Auteur : Simplice TANKOUA (stakoua@yahoofr) Cours SUITES NUMÉRIQUES Leço : GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES Activités de mise e place de la leço Activité : (formule explicite) Exercice O cosidère la liste ordoée des ombres dot voici les quatre premiers termes :, 4 5, 9 7, 6 9 Compléter cette liste jusqu au 0 ème terme 4 9 6 O coviet de oter : a 0 ; a ; a ; a ; 5 7 9 Soit u etier aturel o ul Cojecturer ue formule explicite de a e foctio de Vérifier cette formule pour les valeurs de 0 ; ; ; 9 La liste des ombres ci-dessus est alors oté (a ) 0 a est appelé "terme gééral" l etier qui apparait e idice d u terme est le rag de ce terme Aisi : a est le terme de rag (Attetio! a est le 4 ème terme de la liste) a est le terme de rag (Attetio! a est le (+) ième terme de la liste) 4 7 0 O cosidère la liste ordoée des ombres : b ; b ; b 4 ; b 5 ; 9 7 8 La liste des ombres ci-dessus est alors oté (b ) a) Commet sot otés les er, ème, 5 ème et 7 ème termes de la liste? b) Détermier le terme de rag 0 a) Exprimer e foctio de le terme gééral b O dira : (a ) 0 est ue suite umérique (liste ordoée de ombre) défiie pour tout etier aturel (b ) est suite umérique défiie à partir du rag (défiie pour tout etier aturel ) Que ce soit (a ) ou (b ), o obtiet des foctios umériques de IN (ou d ue partie de IN) vers IR la suite umérique, (a ) par exemple, est la foctio ; le terme gééral ou terme de rag est l image de par la foctio Doc : Autat il e faut pas cofodre f et f(x), autat il e faudra pas cofodre (a ) et a Oups! Il arrive très souvet qu o parle simplemet de la "suite a" pour dire la suite (a ) Exercice Le pla est mui d u repère orthogoal (O, I, J) (uité graphique : OI cm et OJ cm) O cosidère la suite umérique (U ) défiie par U 4 5 + 6 Détermier les ciq premiers termes de cette suite Les réposes serot doée sous forme de fractio irréductible a) Détermier la foctio umérique f telle que pout tout etier, U f() b) Représeter graphiquemet f sur [0 ; + [ c) E déduire la représetatio graphique, sur l axe des ordoées, des termes de la suite (U ) Suite umériques Page / 6
Exercice Détermier les ciq premiers termes des suites (U ), (V ) et (W ) défiies par : U ² - + ; V + ; W 7 Activité : (formule de récurrece) Exercice Le pla est mui d u repère orthoormé y (O, I, J) O cosidère la foctio f dot la courbe représetative (Cf) est doée ci-cotre sur l itervalle [-4 ; 4] O cosidère la suite (U ) défiie par la relatio : U 0 et U + f(u ) Justifier que le terme U est égal à - Justifier les égalités suivates : U -0,5 ; U,5-4 - - - 0-4 x Compléter le tableau suivat : 0 4 U 5 6 7 8 9 U - - Exercice Ue equête est faite das u supermarché pour étudier la fidélité des cliets Au cours du premier mois de l equête, 8000 persoes sot veues faire leurs achats das ce supermarché O costate que, chaque mois, 70% des cliets du mois précédet restet fidèles à ce supermarché et que 000 cliets apparaisset O ote u le ombre de cliets veus au cours du ième mois de l equête Aisi u 8000 Motrer que u 8600 Que faut-il pour détermier u 4? Calculer u 4 Calculer u + e foctio de u O parle ici de suite récurrete ou de suite défiie par ue formule de récurrece U terme se calcule par rapport au(x) terme(s) précédet(s) ; le(s) terme(s) iitial(aux) état doé(s) Exercice O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par la relatio de récurrece u + et dot le premier terme est U 0 4 Détermier les quatre premiers termes de la suite (u ) -U +6 U- Exercice 4 O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par la relatio de récurrece u0 et u u+ 6u+ -5u Calculer u, u et u 4 Détermier deux réels a et b tel que pour tout etier : u 5 a + b Vérifier les résultats de la questio et calculer esuite u 7 Suite umériques Page / 6
Exercice 5 Partie A Le pla est mui d u repère orthoormé (O, I, J) O cosidère la foctio f dot la courbe représetative (C f ) est doée ci-cotre O cosidère la suite (U ) défiie par la relatio : U 0 doée et U + f(u ) y U C f y x O a représeté graphiquemet, sur l axe (OI), les trois premiers termes de la suite (U ) dot voici le programme et le film de costructio : U U 0 U U x y C f y x y C f y x y C f y x y C f y x U U U U U U U 0 x U 0 U x U 0 U x U 0 U U x O place sur l axe (Ox) le terme U 0 doée ; U f (U 0 ) : O repère le poit de (C f ) de coordoées (U 0 ; f(u 0 )) O peut alors lire U sur l axe des ordoées ; U f (U ) : Il faut doc rameer U sur l axe des abscisses : Pour cela, o utilise la droite d équatio y x O repère le poit de (C f ) de coordoées (U ; f(u )) O peut alors lire U f (U ) sur l axe des ordoées ; Il faut rameer U sur l axe des abscisses : Pour cela, o utilise la droite d équatio y x Reproduire la figure ci-dessus et completer e costruisat les termes U, U 4 et U 5 Partie B O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur IN par : u 0 8, et, pour tout etier, u + u ( - u ) Calculer u et u Ci-dessous est doée la courbe représetative (Γ) de la foctio f : x x( - x) das le repère orthoormé (O ; I ; J), aisi que la droite (d) d équatio y x : a) Utiliser (d) et (Γ) pour costruire sur l axe des abscisses u, u, u et u 4 y (d) b) Quelle cojecture peut -o émettre sur la mootoie et sur la limite de la suite (u )? (Γ) x 0 Suite umériques Page / 6
Activité : (égalité de deux suites) O cosidère la suite umérique (u ) défiie par la relatio de récurece : Calculer les quatre premiers termes de la suite (u ) O cosidère la suite (v ) défiie par : v + a) Calculer les quatre premiers termes de la suite (v ) b) Faire ue cojecture quat à l égalité des suites (u ) et (v ) Doer la valeur de : v + v E déduire l égalité des suites (u ) et (v ) u0 u+ u + Bo à savoir! Deux suites (u ) et (v ) sot égales si elles ot le même premier terme et vérifie ue même relatio de récurrece Exercice O cosidère les suites umériques (u ) et (v ) défiie pour tout etier aturel par : 0 u + + et v v+ v + Démotrer que les suites (u ) et (v ) sot égales Exercice O cosidère la suite umérique (u ) défiie par la relatio de récurece : Calculer les ciq premiers termes de la suite (u ) Cojecturer ue formule explicite de la suite (u ) Prouver cette cojecture E deuire la valleur de u 009 U 0 U+ U Suite umériques Page 4 / 6
Le cours Défiitio et otatio O appelle suite umérique, toute foctio de l esemble IN des etiers aturels das IR Ue suite se ote : U ou (U ) qui est la otatio la plus utilisée O ote U l image de l etier aturel (plutôt que U() ) O dit que U est le terme gééral de la suite (U ), le terme de rag ou le terme d idice Cofusio à éviter : (U ) ou U désige ue suite U désige u ombre Remarque : Ue suite peut être défiie qu à partir d u certai rag 0 ; o la ote parfois ( U) 0 et so terme iitial est U 0 Exemples La suite de terme gééral u - 4, est défiie que pour 4, o la ote ( U ) 4 La suite de terme gééral u, est défiie que pour, o la ote ( U ) ou ( U ) IN * Modes de géératio d ue suite Il existe différetes faços de défiir ue suite umérique : Suite défiie par ue formule explicite O peut défiir ue suite (U ) par ue formule qui permet de calculer directemet U à partir de O a das ce cas : U f() où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle de IR Exemples : Soit la suite (V ) défiie par : V + + O a par exemple, V (5) + 5 + (5) 6 x + (V ) est telle que V f() où f est la foctio défiie par f( x) + x La suite (V ) a pour premier terme V 0 f(0) Soit la suite (U ) défiie par : U ² O a par exemple, U 5 5² (U ) est telle que U f() où f est la foctio défiie par f( x) x² La suite (U ) a pour premier terme U f() Suite défiie par ue relatio de récurrece Ue suite (U ) peut être défiie par la doée de so terme iitial et d u procédé permettat de calculer le terme suivat à partir de chaque terme O a das ce cas : U + f(u ) où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle I de IR telle que pour tout x I, f(x) I (autremet dit, f(i) I) Exemple : 0 / Soit la suite (U ) défiie par U U+ U + 5 O calcule les termes de la suite de proche e proche : U U0 + 5 + 5 6 ; U U + 5 ( 6) + 5 7 ; U U + 5 ( 7) + 5 9 ; 0 / O a (U ) telle que U où g est la foctio défiie par g(x) x + 5 U+ g( U) Suite umériques Page 5 / 6
Représetatio graphique d ue suite Ue suite umérique est ue foctio Elle peut doc être représetée graphiquemet das u pla mui d u repère Das la pratique, o se cotete de représeter graphiquemet quelques termes de la suite sur : l axe des ordoées (Oy) pour les suites défiies par ue formule explicite (voir exercice de l activité ) l axe des abscisses (Ox) pour les suites récurretes (voir exercice 5 de activité ) Suite défiie par ue formule explicite O a : U f() où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle de IR étape : O étudie et o représete graphiquemet la courbe (C) de f sur l itervalle [0 ; + [ étape : O place, sur l axe (Oy) les termes U k de la suite U k est l ordoée du poit d abscisse k (E effet, U k f(k) ) Suite défiie par ue relatio de récurrece O a : U + f(u ) où f est ue foctio umérique défiie sur u itervalle I de IR étape : O étudie et o représete graphiquemet la courbe (C) de f sur l itervalle sur D f étape : O trace la première bissectrice (droite d équatio y x) étape : O place le premier terme sur l axe (Ox) et o déduit esuite les autres termes y (d) (C) 0 U 0 U U U x Suite umériques Page 6 / 6
Leço : ÉTUDE D UNE SUITE NUMÉRIQUE Activités de mise e place de la leço Activité : O cosidère la suite (v ) défiie par la formule explicite : v ² + Doer l expressio du terme v + et foctio de Étudier le sige de v + v e foctio de Fastoche! Si à partir d u etier p o a : v + v alors v p v p+ v + v O dit das ce cas que la suite (v ) est croissate (à partir du rag p) O défiie de maière aalogue la otio de suite décroissate Activité : A/ O cosidère la suite (u ) défiie par la formule explicite : u ² 7 + Détermier les 0 premiers termes de la suite (u ) et faire ue cojecture sur la mootoie de (u ) Après avoir doé le tableau de variatio de la foctio f : x x² 7x +, établir que la suite (u ) est croissate à partir du rag 4 B/ Soit la suite umérique (v ) défiie par la relatio de récurrece v + v v et la coditio iitiale v 0 Calculer les ciq premiers termes de la suite (v ) E calculat a différece de deux termes cosécutifs, motrer que la suite (v ) est décroissate C/ O cosidère la suite (w ) défiie par : w + w+ Calculer pour tout etier o ul le quotiet w E déduire que la suite (w ) est croissate à partir du rag Suite umériques Page 7 / 6
Bo à savoir : Les suites sot des foctios particulières il est doc pas étoat de retrouver des défiitios, déjà vues pour les foctios : variatios, majoratio, mioratio, Ses de variatio d ue suite Soit (U ) ue suite umérique La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U p U p+ U U + Doc La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U U + La suite (U ) est décroissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U p U p+ U U + Doc La suite (U ) est croissate (à partir du terme de rag p) si, pour tout etier aturel p, o a : U U + Ue suite (U ) est mootoe si elle est croissate ou décroissate Remarque : Si l iégalité est stricte, o dit que la suite est strictemet mootoe Si pour tout etier aturel, U U +, o dit que la suite est costate Il existe des suites qui e sot i croissates, i décroissates Exemple : la suite (U ) défiie par U (-) Poit Méthode Pratiquemet, pour étudier les variatios (mootoie) d ue suite umérique (U ) o peut : Étudier le sige de la différece U + U Si la suite est à termes strictemet positifs (ou strictemet égatifs), o compare le quotiet U+ à U (c est très souvet le cas lorsque l etier apparaît e exposat) Fastoche! Si (U ) est ue suite explicite telle que U f(), alors l étude du ses de variatio de f (sur [0 ; + [) permet de déduire rapidemet le ses de variatio de (U ) Activité : Étudier la mootoie des suites suivates ) u ² 4) ( 0) 7 8 u ) c) ( ) u u 4 5) ² + ) u ( 0) 6) 8 u u 4 5 7) 0) u u + + ( + ) ( 0) 8) ² u ( 0) 9) u + ² + + ) u ² + ) u + Suite umériques Page 8 / 6
Mioratio, Majoratio Soit (U ) ue suite umérique La suite (U ) est majorée s il existe u réel M tel que pour tout etier aturel, o ait U M La suite (U ) est miorée s il existe u réel m tel que pour tout etier aturel, o ait U m Ue suite (U ) est borée si elle est à la fois majorée et miorée Remarque : Ue suite miorée par 0 est ecore appelée "suite positive" (suite à termes positifs) Ue suite croissate est miorée par so terme iitial ; ue suite décroissate est majorée par so terme iitial Notio de covergece Étudier la limite d ue suite (U ), c est examier le comportemet des termes U lorsque pred des valeurs de plus e plus grades vers + ( + ) O peut distiguer quatre cas : er Cas : lim U + + Traductio mathématique : Tout itervalle de la forme ]a ; + [ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, (Pour tout réel A >0, il existe u etier aturel p, tel que, si p, alors U > A) ème Cas : lim U + Traductio mathématique : Tout itervalle de la forme ]- ; a[ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag, Remarque : lim U équivaut à lim ( U) + + + ème Cas : lim U l ; l IR + Traductio mathématique : Tout itervalle ouvert ]l r ; l + r[ (avec r > 0) cotiet tous les termes de la suite à partir d u certai rag 4 ème Cas : la (U ) a pas de limite Exemple : la suite (U ) défiie par U (-) Vocabulaire : Lorsqu ue suite admet ue limite fiie l, o dit qu elle est covergete Ue suite est dite divergete lorsqu elle est pas covergete (cas, et 4) Nous admettos la propriété suivate cocerat les suites défiies par ue formule explicite Propriété Soit (U ) ue suite umérique défiie par U f(), où f est ue foctio umérique défiie sur [0 ; + [ Si f a ue limite fiie ou ifiie e +, alors la suite (U ) a la même limite Autremet dit : lim U lim f( x) + x + Exemple : Soit la suite (U ) défiie par x + O a : U f() où f : x f( x) et + x u + + x lim f( x) lim Doc lim U + x + x + Remarque : Les règles de calculs sur les limites de foctios s appliquet aux suites O admet que si ue suite a ue limite, cette limite est uique Si la foctio f a pas de limite e +, o e peut rie coclure sur l évetuelle limite de (U ) x Suite umériques Page 9 / 6
Activité 4 : Exercice u + Soit la suite ( u ) défiie par u 0 et u+ u Pour quelle(s) valeur(s) de u 0 a-t-o u costate? O pred u 0 a Calculer les 5 premiers termes de la suite x + b Soit la foctio f : x f( x) Tracer sa courbe représetative (C) aisi que la x droite (d) d équatio y x c Représeter graphiquemet les premiers poits de la suite ( u ) et faire des cojectures sur so comportemet (ses de variatio, majorat, miorat, limite) Exercice Soit ue suite de terme gééral u Que sigifie : la suite (u ) a pour limite +? + Soit la suite (u ) défiie par u pour a Motrez qu à partir d u certai rag 0, à détermier, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]0 ; + [ b Soit A u réel aussi grad que l o veut (o peut supposer A 0 ) ; motrez qu à partir d u certai rag 0, à détermier e foctio de A, tous les termes de la suite appartieet à l itervalle ]A ; + [ c E déduire à l aide du la limite de la suite (u ) d Doez ue méthode pratique permettat d obteir cette limite sas avoir recours à la défiitio Exercice Détermier la limite des suites défiies par leur terme gééral : u + c 7 ; v ² + + + ² ; + + a + ; b si ( ) ; Bo à savoir : Soit q u ombre réel strictemet positif : Si q > alors lim q + + Si q < alors lim q 0 + Ce résultat sera établi das la leço (activité 4) Remarque : Si < q < 0, alors lim q 0 + Si q -, alors la suite (q ) a pas de limite Exercice 4 O cosidère la suite (v ) défiie pour tout etier par v Motrer que pour tout : v + + + + Détermier les limites des suites et + + E déduire que la suite (v ) est covergete et doer sa limite + ( ) + Suite umériques Page 0 / 6
Exercice 5 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u Calculer u et motrer que pour tout : u ² si ² + ² + E déduire que la suite (u ) est covergete et doer sa limite Exercice 6 O cosidère la suite ( u ) défiie par : u + + + + + k + + + + k Motrer que, pour tout etier k ;, o a E déduire que, pour tout de : u + + k + + + Motrer que la suite ( u ) est covergete et préciser sa limite Exercice 7 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u (l étude des variatios de la suite (u ) a été effectuée das l activité ) Calculer les valeurs de u pour variat de à 0 Faire ue cojecture sur la limite de la suite (u ) O pose v ² v+ a) Calculer ; motrer que la suite (v ) est croissate à partir de v b) Justifier alors l iégalité : v v pour tout E déduire la limite de la suite (u ) Exercice 8 O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par u Doer u tableau de valeurs de u pour variat de à 0 Faire ue cojecture sur les variatios et la limite de la suite (u ) O pose v u v+ a) Calculer ; v v+ Motrer que si et seulemet si 6 6 0 v b) Étudier les variatios de la foctio f défiie par f(x) x 6x 6x Calculer f(7) et motrer que f est positive sur l itervalle [7 ; + [ E déduire que la suite (v ) est décroissate à partir de 7 c) Justifier alors l iégalité : v v 7 pour tout 7 E déduire la limite de la suite (u ) Suite umériques Page / 6
Leço : SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES Activités de mise e place de la leço Activité : Soit ue suite de terme gééral u u 0 + u est ue somme de deux termes cosécutifs ; u 0 + u + u est ue somme de trois termes cosécutifs De maière géérale, u 0 + u + + u p est ue somme de (p+) termes cosécutifs Problème : Commet faire (sas compter sur les doigts) pour calculer le ombre de termes de la somme u + u + + u 56? Répose : O peut écrire : u + u + + u 56 u + u + + + u +44 La somme a doc 44 + 45 termes Cas gééral Soit à détermier le ombre de termes de la somme S u p + u p+ + + u d (p et d état des etiers aturels tels que p d) O détermie l etier k tel que : d p + k (répose : k d p) Alors : S u p + u p+ + + u p + k Le ombre de termes de la somme S est doc: N k + Or : k d p Doc : N d p + Activité : Soit (u ) ue suite de premier terme u 0 et telle que, pour tout etier aturel, o a : u u 0 + r (r état u ombre réel) a) Démotrer que pour tous etiers aturels et p, o a : u u p + ( p)r b) Applicatio : Sachat que u 7 et u 5 9, détermier la valeur de r et u 0 E déduire la formule explicite de u ; Étudier la mootoie de (u ) et calculer sa limite O se propose de calculer la somme S de N termes cosécutifs de cette suite O désige par A le premier terme et par B le derier terme de la somme S ( ) [ ( ) ] D après la questio a), o peut écrire : S A+ A+ r + + A+ N r S B + ( B r) + + [ B + ( N) r] Ue additio membre permet d obteir : S (A + B) + (A + B) + + (A + B) Autremet dit : S N(A + B) ( A+ B) Doc : S N Applicatio : Sachat que u 5 54 et u 99 80, détermier la valeur de r et u 0 Détermier S u 7 + u 8 + + u 59 Activité : Soit u etier aturel supérieur ou égal à O se propose de démotrer l iégalité (I) suivate : x [0 ; + [, ( + x) + x Pour cala, o cosidère la foctio f : x ( + x) x Étudier les variatios de f et dresser sot tableau de variatio E déduire l iégalité (I) Remarque : l iégalité (I) est évidete pour et 0 Activité 4 : Suite umériques Page / 6
Soit (v ) ue suite de premier terme v 0 et telle que, pour tout etier aturel, o a : u q u 0 (q état u ombre réel o ul) a) Démotrer que pour tous etiers aturels et p, o a : u q -p u p b) Applicatio : Sachat que v 4/7 et u 5 7/4, détermier la valeur de r et v 0 E déduire la formule explicite de v ; Étudier la mootoie de (U ) O se propose d étudier la mootoie de la suite (v ) a) Que peut-o dire lorsque q < 0? O suppose das toute la suite que q > 0 b) Calculer, e foctio de q, le quotiet v + /v E déduire suivat les valeurs de q et le sige de v 0 les variatios de (v ) O se propose d étudier la limite de la suite (v ) a) Que peut-o dire lorsque q < 0? O suppose das toute la suite que q > 0 b) Si q >, o pose q + α avec α > 0 E remarquat que pour tout IN o a : ( + α) + α, justifier que lim E déduire alors, suivat le sige de v 0, la limite de la suite (v ) c) Si 0 < q <, o pose q /q (q > ) O a doc pour tout etier : q q ' Justifier que lim q 0 + E déduire alors la limite de la suite (v ) + q + 4 O se propose de calculer la somme S de N termes cosécutifs de cette suite O désige par A le premier terme de la somme S D après la questio a), o peut écrire : N S A + ( Aq) + ( Aq ) + ( Aq ) + + Aq E multipliat les deux membres de l égalité ci-dessus par q, o a : N qs qa + ( Aq ) + ( Aq ) + ( Aq4) + + Aq N ( ) ( ) ( ) Aisi : S A + Aq + Aq + Aq + + Aq N qs qa + ( Aq ) + ( Aq ) + ( Aq4) + + Aq Par différece membre à membre o a : N S qs A Aq c'est-à-dire N S( q) A( q ) q Si q, alors S A Doc : q Si q, alors S A Suite umériques Page / 6
Bo à savoir : SUITES ARITHMÉTIQUES O dit qu ue suite (u ) est ue suite arithmétique, s il existe u réel r tel que pour tout etier aturel, o ait u + u + r Le réel r est appelé raiso de la suite (u ) r peut-être positif ou égatif Illustratio u 0 u u u u 4 u 5 O passe d u terme de la suite au terme suivat, e ajoutat r + r + r + r + r + r + r Propriété Soit (U ) ue suite arithmétique de premier terme u 0 et de raiso r Alors, pour tout etier aturel, o a : u u 0 + r Preuve : Par défiitio, o a : Coséquece u u0 + r u u + r u u + r u u + r ue additio membre à membre permet d obteir : u + u + + u - + u u 0 + u + + u - + u - + r Il e résulte (après simplificatio) alors que : u u 0 + r Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r Pour tous etiers aturels et p, o a : u u + ( p) r p Somme de termes cosécutifs Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r p et q sot deux etiers aturels tels que p < q La somme S u p + u p+ + + u q est ue somme de termes cosécutifs de la suite (u ) Le ombre de termes coteu das cette somme est N q p + ( up + uq) O établi que : S N Démostratios e activité + ( ) Cas particulier à reteir : + + + Fastoche! Soit S ue somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique de raiso r Si A est le premier terme de la somme S et B le derier terme, alors le ombre total de terme de la somme est : B A N + r Mootoie et limite Soit (u ) ue suite arithmétique de raiso r Les résultats suivats sot immédiats : Si r > 0, alors la suite (u ) est strictemet croissate et lim u + + Si r < 0, alors la suite (u ) est strictemet décroissate et lim u Si r 0, alors la suite (u ) est costate + Suite umériques Page 4 / 6
Bo à savoir : SUITES GÉOMÉTRIQUES O dit qu ue suite (u ) est ue suite géométrique, s il existe u réel q tel que pour tout etier aturel, o ait u + qu Le réel q est appelé raiso de la suite (u ) q peut-être positif ou égatif Le cas q 0 est sas itérêt Illustratio u 0 u u u u 4 u 5 x q x q x q x q x q x q O passe d u terme de la suite au terme suivat, e multipliat par q Propriété Soit (U ) ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q o uls Alors, pour tout etier aturel, o a : u q u 0 Preuve : u qu0 ue multiplicatio membre à membre permet d obteir : u qu u Par défiitio, o a : x u x x u - x u q (u 0 x u x x u - x u - ) u qu Il e résulte (après simplificatio) alors que : u q u 0 u qu Coséquece Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q Pour tous etiers aturels et p, o a : Exemples : p u q up Itérêt : Cette formule permet de calculer importe quel terme d ue suite géométrique dès que l o coaît la raiso et u terme quelcoque (il est pas écessaire de coaître u 0 ) Soit (u ) ue suite géométrique défiie par u 0 0 et q Calculer u O a : u u 0-0 0 0 8 Doc : u 40 Soit (v ) ue suite géométrique telle que v 5 et v 8 0 Motrer qu il existe deux suites géométriques vérifiat ces coditios O a : v 8 v q 8 -, doc 0 5 q 6 c'est-à-dire q 6 64 Il y a doc deux valeurs possibles : q ou q Somme de termes cosécutifs Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q p et d sot deux etiers aturels tels que p < d Si S u p + u p+ + + u d est ue somme de termes cosécutifs de la suite (u ), N q o établi que : S u p, où N d p + est le ombre de termes de la somme S q Cas particulier à reteir : + q + q + + q - + q + q (avec q ) q Mootoie et limite Soit (u ) ue suite géométrique de raiso q Les résultats suivats sot immédiats : Si 0 < q < et u 0 < 0, alors (u ) est strictemet croissate et lim u 0 Suite umériques Page 5 / 6 + Si 0 < q < et u 0 > 0, alors (u ) est strictemet décroissate et lim u 0 + Si q > et u 0 < 0, alors (u ) est strictemet décroissate et lim u + Si q > et u 0 > 0, alors (u ) est strictemet croissate et lim u + Si q, alors (u ) est costate + Si q < 0 la suite est alterativemet positive puis égative
Activité 5 : Exercice Soit ( u ) 0 ue suite arithmétique O sait que u 5 5 et u 6 48 Calculer la raiso et le premier terme de cette suite E déduire u e foctio de Pour quelle valeur de a-t-o u 7? 4 A partir de quel rag a-t-o u 50? 5 Calculer la somme S u789 + u790 + + u007 Exercice u Soit la suite (u ) défiie par u 0 et u+ + u Calculer les termes u et u La suite (u ) est-elle arithmétique? géométrique? Représeter graphiquemet les premiers termes de u Quelles cojectures émettez-vous? 4 O admet que, pour tout, u est pas ul O pose v + u a Calculer v 0, v, et v b Calculer v + e foctio de v E déduire que (v ) est ue suite arithmétique c Exprimer v e foctio de E déduire u e foctio de Exercice O cosidère la suite ( u ) défiie par Calculer u Démotrer que la suite ( ) le premier terme et la raiso de ( v ) u + 4 u et u+ + v défiie par v u est ue suite arithmétique dot o précisera E déduire l expressio de v e foctio de, puis l expressio de u e foctio de 4 E déduire que la suite ( u ) est strictemet mootoe et borée Exercice 4 O défiit ue suite (u ) par u0 u+ u + Calculer u, u, u La suite (u ) est-elle croissate ou décroissate? O pose v u 4 + 0 Calculer v 0, v, v, v Motrer que la suite (v ) est géométrique, e préciser la raiso 4 E déduire l expressio de v e foctio de 5 E déduire l expressio de u e foctio de 6 Quelle est la limite de (u )? 7 O pose S u 0 + u + u + + u Doer l expressio de S e foctio de Suite umériques Page 6 / 6