AB): y = x + ; o calcule le sige de
x x x + x + x + x x x x ( x ) x + = x + = = = + x + x + x + x + x + x + x + x x x a pour racies et / ; u tableau de siges et le tour est joué x / 0 + Sige (AB) + + Positio ( Γ )/ ( AB ) ( AB )/( Γ ) / ( AB ) Γ ( AB )/( Γ ) Pour les tagetes c est pareil, sau qu il aut calculer les équatios des tagetes : e A y = x +, e B : y = x + TVI, octio ratioelle, asymptote a g' ( x ) x ( 4x ) ( x ) ( x ) = = = + x / / + '( x ) + + 7 9 + Le polyôme se comporte comme b Pour 4x à l iii x < g est tout le temps égative Etre / et + elle est mootoe croissate et passe d u égati à du positi, elle s aule ue seule ois sur cet itervalle (, 45 ) 0,6,45 α,46 c Lorsque x α, g est égative, lorsque x α, g est positive a '( x ) ( ) ( + ) 4 4 4 g = et x 4x x 8x x x 8x 8x 4x x 8x xg x = = = = 4x 4x 4x 4x Pour x, x est positi doc est du sige de g g, 46 = 0,07 doc b Sur cet itervalle g est positive doc est croissate α α + 8 g α = α α = α = et α = d où e remplaçat das : 4 4α + 8 c 0 4 8 0
( α ) α + α + = = ; o aura doc : 4α 6α 4 α + α = α = α 4α + 96 = 48α α 4α α 8 = 0, 8 6α 4 8 ok O a doc α,45 0,55 8 a O met tout au même déomiateur, o développe et o ordoe : x ( ax + b )( 4x ) + c( x + ) + d ( x ) 4ax + 4bx + ( a + c + d ) x + ( b + c d ) = = 4x 4x Par idetiicatio des coeiciets o a : 4a = a = /4 a = /4 a = /4 a = /4 4b 0 b 0 b 0 b 0 = = = = b = 0 ; a + c + d = 0 c + d = /4 c + d = /8 c = /8 + c = 9/6 b + c d = c d = c d = d = /8 d = 7 /6 o remplace : ( x ) b O a ( x ) 9/6 7 /6 = x + 4 x x + 9/6 7 /6 x = 4 x x + qui ted vers 0 à l iii doc la droite D d équatio asymptote de (C); = = = y = x est 4 9 7 8x + 9 4x + 7 4x + 6 x x Il reste à aire 4 6 x x + 6 4x 6 4x le sige pour avoir la positio c D et C se croiset e 4 (pas très visible mais de toutes maières o s e iche car o est sur [ ; + [ ) 4
4 TVI et tagetes O cosidère les octios umériques et g déiies par : ( x ) = x + x + x et g x x x ( x ) x + x g x ' = x + = = x x x g' ( x ) 6x x x ( x ) = + = +, soit le tableau suivat : doc ( x ) et g ( x ) ot le même sige x / 0 + g' ( x ) + + 6/7 = + Jusqu à 0 g est égative, après 0 elle passe d u égati à u positi, elle s aule doc ue ois O a g = > 0 doc g ( x ) = 0 a ue solutio uique α, avec 0 < α < g ( 0,657 ) 0,00 < 0 et Pour x < α, g ( x ) < 0 et pour x > α, g ( x ) > 0 g 0, 658 0,00 > 0 doc 0,657 α 0,658 < < ; 0,87 α x 0 α + g + + + + + 0,87 O désige par C la courbe représetative de das u repère orthoormé (uité cm), par I le poit de C d'abscisse et par J le poit de C d'abscisse + ( ) = et = ; y y + / y = x xj + yj y = x + = x + ; la tagete e J a pour x x + J I a (IJ) a pour équatio : équatio J I y = ' xj x xj + yj y = x + = x + 5
y = ' xi x xi + yi y = x + = x b c O cherche le sige de ( x ) + x x = x + x + + x + = = x x x x + x + x + (repérer l idetité remarquable x + = x + x + x + ) qui est doc positi sur ] ; [ ] 0; + [ (la courbe C est au-dessus de T) et égati sur ] 0; [ 4 E poitillé la courbe de g 5 ROC et dérivées S, Frace métropolitaie 007, 5 poits Partie P : Répose : vrai O le démotre par récurrece : supposos que pour ( x ) = x o ait bie '( x ) x alors pour F ( x ) = x + o devrait avoir ' ( ) F' x = x x ' = x ' x + x x ' = x x + x = x + x = + x =, F x = + x ; or o sait que ( uv )' = u' v + uv', doc Q : Répose : aux E appliquat le même raisoemet que pour P o obtiet par récurrece que ' = u' u Partie a O utilise la dérivée de ( g ) = g' ( ' g ) cos x + si x = ) avec = g et g = cos : (o se rappelera égalemet que 6
six six h' ( x ) = ( cos x )' g' ( cosx ) = six = = cos x six Comme o est sur ] π ;0 [ ( x ) si, six est égati et doc six six h' x = = d où = x + K ; par ailleurs π π h = g cos = g ( 0 ) = 0 π π π π h = 0 = + K K = h( x ) = x + b O peut e déduire que h( x ) d où 6 Exemples du cours Cocours EPF 009, exercice ( x ) = x s aule e 0 mais sa dérivée '( x ) x = e chage pas de sige Il suit de predre ue octio mootoe croissate sur l'itervalle [ ; ], comme ( x ) = x U truc qui passe so temps à osciller à l iii marche e gééral très bie das ce gere de cas : x x = par exemple où x pas mal o plus 4 ( x ) = cos est plutôt sympa x est la partie etière de x ; ou ( x ) cos ( x ) = qui bie que simple est Exercices itermédiaires Recherche d u équivalet à l iii Dire que x ted vers l iii reviet à predre ue grosse valeur pour x, par exemple 00 ou 00 (si o pred trop gros o risque des débordemets de capacité) 7
O calcule alors ( x )/ x pour des valeurs successives de (avec évetuellemet égati) et o regarde le résultat : si o obtiet quelque chose de petit (E 0 par exemple) ou gros (comme E0), o sait que ça e va pas C est empirique mais ça peut marcher pour des octios pas trop compliquées ( x ) x + x = x est équivalete à x, ( x ) équivalete à 0 e + et à x e, ( x ) x x x = x Dérivabilité Soit la octio déiie par ( x ) ( x ) 4 x x + x x x = x x est = x est équivalete à 4x x + x + x + = est équivalete à / x, = et C sa courbe représetative L esemble de déiitio de est [ ; ] car 4 x ( x ) ( x ) = + doit être positi a Il y a de vrai problème qu e et + : tous les termes sot dérivables, seul u' lorsqu elle s aule à cause de ( u )' = u b '( x ) 4 x ( x ) 4 x pose u problème ( 4 x ) ( x )( x ) ( ) x x x + x x 4 = + = = = 4 x 4 x 4 x 4 x Les racies du triôme sot et O retoure à la déiitio : ( ) ( x + ) x x x + x x x 8 = = = +, pas dérivable, tagete x x + + x + 0 verticale e ( ) ( ) 4 x x x = = 4 x 0, dérivable, tagete horizotale e x x x 4 & 5 x ' + 0 0 0 0 8
Foctios irratioelles Soit u etier aturel et la octio déiie sur [ 0; ] par ( x ) x x ( x ) = O ote C sa courbe représetative das u repère orthoormal (uité graphique 0 cm) y ( x ) x 0 x ( x ) x ( x ) = 0 = = ; si o élève au carré o a y = x ( x ) y + x x = 0 y + x =, 4 soit l équatio d u cercle de rayo /, de cetre (/, 0) C est u demi-cercle car il y a que les y positis a x ( ( ) ) + ( ) ( ) + ( + ) x ( x ) x ( x ) x ( x ) ( ) x ( / ), doc pour 0 < x < ( x ) et + ( + ) x ( x ) x x x x x x ' x = x x x + x = x = x soit ialemet ' même sige + E l occurrece si x < + + + x = x ' x > 0 (remarquez que +, b O reviet à la déiitio e 0 : ( 0 ) x x ( x ) x x 0 x + / est bie compris etre 0 et ) + = = x x x 0, doc dérivable e 0 ; x x 0 O reviet à la déiitio e : ot 9
x x x x x x = = =, doc pas dérivable e x x x 0 c x x 0 + / + ' 0 + 0 (a) 0 0 + ( x ) ( x ) x x ( x ) x x ( x ) x ( x ) x ( x ) + = = ; x 0, x 0 doc C est e dessous de C + 4 4 Suites et sius '( x ) = cosx 0 doc est croissate ; comme ( 0 ) = 0 0 = 0, o a ( x ) 0 sur [ [ a g' ( x ) = x six = ( x ) 0 et g ( 0 ) = + 0 + = 0 doc 0 h' x x cosx g x 0 6 = + + = et h ( 0 ) = 0 doc 0 h x g x ; 0;+ 0
6 6 b O a h( x ) = x + x + six 0 six x x et si 0 si a x = x x x x ( + ) ( + / ) + + / v = + + + = ( + + + + ) = = = = + O cosidère les suites ( u ) et ( ) v déiies pour tout etier aturel o ul de la maière suivate : u = si + si + si + + si et v = + + + + 4 4 b ( ): + + + ; vériios ( ):, ok O suppose ( ) vraie et ajoutos ( + ) 4 : ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 + + +? O développe : + + + + + + + ; a-t o bie 4 4 + + + + + 4 + 6 + 4 + ; tous les termes de droite sot supérieurs aux termes de gauche doc c est bo c Écrivos les iégalités x x six x e remplaçat x par k/, k compris etre et : 6 si 6 6 si 6 6 k= k= k= k= k k k k + + + si si v u v si 6 6 6 6 6 6 6 6 k= k= k= k= 4 4 + + + + + + Comme + + +, o a bie 6 6 6 6 6 + + + v v u 6 v 6 6 d E appelat les gedarmes, o a e passat à la limite : 0 lim u lim u = + + 5 Sius cardial g' ( x ) = cosx xsix cosx = xsix : sur [ ] 0;π si 0 x doc g' x 0 et g est décroissate
x 0 π g ' 0 g 0 Doc g ( x ) 0 sur [ 0;π ] Soit la octio déiie sur [ π ; π ] a O sait que si ( x ) = six doc π 0 = par six ( x ) = si x [ π ; π ] \{0} x ( ) si x six six x = = = = x x x x La courbe représetative ( Γ ) est symétrique par rapport à l axe vertical (Oy) xcosx six b x 0: '( x ) = qui est doc égative sur ] 0; + π ] ; comme est paire, est positive sur x six [ π ;0 [ Pour la cotiuité e 0, o sait que lim = doc est cotiue e 0 ; pour la dérivabilité e 0 x 0 x six ( x ) ( 0 ) six x o reviet à la déiitio : x = = x 0 x x c E utilisat la méthode du 4 (), o a acilemet que six x six x x 0 six x x 0 x 6 6 x 6 qui ted partout vers 0 lorsque x ted vers 0 O a doc '( 0 ) = 0 d Le lecteur se era ue joie de costruire le chapeau de cardial de la courbe!