Trigonométrie C H A P I T R E 6 Énigme du chapitre. Voici un plan sommairement relevé par le géomètre Thalide. 366 m 30 B 282 m Objectifs du chapitre. Connaître et utiliser les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d un angle aigu et les longueurs des deux des côtés d un triangle rectangle. Déterminer, à l aide de la calculatrice, des valeurs approchées : du sinus, du cosinus et de la tangente d un angle aigu donné ; de l angle aigu dont on connaît le cosinus, le sinus ou la tangente. C A D Il veut mesurer les distances AD et DC. Malheureusement, le piquet qui se trouve en D est en plein marécage! Pour lui éviter d y aller, calculer pour lui ces distances.
I/ Cosinus, sinus et tangente d un angle aigu Activité A. Sinus et tangente d un angle aigu, activité GeoGebra 1. Construction (a) Créer trois points O, M et N tel que l angle MON soit un angle aigu. \ (b) (c) Créer les demi-droites [OM) et [ON). Créer un point E, distinct de O, sur la demi-droite [OM). (d) la droite perpendiculaire à la demi-droite [ON) passant par E. (e) le point H, intersection entre la droite construite en question 4 et la demi-droite [ON). 2. Calcul de rapports : (a) Créer les segments [OH],[EH] et [OE] et afficher leurs longueurs. (b) Ouvrir la fenêtre «Algèbre» et le tableur. (c) Entrer les titres OH, EH et OE dans les cellules A1, B1 et C1, puis entrer en A2, B2 et C2 les longueurs OH, EH et OE. (d) Entrer le titre EH en D1 et la valeur correspondante e en D2. OE f (e) Entrer le titre EH en E1 et la valeur correspondante e en E2. OH d 3. Conjecture : (a) Déplacer le point E sur la demi-droite [OM). Que remarque-t-on? (b) Modifier la mesure de l angle \ MON en déplaçant le point M (ou N ou O) puis déplacer le point E sur la demi-droite [OM). Que remarque-t-on? (c) Que peut-on conjecturer au sujet du quotient EH EH? Et au sujet du quotient? OE OH Conclusion : Le quotient EH OE s appelle le sinus de l angle [ EOH. On le note sin [ EOH. Le quotient EH OH s appelle le tangente de l angle [ EOH. On le note tan [ EOH. Activité B. Exprimer le sinus et la tangente dans un triangle rectangle Dans un triangle rectangle en A, [AB] est appelé côté adjacent à l angle [ ABC, [AC] est appelé le côté opposé à l angle [ ABC et [BC] est l hypoténuse. 1. (a) Exprimer le sinus de l angle [ ABC en fonction de AC et BC. (b) Comment peut-on calculer le sinus d un angle aigu dans un triangle rectangle? 2. (a) Exprimer la tangente de l angle [ ABC en fonction de AB et AC. (b) Comment peut-on calculer la tangente d un angle aigu dans un triangle rectangle?
3. Calculer le sinus et la tangente de chacun des angles [ ABC et [ ACB du triangle ABC lorsque : AB = 6 cm ; AC = 8 cm ; BC = 10 cm: Définition Dans un triangle rectangle, le cosinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A, cos [ ABC = longueur du côté adjacent à l angle [ ABC longueur de l hypoténuse = AB BC Définition Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A, sin [ ABC = longueur du côté opposé à l angle [ ABC longueur de l hypoténuse = AC BC Définition Dans un triangle rectangle, la tangente d un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. Dans le triangle ABC rectangle en A, tan [ ABC = longueur du côté opposé à l angle [ ABC longueur du côté opposé à cet angle = AC AB
Remarques 1. On peut retenir le mot imaginaire «SOHCAHTOA» pour se rappeler de ces formules. 2. Dans l exemple précédent : cos ABC = sin ACB et sin ABC = cos ACB: [ [ [ [ Faire les exercices 1 2 3 F 4 5 F 6 F
II/ Propriétés Activité C. Une autre formule pour la tangente 1. Conjecture (a) En utilisant la calculatrice, calculer Arrondir au centième. sin 42 et tan 42. cos 42 (b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de 42 et comprise entre 0 et 90. (c) Que constate-t-on? Quelle conjecture peut-on faire? 2. Démonstration On considère un triangle rectangle ABC rectangle en B. C B A (a) Pour démontrer la conjecture de la question 1, recopier et compléter : (b) Conclure. sin [ BAC cos [ BAC = = : : : : : : : : : : : : = : : : : : : tan [ BAC = : : : : : : : Activité D. Pythagore et la trigonométrie 1. Conjecture (a) À l aide de la calculatrice donner la valeur de (sin 48 ) 2 + (cos 48 ) 2. (b) Reprendre la question 1(a) en choisissant une autre valeur, différente de 48 et comprise entre 0 et 90. (c) Comparer les résultats avec votre voisin. Que constate-t-on? Quelle conjecture peut-on faire?
2. Démonstration On considère un triangle ABC rectangle en B. C B A (a) Écrire l égalité de Pythagore dans ce triangle. (b) Diviser les deux membres de l égalité par AC 2. (c) En déduire que (cos [ BAC) 2 + (sin [ BAC) 2 = 1. Activité E. Encadrement du cosinus et du sinus d un angle aigu 1. Conjecture (a) En utilisant la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de cos 15 ; cos 37 ; cos 59 et cos 89. (b) En utilisant la calculatrice, donner la valeur arrondie au centième de sin 14 ; sin 39 ; sin 65 et sin 84. (c) Que peut-on conjecturer sur les valeurs du cosinus et du sinus d un angle aigu? 2. Démonstration (a) Dans le triangle ABC rectangle en A, justifier les inégalités : 0 < AB < BC et 0 < AC < BC: (b) Diviser les deux inégalités par BC. Démontrer ainsi la conjecture faite à la question 1(c). 3. Et la tangente? Peut-on obtenir le même encadrement pour la tangente d un angle aigu? Justifier. Propriété Soit ABC un triangle rectangle en A. (sin [ ABC) 2 + (cos [ ABC) 2 = 1:
(sin 42 ) 2 + (cos 42 ) 2 = 1. Propriété Soit ABC un triangle rectangle en A. Propriété Soit ABC un triangle rectangle en A. s 1. 0 < sin 52 < 1 2. 0 < cos 72 < 1 Faire les exercices 7 8 9 F 10 F tan ABC = sin ABC [ : [ cos ABC [ tan 50 = sin 50 cos 50 : 0 < sin [ ABC < 1 et 0 < cos [ ABC < 1: Problèmes : Faire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F Vu au brevet : Faire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F