Lycée Marie Reyoard Accompagemet persoalisé TS Exercice. Raisoemet par récurrece - Gééralités sur les suites.. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, 4 + 5 est u multiple de 3. iitialisatio pour 0 4 0 +56 3 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc il existe u etier k tel que 4 +53 k 4 +53 k 4 (4 +5)4 3k 4 + +03 4 k 4 + +53 4k 5 4 + +53 (4k 5) or 4 k 5 est u etier doc si 4 + 5 est u multiple de 3 alors 4 + + 5 est aussi u multiple de 3 coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout.. La suite u est défiie par et pour tout etier aturel, u + 5 u 8. Démotrer par récurrece que la suite u est costate. Il faut doc prouver que pour tout u (puisque ). iitialisatio pour 0 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc u Or u + 5u 8 doc u + 5 80 8 doc si u alors u + coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. 3. La suite u est défiie par et pour tout etier aturel, u + u +. a) Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, 0 < u <. iitialisatio pour 0 et 0 < < OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc 0 < u < doc < u + < 3 doc < u +< 3 car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur ] 0 ; + [ Or >0 et 3,7< doc 0<<u + < 3< doc si 0 < u < alors 0 < u + < coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. b) Démotrer par récurrece que la suite u est croissate. Il faut doc prouver que pour tout u <u + iitialisatio pour 0 et u > doc <u OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc u <u + doc u + < u + + doc u +< u + + car la foctio racie carrée est strictemet croissate sur ] 0 ; + [ et que d'après le a) pour tout u >0 doc u + <u +
Lycée Marie Reyoard Accompagemet persoalisé TS ce qui prouve que si u <u + alors u + <u + coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. 4. La suite u est défiie par 6 et pour tout etier aturel, u +,4 u 0,05 u a) Soit f la foctio telle que u + f(u ). Étudier les variatios de f sur l'itervalle [0 ; 8] La foctio f est défiie par f (x),4 x 0,05 x (foctio polyomiale, doc défiie et dérivable sur R) et doc f ' ( x),4 0,05 x doc f ' ( x),4 0, x f ' ( x)>0,4 0, x>0 0, x<,4 x<4. Doc f est strictemet croissate sur ] ; 4 ], doc sur [ 0 ; 8 ]. b) Démotrer par récurrece que la suite u est strictemet croissate et majorée par 8. Il faut prouver que pour tout u <u + <8. iitialisatio pour 0 6 et u f ( ) f (6)6,6 doc <u <8 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc u <u + <8 Or f est strictemet croissate sur [ 0 ; 8 ] doc f (u ) < f (u + ) < f (8) Or f (8),4 8 0,05 648 ce qui doe u + <u + <8 coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. Exercice. u est la suite défiie par 0 et pour tout ombre etier aturel, u + u + ( + ).. Calculer u et u. u 0+ et u + 6. O cosidère l'algorithme suivat : Etrée : Saisir N (ombre etier aturel o ul) Iitialisatio : U pred la valeur 0 Traitemet : Pour K de 0 jusqu'à N U pred la valeur U + (K + ) FiPour V pred la valeur U N Sorties : Afficher U et V a) Faire foctioer cet algorithme avec N 3 puis N 4. Pour N 3 : Das la boucle : K 0 U 0 6 et esuite V U 3 9 ( 3 ) Pour N 4 : Das la boucle : K 0 3 U 0 6 0 et esuite V U 4 6 ( 4 ) b) Pour N, exprimer les valeurs affichées de U et V à l'aide de u. L'algorithme calcule u, doc U u et V u c) Emettre ue cojecture sur l'expressio de V e foctio de, puis sur l'expressio de u e foctio de. Cojectures : V (voir ci-dessus) et doc u +.
Lycée Marie Reyoard Accompagemet persoalisé TS 3. Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u ² +. iitialisatio pour 0 0 et 0 +00 OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc u ² + Or u + u + ( + ) doc u + ++(+) +++ + +++ doc u + (+) +(+) qui est la propriété à l'ordre + coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. 4. Modifier l'algorithme pour obteir la plus petite valeur de telle que u soit supérieur à 0 k où k est u ombre etier à demader à l'utilisateur. L'algorithme : Etrée : Saisir K (ombre etier aturel) Iitialisatio : U pred la valeur 0 N pred la valeur 0 Traitemet : Tatque U < 0^K U pred la valeur U + (N + ) N pred la valeur N+ FiTatque Sorties : Afficher N Exercice 3. La suite (u ) est défiie par - et pour tout etier aturel, u + 3 u.. Détermiez les ciq premiers termes de la suite (u )., u 4 3 7 3, u 4 3 9 9, u 3 et u 4 46 7 8 8. 46 7. La suite (v ) est défiie pour tout etier aturel, par v u + 3. a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique. 73 7 Pour tout o a v + u + +3 3 u +3 3 u + 3 (u + 3 v doc la suite (v ) est géométrique de raiso 3. b) Exprimez alors v puis u e foctio de. v 0 +3 doc v ( et doc u ( 3. ( S ) est la suite défiie pour tout etier aturel par : S Exprimez S e foctio de. S u k (( k ( 3 ( k (+) 3( ) + u k + + u. (+) 3 3
Lycée Marie Reyoard Accompagemet persoalisé TS doc S 6 (( + ) 3(+)6 ( + 3 9 Exercice 4. La suite (u ) est défiie par et pour tout etier aturel, u + u.. Détermiez les ciq premiers termes de la suite (u )., u 0, u, u 3 3 4 et u 7 4 8.. La suite (v ) est défiie pour tout etier aturel, par v u - α. a) Démotrer que la suite (v ) est géométrique si et seulemet si α -. v + u + α u α u α Or (v ) est géométrique si et seulemet si il existe u réel q tel que v + q v u α q (u α) q et α α (car le terme e u a pour coefficiet q et α b) Exprimez alors v puis u e foctio de. v 0 ( ) doc v ( et doc u ( ) das le terme de droite de l'égalité) 3. ( S ) est la suite défiie pour tout etier aturel par : S u k + + u. Exprimez S e foctio de. S u k ( ( ) ) ( ( ) S 4 ( ( + ) ) (+)3 ( + ) Exercice 5. La suite (u ) est défiie par et pour tout etier aturel, u u + u +. Soit f la foctio défiie sur R + x par f(x) dot o x + doe la courbe représetative ci-dessous. Repérez sur l'axe des abscisses les premiers termes de la suite. Voir ci-cotre. ) ) (+) ( + ) (+)
Lycée Marie Reyoard Accompagemet persoalisé TS. Démotrez par récurrece que la suite est borée. Nous allos prouver plus précisémet que pour tout 0<u. iitialisatio pour 0 et 0< OK hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc 0<u. la foctio f est défiie et dérivable sur [ 0 ; ] et o a f ' ( x) (x+) x >0 (x+) doc f est croissate sur [ 0 ; ] (x+) doc f (0)< f (u ) f () or f (0)0 et f () 3 < Fialemet 0<u + coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. 3. a) Calculez sous forme fractioaire les ciq premiers termes de la suite., u + 3, u 3 3 3 + 7 7, u 7 7 3 3 7 + 5 5, u 4 7 b) Calculez la différece etre les déomiateurs de deux termes cosécutifs. Etre et u o obtiet 3. Etre u et u : 7 34. Etre u et u 3 : 5 78 3. Etre u 3 et u 4 : 3 56 4. c) Éocez ue cojecture sur l'expressio de u e foctio de. Cojecture : u k d) Prouvez par récurrece que votre cojecture est vraie. iitialisatio pour 0 et 0 k 0 doc 0 5 5 + OK k hérédité je suppose la propriété vraie pour u doé, doc u u + u u + + u + ( k) +( k coclusio la propriété est héréditaire pour tout et est vraie pour 0, elle est doc vraie pour tout. +) +( k) k + k 5 3 3 5 + k