Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Sabilié des SLCI Uno I (Concep iniial) Uno III Le scooer Uno III es un parfai exemple de sysème asservi qui doi êre nécessairemen sable pour un bon foncionnemen. L équilibre du sysème es noammen obenu grâce à un sysème gyroscopique couplé à un calculaeur raian les informaions e ransmean les consignes aux deux moeurs élecriques équipan les deux groupes propulsion. Exemple de sysème asservi CONCEPT DU SCOOTER AUTOBALANCE On évalue les performances d un sysème asservi, modélisé en SLCI, suivan 4 crières principaux qui son la sabilié, la précision, la rapidié e l amorissemen. La sabilié es une noion générale non spécifique des sysèmes asservis mais elle prend cependan une grande imporance dans le cas de ces sysèmes car on souhaie oujours qu un sysème asservi soi sable. La sabilié es donc le crière que l'on regarde en premier e il es inuile d analyser les aures crières si le sysème n es pas sable. DEFINITIONS.. Sabilié Définiion générale On di qu un sysème es sable si, écaré de sa posiion par une cause exérieure, il revien vers cee posiion lorsque la cause disparai. Sysème insable Sysème sable.. Sabilié Définiion adapée aux SLCI Un sysème es sable si à une enrée bornée correspond une sorie bornée. e() e() u() SLCI s() s() e() e() u() SLCI s() s() avec s( ) e() s() Réponse s() d un sysème insable Réponses s() d un sysème sable Avec N(p) : numéraeur de H(p), p i : pôles de H(p) e n : ordre de H(p)..3. Condiion fondamenale de sabilié d un SLCI La sabilié d un SLCI peu êre déerminée uniquemen à parir des pôles de sa foncion de ransfer H(p). Dans ce cas la foncion de ransfer s écri H(p) H(p) N(p) (p p).(p p)...(p p)...(p i pn) Floresan MATHURIN Page sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Si l on sollicie ce sysème avec une impulsion de Dirac en enrée ( ), la sorie a pour N(p) expression dans le domaine de Laplace : (p p ).(p p )...(p p)...(p p ). i A A Ai An Ce qui donne...... après décomposiion en (p p) (p p) (p pi) (p pn) élémens simples. La ransformaion inverse perme ensuie d obenir la réponse emporelle qui a donc p. p. p. i expression : s () A.e A.e... A.e... A. i n p. e n Pour que la sorie soi bornée, les exponenielles doiven oues êre décroissanes, ce qui donne cas : Si les pôles son ous réels : s() ne ends vers que si les p i son ous négaifs. S il y a des pôles complexes conjugués deux à deux ( p α j. ω e p α j. ω s() A ( α j. ω). ( α j. ω). a.e A.e µ.e.cos( ω. ϕ )): s() ends vers si α <. n Un Sysème Linéaire Coninu Invarian es sable si sa foncion de ransfer possède : des pôles réels ous négaifs, des pôles complexes ayan leur parie réelle négaive..4. Insabilié d un sysème après bouclage Lorsque l on boucle un SLCI pour l asservir, l uilisaion de cee boucle peu désabiliser le sysème. Pour illusrer le phénomène on peu comparer la réponse d un même sysème, de foncion de ransfer H(p), dans le cas où il es non bouclé puis dans le cas où il es bouclé. Pour cela on le sollicie avec un même signal d enrée e() recangulaire de période T e d ampliude E. On considère que le sysème éudié (bloc H(p)) enraine un déphasage de T/ du signal e l amplifie d une valeur K a : E e() H(p) K a.e s() T T T/ En boucle ouvere on consae que le sysème es sable, le signal de sorie es juse amplifié e déphasé par rappor au signal d enrée. Si on boucle ce même sysème avec un reour uniaire e qu il es soumis à la même enrée en créneau, H(p) es mainenan soumis à une enrée ε(p) qui correspond à la différence enre les deux signaux d enrée e de sorie. E e() T ε(p) H(p) s()? Pour déerminer le signal de sorie s(), il fau cee fois ci déerminer l écar ε() qui enre dans le bloc, ½ période par ½ période. Le racé obenu monre le phénomène de «pompage» ou insabilié dans laquelle la grandeur amplifiée s() s ajoue au signal d enrée qui es luimême de nouveau amplifié. Le processus se reprodui de période en période e le signal de sorie diverge donc rès rapidemen Floresan MATHURIN Page sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP On a : ε () 3 4 Pour la phase : l écar ε E. ε 3 E K a.ε s() 3 4 Pour la phase : l écar ε E S E K a.ε E.( K a ). S 4 K a.ε 3 Pour la phase 3 : l écar ε 3 E 3 S 3 E K a.ε E K a.( E.( K a )) E.( K a K a ). Pour la phase 4 : l écar ε 4 E 4 S 4 E K a.ε 3 E K a.( E.( K a K a ) E.( K a K a K a 3 ), ec e() E 3 4 ε E ε E K a.ε ε(p) ec H(p) S K a.ε T/ ec S 3 K a.ε Dans ce cas l écar end en valeur absolue vers E.( K a K a K a 3 K a n ). C es une suie qui converge ou diverge suivan les valeurs de K a. Par conséquen si K a, la suie end vers e le signal de sorie égalemen. Il y a donc insabilié après bouclage si K a. L exisence de la boucle de reour impose donc d éudier la sabilié des sysèmes asservis : Soi à parir de crières analyiques sur le polynôme caracérisique de la foncion de ransfer boucle fermée (FTBF) du sysème, ce qui nécessie d avoir le modèle numérique de cee FTBF. Soi à parir de crières graphiques sur les lieux de ransfer de la foncion de ransfer boucle ouvere (FTBO) du sysème. Dans la praique, les crières graphiques son pluô privilégiés par les ingénieurs car ils permeen de déerminer des marges de sabilié. ETUDE DE LA STABILITE A PARTIR DE L ANALYSE DE LA FTBF.. Eude de la sabilié à parir des pôles de la FTBF Le calcul de la foncion de ransfer boucle fermée d un sysème asservi perme de passer d un modèle bouclé à un modèle équivalen non bouclé de foncion de ransfer H(p). ε(p) Simplificaion H(p). La FTBF pouvan aussi se mere sous la forme privilégian l écriure en pôles, il es par conséquen possible de déerminer la sabilié d un sysème asservi à l aide de la condiion fondamenale. Un sysème asservi es sable si sa FTBF possède : des pôles réels ous négaifs, des pôles complexes ayan leur parie réelle négaive. Floresan MATHURIN Page 3 sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Allure de la réponse à l impulsion de Dirac selon la posiion des pôles de la FTBF d un sysème s() STABILITE STABLE Pôles conjugués Pseudopulsaion de la réponse croi s() STABLE Pôles conjugués Im s() s() Pôles conjugués Pôle muliple Pôle simple QUASI INSTABILITE Re Pôles conjugués s() s() STABLE s() STABLE Amorissemen de la réponse croi s() s() Pôle muliple Pôle simple s() Bien que sa réponse à l impulsion soi sable, un inégraeur pur es ou de même considéré comme un sysème insable puisqu une enrée en échelon condui à une sorie en rampe. () ce résula éai bien évidemmen prévisible puisque le cenre de gravié du scooer es au dessus de l axe de roaion des roues (pendule inverse!). Exemple de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer en mode auobalancé : La chaîne d'acion permean de réguler l inclinaison du scooer es réalisée par un ensemble amplificaeur e mooréduceur. Ce ensemble délivre un couple moeur qui perme d incliner le châssis par rappor à la vericale. U(p) Modèle de comporemen du scooer pour l asservissemen d inclinaison H (p) ψ (p) Le modèle de comporemen de ce sysème (amplificaeur mooréduceur modèle dynamique du châssis pendule inverse) donne une foncion de ransfer qui peu s écrire sous la forme : ψ K H (p) U(p).p ω Avec : U(p) ransformée de Laplace de la ension de commande du mooréduceur, ψ (p) ransformée de Laplace de l angle d inclinaison du scooer par rappor à la vericale, K gain du sysème mécanique (K,4 rad/v) e ω pulsaion propre du sysème mécanique (ω 4, rad/s). ψ K. ω L écriure en pôles donne : H (p) U(p) p ω K. ω K. ω (p ω ).(p ω ) (p 4,).(p 4,) H (p) possède pôles réels don un es posi5f le modèle dynamique du scooer sans asservissemen es donc insable ()... Eude de la sabilié à parir de crières algébriques sur la FTBF Lorsque le dénominaeur D(p) de la FTBF H(p) n es pas sous une forme facorisée permean d idenifier les pôles, il es possible d uiliser des crières algébriques. La FTBF s écri alors : N(p) H (p) où D(p) FTBO, appelé polynôme caracérisique de la FTBF, se présene sous la D(p) n n n np. forme D (p) a a.p... a.p a. Floresan MATHURIN Page 4 sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP () Pour les polynômes caracérisiques de degré e, le premier examen es suffisan pour déerminer si le sysème es sable ou non. (3) Pour ce ème examen, Il fau normalemen consruire le ableau de Rouh pour savoir si le sysème es sable (sera vu en école d ingénieur). Les valeurs finalemen reenues sur le sysème son K v,5 rad/v e K p 3,5 V/rad qui permeen d avoir le emps de réponse à 5% le plus rapide pour une pulsaion propre ω 6,5 rad (la pulsaion ω es choisie elle qu elle soi proche de celle du sysème mécanique ω,5.ω 6,5 rad/s). Au concours, seul le crière algébrique de Rouh es au programme e l éude de la sabilié à l aide de ce crière es limiée aux équaions caracérisiques du 3 ème ordre. Par conséquen on 3 3p a D (p) a a.p a.p a.. Le crière de Rouh perme uniquemen de déerminer le gain d un sysème pour qu il soi sable mais ne renseigne pas sur la marge de sabilié d un sysème. Crière de Rouh L applicaion du crière algébrique de Rouh se fai en éapes : Premier examen () : Si cerains a i son négaifs ou nuls, D(p) a des racines à parie réelle posiive e le sysème es donc insable. Deuxième examen (3) : Si ous les a i son sricemen posiifs, on ne peu pas affirmer que les p i son à parie réelle négaive. Pour que le sysème soi sable il fau vérifier que a.a > a.a 3. Exemple de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer en mode auobalancé : Afin de sabiliser l inclinaison du W(p) scooer, la grandeur de commande, u() es en fai élaborée à parir des mesures de ψ& () (réalisée par le gyromère) e de ψ () (réalisée par combinaison de la mesure du gyromère e du pendule). U P (p) U V (p) Pendule gyromère K p Modèle de comporemen pour l asservissemen d inclinaison H (p) Gyromère K v.p Pour éudier le comporemen du sysème il fau d abord déerminer la FTBF du sysème : Kp.H. ψ Kp p.kv.h H K H(p) W(p) Kp.H K p.h p.kv.h.p Kp.K p.kv.k p.k.h ω v On applique le crière de Rouh sur le polynôme caracérisique de la FTBF : (p).p K.K.p K.K. ω D v p ψ (p) Tous les coefficiens du polynôme doiven êre de même signe e non nuls > par conséquen K v.k > e Kp.K >. Ici le er examen suffi puisque le ω 4, polynôme caracérisique es du nd degré donc au final pour que le sysème soi sable il fau K v > e K p >. K.3. Eude de la sabilié des sysèmes muli variables Dans le cas de sysèmes mulivariables, on superpose deux modes : un er mode pour lequel l enrée E (p) E (p) es considérée comme nulle, un nd mode lequel l enrée E (p) es considérée comme nulle. E (p) C(p) Floresan MATHURIN Page 5 sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP Mode à enrée E (p) H(p) E (p) E E (p) (p) H. (p) E (p)..c(p) Mode à enrée E (p) C(p) E (p) H (p) es la foncion de ransfer en poursuie. E (p) C(p) C(p) H(p) E (p) E (p)..c(p) E (p) H (p) es la foncion de ransfer en régulaion. La superposiion des modes perme d obenir au final la foncion de ransfer boucle fermée du sysème mulivariables :. H(p). H(p)... E (p)..c(p)..c(p) On consae alors que le polynôme caracérisique de la FTBF D(p) es le même pour la foncion de ransfer en poursuie / E (p) e la foncion de ransfer en régulaion / E (p). Les pôles des deux foncions de ransfer son aussi par conséquen les mêmes. L éude de sabilié du sysème comprenan les perurbaions es donc la même que celle du sysème sans perurbaion. (4) Le fai que les crières soien fréqueniels ne doi pas ne doi pas conduire à penser que l insabilié ne peu se produire que si l enrée es sinusoïdale!!! En effe, ou signal d enrée (un échelon par exemple) peu êre décomposé en série de Fourier e donc êre considéré comme un somme de signaux sinusoïdaux couvran un large specre de pulsaions. Pour éudier la sabilié d un sysème muli variables, il suffi de ne regarder que la sabilié de la foncion de ransfer en poursuie / E (p). 3 ETUDE DE LA STABILITE A PARTIR DE CRITERES GRAPHIQUES SUR LA FTBO Dans la praique, l éude de la sabilié des sysèmes bouclés se fai pluô graphiquemen dans le domaine fréqueniel (4) à parir de la FTBO. 3.. Equaion caracérisique e poin criique Définiions On appelle équaion caracérisique d un sysème bouclé ciconre l expression FTBO(p). Le sysème es en limie de sabilié si FTBO(p). On appelle poin criique le poin du plan complexe d'affixe z (module e argumen 8 ) e on consae que l'éude du dénominaeur des FTBF revien en fai à analyser la FTBO par rappor au poin criique. ε(p) Floresan MATHURIN Page 6 sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP (5) Le crière de Nyquis es hors programme. Seul le crière du revers dans le plan de Bode es au programme. 3.. Crière du revers dans le plan de Bode La plupar des sysèmes renconrés dans l'indusrie on en fai rès souven une FTBO don les pôles son à paries réelles sricemen négaive. Le crière de Nyquis (qui es le crière de sabilié général sur les FTBO) es simplifié e es appelé crière du Revers (5). Un sysème asservi, sable en boucle ouvere, es asympoiquemen sable en boucle fermée si : à la pulsaion ω ω φ8 pour laquelle arg(ftbo (jω φ8 )) 8, on a FTBO (jω φ8 )) < db ou bien, à la pulsaion ω ω co pour laquelle FTBO (jω co )) db, on a arg(ftbo (jω co )) > 8. Sysème sable Sysème insable ω co ω φ8 ω co ω φ8 φ ( ) φ ( ) 8 8 (6) non prise en compe des phénomènes nonlinéaires, reards, 3.3. Marges de sabilié En praique, il es nécessaire de faire foncionner un sysème suffisammen loin de son poin d insabilié, ceci pour plusieurs raisons. Lors de la concepion d un sysème, de nombreuses hypohèses son prises e les modèles de foncions de ransfer son imprécis (6). Lors de l uilisaion du sysème, les composans élecroniques on des caracérisiques qui évoluen avec le emps (empéraure, vieillissemen ). Il es donc nécessaire de prévoir des «marges» vis à vis du problème d insabilié qui «garanissen» que le poin criique ne sera jamais aein. Marge de phase La marge de phase es définie elle que M φ 8 arg(ftbo (jω co )) où ω co es la pulsaion de coupure pour laquelle FTBO (jω co )) db. Marge de gain φ ( ) ω co ω φ8 M G La marge de gain es définie elle que M G log FTBO (jω φ8 )) où ω φ8 es la pulsaion pour laquelle arg(ftbo(jω φ8 )) 8. 8 M φ Floresan MATHURIN Page 7 sur 8
Cours 8 Sabilié des SLCI Lycée Bellevue Toulouse CPGE MP On cherche généralemen à obenir une marge de phase de 45 (valeur empirique) qui garani un foncionnemen correc de la plupar des sysèmes. Données : K,4 rad/v ω 4, rad/s K v,5 rad/v K p 3,5 V/rad K i 3,7 V/rad T i,93 s. La marge de gain es une garanie que le sysème resera sable malgré une variaion imprévue du gain ou une imprécision sur sa valeur. Une marge de gain de 6dB perme une laiude d'un faceur sur le gain en boucle ouvere. La valeur reenue es généralemen comprise enre 6 e db. Exemple de la chaine de régulaion de l inclinaison du scooer en mode auobalancé : W(p) La consigne de la régulaion de ψ c(p) ε(p) Correceur l inclinaison du châssis ψ () par C(p) rappor à la vericale es noée ψ c ( ). db 9 8 φ ( ) M φ ω c Sysème de sabilisaion H (p) ψ (p) Sur le sysème il exise un correceur proporionnel inégral de foncion de ransfer C(p) qui élabore le signal w() (de ransformée de Laplace W(p)) à parir de l écar ε( ) ψc() ψ(). Pour éudier graphiquemen la sabilié du sysème il fau déerminer la FTBO T(p) : T(p) K.( T(p) 3,7.( i K Kp.K ). T.p K.K i v.p.p (K.K ). ω K.K p,7 ).,93.p,65.p,3.p Graphiquemen on consae à l aide du crière du revers que le sysème es sable. Sa marge de phase pour ω c éan égale à M φ 45. p 4 CAUSES D INSTABILITE (7) La foncion de ransfer s écri : H(p) e Tp soi H(jω) e T.jω pour la réponse harmonique. Le module es consan e égal à (G db). L argumen es une foncion linéaire de ω : ϕ arg H(jω) Tω. 4. Les reards purs (7) La présence d un reard pur (il y a en dans ous les sysèmes) dans la FTBO pourra enraîner l insabilié du sysème en BF. 4.. Le gain en boucle ouvere Pour les sysèmes d ordre supérieur à l augmenaion du gain en boucle ouvere K BO peu conduire à un risque d insabilié. 4.3 Les inégraeurs La présence d inégraeur(s) dans la FTBO appore un déphasage de 9, ce qui rapproche le lieu de ransfer du poin criique, donc end à désabiliser le sysème. 9 ϕ ( ) ω ω er ordre er ordre avec reard pur Floresan MATHURIN Page 8 sur 8