O '.v.v.v.v..v.v.v.v. «' V.V.V.V _ _ - -' """ ^ " " REMIER MINISTRE «OMMISSRIT L'ENERGIE TOMIQUE IU (J E -R. 3534 (I) 9. NLYSE INIRE ère prtie EINITIONS ET TRITEMENTS ES ONTIONS INIRES pr René-Louis VLLEE entre d'etudes Nuléires de Sly Rpport E -R-3534() 968 SERVIE ENTRL E OUMENTTION U.E. E.E.N-SLY.. n 2, 9-GI-sur-YVETTE-rne
E -R-3 53 4 () - VLLEE René-Louis NLYSE INIRE - ère prtie EINITIONS ET TRITEMENT ES ONTIONS INIRES Sommire. - L'nlyse inire pour ojet l'étude mthémtique des propriétés d'ensemles inires lgériques et pour ut l'élortion de méthodes simples, rigoureuses et prtiques, destinées ux tehniiens, ux ingénieurs et à tous eux qu'intéressé diretement le tritement numérique de l'informtion, disipline en expnsion rpide qui, déjà, en életronique nuléire omme dns de nomreux utres domines de l reherhe, tend à jouer un rôle essentiel sinon déterminnt. 968 5 p. ommissrit à l'energie tomique - rne E-R-3534 () - VLLEE René-Louis INRY NLYSIS - I st prt EINITIONS N TRETMENT O INRY UNTIONS Summry. - The study of inry groups under their mthemtil spets onstitutes the mtter of inry nlysis, the purpose of whih onsists in developping ltogether simple, rigorous nd prtil methods needed y the tehniins, the engineers nd ll those who my e minly onerned y digitl proessing. This sujet, fst extending if not determining, however tends tully to ply min prt in nuler eletronis s well s in severl other reserh res. 968 5 p. ommissrit à l'energie tomique - rne
prtir de 968, les rpports E sont lssés selon les tégories qui figurent dns le pln de lssifition i-dessous et peuvent être otenus soit en olletions omplètes, soit en olletions prtielles d'près es tégories. eux de nos orrespondnts qui reçoivent systémtiquement nos rpports à titre d'éhnge, et qui sont intéressés pr otte diffusion séletive, sont priés de se reporter à l lettre irulire ENS/O/67/469 du 2 déemre 967 que nous leur vons dressée, et qui préise les onditions de diffusion. ette osion nous rppelons que les rpports E sont églement vendus u numéro pr l iretion de l oumenttion rnçise, 3, qui Voltire, ris 7 e. LN E LSSIITION. LITIONS INUSTRIELLES ES ISOTOES ET ES RYONNEMENTS 2. IOLOGIE ET MEEINE 2. iologie générle 2. 2 Inditeurs nuléires en iologie 2. 3 Médeine du trvil 2. 4 Rdioiologie et Rdiogronomie 2. 5 Utilistion des tehniques nuléires en médeine 3. HIMIE 3. himie générle 3. 2 himie nlytique 3. 3 roédés de séprtion 3. 4 Rdiohimie 4. ETUES U OMINE E L'ESE 5. GEOHYSIQUE, GEOLOGIE, MINERLOGIE ET METEOROLOGIE 8. HYSIQUE 8. élérteurs 8. 2 Eletriité, életronique, détetion des ryonnements 8. 3 hysique des plsms 8. 4 hysique des étts ondensés de l mtière 8. 5 hysique orpusulire à hute énergie 8. 6 hysique nuléire 8. 7 Eletronique quntique, lsers 9. HYSIQUE THEORIQUE ET MTHEMTIQUES. ROTETION ET ONTROLE ES RYONNEMENTS. TRITEMENT ES ELUENTS. rotetion snitire. 2 ontrôle des ryonnements. 3 Tritement des effluents. SERTION ES ISOTOES 6. METU, ERMIQUES ET UTRES MTERIU 6. rition, propriétés et struture des mtériux 6. 2 Effets des ryonnements sur les mtériux 6. 3 orrosion 2. TEHNIQUES -2. Ménique des fluides - Tehniques du vide 2. 2 Tehniques des tempértures extrêmes 2. 3 Ménique et outillge 7. NEUTRONIQUE, HYSIQUE ET TEHNOLOGIE ES RETEURS 7. Neutronique et physique des réteurs 7. 2 Refroidissement, protetion, ontrôle et séurité 7. 3 Mtériux de struture et éléments lssiques des réteurs 3. UTILISTION ET EVELOEMENT E L'ENERGIE TOMIQUE 3. entres d'études nuléires, lortoires et usines 3. 2 Etudes éonomiques, progrmmes 3. 3 ivers (doumenttion, dministrtion, législtion, et...) Les rpports du OMMISSRIT L'ENERGIE TOMIQUE sont, à prtir du n 22, en vente à l oumenttion rnçise, Serétrit Générl du Gouvernement, iretion de l oumenttion, 3, qui Voltire, RIS VII e. The.E.. reports strting with n 22 re ville t the oumenttion rnçise, Serétrit Générl du Gouvernement, iretion de l oumenttion, 3, qui Voltire, RIS VII e.
- Rpport E-R-3534 - entre d'etudes Nuléires de Sly éprtement d'eletronique Générle Servie d'instrumenttion Nuléire NLYSE INIRE ère prtie EINITIONS ET TRITEMENTS ES ONTIONS INIRES pr René-Louis VLLEE - Septemre 968 -
NLYSE INIRE ère prtie EINITIONS ET TRITEMENTS ES ONTIONS INIRES INTROUTION ourquoi s'git-il ii d'nlyse inire et non d'lgère de " OOLE"? Simplement pre qu'il ser question, dns e qui suit, d'nlyse mthémtique ve pour ojet l'étude des propriétés prtiulières des ensemles inires. Mlgré l très lrge udiene ordée ugères de "OOLE" et l'existene d'ojetifs ommuns, il onvenit d'éviter les onfusions et les diffiultés qui urient inévitlement résulté d'un rpprohement trop hâtif ve l'nlyse inire. Les risons sont diverses et pprîtront lirement u ours du développement de l'étude et u trvers des définitions et des théorèmes proposés. L'nlyse inire repose sns restrition sur l'xiomtique de l'lgère lssique et permet d'étlir une intéressnte réiproque du théorème de "STONE", montrnt que toute lgère de "OOLE" peut être onsidérée omme une forme homomorphe de l'lgère lssique. George OOLE lui-même, dns son ouvrge pulié en 854 et intitulé "N INVESTIGTION O THE LWS O THOUGHT", s'est servi de l'lgère lssique omme se mthémtique pour l'étude de l logique. Il déouvrit très vite que ette lgère n'est ps dns s struture, onvenlement dptée à l'utilistion visée. eux issues étient lors possiles : - modifier l'xiomtique et onserver glolement le formlisme ; e qui été fit pr OOLE et prtiquement tous eux qui ont développé l'lgère logique ou l'lgère des propositions, omme RUSSEL ou WHITEHE, - ou ien, modifier le formlisme et onserver l'xiomtique dns toute s rigueur ; e que fit très extement l'nlyse inire. Il est inontestle que l seonde voie, qui est vriment mthémtique u sens le plus strit, est plus simple, plus frutueuse et plus prtique que l première. Il est surprennt qu'elle n'it ps été doptée pr tous eux qu'intéressent les iruits de ommuttion, et que SHNNON même, it, à l'origine, hoisi de modifier l'xiomtique plutôt que le formlisme, lors que l'étude des hînes de ontts onduit tout nturellement u seond type de solution. Ernst MH érivit en 94 : " use de l ourte durée de l vie et des limites resserrées de l'intelligene humine, un svoir digne de e nom ne peut être quis que pr l plus grnde éonomie mentle". ette pensée est un ritère de grnde vleur pr ses résonnes profondes. S'il nous oriente vers une optimtistion des strutures omplexes de nos modèles, n'est-il ps néessire de nous y référer u niveu élémentire des onepts, des définitions, des xiomes et des
symoles qui onstituent les ses fondmentles de notre onnissne? 'est e ritère même qui présidé à l'élortion de l'nlyse inire. - Une première prtie, ojet du présent rpport, est onsrée ux définitions et u tritement des fontions inires. - Une deuxième prtie ser reltive ux pplitions et ux fontions expliites ou de trnsodge. - Une troisième prtie triter des fontions réursives et des systèmes séquentiels. ns ette première prtie, hque hpitre est ssorti d'exeries d'pplition simples qui en filitent l ompréhension, en relèvent l'intérêt et rompent l monotonie ride et déprimnte qui souvent ressort d'un texte purement théorique. Les ses de l'nlyse inire sont introduites en fisnt ppel exlusivement à l'xiomtique de l'lgère lssique. Un symolisme idimensionnel simple trduit le rtère de dulité inhérent à tout ensemle inire. Un soin prtiulier été pporté u hoix de l terminologie qu'il fllit rendre ussi 'onise, ussi lire, ussi préise que possile, en utilisnt quelquefois, lorsque 'étit néessire, des termes empruntés à l'lgère dite "logique". Le leteur juger et pourr onstter l rihesse et l'effiité de méthodes simples, dépouillées de tout rtifie inutile suseptile d'en gêner l ompréhension ou d'en lourdir l'utilistion. Le spéiliste peut y trouver, ve un moindre effort d'ssimiltion, un outil mthémtique sûr, rpide et prtique qui permet de pousser très loin l'investigtion dns l'étude formelle des iruits de l'utomtisme numérique. Le herheur, pour s prt, peut disposer d'une se de déprt qui utorise, u delà des tehniques, l'explortion isée du vste et pssionnnt domine des systèmes de l'informtion que l logique élémentire ne peut qu'effleurer et que l philosophie n'vit fit qu'entrevoir. EINITIONS.. Ensemles inires lgériques HITRE I On ppelle vrile ou fontion inire, toute vrile ou toute fontion ne pouvnt prendre que l'une des deux vleurs lgériques distintes f, à l'exlusion de toute utre. L'Ensemle "E, " des vriles et des fontions insi définies est ppelé ensemle inire lgérique. Si l'élément "(J> " est égl à "" lorsqu'il est différent de "" et s'il est égl à "" lorsqu'il est différent de "", lors <j), pprtient à l'ensemle "E,". ^ * E ' si <4> ^ ) ** <4> ) ' et Si ^ + ) * <4> >.2. ulité des ensemles inires lgériques «' II est possile de trouv,er différentes reltions d'pplition d'un ensemle inire E, vers un ensemle inire E u p. Les pplitions les plus simples onsistent à fire orrespondre les vleurs "" et "" de l'ensemle "E." ux vleurs V et "ô" r de l'ensemle "E ". ette orreso o p pondne peut revêtir deux formes prtiulières ssoiées à deux groupes différents d'implitions. es implitions onduisent respetivement ux ijetions que trduisent les deux reltions lgériques suivntes. :... remière reltion «fr ) (j3 - ) - ) ( - ) - ).2.2. euxième reltion
(ft - o) (4> - ) ( - ) ((J> /J - ) 3 et «* E > Réiproquement < - <J>, est le omplément de (J>. L doule. omplémenttion onduit à l reltion d'involution : - u - L'ddition memre à memre des reltions lgériques "l,2l" et ",22" fournit une reltion lgérique linéire entre les éléments de l'ensemle "E, ". ( + ) II existe don dns tout ensemle inire, une reltion lgérique linéire et iunivoque qui fit orrespondre deux à deux tous les éléments de l'ensemle. ette propriété fondmentle d'utomorphisme des ensemles inires qui résulte du rôle symétrique que jouent les vleurs lgériques et hoisies pour leur définition en ompréhension, est ppelée "dulité". On peut, en prtiulier, hoisir pour et les vleurs lgériques "O" et ". Il est en effet intéressnt, fin d'utiliser le produit lgérique, de hoisir pour "" l'élément sornt "O" et pour "" l'élément neutre "l", de ette opértion. L'une des deux reltions, ( - ). (J) ( - ) ( - ). ( - $ Q ) «j) - ) définit une pplition de l'ensemle E vers tout ensemle inire E,**. Q our l'ensemle E Q, l reltion de dulité s'érit :.3. roduits inires Le hoix de l'ensemle inire prtiulier E Q, se justifie pr l'doption d'une vleur d'sorption "O" et d'une vleur neutre "l" qui font du produit lgérique une fontion inire pprtennt u môme ensemle. L dissymétrie introduite fournit deux possiilités de représenttion qui se orrespondent pr dulité en permutnt les vleurs "O" et "l"..3.. roduit Soient n fontions inires f^ f g... j? n telles que ^E^, Vi,2...,n. Le produit lgérique de es n fontions pprtient à l'ensemle E Q. < '... V ée Le produit est en effet égl à l'unité lorsque toutes les fontions en fteur sont simultnément égles à l'unité, (f f_... f l ) 4^ (p i ). Il est nul dns tous les utres s, puisque hque fontion en fteur ne peut prendre que l vleur "" lorsqu'elle n'est ps égle à "l" et, que le produit est nul si un fteur u moins est nul. Le produit "" est hituellement ppelé fontion "ET" qund il est l'ojet d'pplitions tehnologiques..3.2. roduel Q - (f>, est ppelé omplément de <{) n et s'énone "(()-, rre". hque ijetion ne fit ps orrespondre u même élément un même élément de l'ensemle "Eu". 'est pourquoi deux symoles différents <J>, et <J), SL ont été utilisés. ** insi se trouve étlie d'une fçon simple l réiproque du théorème d'isomorphisme de STONE qui révèle que toute lgère de OOLE n'est utre qu'une pplition de l'ensemle inire lgérique E Q dont l définition repose sur l'xiomtique de l'lgère lssique. Les définitions lgériques qui préèdent sont suffisntes en prinipe pour permettre le lul et l'étlissement de toutes les fontions inires pprtennt à l'ensemle E Qr Mis l'importnt n'est ps uniquement le hoix de l'ensemle E OI ve ses propriétés élémentires simplifitries. Il fut églement hoisir un symolisme simple qui puisse trduire dns l'expression érite, l dulité qui rtérise les ensemles inires et qui permette, en utilisnt si possile les deux dimensions du pln, l'étlissement de reltions dules élémentires. Nous svons qu'un produit s'exprime lgériquement en disposnt horizontlement les fteurs : f i,. f * 9. f, 3.... -f n Nous svons ussi, pr dulité, qu'il est possile de lui fire orrespondre l fontion lgérique inire. -y E ' Vi
f. sont simultnément nulles. Nous onsttons que l fontion ir est égle à zéro lorsque toutes les fontions ' f n ) et qu'elle est égle à l'unité dns tous les utres s, puisqu'il suffit qu'une fontion ^ u moins soit égle à l'unité pour que le produit lgérique ( - fj. ( - f ) ( - f ) soit nul, e qui entrîne n. j. & n Nous retrouvons lors dns l'expression de l fontion <n, toutes les propriétés d'un produit lgérique (ommuttivité, ssoiitivité). L seule différene qui résulte de l dulité, réside dns le fit que l vleur d'sorption se trouve être l'unité "l" et l vleur neutre "O". Nous onviendrons lors de représenter l fontion ",: ", que nous ppellerons " produel " K, en groupnt les termes qui l omposent suivnt une olonne vertile pr nlogie ve l'ériture horizontle du produit et fin de trduire dns le symolisme, l propriété de dulité. n i - (i-f ). (i-f )...d-f n ) fi. * f n ns le s des pplitions tehnologiques, nous ppellerons églement n, fontion "OU" omme à l'ordinire. Les ternies f,, f,... f, seront, pr nlogie, ppelés "fteurs duls". it n.3.3. Théorème de E MORGN. e théorème est ontenu impliitement dns les définitions préédentes. f n - f ) ( - f ) r ' v 2' '" ' f n Le omplément d'un produel est égl u produit des ompléments des fteurs duls qui le omposent. h ' f n f n - (f,.... f n ) * Les rines ltines "pro" et "dulis" ont été hoisies dns l onstitution du néologisme "produel" pour mrquer, d'une prt, l néessité de onserver l dulité dns les expressions inires, et ussi pr nlogie ve le mot "produit". - f n Le omplément d'un produit est égl u produel des ompléments des fteurs qui le omposent. Le symolisme proposé repose sur des ses lgériques simples et rigoureuses..3.4. orrespondnes dules des propriétés élémentires L orrespondne dule iunivoque introduite pr l définition du produel à prtir du produit, dpte prfitement e symolisme à l représenttion simple de toutes les fontions inires. ' Toute opértion, tout théorème de l'nlyse inire, qui possède néessirement le rtère de dulité, v don se trduire dns l'ériture pr deux pplitions possiles, solument nlçgues ; l'une suivnt l diretion horizontle, l'utre suivnt l diretion vertile. l'exeption du théorème de E MORGN, vu préédemment, les propriétés dules élémentires omprées des produits et des produels sont résumées dns le tleu suivnt : roduit -...d élément neutre "l" élément sornt "" le produit est ommuttif et ssoitif Le produit pr " " de toute fontion f est nul : (. f) Toute fontion multipliée pr reste égle à elle-même (. f ) f Si tous les fteurs d'un produit sont égux à un même terme, le produit est égl à e terme ; pour pour n ^. () n ( n n n d Théorèmes d'idempotene n roduel - (-). (l-).(l-). (-d) w élément neutre "o" élément sornt "l" le produel est ommuttif et ssoitif Le produel pr "l" de toute fontion f est égl à l'unité Toute fontion multipliée dulement pr O reste égle à elle-même Si tous les fteurs duls d'un produel sont égux à un même terme, le produel est égl à e terme : ir n pour pour - (l-) n v - (l) n ir - () n l
Si dns un produit, deux fteurs sont omplémentires, le produit est nul. f. T. l f. (-f). (f- ). (. ) j_ Si dns un produel, deux fteurs duls sont omplémentires, le produel est égl à l'unité 7 - ( -f). f. ( -IT f /-. «I ( ix v r vx 2,, f (x x p v' 2 ' n> x n> x n> Le produit de deux fontions omplémentires est nul. (f. f ) orollires.4. ontions noniques et tles de vérité -(f- ). -. (- 7T Le produel de deux fontions omplémentires est égl à l'unité. T Nous llons démontrer à prtir des définitions préédentes que toute fontion inire peut s'exprimer ; soit pr un produit de produels, soit pr un produel de produits fisnt intervenir toutes les vriles diretes ou omplémentées. Les expressions otenues sont ppelées "formes noniques". onsidérons en effet une fontion inire qui dépend de "n" vriles distintes x n, x_, x q,..., x t, x. Nous ne pouvons envisger u totl que "2 " ominisons de -L & o n~ JL n vleurs distintes ( ou ) de es "n" vriles. Si l fontion inire herhée est égle à l'unité pour "p" ominisons prtiulières des vleurs de es " " vriles, elle est néessirement égle à zéro pour les "2 n - p" ominisons omplémentires et nous vons dns tous les s p^ 2 n. Nous pouvons don érire l fontion sous l forme d'un produel de produits que nous ppellerons, pr définition, "première forme nonique". Nous rppelons, pour mémoire, les expressions équivlentes des produits et des produels en lgère de OOLE. roduit :.. flfl /\ produel : (+ + ) ( (j U ) (\/\/) Mlgré l'équivlene d'expression, le produel se distingue de l "somme logique" dns s définition et son symolisme. fontion f, (x., x_, K & ou son omplément., > v «g de est un produit fisnt interveest égle à l'unité pour une seule ominison de vleurs des vriles. Nous en déduisons que "", produel des "p" produits "f k " est égl à l'unité pour hune des "p" ominisons de vleurs des vriles qui orrespondent suessivement à l vleur unité de hun des "p" produits. ei résulte des définitions préédentes. Il est églement possile d'exprimer l même fontion ". " pr un produit de produels ppelé, pr définition, "deuxième forme nonique" : l n ns ette expression, le nomre q de produels est tel que p + q 2. hque fontion "f^" représente un produel fisnt intervenir hque vrile ou son omplément. Le produel "f'j est nul pour une seule ominison de vleurs des vriles qui interviennent dns l fontion ^ et pr suite ette fontion ".." qui est le produit des produels "fv" ser nulle pour hune des "q" ominisons de vleurs des vriles qui nnulent suessivement hune de es fontions "f' k ". Nous ppellerons "trnsposition", le pssge, pour une même fontion, de l première à l deuxième forme nonique et réiproquement. x n> Si l'on veut étlir le produit égl à l'unité pour une ominison donnée des vleurs de "n" vriles, il suffit de fire le produit des vriles diretes qui sont égles à "l" d'une prt, et le produit des ompléments des vriles égles à "" d'utre prt, dns l ominison hoisie. renons pr exemple qutre vriles x-, x», g, x, et herhons le produit égl à l'unité pour l ominison j, «, x g O/ x.. e produit s'étlit imméditement : f x. x. x. x our l ominison hoisie, nous vons en effet y v - v v H nil 2 3 4 f our étlir le produel orrespondnt à une ominison de vleurs de "n" vriles, il suffit de mettre en fteur dul les vriles diretes qui orrespondent à "" d'une prt et les ompléments des vriles égles à "l" d'utre prt, dns l ominison hoisie. ns le s, pr exemple, de l ominison de qutre vriles x.., x., on ur
.4.2. Etlissement de l deuxième forme nonique. f Nous otiendrons ien dns le s onsidéré : x,, x, Q, x. et pr suite f ' & o 4 II est don intéressnt, pour étlir rpidement une fontion nonique, de onnître le tleu des ominisons de vleurs des vriles qui rendent l fontion égle à zéro ou égle à l'unité. e tleu est ppelé, pr définition "tle de vérité". our étlir l deuxième forme nonique reltive ux ominisons de vleurs de "n" vriles pour lesquelles ette fontion est nulle, on insrit vertilement les vriles x., x_,..., x dns un ordre quelonque et suessivement dns le même ordre vertil, les i & n ominisons de vleurs pour lesquelles f. Il suffit lors d'érire le produit des produels otenus en remplçnt respetivement dns e tleu hque vleur "" pr l vrile "x, " r de l même ligne et hque vleur "" pr le omplément x de l vrile de l même ligne. Exemple : Etlir l deuxième forme nonique d'une fontion de trois vriles x.., x, x_, égle à zéro lorsque deux u moins des trois vriles sont égles à l'unité, o L tle de vérité s'érit :. 4.. Etlissement de l première forme nonique our étlir l première forme nonique (produel de produits) on peut opérer de l fçon suivnte : On insrit horizontlement les vriles dns un ordre quelonque, puis on porte suessivement sous es vriles, dns le sens horizontl, les ominisons de vleurs pour lesquelles l fontion est égle à l'unité. Il suffit lors, d'près e qui vient d'être dit, de rempler respetivement dns le tleu otenu, hque vleur "l" pr l vrile "x, " de l même olonne et hque vleur "" pr le omplément xt de l vrile de l même olonne. Exemple : Etlir l première forme nonique d'une fontion de trois vriles x.,, x», x,,, égle à l'unité lorsque l'une des vriles est égle à l'unité, les deux utres étnt nulles. L tle de vérité s'érit : omme nous l'vons indiqué préédemment, nous en tirons le tleu f l f d'où l fontion herhée l f r 2 ^ ^ T 2 ~2 ~ 3 L première forme nonique s'étlir imméditement à prtir de l tle de vérité omme nous l'vons indiqué préédemment, et nous érivons : f.5. résenttion des tles de vérité omme nous l'vons vu, une tle de vérité fit pprître les ominisons de vleurs des vriles qui définissent une fontion inire. Nous llons préiser dès mintennt l présenttion que nous dopterons pour les tles de vérité et les différentes formes qu'elles pourront revêtir.. 5.. Tle de vérité omplète Nous dirons qu'une tle de vérité est omplète lorsqu'elle fit pprître l
2 3 totlité des "2 n " ominisons de vleurs possiles, reltives ux "n" vriles dont dépend l fontion. Nous onviendrons d'insrire les vleurs ( ou ) que prend l fontion à droite d'un doule trit vertil de séprtion et sur l même ligne que l ominison orrespondnte des vleurs des vriles. ^ insi l tle de vérité omplète d'une fontion de trois vriles, (,, ) peut s'érire pr exemple : 4 6 7 Tle de vérité ( ) Tle de vérité ( ) 2 3 5 2 3 4 5 6 7 II est souvent intéressnt de fire figurer dns une olonne, à guhe, des repères déimux qui orrespondent ux nomres représentés pr les hiffres inires, et, en plçnt es nomres dns l'ordre nturel. ette disposition permet, en prtiulier, de s'ssurer qu'uune ominison n' été ouliée. Une tle de vérité omplète utorise, en suivnt les règles énonées préédemment, l'ériture immédite de l fontion sous ses deux formes noniques. En e qui onerne l'exemple donné, nous pouvons érire....... "".... " L première forme utilise les ominisons pour lesquelles, (, 4, 6, 7) et l seonde forme les ominisons pour lesquelles, (, 2, 3, 5)..5.2. Tles de vérité inomplètes Une fontion inire est entièrement définie si l'on onnît seulement les ominisons de vleurs des vriles pour lesquelles elle onserve l même vleur ( ou ). Nous ppellerons, pr définition, tle de vérité inomplète, le tleu dns lequel sont insrites es ominisons. Nous préiserons à droite de e tleu, l vleur orrespondnte de l fontion. our hque fontion, il existe don deux tles de vérité inomplètes. Les deux tles de vérité inomplètes qui orrespondent à l fontion préédente (,, ) peuvent s'érire suivnt que l'on hoisit pour "" l vleur "" ou l vleur "l" : " ".5.3. Tles de vérité réduites e sont des tles de vérité inomplètes dns lesquelles ertines ominisons sont groupées fin de tenir ompte d'une prtie ou de l totlité des djenes qui existent entre elles. es djenes étnt repérées dns l tle pr le symole "" qui signifie que l vleur prise pr l vrile peut être indifféremment "" ou "l". Nous pouvons tirer de l'exemple préédent différentes tles de vérités réduites, prmi lesquelles les deux suivntes : -4 6-7 t -5 2-3 L'djene, omme nous le verrons qund nous étudierons les simplifitions, pour effet de supprimer l vrile iforme (direte et omplémentée) dns le produit ou le produel qui résulte des ominisons groupées. Une tle de vérité réduite ne donne don plus une forme nonique mis une forme déjà simplifiée. ns le s envisgé, nous tirons de l première tle de vérité réduite : " e l seonde tle de vérité réduite, nous tirons.6. Trnsformtions des formes noniques Nous llons exminer mintennt quelques trnsformtions simples que peuvent suir les formes noniques ompte tenu des théorèmes déjà étlis..6.. Trnspositions Nous vons ppelé (4) trnsposition, le pssge, pour une même fontion, de
4 5 l première à l deuxième forme nonique ou réiproquement. our trnsposer une fontion de "n" vriles, mise sous forme nonique, il est reommndé d'érire pour ette fontion, une tle de vérité omplète en insrivnt les "2 " ominisons de vleurs des vriles dns un ordre inire nturel. Si une fontion inire de "n" vriles, mise sous l première forme no~ nique, ontient "p" produits, elle ontient néessirement lorsqu'elle est trnsposée, "q" produels tels que : p + q 2 n. Il en résulte que l trnsposition est un moyen de simplifition dns le s où le nomre de produits ou de produels d'une fontion nonique de "n" vriles est supérieur à iinft-l ii.6.2. omplémenttions L'pplition du théorème de E MORGN permet d'érire imméditement l fontion omplément d'une forme nonique. Il suffit de rempler hque produel pr un produit et réiproquement, en omplémentnt hune des vriles. Les lignes horizontles deviennent des olonnes vertiles, les olonnes deviennent des lignes horizontles et les vriles se trouvent omplémentées. L simpliité de l omplémenttion résulte de l'spet dul du symolisme dopté. titre d'exemple, l fontion f - -. - ' EERIES 'LITION RELTIS U HITRE I - Quelle est l'expression lgérique développée de l fontion Réponse : - d + - + d.. ÏÏ 2 - Quelle est l'expression lgérique développée de hune des deux fontions suivntes d d ' ' peut être omplémentée filement, selon l méthode indiquée; et nous otenons : f Si l fontion ne se présente ps sous une forme nonique, l méthode de omplémenttion est identique, et reste ussi simple dns son pplition ; e qu'illustrent les deux exemples suivnts : l. d <» fi «^> x 2. T 2. x 2. " ^3 d 3 - Réponse : f^ + - - - + + d + ed - ed - + + d - d En prtnt de l'expression lgérique, y +. ( - ), étlir l tle de vérité omplète reltive à l fontion "y" et donner les deux formes noniques orrespondntes. Réponses : y i ' remière forme nonique y...... "".. euxième forme nonique y ~ " ~
6 7 4 - Montrer que les fontionsns rique. Réponse : I et... "à. dmettent l même expression lgé- - + ' J. / 3\J * ~ 2 ' 3 ' l 5 - Etlir les tles de vérité réduites reltives ux deux fontions inires 7 - Etnt donné l forme nonique suivnte : et Montrer que., et «dmettent l même tle de vérité omplète et représentent pr suite l même fontion. Réponse : 2 3 4 5 6 7 * 2... d... d... d... d... d... d... d... d... d... d Réponse : ~d 4 qui groupe les ominisons, 4, 5, 6, 5 9,, 2, 3, 4, 5, trnsposer l 6 fontion "" de mnière à otenir un produit 9 de six produels. 2 3 4 5 '" d "" " ~ d d" d "d 6 - our réliser un "v et vient" à l'ide de trois interrupteurs K I, x~, x g ; on désire que le iruit d'llumge soit fermé ( ) lorsque le nomre de vleurs "l" des vriles x,, x, Q est impir, et que le iruit soit ouvert ( ) lorsque le nomre de vleurs J. té tj "l" des vriles est pir. - Erire l tle de vérité reltive à l fontion "" - Quelles sont les deux formes noniques de ""? Réponses : 8 - On donne l tle de vérité suivnte : fi fi fi fi fi fi d fi fi Erire l fontion " (}) " sous l forme d'un produit de produels et indiquer le nomre totl de ominisons qui pprîtrit dns l tle de vérité inomplète pour (j), en préisnt le nomre déiml ssoié à hque ominison et en prennt les vriles dns l'ordre,,, d, e, f. Réponses e fi L tle de vérité inomplète reltive à (f) grouperit 27 ominisons orrespondnt dns l'ordre ux nomres déimux :,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 2, 5, 6, 2, 23, 24, 28, 3, 39, 47, 49, 5, 53, 55, 57, 59, 6, 63. f fi 7 e f 4> d e I
8 9 - our déverrouiller l oine de séurité de l porte d'ès à l ine d'un trnsformteur hute tension (p u déverrouillge), on désire que le disjonteur "" d limenttion du trnsformteur et que le setionneur "S" de liison, soient ouverts ( S ) Etlir l tle de vérité omplète de l fontion "p" et donner les deux formes noniques orrespondntes. HITRE II réponses : S _ S S S SIMLIITION ES ONTIONS INIRES - - Erire les ompléments des fontions suivntes : réponses : 7 ".. d. e d luler l'expression expression une tle omplète donnnt "f" R éponses : e j f l x 2. 4. x 2 5Ç.5EJ ' f 3 <3 "...... " lgérique développée de l fontion f.. éduire de ette de vérité réduite orrespondnt à f puis l tle de vérité. Erire "f" sous l première forme nonique. - r simplifition des fontions inires, nous entendrons l rédution du nomre des éléments littérux ; 'est-à-dire l simplifition, en dehors de toute onsidértion tehnologique, des expressions symoliques érites. Le ut poursuivi ser don, en générl, l reherhe et l'élimintion des termes redondnts : en définissnt omme tel tout terme qui peut être supprimé dns une fontion inire sns lui pporter de modifition numérique reltivement ux ominisons de vleurs des vriles indépendntes. Les simplifitions devront être les onséquenes démontrles des propriétés lgériques des produits et des produels. rmi les méthodes fondmentles, nous étudierons en prtiulier les simplifitions pr mise en fteur et développements, pr djenes, pr trnspositions et pr onsensus, qui sont des méthodes fondmentles et simples et s'vèrent suffisntes dns l pluprt des s. 2.. Mise en fteur et développement L'ensemle inire "E " définit un nneu ommuttif utomorphe, puisque "EQ., E. Q" et que l'on hoisi deuois lgériques internes de omposition qui sont le produit, " xy " et le produel " TT - ( - x). ( - y) x " f Tle de vérité réduite f JÔ p remière forme nonique f...... "" II est intéressnt de démontrer l propriété lgérique de distriutivité du produel pr rpport u produit et réiproquement, du produit pr rpport u produel. ette réiproité, qui résulte de l propriété fondmentle de dulité, est une rtéristique essentielle et prtiulièrement intéressnte des ensemles inires. 2... Mise en fteur dns un produel onsidérons le produel : L'expression lgérique développée s'érit : O - (j>.f f ).(i-4). ) (p.fj + (j). - ( > f-., en utilisnt le théorème d'sorption (J) (p, (J).f.. + (J). - (J).f...f2 que nous pouvons érire :
2 2. [ - ( -fj). ( - ) ] <J>. insi se trouve démontrée l'identité réiproque : 2..2. Mise en "fteur dul" dns un produit onsidérons l- fontion Le développement lgérique de " s'érit : < fo [l -( - ). ( -f : )]. [l -U-f». ( - )] - ( - (J> ). ( - f x ) - ( - <J> ). ( - ) + ( - <J)) 2. ( - f : ). (l. ) Nous ppellerons "mise en fteur" le pssge de l première expression à l seonde et "développement" le pssge inverse. L'identité préédente peut être étendue à un produel ontennt un nomre quelonque de produits dmettnt " (J) " omme fteur ommun., Le théorème d'sorption permet d'érire ( - (()) 2 l'expression de " " : - ( - (j>). [( - fj) + ( - ) - ( - f x ). ( - )] i - (i - 4». (i - f r ) - ( - ( )), d'où soit, en effet, l fontion q+ Nous vons insi démontré l'identité réiproque : dns lquelle, ^ (p.fj,? 2 (}>...., 4>.f, q ^ n. ppelons I- <t>. l fontion otenue en mettnt " (j) " en fteur dns les deux premiers produits. et g. et nous otenons l l'identité : En groupnt "Vo" et " Q" > nous pouvons à nouveu mettre "(p" en fteur I. t O f 3, et insi de suite jusqu'à " ". <Mj (M 2 *.'', *' n q Nous ppellerons "mise en fteur dul" le pssge de l première expression à l seonde et "développement dul" le pssge inverse. omme pour le produel, l'identité préédente peut être étendue à un produit ontennt un nomre quelonque de produels dmettnt "(})" omme "fteur dul" ommun. Soit : ve IT, Nous pouvons de prohe en prohe mettre " (}) " en fteur dul dns les produels ÎT,, 7T j...j 7, et otenir finlement l'identité J. ii q <p q % + l ff n f r --- f q ff q+l % Nous vons insi démontré l distriutivité du produel pr rpport u produit. n n 2.2. Simplifitions élémentires des fontions inires L propriété réiproque de distriutivité des produits et produels v nous insi se trouve démontrée l distriutivité du produit pr rpport u produel.
22 23 permettre de tirer un ertin nomre de onséquenes et de théorèmes élémentires reltifs à l simplifition des fontions inires. 2.2.. Simplifitions pr produits effetués Si l mise en fteur fournit en générl une forme simplifiée des fontions inires, l'opértion inverse pr produits effetués peut, dns les s que nous llons envisger, fournir églement des simplifitions intéressntes. - er s f -. <j>. ns le s prtiulier, souvent renontré où, nous pouvons érire 2ème s. f 4> ns le s prtiulier, nous pouvons érire : (J) «> f 4>.f - Toute fontion prtielle pouvnt être mise en fteur dul dns une fontion donnée ser pr définition un implint dul de ette dernière. onsidérons le produit ynt pour fteurs un produel et l'un de ses implints i duls. (j) " " étnt l'élément neutre du produel, nous pouvons érire : nts, s'érit : (J) et En mettnt "(J)" en fteur dul, nous otenons (f) (J) 4> ç> t <.f e môme, le produel ynt pour fteurs duls un produit et l'un de ses impli- 4>f <j>. Nous tirons de es églités les deux théorèmes suivnts : 2.2.3. Théorèmes Le produit d'une fontion inire et de l'un quelonque de ses implints duls est égl à et implint dul. f <j> f. <j> Le produel d'une fontion inire et de l'un quelonque de ses implints direts, est égl à et implint. 2.2.2. Implitions Nous svons que l ondition néessire et suffisnte pour qu'un produit inire soit égl à l'unité, est que hun des fteurs soit égl à l'unité. (" f r... f n - ) ) Nous pouvons don ppeler hque fteur f.,, f«,..., ou implint de l fontion "". f, implint diret, - Toute fontion prtielle pouvnt être mise en fteur dns une fontion donnée ser don un implint de ette dernière. Nous svons églement que l ondition néessire et suffisnte pour qu'un produel soit nul, est que hque fteur dul soit égl à zéro. f, ' - f n 2.2.4. djenes eux produits "^ et "g" sont dits djents lorsque l'on peut psser de l'un à l'utre en omplémentnt l'un des fteurs et e fteur seulement.. f Nous pouvons églement pr dulité définir l'djene pour des produels. eux produels " ff " et " ^2 " sont d * ts djents lorsque l'on peut psser de l'un à l'utre en omplémentnt l'un des fteurs duls et e fteur seulement. 7T <î> f ÏÏ 2 f n
24 25 produits. 2.2.5. deux produels. Théorèmes Le produel de deux produits djents est égl u fteur ommun des deux 2 (J>. f (J). f 4> $ f f Le produit de deux produels djents est égl u fteur dul ommun des onsidérons d'utre prt le produel de produits : f 4 f 7 n - ^. f 5 f 3 En mettnt suessivement "f 7 " et "f " en fteur, nous otenons : ^.. -,3. L fontion "" est ppelée "fontion djente" ou "vrile djente " lorsqu'il s'git d'une simple vrile. 2.3. Méthodes générles de simplifition utilisnt l mise en fteur ompte tenu de l propriété de ommuttivité des produits et des produels, les mises en fteur sont des opértions qui peuvent s'effetuer en sde, dns un ordre quelonque mis qui ne mènent ps néessirement à une forme optimle des fontions inires. 2.3.. Exemples de simplifitions pr mises en fteur onsidérons le produit de produels suivnt : fl f i / '4 *7 f 5 f 6 f 7 r - f,. f 3 ' f 5. f 6 _ 7 f 5 ' f 6" Les produits et les produels sont ommuttifs, les olonnes ou les lignes des fontions inires peuvent être permutées entre elles et pr suite les mises en fteur peuvent s'effetuer ussi ien en prtnt de l droite qu'en prtnt de l guhe pour un produit, et les mises en fteur dul, en prtnt du hut ou en prtnt du s pour un produel. es mises en fteur peuvent même se fire simultnément à droite et à guhe pour l première forme (produit) ou en hut et en s pour l deuxième forme (produel). ette xçon e proeer introuit une solution étrngère. Il y don lieu de s'ssurer que l solution étrngère introduite dns l simplifition otenue orrespond à un produit nul. * 4. " peut s'érire, près itiise en fteur dul de "f" puis de "f _" : f f 7 onsidérons en effet l fontion : f i f 5 r f i f 5 f 6. f 3. f g J H f 3 «f 5 - L f 3 f i '., - f 4 f 5 f " f 3 -T- otenue : - f 4 Si l'on met, dns ette fontion, Lf 4 "f_ " en fteur à droite, l simplifition ' Lorsque les fontions ne remplissent ps omplètement l'espe qu'elles oupent entre les deux trits vertiux qui symolisent les produels, on peut ompléter pr des trits ontinus horizontux omme el est indiqué' dns les expressions simplifiées de l fontion ", " f*î -HOGGIIG N.. Le trit vertil d'un produel est équivlent u symole (. ) du produit. e qui permet d'érire : - i -~ \ f -,ir- '5 2 4 fit pprître suivnt le prours indiqué pr l flèhe, le produit L. f g. f 4 qui n'étit ps ontenu initilement dns l fontion proposée. ette simplifition ne peut ps être effetuée si e -..
26 27 l 3 4 Nous pouvons pr ontre effetuer une simplifition pr mise en fteur à droite et à guhe, dns l fontion suivnte : ' ' r 2 ' '. x 3 Le produit x.. x«x» indiqué pr l flèhe est identiquement nul *2 ' 2 2 _ puisqu'il ontient en fteur deux vriles omplémentires x» et x,,. Il n'y don ps de modifition introduite dns l fontion initile et l simplifition otenue est vlle. Notons que dns ertins s, l solution prtiulière introduite est redondnte et permet d'méliorer l simplifition. 'est le s de l fontion suivnte : fl. f fl 4 f. f 4 (direte ou omplémentée). Nous dirons dns e s que "x" et est une vrile monoforme de l fontion. x. (j) sont des fontions monoformes pr rpport à l vrile x ' ondition que f.., f, et (J> It \. ft soient des fontions indépendntes de "x". Nous ppellerons fontion iforme pr rpport à l vrile "x", toute fontion inire dns lquelle l vrile "x" intervient à l fois sous ses deux formes (direte et omplémentée) et nous dirons que "x" est une vrile iforme de l fontion et x. t x. 4> *2 sont des fontions iformes pr rpport à l vrile "x". Nous dirons qu'une fontion inire est un produit monoforme de l vrile "x" lorsque "x" ou "x", est un implint diret de ette fontion. x. est un produit monoforme de l vrile "x". Un produel monoforme de l vrile "x" dmet ette vrile ou son omplément omme implint dul. Les deux prours indiqués pr les flèhes orrespondent u même produit "f f 4 " Le produit. f. " en fteur dul de "f " peut, en onséquene, être supprimé sns que l fontion soit modifiée. Nous otenons don finlement r (M 5 { f-, ) 3 Le symolisme hoisi permet insi, pr des mises en fteur simultnées de prt et d'utre des expressions inires, d'étlir des liens étroits ve l topologie et d'outir à des expressions simples ynt l'spet de shéms. Notons ependnt que es simplifitions prtiulières n'offrent d'intérêt que pour des iruits utilisnt une tehnologie où les éléments sont à ommnde isolée (relis életromgnétiques, optoéletroniques ou trnsformteurs). e n'est ps le s des iruits életroniques utilisnt des semi-onduteurs des types diode et trnsistor. v 4' 2 ' x est. un produel monoforme de l vrile x". Nous ppellerons fontion rrée iforme, une fontion iforme omprennt qutre termes groupés en rré suivnt un produit de deux produels de deux fteurs duls, ou suivnt un produel de deux produits de deux fteurs direts. (j> _. 4>. et 4> i 4> i 2.4.2. ropriétés des fontions rrées iformes (*' sont des fontions rrées iformes en "<()". Les fontions rrées iformes ont un spet dul qui lisse prévoir des propriétés prtiulièrement intéressntes. Toute fontion peut, s'érire sous l forme d'une fontion rrée iforme. 2. 4. éomposition des fontions inires pr rpport ux vriles II est intéressnt, dns un ut de simplifition, d'étudier les différentes formes que peut revêtir une fontion inire reltivement à une vrile indépendnte. f. J.. x _ 2.4.. éfinitions Nous dirons, pr définition, qu'une fontion est monoforme pr rpport à l vrile " x" si ette vrile intervient dns l fontion sous une seule de ses formes inires (*) L'lgère de OOLE ne peut ps mettre en évidene d'une fçon simple les propriétés fondmentles des fontions rrées iformes qui ont une symétrie dule prtiulière et sont extrêmement utiles pour l simplifition des iruits de ommuttion.
28 y* 29 x x. ( *>! 2 x x j x 2. x. *2 x. d> 2 x x Les fteurs "" et "" sont ppelés simplement fteurs digonux de l fontion rrée iforme. e théorème nous permet de psser insi filement d'un produel à un produit et vie-vers, sns introduire de terme redondnt. e qui justifie l'ttention prtiulière onsrée à l'étude des fontions rrées iformes. f f 9 $ J. t, f. f 9 2.5. Simplifitions pr l méthode des "onsensus" (*) '!. f, x. f t x! x x j Etnt donnée une fontion rrée iforme, on ppelle "onsensus" de ette fontion, le produit des termes digonux non omplémentires, et "onsensus dul", le produel des termes digonux non omplémentires. L fontion rrée iforme i une fontion rrée iforme se présente sous l forme d'un produit de produels, Si dmet pour "onsensus" le produit et pour "onsensus dul" le produel f. f à * nous pouvons l'érire sous l forme de produel de produits en effetunt les produits élémentires 4>. 9... (]>.... *. En proédnt pr produits effetués, nous pouvons érire :. '.. f,. " '.E!,., Le onsensus fj. f g est don un implint dul de "" et le onsensus dul. Nous vons insi étli le théorème suivnt ; théorème fondmentl et très importnt qui v nous permettre l reherhe systémtique des implints direts et duls d'une fontion pr l méthode des onsensus. 2.4.3. Théorème Une fontion rrée iforme n'est ps modifiée pr l suppression ou le tré d'un trit vertil médin, à ondition de disposer les fteurs omplémentires suivnt une digonle du rré orrespondnt à son expression symolique. est un implint de "". Nous en déduisons les théorèmes suivnts. 2.5.. Théorèmes 2.5... Si prmi les fteurs d'un produit, il existe une fontion rrée iforme et un terme ontennt en fteur dul, le onsensus dul de ette fontion; e dernier terme est redondnt et peut être supprimé. 2.5..2. Si prmi les fteurs duls d'un produel, il existe une fontion rvée iforme et un terme ontennt en fteur le onsensus de ette fontion, e dernier terme est redondnt et peut être supprimé. >v _ ()> *J S» _ '*) Rppelons pour mémoire qu'une théorie omplète des onsensus, dns le formlisme de l'lgère de OOLE, été développée pr M. TISON.
3 3 I Nous pouvons érire en effet : et que le onsensus dul soit mis sous l forme d'un produit de " r " produels ; k o k ^ * j. o n «^M ««6 f. $ * 2 f2 ^ e même :! est redondnt. f ff -, i ïï 2 fl -j ^ r Si l fontion "" est en fteur dul d'un terme de l forme "p k ", e terme Nous pouvons érire en effet dns e s : (J). f, (j). f (J). f.. I f,. <l> f 9. <j> f,. $ <j>. f, t i t J. V 2 k f f f f f f f (h. I-i. rt J., In < If I o If I O H* l à 6 l Z p k p k f 3 k f f 3 f 3 f n ' f n f n f n p k <-> 2.5.2. Règles générles des "onsensus" onnons -nous l fontion rrée iforme : (J) f (f). f 9 f _ - f. (j) 2.5.2.. Le onsensus " fj.fn " rn i S sous l forme d'un produel de produits, trduit, lorsque l'un de es produits pprît en fteur dns un terme fteur dul de "", une ondition suffisnte pour ffirmer que e terme est redondnt. et peut être supprimé. 2. 5.2.2. Le onsensus dul mis sous l forme d'un produit de produels, trduit, lorsque l'un de es produels pprît en fteur dul dns un terme fteur de "" une ondition suffisnte pour ffirmer que e terme est redondnt et peut être supprimé. Supposons que le onsensus de l fontion rrée iforme "" soit mis sous l forme d'un produel de "q" produits : i 2 f-,. *n ~ t, IL fi & H "p k ", implint de "p k ", est en fteur dul et nous svons que k érire : l T ' d'où : f. f f. f p t J. à p k Si l fontion "" est en fteur d'un terme de l forme f T ^ f i f r T ^ T T i r <rr «r w., nous pouvons j ' 2 j ' ' 2 ' ' ' j ' j ' j + ' ' ' ' r TT. est un implint dul du produel tr. > 3 don,.. 2.5.3. Exemple de simplifition pr onsensus ff j.... onsidérons l fontion,.. E.. À.
32 33 II existe, dns le premier fteur de "j" deux vriles iformes "" et "" et nous pouvons fire pprître suessivement les deux fontions rrées iformes... ~. pour onsensus : et dmettent pour onsensus dul : égl >.. don érire : d'où, qui dmettent respetivement.... et.. Nous voyons pr le onsensus de l fontion rrée iforme en "" onsensus que les termes.. et..e peuvent être supprimées. Nous pouvons uel À..... e érire : _ À.. ontient le onsensus dul..... À.. p\*r L reherhe des onsensus onduit souvent à l simplifition optimle de fontions inires. Elle omplète utilement les méthodes de simplifitions pr mises en fteur trnspositions et djenes. es qutres méthodes ominées permettent en générl, lorsqu'elles sont utili. sées judiieusement, d'otenir des formes minimles. 2.6. Simplifitions pr djenes Les simplifitions pr djenes sont les premières qui ont été utilisées en lgère de "OOLE". Elles étient lors les plus files à mettre en oeuvre et ont donné nissne à différentes méthodes omme elle étlie pr "QUINE et Me LUSKEY" ou elles des digrmmes de "VENN" et de "VEITH" que nous itons simplement pour mémoire. Nous développerons, pr ontre, l méthode des digrmmes de "KRNUGH" pre que es digrmmes sont ssimilles ux trés de tles de vérité prtiulières dns lesquelles les djenes sont topologiquement groupées ou ien se orrespondent géométriquement pr symétrie. Le digrmme de KRNUGH se présente sous l forme n rré ou d'un retngle selon l prité du nomre des vriles. L'ensemle des vriles est générlement prtgé en deux sous-ensemles ontennt, à une unité près, le même nomre de vriles. u nomre de ominisons de vleurs de es deux sous-ensemles, on fit orrespondre respetivement le nomre des ses de hun des ôtés du retngle ou du rré. Il suffit ensuite de rnger les ominisons de vleurs des vriles dns un ordre respetnt les djenes pr groupements ou symétries omme le préisent les exemples suivnts : s de deux vriles : s de trois vriles : \ 2 3. \ II est intéressnt, omme el es; fit sur les exemples trités, de repérer hque se pr l'équivlent déiml du nomre inire ssoié à l ominison de vleurs qui lui orrespond. s de qutre vriles : v v. 4 2 8 5 3 9 3 7 5 2 6 4 s de inq vriles : 4 E \ i 3 2 6 7 5 4 8 9 4 5 3 2 our utiliser le digrmme de "KRNUGH", on porte dns hune des ses du rré ou du retngle, l vleur que prend l fontion inire envisgée pour l ominison de vleurs des vriles qui orrespond justement à ette se. uis on onstitue une tle de vérité réduite, soit pr rpport ux "", soit pr rpport ux "l" de l fontion selon e qui prît le plus simple, en tennt ompte des djenes possiles qui sont lolisées ve filité grâe à l distriution topologique prtiulière du digrmme. Il suffit ensuite d'étlir l fontion à prtir de l tle de vérité réduite. ve un peu d'hitude, on peut tirer l fontion diretement du digrmme sous forme de produits ou de produels. 24 6 L méthode du digrmme de "KRNUGH" est intéressnte et permet des simplifitions rpides, mis présente l'inonvénient de n'utiliser que les djenes omme mode de reherhe des implints. Le hoix des groupements et des symétries reste ritrire et l 25 7 27 9 26 8 5 3 22 3 7 3 23 2 6 29 2 28 2
34 35 méthode des mises en fteur ou elle des onsensus l omplètent utilement. 2.6.. Exemples : Les vriles étnt rngées dns l'ordre,,,, érire à l'ide du digrmme de "KRNUGH" l fontion inire simplifiée égle à zéro pour les ominisons 3 (), 7(), 8(), 9 (), 4 () et 5 () des vleurs des vriles. On tre le digrmme de KRNUGH pour les qutre vriles,, et. On insrit " " dns les ses orrespondnt à 3, 7, 8, 9, 4 et 5 et " " dns les utres ses. " 4 2 8 5 3 9 En groupnt les ses djentes 3-7, 8-9 et 4-5, on otient l tle de vérité réduite suivnte : ominisons groupées e qui permet d'érire : 3-7 8-9 4-5 Mis on peut ussi ien grouper les ses djentes --4-5, -2-4-6, 4-5-2-3, - et l'on otient l tle de vérité réduite reltive ux "l" de l fontion inire. ominisons groupées --4-5 -2-4-6 4-5-2-3 - i 3 7 5 f».p 2 6 4 ' sivement e qui donne :..... En utilisnt les propriétés des fontions rrées iformes on peut À. À. À.. "....... Le digrmme de KRNUGH se révèle vriment utile dns le s où les fontions inires sont inomplètement définies et présentent un ertin nomre de ominisons de vriles disponiles qui ne sont jmis rélisées et pour lesquelles nous pouvons ttriuer à l fontion ussi ien l vleur "l" que l vleur "" selon les simplifitions possiles. onnons-nous pr exemple une fontion de inq vriles x_, x, Q, x_, x, o 4 o 2 rngées dns l'ordre inverse des indies pour pouvoir leur fire orrespondre les puissnes de "2" des nomres inires ssoiés. Il s'git d'érire l fontion inire " égle à l'unité pour les ominisons _3_7_8.--2-7-2. Les ominisons disponiles sont les suivntes : 'est-à-dire : - 5-6 - 9 - - 4-6 - 8-2 - 22. L fontion est égle à zéro pour les ominisons qui n'ont ps été onsidérées, 2-4-3-5-9-23-24-25-26-27-28-29-3-3. 5 4 Les données permettent de trer le digrmme de KRNUGH suivnt : l 3 2 6 7 5 4 8 24 6 9 25 7 il 27 9 vl 26 8 4 3 22 5 3 23 3 29 2 2 28 2
36 37 Nous pouvons tirer du digrmme l tle de vérité réduite reltive ux vleurs "l" de l fontion "" en utilisnt u mieues ominisons disponiles repérées pr le symole "". ominisons groupées -3-5-7 8--2-4 6-7 - 2-2 d'où 4 5 l 4 5 ^5 4 T 5 * 5 4 5 ' 4 ' l 5 ' 4 ' 5 4 x i 4 5 4 4-5 *"*5 p x 4. j l- 4 4' ' 5 Nous pouvons églement dresser une tle de véri.é réduite reltive ux zéros de l fontion "" en utilisnt les ominisons disponiles. ominisons groupées -2-4-6 9--3-5-25-27-29-3 24-25-26-27-28-29-3-3^ 8-9-22-23-26-27-3-3 d'où l 4 r 4 5 ^ 4 5 4-5 5 ^ 5 ^ ' ^ Nous pouvons églement érire "" sous l forme 5 ' l ' 5 ' ' 4 4. l 4 5 l l ' 5 x 2. x 4 ' 4 5 l " 4-2.7. Simplifitions pr trnspositions, mises en fteur et djenes. Nous vons onstté dns e qui préède que les trnspositions, les mises en fteur et les djenes sont des moyens qui permettent d'opérer des simplifitions sur les fontions inires. L méthode que nous proposons réunit es trois moyens de fçon effie et systémtique. Elle permet de simplifier une fontion inire mise sous forme nonique ve le mximum de rpidité. Nous svons qu'une forme nonique est en générl une fontion rrée iforme lorsque l'une des vriles été mise en fteur prtiel. -, /-«i H. T. i Si "" est une fontion nonique, noniques qui ne ontiennent plus le vrile "x.". G t~* tir v V V ~ < * ^x., x gj.. i ï_i ' i+ * H H (x,,..., x i _, x i+, x. i H G x. i M-rrll H et "G sont églement des fontions n * > Elles sont don églement rrées iformes et les fontions digonles résiduelles sont toujours des fontions noniques sur lesquelles il est don possile d'effetuer des trnspositions. Soit "p" le nomre de produits ou de produels élémentires d'une fontion nonique. Le nomre totl des vriles littérles qui pprissent dns l fontion est égl à " p.n " si " n " désigne le nomre des vriles indépendntes. Le nomre totl de vriles littérles qui pprissent près l mise en fteur prtielle de l vrile "x." est égl à : et p.(n-l) +2, si "x." est une vrile iforme p. (n-) +, si "x." est une vrile monoforme. Une fontion inire peut être simplifiée, en opérnt suessivement des mises en fteur prtielles, des trnspositions et des rédutions pr djenes. Supposons, en effet, que l fontion nonique de "n" vriles (x., g,... x n ) ontennt' "p" termes tels que p 2 n ~ - m ("m" entier, positif, inférieur à 2 - ), soit érite sous forme de fontion rrée iforme pr mise en fteur prtielle de l vrile "x." de telle mnière que les deux fontions digonles "H" et "G" ontiennent respetivement p et p- termes^ (produits ou produels). Nous vons néessirement p + p. p 2 n ~ -m. Les "p o " et "p.," termes ontiennent hun les (n-) vriles (x,, x_,..., x. -, x.,,,..., x ). j. i J. i~t~ j. n 2.7.. Sip < 2 n ~ et p < 2 n ~, uune trnsposition ne peut être envisgée. S'il existe un nomre "" ( < p et < p ) d'djenes reltives à l vrile "x/, 'est-à-dire un nomre "" de termes ommuns ux fontions "H" et "G", on peut opérer une simplifition pr djenes, le nomre totl réduit des vriles littérles étnt égl à : et N, N-, (p - ). ( n - ) + 2 lorsque p et sont tous deux différents de zéro. p. ( n - ) +, le s où "x." est monoforme et où l'une des vleurs