Classe de Terminale S

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I. GÉNÉRALISATION DU PRODUIT SCALAIRE À L ESPACE.

Exercice 1 ABCDEFGH est un cube d arête 1, O est le centre de la face EFGH. 1. a) Pourquoi les points D, B, F et O sont-ils coplanaires? b) Dessiner en vraie grandeur le rectangle H O DBFH, puis placer le point O. E c) Dans cette question, on se propose de calculer, dans le plan DBFH, le produit scalaire BO DF. D F i- Justifier que BO DF = BO DH + BO HF = DH 2 OF HF. ii- En déduire que les vecteurs BO et DF sont orthogonaux. A B G C Fichier1.ggb

2. Dans ( cette partie, on munit l espace du repère orthonormé D; DA, DC, ) DH. a) Quelles sont les coordonnées de F, B et H dans ce repère? En déduire celles de O. b) Calculer les coordonnées (x;y;z) de DF et (x ;y ;z ) de BO. Calculer xx + yy + zz. En se rapportant à l expression analytique du produit scalaire dans le plan, que peut représenter dans l espace l expression xx + yy + zz? Que traduit alors la nullité de cette expression? c) Démontrer que la droite (AC) est perpendiculaire au plan (DBF), puis en déduire que les droites (AC) et (BH) sont orthogonales. Calculer les coordonnées (x;y;z) de AC et (x ;y ;z ) de BH. Calculer xx + yy + zz. Quelle conclusion peut-on en tirer?

Dans l espace, une unité de mesure est choisie (l espace est normé). On rappelle que deux vecteurs de l espace sont toujours coplanaires. Ainsi, pour tous vecteurs u et v de l espace, il existe trois points A, B et C tels que : u = AB et v = AC Définition Soient u et v deux vecteurs de l espace. On appelle produit scalaire de u et v, noté u v, le nombre réel donné par : u v = AB AC Ainsi la définition du produit scalaire de l espace coïncide avec le produit scalaire du plan.

Exercice 2 ( ABCDEFGH est un cube d arête 1. D; DA, DC, ) DH est un repère orthonormé de l espace. Dans le plan on sait définir l angle géométrique associé à deux vecteurs. On se pose donc la question suivante : Qu appelle-t-on angle géométrique associé à deux vecteurs de l espace? Pour répondre, on retiendra la méthode suivante : «Pour représenter l angle géométrique associé à deux vecteurs de l espace, on choisit des représentants de ces deux vecteurs situés dans le même plan.» 1. On note α la mesure en radian de l angle géométrique associé aux vecteurs AF et BG. a) Pourquoi cet angle est-il celui associé aux vecteurs AF et AH? b) Quelle est la nature du triangle AFH? En déduire la valeur de α.

2. a) Dans le repère choisi, quelles sont les coordonnées des points A, F, B et G? x x En déduire les coordonnées y et y des vecteurs AF et BG. z z b) Calculer xx + yy + zz, puis AF et BG. c) Calculer xx + yy + zz. Interpréter le résultat. AF BG d) Quel lien peut-on faire avec le produit scalaire dans le plan? 3. On note β la mesure en radian de l angle géométrique associé aux vecteurs BH et AD. a) Pourquoi le problème se ramène-t-il à cherche la mesure de l angle ĈBH? b) Quelle est la nature du triangle CBH? c) Démontrer que cos(β) = 1 3. Quelle est la mesure de β, arrondie au dixième? d) Retrouver cos(β) en s aidant de la question 2. a).

Conséquences Soient u et v deux vecteurs de l espace. u v = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 u v = 1 ( u + v 2 u 2 v 2). 2 u v = u v cos( u, v ). Soient A, B et C trois points de l espace tels que u = AB et v = AC. En notant H le projeté orthogonal de C sur (AB), il vient que : u v = AB AC = AB AH

Théorème 1 Forme bilinéaire symétrique définie positive - admis Soient u, v, w trois vecteurs de l espace et α un réel. Linéarité : (α u + w ) v = α u v + w v. Symétrie : u v = v u. Définie positive : u u = u 2. Théorème 2 Expression analytique - admis On munit l espace d un repère orthonormé Soient u (x;y;z) et v (x ;y ;z ). ( O; i, j, ) k. u v = xx + yy + zz

Exercice 3 On donne les points A( 1;1;2), B(0;1;0) et C (2;0;2). 1. Calculer les produits scalaires : AB AC ; BA BC ; CA CB 2. Déterminer une valeur approchée à un degré près des mesures des angles du triangle ABC.

II. ORTHOGONALITÉ.

Définition - Rappel Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Définition Deux vecteurs u et v de l espace sont dits orthogonaux si u v = 0. Définition Soit P un plan. Tout vecteur directeur de n importe quelle droite orthogonale à P est dit normal au plan P, souvent noté n. ROC Théorème 3 Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Théorème 4 - admis Soient u et v deux vecteurs de l espace. Notons v la projection orthogonale de v sur u. Alors u v = u v. Théorème 5 - admis Deux plans sont orthogonaux si, et seulement si leur vecteurs normaux sont orthogonaux.

Exercice 4 L espace est rapporté à un repère orthonormé points A(2;0;2), M (3; 1;3), et les vecteurs u (2;0; 2) et v ( 1; 2; 1). ( O; i, j, ) k. On donne les 1. Démontrer que u et v ne sont pas colinéaires. 2. Démontrer que le vecteur AM est un vecteur normal au plan P défini par A et les vecteurs u et v. Exercice 5 Dans un repère orthonormé, on donne les points A(1;0;1), B(0; 1;2) et C (2;5;2). 1. Vérifier que ces points ne sont pas alignés. 2. Prouver que le vecteur n (3; 1;2) est normal au plan (ABC).

Exercice 6 ( Dans un repère orthonormé O; i, j, ) k, on donne les droites (d) et (d ) de représentations paramétriques : x = 1 + t y = 1 t z = 7 + 3t, t R ; x = 5 + 3t y = 1 3t z = 2t Démontrer que les droites (d) et (d ) sont orthogonales. Sont-elles perpendiculaires?, t R

III. ÉQUATION CARTÉSIENNE DE PLAN.

ROC Théorème 6 Dans un repère orthonormé. Si n (a;b;c) est un vecteur normal au plan P contenant le point A(α;β;γ), alors P a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0. Si a, b, c sont trois nombres réels donnés non tous nuls, l ensemble des points M tel que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n (a;b;c).

Exercice 7 ( L espace est muni d un repère orthonormé O; i, j, ) k. Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation cartésienne du plan P : 1. Le plan P est défini par A(1;0;3) et a pour vecteur normal n (1;2; 2). 2. Le plan P est le plan parallèle au plan P d équation 2x y + 3z 1 = 0 passant par le point B(1; 2;3). Exercice 8 Dans un repère orthonormé ( O; i, j, ) k, P est le plan d équation 2x + y 3z + 1 = 0. Déterminer un point A et deux vecteurs u et v non colinéaires permettant de définir P.

Exercice 9 Dans un repère orthonormé, on donne les points A( 1;0;2), B(1;4;0) et C (3; 4; 2). 1. Démontrer que A, B et C définissent un plan P. 2. a) Démonter que le vecteur n (1;0;1) est normal au plan P. b) En déduire une équation cartésienne de P. Exercice 10 Le plan P a pour équation : 3x + 2y z 6 = 0 Quelles sont les coordonnées des points d intersection de P avec les axes du repère?