Chapitre 8 : Séries ECE3 Lycée Carot 2 décembre 200 Itroductio Reveos pour itroduire ce chapitre quelques siècles e arrière, au temps de Zéo d'élée, philosophe grec du ciquième siècle avat J-C. Celui-ci est resté célèbre par sa positio très sceptique vis-à-vis de certaies théories scietiques développées à l'époque (otammet par Plato) cocerat la divisibilité du temps et des mouvemets, et les quelques paradoxes qu'il ous a laissés à méditer à ce sujet. Le plus cou d'etre eux est peut-être celui de la course etre Achille et la tortue. Pour xer les idées, supposos qu'achille courre à 0 mètres par secode (à peu de choses près la vitesse d'u record du mode de 00 mètres), et la tortue (u peu géétiquemet modiée) à mètre par secode. Achille s'élace avec cet mètres de retard. Quad va-t-il rejoidre la tortue? La répose u peu surpreate de Zéo est : jamais. Voici so raisoemet : le temps qu'achille parcoure ses cet mètres, la tortue e a frachi dix. Mais le temps qu'achille parcourre ces dix ouveaux mètres, la tortue e a fait u de plus etc. O aura beau multiplier les étapes, Achille sera toujours derrière. Commet résoudre le paradoxe? Regardos les choses d'u poit de vue temporel : Achille met 0 secodes pour frachir les cet premiers mètres, puis ue secode supplémetaire pour les dix mètres suivats, secode pour le mètre suivat etc. Au total, Achille 0 met doc 0 + + =... secodes avat de rejoidre la tortue. L'astuce est toute simple : cette 0 somme, bie que composée d'u ombre ii de réels, est ie. Aisi, même s'il faut u ombre ii d'étapes à Achille pour rejoidre la tortue, celles-ci vot toutes se dérouler das u laps de temps i. C'est là l'idée d'ue série (covergete) e mathématiques : ue somme d'u ombre ii de termes qui doe pourtat u résultat i. Déitios Déitio. Soit (u ) ue suite réelle. La série de terme gééral u est la suite S des sommes partielles de la suite (u ). Autremet dit, S = u k. O ote cette série u. Remarque. O peut costruire des séries à partir de suites qui e sot pas déies à partir de = 0. Das ce cas, o chagera aturellemet la valeur de départ das la somme : si (u ) est déie pour 0, o pose 0, S = u k. 0 Exemple La série de terme gééral 2 (pour ) est déie par S =. Attetio à e k2 pas cofodre u et S : les premiers termes de la suite (u ) sot u = ; u 2 = 4 ; u 3 =. Ceux de la série (S ) sot S = ; S 2 = + 4 = 5 4 ; S 3 = + 4 + = 4 36. k=
Déitio 2. La série u est covergete si la suite (S ) a ue limite ie. Das ce cas, la + limite de la suite (S ) est appelée somme de la série, et otée u k. Das le cas cotraire, la série est dite divergete. Détermier la ature d'ue série reviet à détermier si elle est covergete. Remarque 2. ATTENTION, la covergece de la suite (u ) et celle de la série u e sot pas du tout la même chose! La covergece d'ue série reviet à celle des sommes partielles de la suite (u ). Il faut par ailleurs faire très attetio à la maipulatio des sommes iies. O e peut utiliser cette otatio qu'à partir du momet où o sait que la série coverge, et o e peut pas maipuler ces sommes aussi aisémet que des sommes ies. Das tous les cas, il est idispesable de s'assurer de la covergece d'ue série avat d'utiliser ces sommes, c'est pourquoi o commece toujours, lors de l'étude d'ue série icoue, par étudier les sommes partielles, puis passer à la limite. Exemple : Repreos l'exemple de l'itroductio. Si o pose u =, o se red compte que le 0 temps mis par Achille pour rejoidre la tortue peut s'exprimer comme la somme de la série u. Vérios sa covergece : o a S =. C'est ue somme géométrique, que l'o sait calculer : 0 S = 0 0. Lorsque ted vers +, o a bie covergece de S vers 0 déduit la covergece de la série, dot la somme vaut 00 pour rejoidre la tortue). 0 0 = 00. O e (ce qui représete le temps mis par Achille Exemple : Il peut arriver qu'o puisse démotrer la covergece d'ue série sas pour autat savoir calculer sa somme. Aisi la série de terme gééral (déie pour ), qui a fait l'objet d'u 2 exercice faisat iterveir des suites adjacetes il y a quelques semaies, est covergete, mais o e dispose pas de moye simple de détermier sa somme, qui vaut e l'occurece π2 6. ( ) + Exemple : U petit derier avec alterace de siges das le terme gééral : (pour ). Plutôt que d'étudier directemet S, o va séparer l'étude des termes d'idices pairs et impairs. La suite (S 2 ) des termes d'idices pairs est croissate puisque S 2+2 S 2 = ( )2+3 2 + 2 + ( ) 2+2 2 + = 2 + 2 + 2 + > 0. De même o motre facilemet que la suite (S 2+) des termes impairs est décroissate. Comme de plus, leur diérece S 2+ S 2 = ( )2+2 ted vers 0, les 2 + deux suites sot adjacetes, et coverget doc vers ue limite commute, qui est égalemet limite de la suite (S ). O peut motrer par d'autres méthodes que lim S = l 2 + 2. Déitio 3. Si la série + u coverge, le reste d'idice de la série est le réel u k S. Propositio. Sous les hypothèses précédetes, la suite (R ) coverge vers 0. Démostratio. E eet, comme les sommes partielles coverget vers la somme de la série, l'écart etre les deux ted vers 0. Déitio 4. La série u est dite absolumet covergete si la série u coverge. Propositio 2. Ue série absolumet covergete est covergete. 2
Démostratio. Pas pour l'istat! Vous reverrez e deuxième aée des critères de covergece permettat de démotrer cette propriété. Remarque 3. Attetio, la réciproque 'est pas vraie. Par exemple la série de terme gééral ( )+, dot o a vu qu'elle était covergete, 'est pas absolumet covergete (cf derière partie du cours, divergece de la série harmoique). O dit que c'est ue série semi-covergete. 2 Propriétés Propositio 3. Si la série u est covergete, alors le terme gééral u coverge vers 0. Démostratio. E eet, si la série coverge, S coverge vers la somme S de la série. Mais alors, S + ted aussi vers S. Or, o a u = S + S, qui coverge doc vers 0. Remarque 4. Attetio, cette coditio est écessaire mais PAS susate. Ecore ue fois, la série de terme gééral diverge, et pourtat, la limite de vaut bie 0. Exemple : Ce critère s'utilise surtout via sa cotraposée : si le terme gééral e ted pas vers 0, alors la série est divergete. Par exemple, la série de terme gééral ( ) e coverge pas. Propositio 4. Si deux séries u et v sot covergetes, alors leur somme (u + v ) est covergete, et + u k + + + + coverge et λu k = λ u k. v k = + (u k + v k ). De même, si λ est u réel quelcoque, λu Démostratio. C'est ue applicatio directe des propriétés de la limite. Motros par exemple la première partie. Notos S, T et U les sommes partielles respectives des séries de terme gééral u, v et u + v. O a maifestemet U = S + T. Si les deux suites S et T coverget, ce sera doc aussi le cas de U et sa limite est bie la somme des limites de S et de T. Remarque 5. Attetio ecore ue fois à la rédactio : ce 'est pas parce qu'ue série est covergete et qu'o peut découper la somme e deux morceaux que les deux morceaux e questio formet égalemet des séries covergetes. Il est doc préférable ecore ue fois de e travailler das u premier qu'avec des sommes partielles. Propositio 5. Si le terme gééral u de la série est positif, la série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est majorée. Démostratio. E eet, la suite (S ) est alors croissate. Elle est doc soit majorée et covergete, soit o majorée, auquel cas elle ted vers +. Corollaire. Soiet deux séries de termes gééraux u et v vériat 0 u v à partir d'u certai rag. Si la série v coverge, alors la série u coverge égalemet. Si u diverge, alors v diverge aussi. Démostratio. E eet, das le premier cas o aura, e otat 0 le rag à partir duquel les + iégalités sot vériées, 0, S = u k v k v k, doc les sommes partielles 0 0 0 de terme gééral u sot majorées et la série correspodate coverge. La deuxième propriété est similaire, e utilisat cette fois-ci que la série de terme gééral v est supérieure à ue suite divergat vers +, doc diverge elle aussi vers +. 3
Théorème. Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v, alors les deux séries ot la même ature. Démostratio. Ce théorème, aisi que d'autres critères de covergece sur les séries, sera revu et démotré e deuxième aée. Il 'est d'ailleurs pas au programme de première aée, mais je vous le cite tout de même car il est extrêmemet utile. 3 Séries classiques Déitio 5. Soit q R, la série q est appelée série géométrique de raiso q. Les séries de terme gééral q et ( )q 2 sot appelées respectivemet séries géométriques dérivée et dérivée secode de raiso q. Remarque 6. O peut aturellemet déir des séries géométriques dérivées k-ièmes pour des valeurs de k supérieures à 2. Propositio 6. Les séries géométriques de raiso q sot covergetes si et seulemet si q <. + Das ce cas, o a q k = + q ; kq k + = ( q) 2 et k(k )q k 2 2 = ( q) 3. k= Démostratio. Pour les séries géométriques classiques, o sait calculer les sommes partielles depuis u certai temps : S = q+. E faisat tedre vers + et e utilisat les résultats sur les q limites de suites géométriques, o costate la covergece de la série lorsque q <, vers la somme idiquée das l'éocé. Pour les séries dérivées, commeços par costater qu'elles e peuvet pas coverger si q puisque le terme gééral e ted pas vers 0. Das le cas cotraire, posos f(x) = x k. La somme partielle de la série géométrique classique 'est autre que f(q), mais les séries géométriques dérivées peuvet égalemet s'exprimer simplemet e foctio de f, ou plutôt de ses dérivées (d'où kx k, doc f (q) représete la somme partielle de la série géométrique le om!) : f (x) = k= dérivée de raiso q. De même, f (q) 'est autre que la somme partielle de la série géométrique dérivée secode de raiso q. Or o sait par ailleurs que f(q) = q+, doc (via u sympathique calcul de dérivée de quotiet) f (q) = ( + )q + ( q + ) q ( q) 2 = q+ ( + )q + ( q) 2 et f (q) = ( + )q ( q) 2 ( + )q ( q) 2 + 2( q)(q + ( + )q + ) ( q) 4 = ( )q+ + 2( 2 )q ( + )q + 2 ( q) 3. Il e reste plus qu'à faire tedre vers +, e utilisat le fait que lim + q = 0 et lim + 2 q = 0 (par croissace comparée) pour obteir la covergece des sommes partielles vers les valeurs idiquées. Remarque 7. O peut déduire du résultat précédet les valeurs d'autres sommes de séries. Par + exemple, si q <, la série de terme gééral q coverge et kq k q =. E eet, o a ( q) 2 S = kq k = q kq k, et o est rameé au cas de la série géométrique dérivée. k= 4
+ k Exemple : 2 k = 2. Propositio 7. La série de terme gééral x! raiso, cette série est souvet appelée série expoetielle. + coverge pour tout réel x, et x k k! = ex. Pour cette Démostratio. O maque d'ue déitio susammet claire de l'expoetielle pour prouver ceci. + Exemple : Quad o choisit x =, o obtiet k! = e. Déitio 6. La série de terme gééral est appelée série harmoique. Propositio 8. La série harmoique est divergete. Plus précisémet, la somme partielle de cette série est équivalete à l. Démostratio. Nous allos eectuer ue démostratio de ce résultat utilisat des itégrales (mais si, tout va bie se passer). Commeços par costater la chose suivate : si k N, alors x [k; k+], k + x k+ k+. E itégrat ces iégalités etre k et k+, o obtiet dx dx k k k + k x k+ k k dx, soit k+ k + k x dx. Gardos l'iégalité de droite et décalos l'idice das k k celle de gauche pour obteir l'ecadremet k x dx k+ k dx. E additioat ces k x ecadremets pout tous les etiers de 2 à (o e peut pas le faire pour k = à cause du k apparaissat das le membre de gauche), o obtiet alors x dx + k dx, soit 2 x l l k l( + ) l 2. E otat S = k, o a doc l + S l( + ) k= l 2+. E divisat tout par l, o e déduit + l S l( + ) + l 2. Le membre de l l l gauche a maifestemet pour limite, quad quad ted vers +, et celui de droite égalemet, ( ( car l( + ) = l + )) l( + ), doc = + l( + ), qui ted vers. Via le théorème l l S des gedarmes, o e déduit que lim + l =, ce qui sigie exactemet que S l. Remarque 8. Plus gééralemet, les séries de terme gééral Elles coverget pour toutes les valeurs de α >. α sot appelées séries de Riema. 5