MAT 1200: Introduction à l algèbre linéaire Saïd EL MORCHID Département de Mathématiques et de Statistique Chapitre 6: Les transformations géométriques
Références Cas de dimension 2 La translation La rotation d un angle α autour de l origine La dilatation ou le rétrécissement Les symétries dans le plan La symétrie orthogonale d axe OX Symétrie orthogonale d axe OY Symétrie orthogonale d axe la droite y = x Symétrie orthogonale d axe la droite y = x: Symétrie centrale de centre O: Cas de dimension 3 La translation La dilatation ou le rétrécissement La rotation autour d un axe La projection sur une droite passant par O: La projection sur une plan passant par O et engendré par deux vecteurs orthogonaux:
Références: Notes de cours chapitre 6 page 112. Livre: section 1.8. pages 68-86.
Cas de dimension 2 La translation La translation par un vecteur a = vers R 2, qui à chaque vecteur v = Représentation graphique. ( a1 a ( 2 v1 v 2 ( v1 + a 1 w = t a ( v = v 2 + a 2, notée t a est une application de R 2 associe. Alerte 1 La translation n est pas linéaire.
La rotation d un angle α autour de l origine Définition La rotation d un angle α autour de l origine est une application définie par: r α : ( R 2 R 2 v1 v = w = r α( v = v 2 Représentation graphique. ( v1 cos α v 2 sin α v 1 sin α + v 2 cos α
La matrice d une rotation La matrice associée à la rotation r α est ( cos α sin α sin α cos α et on a ( cos α sin α r α( v = sin α cos α v
La dilatation ou le rétrécissement Définition La dilatation ou le rétrécissement est une application définie par: h a,b : ( R 2 R 2 ( v1 av1 v = w = h v a,b ( v = 2 bv 2 Si a = b cette transformation est appelée homothétie et que l on notera h a. Si a b, elle est appelée affinité. La matrice d une dilatation ou d un rétrécissement La matrice associée à h a,b est ( a 0 0 b et on a h a,b ( v = ( a 0 0 b v
Représentation graphique Représentation graphique
Les symétries dans le plan La symétrie orthogonale d axe OX : Définition La symétrie orthogonale d axe OX est définie par ( ( v1 v1 S OX ( v = = v 2 v 2. La matrice associée est ( 1 0 0 1 Représentation graphique..
Symétrie orthogonale d axe OY : Définition La symétrie orthogonale d axe OY est définie par ( ( v1 v1 S OY ( v = = v 2 v 2. La matrice associée est ( 1 0 0 1 Représentation graphique..
Symétrie orthogonale d axe la droite y = x: Définition La symétrie orthogonale d axe la droite y = x est définie par ( ( v1 v2 S (y=x ( v = =. La matrice associée est ( 0 1 1 0 Représentation graphique. v 2. v 1
Symétrie orthogonale d axe la droite y = x: Définition La symétrie orthogonale d axe la droite y = x est définie par ( ( v1 v2 S (y= x ( v = =. v 2 v 1 La matrice associée est ( 0 1 1 0. Représentation graphique.
Symétrie centrale de centre O: Définition La symétrie centrale de centre O est définie par ( ( v1 v1 S O ( v = = v 2 v 2. La matrice associée est ( 1 0 0 1 Représentation graphique..
Cas de dimension 3 La translation La translation par un vecteur a = vers R 3, qui à chaque vecteur v = Alerte 1 La translation n est pas linéaire. a 1 a 2 a 3 v 1 v 2 v 3 w = t a ( v =, notée t a est une application de R 3 associe v 1 + a 1 v 2 + a 2 v 3 + a 3.
La dilatation ou le rétrécissement Définition La dilatation ou le rétrécissement h (a,b,c est définie par: h (a,b,c ( v = av 1 bv 2 cv 3. La matrice associée à h (a,b,c est a 0 0 0 b 0 0 0 c.
La rotation Dans l espace R 3, l expression algébrique d une rotation autour d un axe quelconque est difficile à obtenir. Si l axe de la rotation est OY alors r OY θ (x, y, z = Si l axe de la rotation est OX alors r OX θ (x, y, z = Si l axe de la rotation est OZ alors r OZ θ (x, y, z = cosθ 0 sinθ 0 1 0 sinθ 0 cosθ 1 0 0 0 cosθ sinθ 0 sinθ cosθ cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 x y z x y z x y z
La projection sur une droite passant par O Définition On considère un vecteur w = (w 1, w 2, w 3 directeur de la droite. v 1 Pour tout v = v 2 v 3 R 3 on a z = proj w ( v = v. w w w 2 = = 1 w 2 w 1 w 2 (v 1w 1 + v 2w 2 + v 3w 3 w 2 w 2 (v 1w 1 + v 2w 2 + v 3w 3 w 3 w 2 (v 1w 1 + v 2w 2 + v 3w 3 2 w 1 w 1w 2 w 1w 3 w 2w 1 2 w 2 w 2w 3 w 3w 1 w 3w 2 w3 2 v 1 v 2 v 3 = 1 w 2 ( ( w( w t v.
La projection sur une plan passant par O et engendré par deux vecteurs orthogonaux Définition On considère un plan P passant par O et engendré par deux vecteurs w 1 et w 2 orthogonaux. v 1 Pour tout v = v 2 v 3 R 3 on a proj P ( v = proj w1 ( v + proj w2 ( v Alors proj P ( v = ( 1 w ( w1( 1 2 w1t + 1 ( w2( w2t v. w 2 2
Exemple: On considère le plan P : x + y + z = 0 engendré par les vecteurs orthogonaux ( 1 w 1 = 2, 1 t 2, 1, w 2 = (1, 1, 0 t. Donner l expression matricielle de la projection sur P.