3.4 Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 33 3.4 Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 3.4. Théorème de Rouché Notation : Soit f 2H(W) et A W. On note par ](( f ) \ A) le nombre de zéros de f contenu dans A (comptés avec leur multiplicité). 3.4. EXEMPLE. Pour f (z) =z 5 (z ) on a par exemple : ](( f ) \ D(, )) = 5, ](( f ) \ D(, )) =, ](( f ) \ D(2, )) = et ](( f ) \ D(, 2)) = 6. 3.4.2 THÉORÈME (THÉORÈME DE ROUCHÉ) Soit W un ouvert de C, f, g 2H(W). Soit D un disque tel que D W et pour tout z 2 C = D on a f (z) > g(z). Alors f et f + g ont même nombre de zéros (comptés avec leur multiplicité) dans D i.e. ](( f ) \ D) =](( f + g) \ D) Démonstration: On a besoin du lemme suivant 3.4.4 LEMME Soit f 2H(W) et D un disque tel que D W et pour tout z 2 C = D, f (z) 6=. Alors 2ip C f (z) f (z) dz = ](( f ) \ D). Démonstration: (du lemme) Comme D est un compact et ( f ) est un sous-ensemble discret de W, ( f ) \ D = ( f ) \ D est alors un sous-ensemble fini. On peut donc écrire ( f ) \ D = {a,...,a k } et soit m,...,m k leur multiplicité respective de ces zéros. Une application répétée de 3.3.5 nous donne l existence d une fonction holomorphe g 2H(W) telle : f (z) = k i= (z a i ) m i g(z) et g(a i ) 6= pour tout apple i apple k. (on remarquera que g ne s annule pas sur D, car f n a pas d autres zéros dans D.) On obtient, en prenant la dérivation logarithmique de f : f k (z) f (z) = i= z m i + g (z) a i g(z) Par suite 2ip C f k (z) f (z) dz = i= C 2ip m i dz + g (z) z a i 2ip C g(z) dz

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 34 = k m i = ](( f ) \ D) i= R m i z Car, par la formule de Cauchy on 2ip C a i dz = et par le théorème de Cauchy R g (z) g dz =, car C g(z) g est holomorphe dans un voisinage de D. Retour à la démonstration du théorème de Rouché. Pour t 2 [, ] on pose f t = f + tg, alors f = f et f = f + g. On pose n t = ](( f t ) \ D). On doit montrer que n = n. La condition f (z) > g(z) pour z 2 C entraîne que f t (z) 6= pour z 2 C et d après le lemme n t = 2ip C ft (z) dz. Comme, l application f t (z) C [, ]! C, (z, t) 7! f t (z) f t est continue, C et [, ] sont compacts, le théorème (z) sur les intégrales dépendant d un paramètre entraîne la continuité de l application t 7! n t = est connexe. 2ip R C ft (z) f t dz, donc sa constance puisqu elle est à valeurs dans N et [, ] (z) 3.4.2 Le théorème de l application ouverte 3.4.6 PROPOSITION Soit f : W! C un fonction holomorphe et D(a; r) un disque dont l adhérence est contenue dans W. Soit w 2 C tel que l équation f (z) =w a exactement n racines dans D(a; r) et aucune sur le cercle C(a; r). Si d = dist(w, f (C(a; r))), alors pour tout w 2 D(w ; d) l équation f (z) =w a exactement n racines dans le disque D(a; r). Démonstration: Soit w 2 D(w ; d). On pose f (z) = f (z) w et g(z) =w w alors, g(z) = w w < d apple f (z) sur C(a; r). D après le Théorème de Rouché l équation ( f + g)(z) = a autant de racines que f (z) = dans D(a; r) i.e. l équation f (z) =w a autant de racines que f (z) =w, donc exactement n. 3.4.8 DÉFINITION Soit f : X! Y une application entre deux espaces topologiques. On dit que f est une application ouverte si l image d un ouvert de X est un ouvert de Y. 3.4.9 THÉORÈME (THÉORÈME DE L APPLICATION OUVERTE) Soit W un domaine de C et f : W! C une fonction holomorphe et non constante. Alors l image f (W) est un domaine de C.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 35 Démonstration: Soit w 2 f (W), il existe a 2 W tel que f (a) =w. Si on désigne par d(a) la distance de a au complémentaire de W, alors D(a; d(a)) W et f est holomorphe et non constante dans D(a; d(a)). Soit R < d(a), l équation f (z) = w n a qu un nombre fini de racines dans le compact D(a; R), d où il existe r < R tel que f (z) 6= w sur le cercle C(a; r). Alors, si w w < d = dist(w, f (C(a; r))) l équation f (z) =w a au moins une racine dans le disque D(a; r) (car f (a) =w ). Par conséquent le disque D(w ; d) est contenu dans f (D(a; r)) et donc dans f (W) 3.4. COROLLAIRE Toute application holomorphe est une application ouverte 3.4.2 EXEMPLE. Soit W un domaine de C et f 2H(W). Si f (W) n est pas un ouvert de C, alors f est constante. Dans les exemples suivants f est nécessairement constante : si Re( f ) ou Im( f ) est constante, f (W) est contenu dans une droite et donc n est pas ouvert. si f est constante, alors f (W) est contenu dans un cercle et donc n est pas un ouvert. 3.4.3 Le principe du maximum 3.4.3 THÉORÈME Soit W un domaine et et f 2H(W) non constante. Alors f ne peut pas atteindre son maximum dans W. Démonstration: Supposons que f atteigne son maximum en a 2 W i.e. f (a) = f (z) >. Comme f est holomorphe et non constante, c est une application max z2w ouverte, d où il existe d > tel que le disque D( f (a); d) f (W). d Soit w = ( + ) f (a). Alors w 2 D( f (a); d) et par conséquent il existe 2 f (a) z 2 W tel que w = f (z) et d autre part, f (z) = w > f (a), ce qui est absurde. 3.4.5 COROLLAIRE Soit W un domaine borné de C et f 2H(W) \ C (W). Alors, max f (z) = max f (z) z2w z2w W

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 36 Démonstration: Comme W est compact et f est continue, il existe a 2 W, tel que f (a) = max f (z). D après le principe du maximum a 62 W, donc a 2 W W. z2w 3.4.7 REMARQUE L hypothèse W compact est essentielle pour ce résultat. Par exemple si W est le premier cadrant ouvert et f (z) =e iz2. On a f (z) = si z 2 W W mais f n est pas bornée ; en effet f (te ip 4 ) = e t2! + si t! +. 3.4.8 COROLLAIRE (LEMME DE SCHWAR) Soit f : D(; )! D(; ) une fonction holomorphe telle que f () =. Alors f (z) apple z pour z apple. Si de plus, pour un point z de D(; ) on a f (z ) = z alors il existe q 2 R tel que f (z) =e iq.z pour tout z 2 D(; ). Démonstration: On pose 8 < f (z) si z 6=, g(z) = z : f () si z =. Alors g est une fonction holomorphe dans D(; ). Pour tout < r < et z = on a (3.7) g(z) = f (z) z = f (z) r apple r (3.8) D après le principe du maximum max z appler g(z) = max g(z), par suite g(z) apple r pour z =r tout z 2 D(; r). Alors g(z) applelim = pour tout z 2 D(; ), c est à dire que r f (z) z apple pour tout z 2 D(; ). Maintenant, si on suppose que pour z dans D(; ) on a f (z ) = z alors g(z ) = et par suite g atteint son maximum à l ntérieur du domaine D(; ), d après le principe du maximum g est constante i.e. il existe c 2 C(; ) tel que g(z) =c pour tout z 2 D(; ), ce qui se traduit par, il existe q 2 R tel que f (z) = e iq.z pour tout z 2 D(; ). r!

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Théorème de Rouché, application ouverte et principe du maximum. 37 3.4.4 Le théorème d inversion locale 3.4.2 COROLLAIRE Soit f : W! C une fonction holomorphe et injective. Alors pour tout z 2 W, f (z) 6=. Démonstration: Si f (z )= pour un certain z 2 W, d après la proposition 3.4.6, il existe des voisinages ouverts V de z et W de f (z ) tels que pour tout w 2 W, l equation f (z) =w a exactement m racines, où m est la multiplicité de la racine z. Comme f (z )=, m > et par suite f n est pas injective. 3.4.22 REMARQUE la réciproque est en général fausse, i.e. dérivée non nulle n entraîne pas l injectivité. Par exemple, l application f (z) = e z vérifie f (z) 6= pour tout z 2 C, mais comme f () = f (2ip) elle n est pas injective. 3.4.23 DÉFINITION Une application f : U! V est un isomorphisme ( ou biholomorphe) si elle bijective, holomorphe et son inverse est holomorphe. 3.4.24 THÉORÈME (D INVERSION LOCALE) Soit f : W! C une fonction holomorphe. Soit z 2 W tel que f (z ) 6=. Alors, il existe un voisinage U de z dans W et un voisinage V de w = f (z ) dans C tels que la restriction de f à U soit un isomorphisme sur V = f (U). Démonstration: Comme f (z ) 6= l équation f (z) =w a une racine simple en z, et, il existe e > et d > tels que pour tou w 2 D(w ; d), l équation f (z) =w a exactement une racine dans le disque D(z ; e). Soit V = D(w ; d) et U = f (V) \ D(z ; e). Alors f U : U! V est injective, surjective et holomorphe. Il reste à montrer que f : V! U est une fonction holomorphe. La fonction f est continue. En effet, soit O un ouvert de U alors ( f ) (O) = f (O) qui est un ouvert de V car f est une application ouverte. Il reste à montrer que f est dérivable. Soit w 2 V, il existe alors un unique z 2 U tel que f (w )=z (, f (z )=w.) De la continuité de f f (w) f (w ) z z on a, lim = lim w!w w w z!z f (z) f (z ) comme f est injective, f (z ) 6= et par suite f (w) f (w ) z z lim = lim w!w w w z!z f (z) f (z ) = f (z ) = f ( f (w )) d où la dérivabilité de f.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 38 3.5 Formule de Cauchy globale et applications 3.5. Indice d un point par rapport à un lacet Il existe une formule utile pour exprimer combien de fois une courbe fermée ou lacet g tourne autour d un point donné z. Ce nombre, est appelé indice de g par rapport au point z. La formule qu on va utiliser pour calculer l indice est basée sur le calcul qu on a fait dans l exemple 3.2 : Si g est le cercle unité g(t) =e it,apple t apple 2p g dz = 2ip (3.9) z Si g(t) =e it,apple t apple 2np, alors g tourne autour de l origine n fois, et on trouve de la même façon dz = n (3.2) 2ip g z Notation : Si g : I! C est un chemin on notera par g son image g(i). 3.5. DÉFINITION Soit g un lacet de C et z 2 C un point qui n est pas sur g i.e. z 62 g. On appelle indice de z par rapport à g le nombre Ind g (z )= dz (3.2) 2ip g (z z ) 3.5.2 REMARQUE i) Ind g (z ) n est pas défini si z 2 g ii) Ind g (z )=Ind g (z )= Ind g (z ) iii) Si g et g 2 sont deux lacets de même origine et z 62 g [ g 2 alors Ind g _g 2 (z )=Ind g (z )+Ind g2 (z ). 3.5.3 THÉORÈME (THÉORÈME DE L INDICE) Pour tout lacet g : [a, b]! C, on a : (i) Pour tout z 2 C \ g, Ind g (z ) est un entier. (ii) la fonction z 7! Ind g (z) est une fonction continue. (iii) Ind g (.) est constante sur chaque composante connexe de C \ g, et est nulle sur la composante non-bornée.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 39 Démonstration: (i) Soit g(t) = g (t) t a g (s) g(s) z ds alors aux points où g (s) g(s) z est continue, on a g (t) = Par suite d g(t) z dt e g(t) (g(t) z )=au point où g (t) existe, et alors e g(t) (g(t) z ) est constante par morceaux sur [a, b]. Mais, e g(t) (g(t) z ) est continue, donc elle est constante sur [a, b]. On obtient alors e g(a) (g(a) z )=e g(b) (g(b) z ). Comme g est un lacet g(a) =g(b), ce qui entraîne e g(a) = e g(b). D autre part g(a) =, d où e g(b) = par conséquent il existe un entier n 2 tel que g(b) =2inp i.e. n = g(b) 2ip = b 2ip a g (s) ds = g(s) z 2ip g (z z ) dz = Ind g(z ) (ii) Fixons z 2 C \ g, et soit r > tel que le disque D(z ;2r) soit contenu dans C \ g. Pour tout z 2 C \ g tel que z z appleron a Ind g (z) Ind g (z )= 2ip g (x z) dx 2ip g (x z ) dx = z z 2ip g Comme pour tout x 2 g on a x z 2r et x z r, donc ce qui prouve la continuité. Ind g (z) Ind g (z ) apple z z 4pr 2 l(g) (3.23) (iii) Comme Ind g (.) est continue et à valeurs dans, alors elle est constante sur cheque composante connexe. On notera que g est un sous-ensemble borné de C, d où il existe R > tel que g D(; R), alors, la composante non-bornée de C \ g est le domaine contenu dans C \ g et contenant C \ D(; R). On notera par C cette composante. Soit z 2 C tel que z > R. Comme z z z R sur g, on a Ind g (z ) = 2p g dz apple z z 2p. l(g) (3.24) z R et donc Ind g (z ) tend vers lorsque z vers +. Comme Ind g (z) est constante dans le domaine C, cette constante est. ( n ((x z)(x z )) dx (3.22) si z 2 D(; R), 3.5.5 EXEMPLE. Soit g n : [, ]! C, t 7! Re 2inpt, n 2. Alors, Ind g (z )= si z 2 C \ D(; R). L ensemble C \ g a deux composantes, une bornée D(; R) et une non-bornée C \ D(; R). Si z 2 D(; R) alors Ind g (z )=Ind g () = 2ip R g z dz = n Si z 2 C \ D(; R), alors Ind g (z )=.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 4 Soit g : I! C un lacet. On appelle intérieur de g, l ensemble et extérieur de g, l ensemble Int(g) := {z 2 C; Ind g (z) 6= } Ext(g) := {z 2 C; Ind g (z) =}. On a C = Int(g) [ g [ Ext(g). Comme Ind g (z) est constante sur chaque composante connexe de C \ g, Int(g) et Ext(g) sont des ouverts et leurs frontières vérifient : (Int(g)) g et (Ext(g)) g. Dans ce dessin, chaque nombre répresente la valeur de l indice d un point ce trouvant dans le domaine correspondant. L indice vaut pour les points dans le domaine non borné. 3.5.2 Une méthode de calcul de l indice Soit g : [a, b]! C un chemin et z 2 C \ g et u 2 C. On suppose que la demi-droite de direction u et d origine z coupe g en un nombre fini de points g(t ), g(t 2 ),...g(t n ), ( < t < t 2 < < t n ) tels que les tangentes g (t i ) existent et ne sont pas parallèles à u i.e. {u, g (t i )} est une base de R 2 pour tout i 2{, 2..., n}. On pose ( si det[u, g (t i )] >, s i = si det[u, g (3.25) (t i )] <. Alors, Ind g (z )= n i= s i. S il existe une demi-droite de direction u 2 C et d origine z qui ne coupe pas g alors Ind g (z )=. 3.5.6 Exercice Démontrer ce résultat.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 4 3.5.3 Cycles Un cycle est une somme algébrique finie de lacets, noté = n g + + n p g p, où les g i sonts des lacets et les coefficients n i sont des éléments de. Le support d un cycle, noté, est par définition la réunion des images des g i i.e. [ i= P g i. On définit aussi la longueur d un cycle par le nombre l() := p n i l(g i ) i= Enfin on a pour toute fonction continue f : W! C et tout cycle = n g + + n p g p dont le support est contenu dans W, l intégrale de f le long du cycle est définie par : f (z) dz = n g f (z) dz + + n p g p f (z) dz (3.26) On remarquera, que pour un domaine W donné, les théorèmes qu on a démontré pour des lacets contenu dans W sont encore valables pour tout cycle contenu dans W. Par exemple, l indice d un point z 2 W par rapport au cycle = n g + + n p g p est égal à : Ind (z ) := 2ip (z z ) dz = n.ind g (z )+ + n p.ind gp (z ) (3.27) On définit de même l intérier de par l ensemble et l extérieur de g, l ensemble On a C = Int() [ [ Ext(). Int() := {z 2 C; Ind (z) 6= } Ext() := {z 2 C; Ind (z) =}. 3.5.7 DÉFINITION Soit W un domaine de C. Un cycle dans W est dit homologue à dans W et on note, si Int() W. On dit que deux cycles et sont homologues dans W si dans W. 3.6 Formule de Cauchy globale et applications Dans l étude précédente dans le traitement du théorème de Cauchy-oursat et de la formule intégrale de Cauchy on a considéré que les domaines circulaires (i.e. les disques). Pour l étude des propriétés locales des fonctions holomorphes ceci a été suffisant, mais pour l étude de domaines plus généraux ceci s avère incomplet.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 42 Pour la généralisation de ces résultats, on a deux directions : la première est de déterminer les domaines où la formule de Cauchy est valable, et la deuxième direction est de déterminer pour un domaine donné quels sont les lacets g pour lequels la la formule de Cauchy est valable. 3.6. THÉORÈME (FORMULE DE CAUCHY LOBALE) Soit W un domaine de C, f 2H(W) et un cycle tel que. Alors pour tout z 2 W \ on a Ind (z). f (z) = f (x) dx. (3.28) 2ip x z Démonstration: Considérons la fonction g définie dans W W par 8 < f (w) f (z) si z 6= w g(z, w) = w z : f (z) si z = w (3.29) On remarquera que pour tout z 2 W \, R g(z, x) dx = est équivalent à Ind (z). f (z) = f (x) 2ip x z dx. On va alors montrer que pour tout z 2 W \, R g(z, x) dx =. 3.6.3 LEMME La fonction g est continue dans W W et la fonction h définie par h(z) := R g(z, x) dx est une fonction holomorphe dans W. Démonstration: (du lemme) Soit (a, b) 2 W W. Si a 6= b, alors dans un voisinage de (a, b), g(z, w) = f (w) f (z) w z est holomorphe. Supposons maintenant que a = b. Comme f est analytique dans W, il existe un disque D(a; r) W tel que f (z) = + n= a n(z a) n pour tout z 2 D(a; r). Alors pour (z, w) 2 D(a; r) D(a; r), z 6= w, g(z, w) = f (w) f (z) w z + (w a) = n (z a) n a n = a + n= w z = + n= a n(w a) n + n= a n(z a) n w z + a n q n (w, z) =g(a, a)+ n=2 + a n q n (w, z) n=2 (3.3) où q n (w, z) = n j= (w a)n j (z a) j. Comme q n (w, z) applenr n, il s en suit que pour < e apple r 2 et w a < e, z a < e g(w, z) g(a, a) apple + n a n e n n=2 apple e! + r n 2 n a n n=2 2

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 43 par suite lim e! g(w, z) g(a, a) =, d où la continuité de g. Pour montrer que h(z) = R g(z, x) dx est holomorphe dans W, il suffit de montrer que pour tout zr 2 W, il existe un disque D(z ; r) W tel que pour tout triangle D D(z, r). h(z) dz =. D Comme, D est compact, g est uniformément continue dans D et d après le théorème de Fubini h(z) dz = g(z, x) dx dz = g(z, x) dz dx. D D Comme pour x fixé, l application x 7! g(z, x) est holomorphe dans W, on a d après le théorème de oursat R D g(z, x) dz =, et par suite R h(z) dz =. Ce qui termine D la preuve du Lemme. On va maintenant, montrer que h admet un prolongement en une fonction entière h telle que lim z!+ h(z) =, et le théorème de Liouville va nous permetre de conclure. Posons U := Ext() ={z 2 C; Ind (z) =}. Alors U est un ouvert de C et comme par hypothèse on a Ind (z) = pour tout z 62 W on a C \ W U et donc C = W [ U. Soit h la fonction définie dans U par h (z) = R f (x) x z dx. On va montrer que h est holomorphe dans U et que lim z!+ h (z) =. Pour montrer que h est holomorphe, on utilise pour cela la fonction auxiliaire g (z, w) = f (w) et le lemme précédent. Maintenant, h (z) applemax x2 D f (x) x z l(), Comme est compact, on a max x2 f (x) < + et max x2 x z apple z max x2 x. Par suite h (z) apple z max x2 x. max x2 f (x).l() d où lim Si z 2 W \ U et z 62, alors h(z) = = g(z, x) dx = h(z) = f (x) x z dx f (z) z!+ w z h (z) =. f (x) f (z) dx x z x z dx = h (z) 2ip f (z)ind (z) =h (z) car Ind (z) =. Par conséquent la fonction h définie dans C par ( h(z) si z 2 W h(z) = h (z) si z 2 U (3.3) (3.32) est une fonction entière telle que lim h(z) =, d après le théorème de Liouville, z!+ h est identiquement nulle, d où R g(z, x) dx = h(z) = pour tout z 2 W. 3.6.5 COROLLAIRE Soit W un domaine de C et un cycle de W. Les conditions suivantes sont équivalentes

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 44 i) Int() W ( i.e..) ii) pour tout f 2H(W) et pour tout z 2 W \. Ind (z). f (z) = f (x) 2ip x z dx iii) pour tout f 2H(W) f (x) dx = Démonstration:. (i) ) (ii) C est le théorème précédent. (ii) ) (iii) Soit z 2 W \. On pose F(w) := (w z) f (w), alors F 2H(W) et F(z) =. Par suite F(x) f (x) dx = x z dx = 2ip.Ind (z).f(z) =. (iii) ) (i) Soit z 62 W, alors la fonction f (w) = w z est holomorphe dans W et par suite Ind (z) = 2ip x z dx = f (x) dx =. 3.6. Développement en série de Laurent Soit r, R 2 R + [{+}, apple r < R. L ouvert C(a; r; R) ={z 2 C r < z a < R} est appelé couronne de centre a, de rayon intérieur r et de rayon extérieur R. 3.6.7 PROPOSITION Soit f une fonction holomorphe dans la couronne C(a; r; R). Alors pour tout n 2, les intégrales 2ip C(a;s) ne dépendent pas de s, (r < s < R). f (x) dx (x a) n+ Démonstration: Soit r < s < s < R alors C(a; s) C(a; s ) dans C(a; r; R). On applique alors le théorème précédent au cycle = C(a; s) C(a; s ) et à la fonction f (z) (z a) n+ holomorphe dans C(a; r; R).

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 45 3.6.9 THÉORÈME Soit f une fonction holomorphe dans la couronne C(a; r; R). Alors f est développable en série de la forme + f (z) = a n (z a) n dite série de Laurent, qui est convergente normalement sur tout compact K C(a; r; R). De plus pour tout n 2 et s 2]r, R[ on a, a n = f (x) dx. 2ip (x a) n+ C(a;s) Démonstration: Fixons z 2 C(a; r; R) et s, s tels que r < s < z a < s < R. Comme indice de z par rapport au cycle = C(a; s ) C(a; s) est égal à, la formule de Cauchy nous donne En écrivant (x z) = + n= f (z) = 2ip C(a;s ) (x z) = + n= f (x) (x z) dx 2ip C(a;s) f (x) (x z) dx (z a) n (x a) n+ avec convergence normale dans C(a; s ), et (x a) n avec convergence normale dans C(a; s). On a donc (z a) n+ f (z) = + f (x) 2ip C(a;s ) n= (z a) n + dx + f (x) (x a) n+ 2ip C(a;s) n= (x a) n dx (z a) n+ f (z) = + n= d où le résultat. f (x) 2ip C(a;s ) (x a) n+ dx (z a) n + + f (x)(x n= 2ip C(a;s) a) n dx (z a) n+ 3.6. DÉFINITION + Soit f (z) = a n (z a) n le développement en série de Laurent de f dans la couronne C(a; r; R). La partie f (z) = a n (z partie singulière) du développement de f et f + (z) = a) n la parie régulière. a) n est appelée partie principale (ou + a n (z 3.6.2 REMARQUE Le développement en série de Laurent est unique.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 46 3.6.3 EXEMPLE.. f (z) = est holomorphe dans C \{±i}. Si a = i et C(a; r; R) = z 2 + C(i; ; 2). Alors f (z) = + (i z) 2i z i 2i n n= (2i) n+ = + 2i z i + ( ) n+ n= (2i) n+2 (z i)n. 2. f (z) =exp( z ) est holomorphe dans C \{} = C(; ; +). Le développement en série de Laurent de f (z) = n! z n = + z n sa partie régulière est ( n)! et sa partie principale est + n= z n ( n)!. 3.6.4 COROLLAIRE R Pour toute fonction f holomorphe dans la couronne C(a; r; R), l intégrale 2ip C(a;s) f (z) dz pour tout r < s < R, est égale au coefficient a du terme z a du développement en série de Laurent de f. 3.6.5 COROLLAIRE (THÉORÈME DE PROLONEMENT DE RIEMANN) Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert W sauf peut être en un point z 2 W et tel que lim z!z (z z ) f (z) =. Alors f admet un prolongement (unique) en une fonction holomorphe sur W. Démonstration: On pose pour zn o = z, g(z) =(z z ) 2 f (z) et g(z )=. Alors g est holomorphe sur W, et g g(z) g(z (z ) = lim ) z!z z z = lim z!z (z z ) f (z) =. Alors le développement en série entière de g au voisinage de z est de la forme + g(z) = a n (z z ) n, d où f (z) = g(z) + 2 (z z ) 2 = a n+2 (z z ) n. Ainsi f est holomorphe au voisinage de z et le prolongement holomorphe dans W, f de f, s obtient en posant ( a 2 si z = z f (z) = (3.33) f (z) si z 6= z 3.6.2 Singularités On dit qu une fonction f a une singularité isolée en un point z s il existe r > tel que f soit holomorphe dans le disque épointé D (z ; r) =D(z ; r) {z }. Comme D (z ; r) est une couronne, f (z) y admet un développement en série de Laurent + a n (z z ) n.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 47 Il y a 3 types de singularités isolées : i) Singularité apparente (ou fausse singularité) f a une fausse singularité a en z si pour tout n <, les coefficients a n = (i.e. sa partie principale est nulle.) Dans ce cas f admet un prolongement holomorphe au disque D(z ; r) (Théorème de prolongement de Riemann.) ii) Pôle f a un pôle d ordre m > en z si pour tout n < m, les coefficients a n = et a m 6=. Dans ce cas f (z) = + m a n (z z ) n. On dit aussi que f est méromorphe en z. iii) Singularité essentielle f a une singularité essentielle en z si pour une infinité de n <, les coefficients a n 6=. 3.6.7 EXEMPLE.. f (z) = sin(z) z a une singularité apparente en, car son développement en série de Laurent dans D ( ) (, ) 2n+ est (2n + )! z2n. 2. f (z) = a deux singularités isolées i et i. On a vu que dans le disque z 2 + épointé D (i;2)=c(i; ; 2), f (z) = + 2i z i + ( ) n+ (z i) n n= (2i) n+2. donc f a un pôle d ordre en i. De même f a un pôle d ordre en i. (pour voir cela développer f en série de Laurent dans D ( i;2)=c( i; ; 2).) 3. f (z) =exp( z ) a une singularité isolée en z =. On a vu que dans C \{} = C(; ; +) =D (; +), le développement en série de Laurent de f (z) = z n + ( n)! d où a n = 6= pour tout n <, et donc f a une singularié ( n)! essentielle en z =. 3.6.3 Le théorème des résidus + n= 3.6.8 DÉFINITION On appelle résidu de f au point z, noté Res( f, z ), le coefficient a du développement en série de Laurent de f dans un disque épointé D (z ; r). 3.6.9 PROPOSITION Soit f une fonction holomorphe dans D (z ; R). Alors pour tout lacet g contenu dans D (z ; R), on a f (z) dz = Res( f, z )Ind g (z ) (3.34) 2ip g

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Formule de Cauchy globale et applications 48 Démonstration: Comme f est holomorphe dans la couronne C(z ; ; R) =D (z ; R) elle y admet un développement en série de Laurent uniformément sur tout compact K D (z ; R), d où + a n (z z ) n, qui converge + f (z) dz = 2ip g a n (z z ) n dz 2ip g mais, ( (z z ) n si n 6= dz = 2ip g Ind g (z ) si n = R D où 2ip g f (z) dz = a Ind g (z )=Res( f, z )Ind g (z ). (3.35) 3.6.2 THÉORÈME (THÉORÈME DES RÉSIDUS) Soit W un domaine de C. Soit A un sous-ensemble discret de W et un cycle contenu dans W \ A tel que dans W. Alors pour toute fonction f holomorphe dans C \ A, on a (la formule des résidus) f (z) dz = 2ip Res( f, a)ind (a) (3.36) a2a Démonstration: Soit B = {a 2 A; Ind (a) 6= }. B est alors contenu dans le complémentaire W de la composante non bornée de C \, qui est compact. Montrons que B est fini. Sinon, il existe une suite {a n } de points de B, deux à deux disjoints, qui converge vers un point a 2 W. Comme B est discret dans W, a 62 W, et par suite a 62, par conséquent l indice de a par rapport a est bien défini et Ind (a) =lim n!+ Ind (a n ), par continuité de la fonction indice. D où Ind (a) 6=, mais ceci contredit l hypothèse que. Donc la somme a2a Res( f, a)ind (a) se réduit à la somme finie a2b Res( f, a)ind (a). Notons B = {a,...,a m }. En chaque a j 2 B, f admet un développement en série de Laurent f (z) = n2 an(z j a j ) n dans un disque D(a j, r j ) {a j } W\( [ A). On peut choisir les rayons r j assez petit, pour que les disques D(a j, r j ) soient disjoints. On remarquera que chaque partie principale définit une fonction holomorphe P j sur a C {a j }, P j (z) = j n n2n et que P (z a j ) n j (z) dz = Res( f, a j )Ind (a j ). 2ip m La fonction g(z) = f (z) P j (z) admet un prolongement en une fonction holo- j= morphe sur W (en effet, en a j, f (z) P j (z) = an(z j n2n a j ) n dans D(a j, r j ) et P j j 6=j

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 49 est holomorphe sur D(a j, r j )) et comme Int() W, la formule de Cauchy globale nous donne : = g(z) dz = m f (z) dz 2ip 2ip P j (z) dz 2ip i= = f (z) dz 2ip m Res( f, a i )Ind (a i ) i= 3.7 Annexe 3.7. Calcul pratique des résidus Soit W un domaine et f (z) = g(z) tels que g et h sont holomorphes dans W et h h(z) non identiquement nulle. Alors les zéros de h sont isolés dans W. Comme chaque zéro a de h est de multiplicité finie, f est méromorphe en ce point.on va calculer le résidus de f au point a, distinguons deux cas : () a est un pôle simple i.e. d ordre. Si a est un pôle simple, on a dans un disque épointé D (a, r), f (z) = a z a + + Alors (z Res( f, a). a n (z z ) n. a) f (z) = a + + a n (z z ) n+ et donc lim z!a (z a) f (z) = a = Dans le cas où f (z) = g(z) h(z) d où Res( f, a) = g(a) h (a). on a, lim z!a (z g(z) a) h(z) = lim g(z) z a z!a h(z) h(a) = g(a) h (a) et (2) a est un pôle d ordre m 2. Si a est un pôle d ordre m 2, on a dans un disque épointé D (a, r), f (z) = a m + + a (z a) m z a + + a n (z z ) n. Alors, (z a) m f (z) =a m + + a (z a) m + + a n (z z ) n+m et d où h (z a) Res( f, a) f (z) i (m ). =lim z!a (m )! 3.7.2 Application du théorème des résidus au calcul intégral Il s agit de calculer une intégrale définie d une fonction d une variable réelle sans expliciter de primitive. L idée est de trouver une fonction holomorphe convenable et un cycle convenable qui permettent de calculer l intégrale cherchée. En pratique les cycles choisit sont des lacets simples i.e. divise le plan complexe en deux composantes connexes, une bornée d indice et l autre non bornée d indice. Dans ce cas la formule des résidus ne tient compte que des points intérieurs. La méthode de calcul des intégrales par la méthode des résidus utilise souvent l idée de limite sur des cycles dans la situation des lemmes suivants (souvent attribués à C.Jordan).

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 5 3.7. LEMME (LEMME A) ) Soit f une fonction continue sur l ensemble S = {z 2 C;< z a < r, a apple arg(z a) apple a 2 } a 2 C, r >, a < a 2. Soit g r l arc de cercle de centre a de rayon r contenu dans S. La condition entraîne que lim r! Rg r f (z) dz =. lim z!a (z a) f (z) = z2s 2) Soit f une fonction continue sur l ensemble S 2 = {z 2 C; z a > R, a apple arg(z a) apple a 2 } a 2 C, R >, a < a 2. Soit g r l arc de cercle de centre a de rayon r contenu dans S 2. La condition entraîne que lim r!+ Rg r f (z) dz =. lim (z a) f (z) = z2s 2 z!+ Démonstration: Dans les deux cas la longueur de g r est égales à (a 2 f (z) dz apple (a 2 a )r sup f (z) =(a 2 a ) sup (z g r z2g r z2g r a 2 )r. Alors a) f (z), et l hypothèse assure le résultat. 3.7.3 LEMME (LEMME B) Soit g une fonction continue dans le demi-plan supérieur H + = {z 2 C; Im(z) } tendant vers lorsque z!+ dans H +. Soit C r le demi-cercle de centre et de rayon r contenu dans H +. Alors pour tout a > fixé, on a lim r!+ C r e iaz g(z) dz = Démonstration: Ceci va dépendre de l inégalité suivante 2q p apple sin(q) pour apple q apple p 2 On écrit z = re iq,appleqapplep. L intégrale devient p I r = e iaz g(z) dz = e iar(cos(q)+i sin(q)) g(re iq )ire iq dq. C r Soit M r le maximum de g(z) sur C r, alors I r apple r R p g(reiq ) e ar sin(q) dq apple R p rm r e ar sin(q) R p dq apple 2rM 2 r e ar sin(q) e dq apple 2rM ar r apple p ar p 2 a M r On termine la preuve en utilisant l hypothèse lim r!+ M r =.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 5 3.7.5 LEMME (LEMME C) Soit a un pôle simple de la fonction f, g r un arc de cercle de centre a et de rayon r (orienté dans le sens positif), d ouverture angulaire a, apple a apple 2p. Alors lim f (z) dz = iares( f, a). r! g r Démonstration: Comme a est un pôle simple, le développement de Laurent de f dans une couronnne D (a, e) donne, f (z) = Res( f, a) z a + g(z) et une constante M > telle que g(z) applem pour tout z 2 D (a, e). Alors Un calcul direct donne D autre part R f (z) dz = Res( f, a) g r g r z g r z dz = ia a a dz + g r g(z) dz g r g(z) dz apple Ml(g r )=Mar! lorsque r!. Intégrale de fractions rationnelles de fonctions trigonométriques Soit R = P Q où P, Q 2 C[x, y], telle que Q ne s annule en aucun point du cercle unité {(x, y) 2 R 2 ; x 2 + y 2 = }. On considère l intégrale : I = 2p R(sin t, cos t) dt (3.37) Pour t 2 R on pose z = e it alors dt = dz iz, sin t = 2i (z z ) et cos t = 2 (z + z ). Soit F la fraction rationnelle en z défine par F(z) =R z 2i, z + z 2 z iz Soit g le cercle unité orienté dans le sens positif et A l ensemble des pôles de F dans le disque unité, alors I = g F(z) dz = 2ip z2a Res(F, z)ind g (z) =2ip z2a\d(, ) Res(F, z) (3.38) 3.7.7 EXEMPLE. Soit à Calculer I = R 2p dt a+sin t dt, a >. Dans ce cas R(x, y) = a+x et alors F(z) = i a+ 2i (z z ) z = 2 z 2 +2ia. D autre part z 2 + 2aiz =(z ( ia + i p a 2 ))(z ( ia i p a 2 )), donc le

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 52 seul pôle de F dans D(; ) est z = ia + i p a 2. Ce pôle est simple et le résidu en ce point se calcule par Res(F, z )= lim z!z (z z )F(z) = D où I = 2ip i p a 2 = p 2p a 2. Intégrale de fractions rationnelles d une variable réelle 2 2( ia + i p a 2 )+2ia = i p a 2 Soit f : R! R une continue telle que lim x!+ xf(x) = ; alors f est intégrable sur R. On veut calculer 3.7.8 EXEMPLE. f (x) = P(x) x 2 R. Q(x) I = + f (x) dx. où P, Q 2 R[x], degq degp + 2 et Q(x) 6= pour tout On suppose que la fonction f admet une extension holomorphe F à C \ A où A est un ensemble fini disjoint de R, telle que lim z!+ zf(z) =. Soit r > assez grand, tel que le disque de centre et de rayon r contient A. On pose U r = {z 2 C; Im(z) et z appler} et g r le demi-cercle de centre et de rayon r contenu dans U r. D après le théorème des résidus appliqué à F et au lacet [ positif), on a +r r f (x) dx + F(z) dz = g r D après le Lemme A, pour a = et a 2 = p, on a lim r!+ +r I = f (x) dx = I car f est intégrale sur R, d où r, r] [ g r (orienté dans le sens F(z) dz = 2ip Res(F, a) U r a2a\u r lim r!+ g r F(z) dz =, de plus r + f (x) dx = 2ip {les résidus de F dans le demi-plan supérieur} 3.7.9 EXEMPLE. Soit à calculer I = R + dx. Dans ce cas F(z) = est une extension x 4 + z 4 + de f holomorphe dans C \{e ip 4, e 3ip 4, e 5ip 4, e 7ip 4 } et lim zf(z) =. Les pôles de F sont simples et seulement e ip 4 z!+ et e 3ip 4 sont dans le demi-plan supérieur. D où I = + dx x 4 + = 2ip(Res( z 4 +, e ip 4 )+Res( z 4 +, e 3ip 4 )) = 2ip 4 e ip 4 4 e 3ip 4 = 2ip( i 2 p 2 )= p p 2 (3.39)

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 53 Transformées de Fourier I) Soit f une fonction de la variable réelle x admettant une extension holomorphe F à W \ A, où W est un voisinage ouvert du demi-plan supérieur H + = {z 2 C; Im(z) } et A un ensemble fini disjoint de R telle que lim F(z) =. Soit z!+ a > un réel fixé. On veut calculer I = R + f (x)eiax dx. Soit r > assez grand, tel que le disque de centre et de rayon r contient A. On pose U r = {z 2 C; Im(z) et z appler} et g r le demi-cercle de centre et de rayon r contenu dans U r. Le théorème des résidus appliqué à F(z)e iaz et au lacet [ r, r] [ g r (orienté dans le sens positif), nous donne +r r f (x)e iax dx + F(z)e iaz dz = F(z)e iaz dz = 2ip g r U r D après le Lemme B, lim F(z)e iaz dz =, d où r!+ g r a2a\u r Res(Fe iaz, a) +r lim f (x)e iax dx = 2ip { résidus de F(z)e iaz dans le demi-plan supérieur} r!+ r Si de plus f (x)e iax est intégrable on a : I = + f (x)e iax dx = 2ip { résidus de F(z)e iaz dans le demi-plan supérieur} 3.7. REMARQUE Si a < on obtient en prenant les résidus dans le demi-plan inférieur H = {z 2 C; Im(z) apple }. +r lim f (x)e iax dx = r!+ r 2ip { résidus de F(z)e iaz dans le demi-plan inférieur} 3.7. EXEMPLE. Soit à calculer pour b >, I = R + cos x dx. Comme f (x) = cos x est x 2 +b 2 x 2 +b R 2 une fonction paire on a I = + cos x 2 dx = x 2 +b 2 2 Re R + e ix dx. Le seul pôle de x 2 +b 2 F(z) = dans H + est ib et ce pôle est simple, d où z 2 +b 2 I = 2 Re + e ix x 2 + b 2 dx = 2 Re e 2ipRes( ix x 2 + b 2, ib) = 2 2ip Re e b 2ib = pe b 2b. II) On examine maintenant le cas où F(z) a des singularités sur l axe des réels i.e. A \ R 6=. Soit x < < x n les points singuliers de F dans R. On suppose que les x i sont des pôles simples. Dans ce cas il convient de modifier le chemin d intégration afin de contourner les points x i. Soit r > assez grand, tel que le disque de centre et de rayon r contient A. Soit g r le demi-cercle de centre et de rayon r contenu dans H + et g e (j) le demi-cercle de centre x j et de rayon e contenu dans H +. D après

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 54 le théorème des résidus appliqué à F(z)e iaz et au lacet g r [ [ r, x e] [ [ n j= g e(j) [ [ n j= [x j + e, x j+ e] [ g e (n) [ [x n + e, r] (orienté dans le sens positif), on a g r F(z)e iaz dz + x r e f (x)e iax dx + n r f (x)e iax dx + f (x)e iax dx j= [x j +e,x j+ e] x n +e = 2ip Res(Fe iaz, a) a2a\h + n F(z)e iaz dz+ j= g e (j) (3.4) Le Lemme C nous donne lim e! Rg e (j) F(z)eiaz dz = ipres(f(z)e iaz, x j ), et le Lemme B, lim r!+ Rg r F(z)e iaz dz =, d où lim r!+ e! x r e f (x)e iax dx + n j= xj+ x j +e e r f (x)e iax dx + f (x)e iax dx x n +e = 2ip { résidus de F(z)e iaz dans le demi-plan supérieur ouvert} + ip { résidus de F(z)e iaz dans R} (3.4) Si de plus f (x)e iax est intégrable on a : I = f (x)e iax dx =2ip { résidus de F(z)e iaz dans le demi-plan supérieur ouvert} + ip { résidus de F(z)e iaz dans R} (3.42) 3.7.2 EXEMPLE. Soit à calculer I = R + R + précède sin x x dx = 2 h 2i lim e! R + e sin x x dx. h R sin x x dx = 2i lim e! e ix x dx + + e e e ix x dx + R i + e ix e x dx D après ce qui e ix i x dx = eiz (ipres( 2i z,)) = 2i (ip) =p 2. et de l intégrabilité (au sens de Riemann) de sin x x sur R, on obtient I = p 2. Intégrales de fonctions ayant x a en facteur, a 2], [ Soit f une fonction holomorphe dans C \ A, A fini disjoint de R +, telle que lim z!+ f (z) =, alors x a f (x) est intégrale sur R + ; Il s agit de calculer I = R + x a f (x) dx. Pour toute détermination l(z) de Ln(z), on a la détermination e al(z) de z a. On prend la détermination sur C \ R + définie par Ln(z) =Ln z + i arg(z) avec < arg(z) < 2p.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 55 Soit r > assez grand, tel que le disque de centre et de rayon r contient A et e > assez petit, tel que le disque fermé de centre et de rayon e ne rencontre pas A. Soit g r (h) l arc de cercle de centre et de rayon r et d ouverture angulaire h apple q apple 2p h, g e (h) l arc de cercle de centre et de rayon e et d ouverture angulaire h apple q apple 2p h, [re ih, ee ih ] et [ee i(2p h), re i(2p h) ] des segments. Soit (e, r, h) le lacet (orienté positivement) obtenu en joignant tous ces chemin. On choisit h > assez petit pour que A soit à l intérieur de (e, r, h). D après le théorème des résidus (e,r,h) z a f (z) dz = 2ip { résidus de z a f (z) dans C \ R + } Soit g(z) = z a f (z). Comme zg(z) = z a f (z) = z a f (z), a 2], [, lim z!+ f (z) = et f holomorphe en on alors lim z!+ zg(z) = et d après z! le Lemme A lim z a f (z) dz = lim z a f (z) dz =. h! g e! e (h) h! g r!+ r (h) D autre part et lim z a f (z) dz = x a f (x) dx h! [re ih,ee ih ] + e! r!+ + lim z a f (z) dz = x a e 2iap f (x) dx h! [ee i(2p h),re i(2p h) ] e! r!+ Alors, lorsque h!,e! et r! + + + lim z a f (z) dz = x a f (x) dx x a e 2iap f (x) dx h! (e,r,h) e! r!+ =( e 2iap 2i sin(ap) )I = e iap I Finalement I = + x a f (x) dx = peiap sin(ap) { résidus de z a f (z) dans C \ R + }. (3.43) 3.7.3 EXEMPLE. Montrons que pour < a < 2, + x a x 2 + dx = Les pôles de za sont ±i et sont simples, alors z 2 + Res( za z 2 +, i) =ia 2i p 2 sin( ap 2 ). Res( za z 2 +, i) = ( i)a 2i

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 56 et leur somme est égale à i a 2i D où ( i) a + 2i = 2i (e(a ) ip 3ip 2 (a ) e 2 )= 2 x a pe aip x 2 dx = + sin(ap) eaip cos( ap 2 Intégrale de fonctions ayant Ln(x) en facteur (e aip 2 + e 3aip 2 )= e aip cos( ap 2 ) ap cos( 2 )=p ) = sin(ap) p 2 sin( ap 2 ). Soit f une fonction holomorphe dans C \ A, A fini disjoint de R +, telle que lim z!+ zf(z) =, alors f (x)ln(x) est intégrale sur R + ; Il s agit de calculer I = R + f (x)ln(x) dx. On prend la détermination sur C \ R + définie par Ln(z) =Ln z + i arg(z) avec < arg(z) < 2p. Le théorème des résidus appliqué à f (z) Ln(x) 2 et au lacet (e, r, h), nous donne lorsque h!,e! et r! + + = 4ip f (x) Ln(x) 2 dx + + f (x)ln(x) dx = 2ip { residus de f (z) Ln(z) 2 } f (x) Ln(x)+2ip 2 dx + 4p 2 p f (x) dx (3.44) Si l on sait calculer J = R + f (x) dx la formule précédente fournit I = R + f (x)ln(x) dx. Dans le cas où f (x) est à valeurs réelles, par séparation des parties réelle et imaginaire dans la formule précédente on obtient I et J. 3.7.4 EXEMPLE. On veut calculer I = R + Ln(x) dx La fonction (Ln(z))2 a un pôle de mul- (+x) 2 (+z) 2 tiplicité 2 en z = d où Res( (Ln(z))2, ) =lim (+z) 2 z! ( + z) 2 (Ln(z)) 2 (+z) 2 Alors I = 2 Re( 2ip) =. = 2ip. Formule sommatoire de Poisson Soita > et f une fonction holomorphe sur la bande W = {z 2 C Im z < a} telle que f (x + iy) apple A pour tout z = x + iy 2 W. +x 2 Par exemple f (z) =e pz2. On a alors la formule de sommation de Poisson : 3.7.5 THÉORÈME f (n) = bf (n) n2 n2

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 57 Démonstration: La fonction f (z) e 2ipz a des pôles simples en z n = n 2 de résidu f (n) 2ip. Soit < b < a, alors, le théorème des résidus appliqué au contours suivant : g N =[ N 2 ib, N + 2 ib] [ [N + 2 ib, N + 2 + ib] [ [N + 2 + ib, N 2 ib] donne, g N f (z) e 2ipz N dz = f (n). N Comme par hypothèse sur f, f (n) apple A, la série +n 2 n2 f (n) converge. Lorsque N tend vers +, les intégrales sur les segments verticaux tendent vers comme [ N 2 ib,n+ 2 ib] et f (z) [N+ 2 on aura +ib, : N 2 +ib] f (n) = n2 f (z) N+ e 2ipz dz = 2 e 2ipz dz = N+ 2 N 2 + f (x + ib) e 2ip(x+ib) N 2 f (x + ib) e 2ip(x+ib) + dx + f (x ib) e 2ip(x ib) dz dz f (x ib) e 2ip(x ib) dx. D autre part, e 2ip(x+ib) = e 2pb + <, e 2ip(x+ib) = e 2ipn(x+ib) et e 2ip(x ib) = e 2pb + >, e 2ip(x ib) = n= e 2ip(n+)(x ib) = e 2ipn(x Ainsi ib) + + f (n) = f (x + ib) n2 + e 2ipn(x+ib) dx + f (x ib) e 2ipn(x ib) dx. = + + f (x + ib)e 2ipn(x+ib) dx + = + + f (x)e 2ipnx dx + = + bf (n)+ + f (x ib)e 2ipn(x ib) dx. + f (x)e 2ipn(x) dx. bf (n) = bf (n). n

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 58 3.7.3 Domaine simplement connexe On a déja vu que si W = C \{}, la fonction f (z) = z n admet pas de primitive dans W, par suite le théorème de Cauchy-oursat n est pas valable pour ce domaine. On remarquera la présence d un "trou" dans W. On va s intéresser aux domaines de C dans lesquels toute fonction holomorphe admet une primitive. On appelle un tel domaine, un domaine simplement connexe. On va montrer que pour tout domaine simplement connexe, la formule de Cauchy est valable. 3.7.7 DÉFINITION Un domaine W de C est dit simplement connexe si pour tout cycle de W on a i.e. Int() ={z 2 C; Ind (z) 6= } W Ceci est équivalent à dire que si z 62 W alors Ind (z) =. 3.7.8 PROPOSITION Dans tout domaine simplement connexe W tel que 62 W, il existe une détermination du logarithme. Démonstration: Comme W est un domaine simplement connexe et 2 C \ W, alors Ind () = pour tout cycle de W. En particulier si f (z) = z, R f (z) dz = et donc f admet une primitive dans W, c-à-d qu il existe une détermination du logarithme dans W. 3.7.2 PROPOSITION Tout domaine étoilé W est simplement connexe. Démonstration: Quitte à faire une translation on peut supposer que a =. Soit alors g : [a, b]! W un lacet et z 62 W fixé. Pour tout s 2 [, ] posons (t, s) = sg(t) et définissons le lacet s par s (t) =sg(t). On a pout tout s 2 [, ], s est un lacet de W (car W est étoilé par rapport à ) et = g. Puisque la fonction est continue sur le compact [a, b] [, ] son image K = [ applesapple s est un compact de C contenu dans W ( puisque est un centre de W). Donc la distance d = dist(z, K) est strictement positive. Alors pour < s apple on pose f (s) =Ind s (z )= b sg (t) z dt = Ind g 2ip a sg(t) z s (3.45) Cette dernière égalité montre que la fonction f est continue puisque Ind g (.) est continue sur C \ g. Il s en suit que la fonction f est constante, d où f (s) = f () = Ind g (z ). Or quand s!, z s! (car z 6= ), d où pour s assez petit f (s) = Ind g ( z s )=et par suite Ind g (z )=.

3. Intégration curviligne et applications aux fonctions holomorphes: Annexe 59 3.7.22 EXEMPLE. C, un disque, un demi-plan, C \ R, une bande B = {z 2 C; a < Im(z) < b} sont des domaines simplement connexes. 3.7.23 Exercice Montrer que les ensembles précédents sont des domaines étoilés. 3.7.24 REMARQUE ) Il existe des domaines simplement connexes et qui ne sont pas étoilés ; par exemple : W = C \ R [{z = t + i; < t < }. 2) Les ensembles suivants ne sont pas simplement connexes : (i) W = C \{}. (ii) l extérieur du disque unité W = C \ D(; ). (iii) Une couronne C(a; r; R) = {z 2 C; r < z a < R} n est pas simplement connexe. 3.7.25 COROLLAIRE Un domaine de C est simplement connexe si et seulement si toute fonction holomorphe sur ce domaine admet une primitive. 3.7.26 COROLLAIRE Soit W un domaine simplement connexe de C et f 2H(W). Alors pour tout cycle de W et pour tout z 2 W \ on a Ind (z). f (z) = f (x) dx. (3.46) 2ip x z 3.7.27 COROLLAIRE (THÉORÈME DES RÉSIDUSPOUR LES DOMAINES SIMPLEMENT CONNEXES) Soit W un domaine simplement connexe de C. Soit A un sous-ensemble discret de W. Alors pour toute fonction f holomorphe dans C \ A et tout cycle contenu dans W \ A on a (la formule des résidus) f (z) dz = 2ip Res( f, a)ind (a) (3.47) a2a