Le Clcul Intégrl niveu mturité Dniel Frquet Eté 8
Tble des mtières Introduction Intégrle indéfinie 3. Définitions et générlités................................ 3.. Déf. d une primitive.............................. 3.. Primitives d une fonction........................... 3..3 Déf. d une intégrle indéfinie......................... 4..4 Quelques propriétés.............................. 4. Recherche de primitives................................ 5.. Intégrtion pr identifiction......................... 5.. Intégrtion pr prties............................. 6..3 Intégrtion pr chngement de vrible................... 7..4 Intégrtion des fonctions rtionnelles..................... 9 3 Intégrle définie 3. Aire nlytique..................................... 3. Somme de Riemnn.................................. 3.3 Intégrle de Riemnn.................................. 3.3. Déf. d une fonction intégrble u sens de Riemnn............. 3.3. Condition pour qu une fonction soit intégrble............... 3.3.3 Propriétés de l intégrle définie........................ 3.3.4 Théorème de l moyenne........................... 3.3.5 Déf. d une primitive sur un intervlle..................... 3 3.3.6 Lemme..................................... 3 3.3.7 Théorème fondmentl du clcul intégrl.................. 5 3.3.8 Nottion..................................... 5 3.3.9 Propriété de l intégrle d une fonction positive............... 6 3.3. Corollire.................................... 7 3.3. Intégrle fonction de ses bornes (fculttif)................. 8 3.4 Techniques de clcul.................................. 9 3.4. Clcul d une intégrle définie à l ide d un chngement de vrible.... 9 3.4. Intégrtion pr prtie d une intégrle définie................ 4 Intégrle générlisée 4. Intégrnts singuliers sur des intervlles bornés.................... 4. Intégrle d une fonction continue et bornée..................... 4.3 Intégrle sur des intervlles fermés non bornés.................... 4.4 Intégrle sur des intervlles ouverts non bornés................... 3 5 Applictions 5 5. Aire entre deux courbes................................ 5 5. Volume de révolution.................................. 6
Introduction Introduction Ce document pour but de présenter les fondements du clcul intégrl. Il contient toutes les connissnces requises pour l mturité concernnt l intégrle (et même un peu plus). Autnt que possible les démonstrtions seront proposées dns ce texte. Je pense en effet qu il est très importnt de comprendre l démonstrtion d un théorème fin de bien le mîtriser. Ce polycopié diffère donc du livre officiel pour l mturité (CRM, [5]) pr le fit qu il contient les démonstrtions des théorèmes proposés. De plus, fin que le lecteur puisse mieux sisir le sens de ce qu il lit, de nombreux exemples sont fournis. Des remrques viennent églement compléter les points importnts. Ces choix sont vnt tout pédgogiques cr, selon moi, ils ideront fortement à comprendre l mtière tritée. L intégrle est trop souvent présentée comme étnt «l inverse» de l dérivée, vue un peu simpliste à mon goût. Ce genre d ffirmtion est le résultt de théorèmes, d où l utilité de les démontrer. L première prtie trite de l intégrle indéfinie, dont les concepts sont ssez simples à sisir. L seconde porte sur l intégrle définie, qui est l «grosse» prtie du clcul intégrl. Puis on s intéresser ux intégrles générlisées et ux pplictions.
Intégrle indéfinie 3 Intégrle indéfinie Cette section comprend une idée générle de ce qu est l intégrle insi que les moyens d en clculer. Elle permet une première pproche en douceur.. Définitions et générlités.. Déf. d une primitive Soit f une fonction continue sur I R. On ppelle primitive de f, une fonction F dérivble tel que F (x) = f(x), x I. Exemple f(x) = (x + ), F (x) = (x + ) I = R G(x) = x + x F et G sont deux primitves de f. Une primitive de f n est donc ps unique... Primitives d une fonction Soit f une fonction continue sur I R et F une primitive de f. Alors toutes les primitives de f sont de l forme F (x) + C où C = C(x) est une fonction constnte (on note prfois C R). Démonstrtion. Montrons d bord que si F est une primitve F + C est une primitve. En effet, (F (x) + C) = F (x) + }{{} C = f(x) Montrons mintennt que si G est primitive C R t.q. G = F + C. (G F ) (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = Si l dérivée de (G F ) est nulle, on que (G F ) = C, C R. Donc G = F + C. Exemple Posons F : R R tel que F (x) = x et F (x) = f(x), on donc clirement que f(x) = x. Mis en posnt G : R R tel que G(x) = x + 3, on ussi que G (x) = x = f(x). Ainsi F et G sont deux primitives de f, de plus, elles ne diffèrent que d une constnte. En effet (G F )(x) = G(x) F (x) = x + 3 x = 3.
. Définitions et générlités 4..3 Déf. d une intégrle indéfinie Soit f une fonction continue sur I R. On ppelle intégrle indéfinie de f l ensemble de toutes les primitves de f. L intégrle indéfinie de f se note : f(x)dx où est le signe d intégrtion, f(x) est l intégrnt et dx l nottion différentielle. A noter : x est l vrible d intégrtion. Remrque : En utilisnt.. on peut écrire que f(x)dx = F (x) + C Intégrle indéfinie où F est une primitive prticulière et C R. Cette nottion ser justifiée pr l suite. On effectue une «somme»...4 Quelques propriétés Soient f et g, deux fonctions continues.. f (x)dx = f(x) + C (. f(x)dx) = f(x) 3. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx, 4. (λf(x))dx = λ f(x)dx, λ R Remrque : Les propriétés 3 et 4 sont ppelées linérité de l intégrle. Démonstrtion.. f étnt l primitve de f, le résultts est direct.. f(x)dx = F (x) + C où F est une primitive de f insi, ( f(x)dx) = (F (x) + C) = F (x) + }{{} C = f(x) f(x) 3. Soient F et G des primitives de f et g respectivement : F (x) = f(x) G (x) = g(x) Alors (F (x)+g(x)+c) = f(x)+g(x) donc (f(x)+g(x))dx = F (x) + G(x) + C = f(x)dx + g(x)dx (F (x)+g(x)+c) dx () =
. Recherche de primitives 5 4. Soit F une primitive de f et λ R quelconque : F (x) = f(x) Alors (λf (x)) = λf(x) donc (λf(x))dx = C ) = λ f(x)dx (λf (x)) dx () = λf (x) + C = λ(f (x) +. Recherche de primitives Mintennt que nous vons une idée un peu plus précise de ce qu est une intégrle, insi que de certines de ses propriétés, nous llons nous ttcher u clcul de celles-ci. Plusieurs méthodes sont présentées dns ce qui suit... Intégrtion pr identifiction On regrde si l on reconnit l intégrnt comme l dérivée d une fonction (ou fonction composée) connue. si f(x) = F (x), lors on directement f(x)dx = F (x) + C si f(x) = H (u(x)) u (x), lors on f(x)dx = H(u(x)) + C. dérivée p.r. à u En effet, f(x)dx = H (u(x))u (x)dx = (H(u(x))) dx = H(u(x)) + C Exemples. cos x dx =? Comme nous svons que sin x = cos x, on : cos x dx = sin x dx = sin x + C, C R. x(x + b) n dx =?, b R fixés, n N fixé. En fisnt pprître l dérivée de (x + b) dns l expression, nous serons dns le cs où il y une dérivée de fonction composée, et le tour est joué! x(x + b) n dx = x(x + b) n dx = (n + ) (x + b) n+ + C, C R Le dernier pssge se fit en «voynt» le résultt. Remrques : Tout d bord ne ps se décourger qund vous voyez écrit des choses comme «On voit que», en «remrqunt» ou en «voynt». Il est difficile u début de voir les dérivées de fonctions composées à l vnce et de bien nticiper l méthode à utiliser... Ce sont des réflexes qui viennent très rpidement, vec un minimum d entrînement sous forme d exercices.
. Recherche de primitives 6 L vrible x d intégrtion est dite muette : si on remplçit le x pr t, pr exemple, cel ne chngerit rien u clcul : cos x dx = sin x et cos t dt = sin t Je suis conscient que les exemples trités ne sont ps forcément simples. Toutefois je suis convincu que comprendre un exemple difficile ide fortement à fire des exercices de tous niveux!.. Intégrtion pr prties Rppel : dérivée d un produit de fonctions u(x)v(x) : (uv) = u v + uv En intégrnt, (u(x)v(x)) dx = u (x)v(x)dx + u(x)v(x)dx u(x)v(x) = u (x)v(x)dx + u(x)v(x)dx u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx Ou, pr bus de nottion : u vdx = uv uv dx L idée est de choisir les fonctions u et v formnt l intégrnt telles que u et uv soient plus fciles à intégrer. Le plus simple pour comprendre reste l exemple. Exemples. x sin x dx =? En posnt u = sin x u = cos x v = x v = on obtient que ( }{{} x sin } {{ x } dx = }{{} x ) cos x cos x v u v u u = x cos x + cos x dx }{{} v dx = x cos x + sin x + C, C R 4 Remrque : L primitve de u est à choisir, à une constnte rbitrire près, selon ce qui nous rrnge. Dns ce cs C =, comme c est d illeurs presque toujours le cs.
. Recherche de primitives 7. I = e x sin x dx =? Une des propriétés de l fonction e x est que, si on l dérive, cel chnge rien : (e x ) = e x. Donc posons : u = e x u = e x v = sin x v = cos x Ainsi, on : I = e x sin x e x cos x dx Re-intégrons une fois pr prtie : u = e x u = e x v = cos x v = sin x Cette fois, on obtient : [ I = e x sin x e x cos x + ] e x sinx dx I+C Il nous suffit donc d isoler I pour voir le résultt voulu : I = e x (sin x cos x) C, I = ex (sin x cos x) + C, C R C R..3 Intégrtion pr chngement de vrible On peut considérer x comme une fonction d une vrible t : x = ϕ(t). Le chngement de vrible peut rendre l intégrnt plus fcilement intégrble. L difficulté réside dns le choix de l fonction ϕ(t). Remrque(importnte) : Le chngement de vrible doit impértivement être inversible, ϕ doit être bijective, t = ϕ (x). Posons x = ϕ(t) pour clculer f(x)dx, où ϕ est bijective. On obtient clirement que f(x) = f(ϕ(t)). Sns en donner l démonstrtion, on : dx = ϕ (t)dt Donc l intégrle devient : f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt
. Recherche de primitives 8 Soit H(t) une primitive de f(ϕ(t))ϕ (t), lors, comme t = ϕ (x) cr ϕ est bijective : f(x)dx = H(t) + C = H(ϕ (x)) + C Exemples x. dx =?, x ], [ + x. Posons t = + x ], [. Ceci définit une bijection entre x et t, x = ϕ(t) = t. Comme dx = t dt : x t [ ] t dx = t dt = (t 3 )dt = + x t 3 t +C = t 3 (t 3)+C = + x (x ) 3 x 3 x dx =?, x [, ] Posons x = sin t, t [ π, ] π, insi on obtient : t = rcsin x dx = cos t dt sin t = cos t = cos t, cr cos t >, t [ π, ] π En n oublint ps que sin t + cos t =, t R : x 3 x dx = sin 3 t cos t cos t dt = sin 3 t cos t dt = sin t ( cos t) cos t dt sin t = sin t(cos t cos 4 t)dt = sin t cos t dt sin t cos 4 t dt = 3 cos3 t + 5 cos5 t + C = 3 ( x ) 3 + 5 ( x ) 5 + C, C R Quelques chngements de vrible usuels Posons tout d bord R(x,..., x n ) = P (x,...,xn) Q(x,...,x n), où P (x,..., x n ) et Q(x,..., x n ) sont deux polynômes. Lorsque f est de l forme de R(x,..., x n ), certins chngements peuvent s vérer utile. Les chngements de vrible donnés ici sont des chngements possibles, mis non obligtoire. Avnt de fire un chngement «compliqué», vérifiez toujours s il n y en ps un qui est évident! f(x) = R(sin x, cos x, tn x, cot x) Chngement de vrible recommndé : x = ϕ(t) = rctn t t = tn x, et π < x < π
. Recherche de primitives 9 On obtient : dx = + t dt Et l trigonométrie nous donne : sin x = f(x) = R(x, α β x ) t t et cos x = + t + t. Chngement de vrible recommndé : x = α β sin t ou x = α β cos t Ne ps oublier que sin x + cos x =, x R. f(x) = R(x, x k,..., x kn ) Chngement de vrible recommndé : x = t k vec k = ppmc[k,..., k n ] etc... Remrque : Bien d utres chngements de vrible peuvent être considérés, en prticulier ceux utilisnt les fonctions hyperboliques. Ceux-ci peuvent s vérer très utiles. Ces fonctions n étnt ps supposées connues, il me semble inutile de les citer ici. Exemple sin dx =? x Posons t = tn x, on retrouve sin x = t et dx = + t + t dt Il nous suffit de substituer tout ceci dns l intégrle et de l clculer, ce qui donne : ( + t sin x dx = ) 4t + t dt + t = t dt = ( ) t + dt = ( ) t + t = ( tn x ) tn x..4 Intégrtion des fonctions rtionnelles Les fonctions du type f(x) = P (x) Q(x) peuvent être intégrées de mnière efficce, mis prfois fstidieuse, grâce à une décomposition dite en éléments simples. Une fois l fonction «décomposée», il suffit d intégrer les éléments simples. Cette méthode est, à mes yeux, ps très difficile à comprendre, mis mlheureusement très lourde u niveu clcultoire. Ainsi, je ne souhite ps en fire un exposé ici. Le lecteur motivé est conseillé de se référer à [] fin d voir une expliction détillée insi que des exemples.
3 Intégrle définie 3 Intégrle définie Cette section concernnt l intégrle définie comporte une grnde prtie théorique, permettnt de montrer énormément de résultts concernnt l intégrle. 3. Aire nlytique Soit f une fonction de I dns R, et b deux points de l intervlle I, tels que < b. On cherche à définir le symbole b f(t)dt pour que ce nombre représente l ire comprise entre le grphe de f, l xe Ox, et les droites verticles x = et x = b. Figure L ire en june représente le nombre b f(t)dt Pour répondre à certines propriétés (propriétés de mesures) il nous fut rjouter plusieurs conditions. Une de ces conditions nous indique que l ire se trouvnt en dessous de l xe Ox doit être comptée négtivement : Figure Aire nlytique de f entre et b L ire nlytique est positive (respectivement négtive) sur les prties du domine où f(t) est positive (resp. négtive). b f(t)dt doit donc représenter l ire nlytique de f(t) entre les deux points et b. Pour y rriver nous llons :. Source : http ://www.uel.eduction.fr/consulttion/reference/mthemtiques/integrtion/. Source : ibid.
3. Somme de Riemnn Diviser l intervlle [, b] Encdrer l fonction pr une constnte, sur chque intervlle. (f doit donc être bornée). Additionner les ires correspondntes 3. Somme de Riemnn Divisons l intervlle [, b] en N intervlles [x k, x k ], k =,..., N vec x = et x n = b. Choisissons de plus c k [x k, x k ] dns chque intervlle. L constnte nous permettnt d «encdrer» l fonction ser donnée pr f(c k ). L ire nlytique A k d un rectngle est donc : A k = f(c k )(x k x k ) Figure 3 Somme de Riemnn de f entre et b. Hchuré : ire nlytique d un rectngle 3 Posons x k = x k x k et : S n = N f(c k ) x k k= S n est ppelée l somme de Riemnn de f sur [,b]. C est une pproximtion de l ire nlytique cherchée, l somme des ires positives (bleu) et négtives (june) de l figure 3. S n dépend du découpge en N intervlles et du choix des c k. Plus les x k sont petits, plus l pproximtion est bonne. 3. Source : http ://www.uel.eduction.fr/consulttion/reference/mthemtiques/integrtion/
3.3 Intégrle de Riemnn 3.3 Intégrle de Riemnn 3.3. Déf. d une fonction intégrble u sens de Riemnn Si pour N chque x k et si lim N S n existe ( ± ) et est indépendnte du découpge et du choix des c k lors on dit que f est intégrble u sens de Riemnn sur [,b]. L limite lim N S n est ppelée intégrle définie de f sur [, b]. On l note b f(t)dt : lim S n = lim N N k= N f(c k ) x k = b f(t)dt Ainsi b f(t)dt est l ire nlytique du domine délimité pr le grphe de f, l xe Ox et les droites x = et x = b. C est bien ce que nous voulions!! Remrques : Dorénvnt on prler de fonctions intégrbles, sns préciser u sens de Riemnn. On pourrit mintennt se demnder quel est le rpport entre une ire et l dérivée. Ceci est le résultt d un théorème. 3.3. Condition pour qu une fonction soit intégrble Toute fonction continue et définie sur l intervlle [, b] est intégrble. Démonstrtion. Il n est ps possible de fournir une démonstrtion ici. Elle repose entre utre sur le fit que, quel que soit le découpge et, quel que soit le c k choisi, f(c k ) existe cr c k [, b] et f est définie sur [, b]. 3.3.3 Propriétés de l intégrle définie Si c [, b], on c c f(t)dt = et b c f(t)dt = c f(t)dt = c f(t)dt + f(t)dt. b c f(t)dt vec pour convention : Comme dit plus hut, l intégrtion est linéire. g(t))dt = b f(t)dt + b b αf(t)dt = α b g(t)dt si f et g sont continues sur [, b]. f(t)dt et b (f(t) + m(b ) b 3.3.4 Théorème de l moyenne f(t)ft M(b ) si m = min f(x) et M = mx f(x). x [,b] x [,b] Soit < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [, b]. Alors il existe c [, b] tel que b f(t)dt = f(c)(b ).
3.3 Intégrle de Riemnn 3 Démonstrtion. f étnt continue sur [, b], les deux nombres m = min x [,b] f(x) et M = mx x [,b] f(x) existent. En utilisnt une des propriétés données en 3.3.3 : ou encore m(b ) b f(t)ft M(b ) b m f(t)dt M. b L fonction f étnt continue sur [, b], elle prend toute vleur comprise entre m et M (Théorème de l vleur intermédiire, voir [],[] ou [5]). Ce qui revient à dire qu il existe un nombre c [, b] tel que b f(c) = f(t)dt b D où le résultt. Exemple Soit f : R R tel que f(x) = x, et posons = et b =. Comme nous vons défini f(t)dt comme étnt l ire du domine compris entre le grphe de f, l xe Ox et les droites verticles x = et x =, et que nous svons que cette ire est celle d un tringle de bse et de huteur, on que f(x)dx = x dx = =. De plus, nous svons églement que [, ] et que f() =. Ainsi, c = [, ] tel que f(c)(b ) = f()( ) = = = x dx = b f(x)dx. 3.3.5 Déf. d une primitive sur un intervlle Soit < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [, b]. Alors nous dirons qu une fonction continue F : [, b] R est une primitive de l fonction f sur [, b] si x ], b[ : F (x) = f(x) 3.3.6 Lemme Soit < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [, b]. Alors l fonction F : [, b] R définie pr F (x) = est une primitive de l fonction f sur [, b]. x f(t)dt
3.3 Intégrle de Riemnn 4 Démonstrtion. Tout d bord, montrons que pour tout x ], b[ : F (x) = f(x). Pour cel, fixons-nous rbitrirement un élément x de ], b[. Pr le théorème de l moyenne, il existe c = c(x) dns l intervlle d extrémité x et x tel que x x f(t)dt = f(c(x))(x x ). Ainsi : F (x) F (x ) = x = f(t)dt f(t)dt x x x x = f(t)dt x x = f(t)dt x = f(c(x))(x x ) f(t)dt f(t)dt ce qui implique que F (x) F (x ) = f(c(x)). x x Comme c(x) se trouve entre x et x, on que lim x x c(x) = x. De plus, f étnt continue en x, lim x x f(x) = f(x ), et pr définition de l dérivée, il vient : F F (x) F (x ) (x ) = lim = lim f(c(x)) = f(x ) x x x x x x x étnt un élément ribitrire de [, b], on donc que F (x) = f(x), x [, b]. Il nous reste à montrer que F est continue à droite en et à guche en b. En prennt x = et en utilisnt de nouveu le théorème de l moyenne, il existe d(x) [, x], x > tel que : F (x) F () = x f(t)dt = f(d(x))(x ) En utilisnt le même rgument que ci-dessus, on retrouve : Il est clir que lim f(d(x)) = f() et comme de plus x + f() lim (x ) = x + lim x +(F (x) F ()) = lim f(d(x)) (x ) = x + Donc lim F (x) = lim F () = F () x + x + En d utres mots, F est continue à droite en. De même pour b, en simplifint un peu l démrche, et en utilisnt le même rgument qu vnt on b lim F (x) = lim x b x b F (b) f(t)dt = F (b) x Ainsi, F est continue à guche en b.
3.3 Intégrle de Riemnn 5 Remrque : L primitive d une fonction étnt bien définie, définition 3.3.5, ce théorème nous donne de mnière formelle un moyen de clculer l primitive d une fonction. C est l justifiction qui étit ttendue à l section..3. Mis lors, comment fit-on pour clculer une intégrle vec des bornes? 3.3.7 Théorème fondmentl du clcul intégrl Soit f : [, b] R continue vec < b et soit F : [, b] R une primitve de f sur [, b]. Alors on b f(x)dx = F (b) F () Démonstrtion. Pr le lemme 3.3.6, on sit que G(x) = x f(t)dt est une primitive de f. Mis comme F est églement une primitive de f, on sit (..) que C R tel que F (x) = G(x) + C, x [, b]. Mis comme (3.3.3) on Et donc Ainsi, on obtient que G() = f(t)dt = F () = G() +C = C. F (x) = G(x) + F (). b f(t)dt = G(b) = G(b) G() = (G(b) + F ()) F (b) (G() + F ()) = F (b) F () F () 3.3.8 Nottion Nous utiliserons très souvent l nottion suivnte : f(b) f() = f(x) b. Remrque : Soit F une primitive de f sur [, b]. On urit donc pu écrire b f(x)dx = F (x) b. Cette nottion est très utilisée pour méliorer l lisibilité des clculs.
3.3 Intégrle de Riemnn 6 Exemples. On se propose de vérifier le résultt 3.3.6 pr un exemple. Soit f : R R définie pr f(x) = cos x. Soit A l fonction définie pr A(x) = x f(t)dt. Grâce u théorème fondmentl du clcul intégrl (3.3.7), nous pouvons clculer explicitement A : x x A(x) = f(t)dt = cos t dt = sin t x = sin x sin }{{} = sin x. Le lemme 3.3.6 ffirme que A est une primitive de f, et effectivement : A (x) = (sin x) = cos x = f(x).. Pour clculer une intégrle vec des bornes il suffit de s ppuyer sur le théorème 3.3.7. Soit I = π On clcule que sin x dx. En schnt que I = sin x = = = π π π cos x, x R. sin x dx cos x dx dx + π cos x dx = x π sin x π ( = (π ) sin π ) } {{ } sin = π 3.3.9 Propriété de l intégrle d une fonction positive Soit < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [, b] telle que x [, b], on it : f(x). Alors, c [, b] : c f(t)dt. Démonstrtion. Considérons l primitive F : [, b] R définie pr (3.3.6) Ainsi, pour tout x ], b[ : F (x) = x f(t)dt. F (x) = f(x),
3.3 Intégrle de Riemnn 7 ce qui implique que l fonction F est croissnte sur [, b] (cr s dérivée est toujours positive). Donc pour tout c [, b] : = F () F (c) = c f(t)dt. Exemple L fonction sinus étnt positive pour des vleurs comprises entre et π, nous pouvons ffirmer que l fonction f définie pr f(x) = sin 3 x l est ussi. Ainsi, selon le théorème 3.3.9, est positive ; c est ce que nous llons montrer. Comme sin x + cos x =, lors sin x = cos x. En substitunt, on π sin 3 x dx = π o ( cos x) sin x dx. Il nous suffit de clculer les deux intégrles qui en découlent : π sin 3 x dx L première donne : π π sin 3 x dx = π sin x dx = cos x π sin x dx sin x cos x dx π = cos π } {{ } + }{{} cos =. L deuxième est églement fcile : Finlement π sin x cos x dx = 3 cos3 x π π sin 3 x dx = 3 = 3 = 3 cos3 π + 3 cos = 3. 3.3. Corollire Soit < b deux nombres réels et f, g : [, b] R deux fonctions continues telles que x [, b], on it : f(x) g(x). Alors, b f(t)dt b g(t)dt.
3.3 Intégrle de Riemnn 8 Démonstrtion. Soit h : [, b] R définie pr h(x) = g(x) f(x). On clirement que x [, b] : h(x). Ainsi en utilisnt le résultt du prgrphe 3.3.9 et l linérité de l intégrle, on peut écrire Ce qui implique b h(t)dt = b (g f)(t)dt = b g(t)dt b b f(t)dt b g(t)dt. f(t)dt. 3.3. Intégrle fonction de ses bornes (fculttif) Soit < b deux nombres réels et f une fonction définie et continue sur [, b]. Soit I un intervlle ouvert de R et g, h : I [, b] deux fonctions différentibles sur I. Alors, l fonction K : I R définie pr K(x) = est différentible sur I. De plus, x I, on : g(x) h(x) f(t)dt K (x) = f(g(x))g (x) f(h(x))h (x). Démonstrtion. Si F : [, b] R est une primitive de f, lors (3.3.7) Ainsi, pr les règles de dérivtion K(x) = F (g(x)) F (h(x)) K (x) = F (g(x))g (x) F (h(x))h (x) = f(g(x))g (x) f(h(x))h (x). Exemple x Soit f définie pr f(x) = x (t dt. Nous voulons simplement clculer l dérivée def. + ) 3 Pr le théorème que nous venons de voir, on trouve imméditement que f (x) = ((x ) + ) 3 (x ) (x + ) 3 (x) = x (x 4 + ) 3 (x + ) 3 Remrque : Afin d éviter les confusions, lorsqu une intégrle est fonction de ses bornes, on n utiliser ps l même vrible pour les bornes et pour l intégrnt. Pr exemple, on n écrit ps K(x) = x x cos x dx, mis K(x) = x cos t dt. x
3.4 Techniques de clcul 9 3.4 Techniques de clcul Les techniques de clcul des intégrles vec bornes sont les mêmes que celles qui ont été données dns l section.. L seule différence réside dns le fit qu il fut triter les bornes. 3.4. Clcul d une intégrle définie à l ide d un chngement de vrible Soit f une fonction définie et continue sur [, b], nous cherchons à clculer b f(x)dx pr un chngement de vrible. Ce qui été mentionné u point..3 reste vlble ; chngeons donc les bornes. Sns en donner l démonstrtion, on obtient lors : Si x = ϕ(t) où ϕ est une bijection, lors dx = ϕ (t)dt et on b f(x)dx = ϕ (b) ϕ () f(ϕ(t))ϕ (t)dt Exemple I = 4 x dx =? + x Comme il étit proposé u point..3, posons x = ϕ(t) = t, insi t = ϕ (x) = x. Ce chngement étnt bijectif sur l intervlle [, 4], nous pouvons utiliser les formules de chngement de vrible. De plus dx = t dt, insi : I = = 4 x + x dx ϕ (4) ϕ () t t dt + t 4 t = + t dt + t (technique utile) = + t dt = ( + t + t ) + t dt (linérité de l intégrle) = dt + t dt ( (rctn t) = ) + t = t rctn t = 4 rctn + rctn = ( rctn )
3.4 Techniques de clcul 3.4. Intégrtion pr prtie d une intégrle définie Soient u, v : [, b] R, deux fonction différentibles. Alors,en recopint simplement l justifiction donnée u point.., et en y rjoutnt les bornes, on trouve b u (x)v(x)dx = u(x)v(x) b b u(x)v (x)dx Exemple. rctn x dx =? En posnt : u = u = x v = rctn x v = + x On obtient : rctn x dx = x rctn x x + x dx. Mis comme nous svons que (ln x) = nous pouvons intégrer le deuxième terme, ce qui x donne : ln + x rctn x dx = rctn } {{ } rctn = π π 4 ln + }{{} ln = π 4 ln. 4. π Posons : x sin x dx =? u = sin x u = cos x v = x v = x Ainsi, on : π π x sin x dx = x cos x On intègre une nouvelle fois pr prtie : π x( cos x) dx = u = cos x u = sin x v = x v = π x cos x dx
4 Intégrle générlisée Ce qui donne : π x sin x dx = π π x cos x dx = x sin x π π ( sin x dx = π π cos x ) = π. 4 Intégrle générlisée 4. Intégrnts singuliers sur des intervlles bornés Soit f : [, b[ R une fonction continue sur l intervlle [, b[, où < b, mis non continue ou non définie en b. Si x [, b[, on peut clculer : F (x) = x f(t)dt. Si, de plus, lim x b F (x) existe, on dit que b f(t)dt existe (ou converge) et on pose pr définition b f(t)dt = lim x b x f(t)dt. Si lim x b F (x) n existe ps, on dit que l intégrle b f(t)dt diverge. Exemples. dx =? x3. L fonction f(x) = x n étnt ps définie en, nous vons ffire à une intégrle générlisée. Donc on pose 3 : ( dx = lim dt = lim x3 x + x t3 x + ) ( t = lim x x + + ) x = + L intégrle diverge. x dx =? Nous vons de nouveu ffire à une intégrle générlisée. Ainsi L intégrle converge. dx = lim x x + x ( dt = lim t t x + ) ( = lim ) x = x x +
4. Intégrle d une fonction continue et bornée Remrque : Ces deux exemples sont des cs prticuliers de l intégrle suivnte : dx, vec α >. xα En exercice, le lecteur peut fcilement montrer que si α ], [ cette intégrle converge ; de plus, elle vut x α dx = α 4. Intégrle d une fonction continue et bornée Si f : [, b[ R est continue et bornée, lors b f(t)dt existe. Démonstrtion. Il n est ps possible, dns le cdre de ce polycopié, de donner une démonstrtion de ce théorème. Voir [] pour l démonstrtion insi que pour les outils nécessires à celle-ci. Exemple Montrons que cos dt converge. t Des propriétés de l fonction cosinus, on sit que : t ], ] : cos <. t L fonction f(t) = cos t est donc bornée sur ], ], de plus elle est continue, ce qui implique que cos dt converge. t 4.3 Intégrle sur des intervlles fermés non bornés Soit f : [, + [ R une fonction continue et considérons l fonction F (x) = x f(t)dt où x [, + [. Si l fonction F dmet une limite lorsque x +, on dit que l intégrle générlisée f(t)dt existe ou converge. On pose + + f(t)dt = x lim x + f(t)dt. Dns le cs contrire, on dit que l intégrle n existe ps ou qu elle diverge. Exemple + dt =? t( + t )
4.4 Intégrle sur des intervlles ouverts non bornés 3 Comme nous en vons déjà l hbitude, fisons un chngement de vrible. Posons s = t, ce qui donne s = t et s ds = dt : + t( + t ) dt = Clculons mintennt l intégrle : x x lim x + s s( + s ds = lim ) x + x x ( + s ) ds = rctn s = rctn x rctn. π 4 + s ds Donc on obtient + (rctn t( + t ) dt = lim x π ) = lim x + 4 rctn x π x + = π π 4.4 Intégrle sur des intervlles ouverts non bornés Soient R, et f : ], + [ R une fonction continue et c >. Si les deux intégrles générlisées c f(t)dt et + c f(t)dt convergent, on dit que l intégrle générlisée + f(t)dt existe (ou converge), et on pose, pr définition, + f(t)dt = c f(t)dt + + c f(t)dt = lim x + c x f(t)dt + lim x + x c f(t)dt. Cette églité est indépendnte du choix de c. Lorsque l une ou l utre des intégrles générlisées c diverge, on dit que l intégrle générlisée f(t)dt ou + c f(t)dt n existe ps (ou diverge). + f(t)dt Remrques : Risonnblement, les définitions données pour les intégrles générlisées tritées sont fcilement dptbles pour d utres intégrles générlisées. Pr exemple, supposons que les intégrles voulnt être clculées convergent, lors : f : ], b] R continue. b f(t)dt = lim f définie et continue sur R et c R. etc... b x + x + f(t)dt. f(t)dt = c f(t)dt + c + f(t)dt
4.4 Intégrle sur des intervlles ouverts non bornés 4 Exemple (vncé) L mnière dont nous llons clculer l intégrle suivnte est ssez originle, c est pour cel que j i décidé de l mettre. Toutefois, il est extrêmement compliqué de pouvoir nticiper une telle démrche. Je demnde simplement u lecteur de comprendre les opértions effectuées et les différentes étpes, ce qui lui donner encore plus d entrînement. + ln t dt =? + t + L première étpe est de «csser» l intégrle en deux : + + ln t + t dt = + ln t + t dt + + Nous nous occupons de l première en croisnt les bornes (3.3.3) : ln t dt = lim + t + x + x ln t dt = lim + t x + ln s s (s + ) ln t + t dt x ln t + t dt En posnt s = t, on que t = s = s et que dt = s ds. En utilisnt le fit que ln x = ln x, nous pouvons fire le chngement de vrible : x ln t + t dt = x ln s + s s ds = x s ds = x ln s + s ds Donc ln t x ln s + dt = lim + t + x + + s ds = ln s + s ds En remplçnt le résultt que nous venons de trouver dns l intégrle de déprt, quelque chose de «mgique» se produit : + ln t + + t dt = + ln s + + s ds + ln t + t dt =? Nous urions tendnce à conclure un peu vite que le résultt vut, ce qu il ne fut ps fire. En effet, u point 4.4 nous vons dit que, près le «cssge», si l une des deux intégrles diverge, lors l première intégrle diverge églement ; or nous n vons ps vérifié l convergence. + ln t Vérifions donc l convergence de dt. Nous llons commencer pr borner l fonction + t f définie pr f(x) = ln x +x pr une utre fonction. En utilisnt l propriété de l fonction ln citée plus hut, et en schnt que t : ln t < t, nous pouvons écrire que Or comme + t 3 ln t + t = ln t + t < t + t < t t =, t. dt converge (à montrer), on peut donc ffirmer que t 3 + converge(pourquoi?). Ainsi vec ce que nous vons montré plus hut, on peut écrire : + ln t dt = I + I =. + t + ln t + t t dt = I
5 Applictions 5 5 Applictions Je ne feri que rppeler deux pplictions bsiques du clcul intégrl ; il en existe évidemment beucoup d utres. 5. Aire entre deux courbes Soient f et g deux fonctions continues sur [, b] telles que f(x) > g(x), x [, b]. L ire A du domine limité pr les grphes de f et g et les deux droites verticles x = et x = b est donnée pr A = b (f(t) g(t))dt Figure 4 Hchuré : Aire A du domine limité pr les grphes de f et g et les deux droites verticles x = et x = b 5 Exemple Soient les trois fonctions suivntes : f, g et h définies pr f(x) = x, g(x) = x et h(x) = 7 8 x 3. Nous cherchons à clculer l ire du domine fermé délimité pr les deux droites verticles x =, x = 4, insi que les grphes des courbes de f, g et h. En d utres mots, nous voulons connître l somme de l ire en vert et de l ire en june se trouvnt sur l fig. 5. Le clcul est scindé en deux, cr ils nous fut tout d bord l ire entre g et f (en vert), puis l ire entre g et h (en june). Commençons pr clculer l ire en vert : ( ) x A vert = x dx = 3 x 3 + x = 3 3 + 3 = 4 7 3 6 Puis l ire en june : A june = 4 Donc l ire A voulue est : [ ( x 7 8 x 3 )] dx = 3 x 3 7 6 x + 3 x A = A vert + A june = 4 3 4 = 4 3 7 6 4 37 + 3 = 3 + 37 5. Créée pr Frnçois Frquet 7. Source : http ://www.philipperey.net/mths3-4/clculintegrl/surfcedelimiteecourbes.php
5. Volume de révolution 6 Figure 5 Grphe des courbes de f, g et h. Nous voulons clculer l somme de l ire verte et de l ire june. 7 5. Volume de révolution Soit f une fonction continue sur [, b]. Posons D le domine limité pr le grphe de f, l xe Ox et les droites verticles x = et x = b. Le volume V du corps C engendré pr l rottion de D utour de l xe Ox est donné pr V = π b f (t)dt. Figure 6 En bleu le domine D limité pr le grphe de f, l xe Ox et les droites verticles x = et x = b 9 9. Source : http ://users.rcn.com/mwhitney.mssed. Source : ibid.
5. Volume de révolution 7 Figure 7 Corps de révolution C engendré pr l rottion de D utour de Ox Exemple Soit f : [, ] R définie pr f(x) = x. Soit D le domine délimité pr le grphe de f (fig. 8), l xe Ox insi que les droites verticles x = et x =. Figure 8 Grphe de f, et domine D en bleu. Nous cherchons à clculer le volume V créé pr l révolution de D utour de l xe Ox. Ce volume est représenté sur l fig. 9. Ainsi, selon l formule que nous connissons, le volume est donné pr : V = π ( x) dx En développnt le crré, et en utilisnt l linérité de l intégrle, on trouve que. Source : ibid.. Source : ibid. ( V = π dx x dx + ) x dx.
RÉFÉRENCES 8 Figure 9 Volume engendré pr l révolution de D utour de l xe Ox. On noter que x devient x et non ps x, cr nous trvillons sur des vleurs positives. Il nous suffit donc d intégrer. ( V = π x 4 3 x 3 + ) x = π 6. Note : Pour toutes remrques, commentires, suggestions, questions ou utres, je suis disponible à l dresse e-mil suivnte : dniel.frquet@epfl.ch. Références [] Jcques Rppz. EPFL, section de Mthémtique :Clcul différentiel et intégrl, Notes de cours. Presses polytechniques et universitires romndes. Edition 7. [] Jcques Douchet & Bruno Zwhlen. Clcul différentiel et intégrl, Fonctions réelles d une ou plusieurs vribles réelles. Presses polytechniques et universitires romndes. Edition 7. [3] Guido Burmeister. Notes de cours d Anlyse, prises pendnt le semestre de printemps, nnée 6/7. [4] Jcques Douchet. Anlyse, Receuil d exercices et ide-mémoire vol.. Presses polytechniques et universitires romndes. Deuxième édition. [5] Commission romnde de mthémtique. Fundmentum de mthémtique, nlyse. Editions du Tricorne, nnée.