AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA ère COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Les symboles Ln et tan représentent respectivement le logarithme népérien et la tangente. On donne Ln 2 =,69. ) Comparer les intégrales A et B : / 4 A = / 4 B = Ln(cos dx Ln(cos(π/4 - ) dx En faisant dans B le changement de variable u = π/4 - x, on obtient directement A = B. / 4 2) Calculer l intégrale I = Ln( + tan dx On sait que cos(π/4 - = (cos x + sin / 2. + tan x = (cos x + sin /cos x Ln( + tan = Ln(cos x + sin Ln(cos = Ln 2 (cos(π/4 - ) Ln(cos = Ln 2. + Ln(cos(π/4 - ) Ln(cos D où, en passant à l intégrale et comme A = B, on a I ( 2) 4 Ln. Problème Le symbole Ln représente le logarithme népérien. ) Soit l application g : ], [ ], + [ R, définie par : g( Lnx Etudier très précisément les variations de g (dérivées, sens de variation, concavité, limites, asymptotes éventuelles, tableau de variation, graphe). Pour toute la suite du problème, on admettra l existence d une primitive G de g, qu on ne cherchera pas à calculer explicitement.
Il est évident que g est définie sur R +* sauf pour x =. Dérivée : g ( = - / (xln² <. Donc g est décroissante. De même, g ( = (2 + Ln/x²Ln 3 x qui s annule en x = e -2 Donc point d inflexion en x = e -2 et g(e -2 ) = - ½. Limites : Quand x, g tend vers. Quand x -, g tend vers - Quand x +, g tend vers + Quand x +, g tend vers. Asymptotes : x =, x = (vers + ) 2) On considère l ensemble D = ], /2 [ ], + [. On définit l intégrale J( par : J( = 2x x g( t) dt Montrer que J( existe pour tout x D. L intégrale n existe que si n est pas dans l intervalle (x, 2, soit < x ou > 2x, donc x < ½ ou x >, ce qui correspond à D. Avec la notation introduite en Q, J( = G(2 G(. 3) Soit l ensemble D + = [, ½ [ ], + [ = D + {} On définit l application f : D + R par : x D, f ( = J( f () = Montrer que f est dérivable sur D, et calculer f '. Etudier le signe de f ' et en déduire le sens des variations de f. Sur D, = G(2 G(, et donc, puisque G = g, on a : f '( existe et vaut : f '( = 2g(2 g( = Ln(x/2) /[(Ln (Ln2] Pour x < ½, f '( est <, donc f est décroissante. Pour x >, f '( est > si x /2 >, donc x > 2 ; de même, f '( < si x < 2, et on a f '( = si x = 2. On remarque aussi que la limite de f ' quand x tend vers est égale à.
4) Démontrer que, x D : x/ln(2 f ( x/lnx En déduire les limites de f ( et de f ( /x quand x. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en. D après les accroissements finis appliqués à f, f ( = (2x g(c), x c 2x. Comme la fonction g est décroissante (question ), g( g(c) g(2, donc : x/ln(2 f ( x/lnx et /Ln(2 f (/x /Lnx On en déduit quand x tend vers : a) f ( tend vers b) f ( / x tend vers Donc on peut prolonger f par continuité en. De même, la limite de ( f ( f ())/(x ) = f ( /x est égale à, qui est aussi la limite de f en (remarque de la question 3), donc f est dérivable en. 5) Quelles sont les limites de f ( et de f ( /x quand x +? Toujours en utilisant la double inégalité de la question 4, on a : Quand x tend vers + : a) f ( tend vers + b) f ( / x tend vers 6) Soit l application h : ], ] R : u h(u) = Ln(u) 2u + 2 Montrer qu il existe un réel unique, noté α, < α < ½, tel que h(α) =. Montrer que u [α, ], on a Ln(u) 2u 2. En déduire que f ( est majorée, x [α, ½], par (Ln[(2x )/(x )])/2. Calculer la limite de f quand x ½.
En étudiant brièvement h(u) sur ], ], on voit que h est croissante de - à Ln2 lorsque u passe de à ½, admet un maximum égal à Ln2 en ½ et décroit ensuite jusqu à. Donc il existe un nombre α, compris entre et ½, tel que h(α) =. Pour u α, h(u) est positive ou nulle, donc Ln(u) 2u 2. Donc /Ln(u) /(2u 2). En reportant cette inégalité dans la définition de f, on voit que l intégrale : f ( x ) est majorée par 2x f ( x du/(2u 2) = (Ln[(2x )/(x )])/2. Quand x ½, (Ln[(2x )/(x )])/2 tend vers - et donc f aussi. 7) Montrer que, u, Ln(u) u. En déduire la limite de f quand x. Comme en Question 6, en étudiant les variations de v(u) = Ln(u) (u ), on trouve facilement que Ln(u) u quand u. On en déduit en minorant g( par /(u ) dans l intégrale que f ( Ln[(2x )/(x )] ; or Ln[(2x )/(x )] tend vers + quand x, donc f aussi. 8) Construire le tableau de variations de f. Donc, il résulte de tout ce qui précède, que : Pour x entre et ½ : f décroît de à - Et pour x : a) de à 2, f décroît de + au minimum m = J(2) = G(4) G(2), b) puis f croît de m à + pour x 2.
Problème 2 Soit l application f : ]-, +[ R, telle que : x f ( = ( x²) -/2 ) On veut montrer que f est indéfiniment dérivable sur ]-, +[ et que, n N, il existe un polynôme réel P n de la variable réelle, de degré n, tel que : x ]-, +[, f (n) ( = P n ( / ( x²) n+/2 a) Calculer les polynômes P, P, P 2, P 3. b) Montrer que f est indéfiniment dérivable sur sur ]-, +[ et exprimer P n+ sous la forme : (R) P n+ ( = a( P n ( + α(n) b( P n ( où a(, b( et α(n) sont respectivement des fonctions de x et n que l on explicitera. 2) Montrer que, x ]-, +[ : ( x²) f '( x f ( = 3) Rappel : Formule de Leibniz : on rappelle que la dérivée d ordre n du produit de deux fonctions u et v, notée (uv) (n), est donnée par la formule suivante : n (uv) (n) = k C k n u v ( k ) ( n k ) En utilisant les résultats des questions (2) et (), montrer que la suite de polynômes (P n ) vérifie la relation : (R2) P n+ ( (2n + )x P n ( n²( x²) P n- ( = 4) Etablir, n N*, que P n ( = n²p n- ( 5) En déduire que, pour tout n entier, n et n, on a la relation (R3) : (R3) n²p n ( (2n )x P n ( ( x²) P n ( = 6) Pour tout n entier, calculer P n () et P n () a) Des calculs simples conduisent à : P =, P ( = x, P 2 ( = 2x² +, P 3 ( = 6x 3 + 9x b) Procédons par récurrence. Soit la propriété «f est dérivable à l ordre n et x ]-, +[, f (n) ( = P n (/( x²) n+/2» La propriété est vraie au rang, avec P =.
Supposons la propriété vraie au rang n. P n ( / ( x²) n+/2 est dérivable, puisque P n ( et ( x²) n+/2 sont dérivables sur l intervalle ]-, +[,et donc f (n+) existe et : f (n+) ( = ( x²) -n-/2 P n ( + (2n + )x( x²) -n-3/2 P n ( f (n+) ( = ( x²) -n-3/2 [( x²)p n ( + (2n + )x P n (] D où la relation (R) recherchée avec P n+ ( = a( P n ( + α(n) b( P n (, et a( = ( x²), b( = x et α(n) = (2n + ). 2) f '( = x( x²) -3/2 = x f ( ( x²) - D où ( x²) f '( = x f ( 3) Partons de la relation ( x²) f '( x f ( =, et dérivons la n fois, avec d abord u = ( x²) et v = f ', puis avec u = x et v = f. On remarque que u = -2x, u = -2, puis u (k) = dès que k 3. v= f ', v (n) = f (n+), v (n-) = f (n), v (n-2) = f (n-). La contribution du terme ( x²) f '( sera donc ( x²) f (n+) 2nx f (n) n(n ) f (n-). De façon similaire, la contribution du terme x f ( sera x f (n) - n f (n-). D où : ( x²) f (n+) (2n+) x f (n) n² f (n-) =. Remplaçons respectivement f (n+), f (n) et f (n-) par leurs expressions issues de la question faisant intervenir P n+, P n, et P n-. ( x²) P n+ ( ( x²) -n-3/2 (2n+)x P n ( ( x²) -n-/2 n² P n- ( ( x²) -n+/2 =. Ou encore : P n+ ( ( x²) -n-/2 (2n+)x P n (( x²) -n-/2 n²p n- ( ( x²) -n+/2 =. Et en simplifiant par ( x²) -n-/2, on obtient la relation (R2) recherchée : (R2) P n+ ( (2n + )x P n ( n²( x²).p n- ( = 4) Cherchons à établir, n N*, que P n ( = n²p n- ( D après (R2), on a : P n+ ( (2n + )x P n ( = n²( x²) P n- ( Or, d après la question b, P n+ ( (2n + )x P n ( = ( x²) P n ( Il s en suit n²( x²) P n- ( = ( x²) P n (, et donc P n ( = n²p n- (.
5) Ecrivons la relation (R2) au rang n : P n ( (2n - )x.p n- ( (n-)²( x²) P n-2 ( = D après la question 4, P n- ( = P n (/n², et donc en dérivant encore une fois : P n- ( = P n (/n², Et d après la question 4, P n- ( = (n-)²p n-2 (= P n (/n². En remplaçant dans (R2), on obtient : P n ( (2n - )x P n (/n² ( x²) P n (/n² = Soit encore : n²p n ( (2n - )x P n ( ( x²) P n ( = 6) On sait que l on a P () = et P () =, P () = et P () =. D après la relation (R2) prise en x =, on a : P n+ () n² P n- () = De même, toujours avec la relation (R2) prise en x =, on a : P n+ () (2n + )P n () = Calcul de P n () : Pour n pair, n = 2p, P 2p+ () (2p)² P 2p- () =, qui va aller jusqu à P () =, donc P 2p+ () =. Pour n impair, n = 2p-, P 2p () (2p-)² P 2p-2 (), d où : P 2p () = (2p-)² (2p-3)² (2p-5)².. Calcul de P n () : P n () (2n - )P n- () = P n () = (2n - )(2n - 3)..
AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE LA 2 ème COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Exercice Le paramètre a est un réel strictement positif, a >. Soit une application f : [, a] R continue, vérifiant pour tout réel x, x a, les deux conditions suivantes : f ( - f (. f ( a Calculer l intégrale I = On a : f ( = / f (a- a f ( x ) dx Donc /( + f () = f (a /( + f (a ) a ( /( + f()) a dx = f (a /( + f (a ) Dx En faisant le changement de variable u = a x, on a : a ( /( + f ()) dx = a a f (u)/( + f (u)) du = [ ( + f () /( + f()) dx]/2 = a/2 Problème (le thème commun porte sur les suites, mais les trois parties sont indépendantes) Partie A Soit la suite (u n ), n N, définie par : u >, u > () n N, u n+2 = (u n ² u n+ ) /3
) Calculer le terme général de la suite u n. Indication : on pourra faire intervenir une autre suite (v n ), telle que v n = h(u n ), où h est une fonction mathématique simple, permettant de transformer l expression () en une expression ( ) liant de façon linéaire v n, v n+, v n+2. 2) Déterminer la limite de u n quand n tend vers +. ) En passant au logarithme (h = Ln) : Ln(u n+2 ) = 2/3. Ln(u n ) + /3 Ln(u n+ ) On pose v n = Ln(u n ) : v n+2 = 2v n /3 + v n+ /3 Avec v = Ln(u ) et v = Ln(u ) Equation associée : 3r² r 2 =, qui admet comme solutions et -2/3. La forme générale de v n est v n = a + b(-2/3) n v = a + b v = a 2b/3 a = (2v + 3v )/5 et b = 3(v v )/5 u n = exp[a + b(-2/3) n ] = exp[(2lnu + 3Lnu )/5 + (-2) n (Lnu Lnu )/(5.3 n- ) u n = (u ².u 3 ) /5 exp[(-2) n 3 -n Ln((u /u ) /5 ] 2) Quand n tend vers +, u n tend vers (u ²u 3 ) /5 Partie B Soit la suite (u n ), n N, définie par : u >, u > (2) n N, u n+2 = 2 u n u n+ / (u n + u n+ ) ) Calculer le terme général de la suite u n. Indication : on pourra faire intervenir une autre suite (v n ), telle que v n = h(u n ), où h est une fonction mathématique simple, permettant de transformer l expression (2) en une expression (2 ) liant de façon linéaire v n, v n+, v n+2. 2) Déterminer la limite de u n quand n tend vers +. ) On pose v n = h(u n ) = /u n : on obtient alors v n+2 = (v n + v n+ )/2 Equation associée : 2r² r =, qui admet comme solutions et -/2.
La forme générale de v n est v n = a + b(-/2) n v = a + b v = a b/2 d où : a = (v + 2v )/3 et b = 2(v v )/3 v n = /u n = (a + b(-/2) n ) u n = /(a + b(-/2) n ) = /[(/u + 2/u )/3 + 2(/u /u )/3.(-/2) n ) u n = /[(/u + 2/u )/3 + (-) n (/u /u )/3.(2) -n ) 2) Quand n tend vers +, (-/2) n tend vers, et u n tend vers /a = 3u u /(2u + u ) Partie C Soit la suite (u n ), n N, définie par : u = u = u 2 = (3) n N, u n+3 = ( + u n+2 u n+ ) / u n ) Calculer les premiers termes de (u n ), pour n = 3 à 8. 2) Montrer par récurrence que l on peut écrire la suite (u n ) sous la forme (4) : (4) n, u n+4 = a u n+2 + b u n où a et b sont des entiers que l on déterminera. 3) En déduire que n N, u n N*. ) On calcule simplement que u 3 = 2, u 4 = 3, u 5 = 7, u 6 =, u 7 = 26, u 8 = 4. 2) En écrivant u 4 = 3 = a + b et u 5 = 7 = 2a + b, on trouve a = 4 et b = -. Soit la relation : u n+4 = 4u n+2 u n Elle est vraie au rang. Supposons la relation vraie au rang n. Montrons que u n+5 = 4u n+3 u n+ D après la relation (3), u n+5 = ( + u n+4 u n+3 ) / u n+2 = ( + (4u n+2 u n )u n+3 ) / u n+2 u n+5 = ( + 4u n+2 u n+3 u n u n+3 ) / u n+2 Or u n+3. u n = + u n+2 u n+ D où u n+5 = ( + 4u n+2 u n+3 ( + u n+2 u n+ ))/ u n+2 = (4u n+2 u n+3 u n+2 u n+ ))/ u n+2 C est-à-dire u n+5 = 4u n+3 u n+ La relation est vraie au rang n+. 3) Il s en suit directement que u n N*.
Problème 2 Partie Soit A un réel non nul. Montrer que, pour tout n entier non nul, on peut déterminer une suite unique de n+ nombres réels (t, t,.. t n-, t n ) vérifiant les trois conditions suivantes : (i) (ii) (iii) t =, t n = A t < t <.. t n- < t n k {,..., n-} t k+ - t k = A/n On trouve immédiatement que t k = ka/n, pour k allant de à n. Partie 2 Soit la fonction f : [, ] R, continue et strictement positive. ) Montrer que, pour tout n entier non nul, il existe dans [, ] n+ une suite unique de n+ nombres réels (x, x,.. x n-, x n ) vérifiant les trois conditions suivantes : (i) x =, x n = (ii) x < x <.. x n- < x n n 2) Soit U(n) = n x k (iii) k {,..., n-} f ( t) dt n k f ( x k ). xk f ( t) dt Déterminer la limite L de U(n) quand n tend vers +. 3) Etudier le cas particulier de f ( = e x x ) Posons F( = f (t).dt, qui existe d après les hypothèses sur f ; en outre la dérivée F ( = f ( > donc F est strictement croissante sur [, ], et F est donc inversible. Posons t k = F(x k ), et A = f (t) dt.
On cherche une suite de n+ nombres entre et vérifiant les 3 conditions de la partie : (i) (ii) (iii) t =, t n = A t < t <.. t n- < t n k {,..., n-} t k+ - t k = A/n Donc t k = ka/n, pour k allant de à n. D où x k = F - (ka/n), pour k allant de à n. En outre, puisque F et donc F - sont strictement croissantes, les x k sont rangés en ordre croissant x < x <.. x n- < x n n 2) U(n) = [ k n f (x k )]/n = [ k f (F - (ka/n))]/n, qui converge vers : A A - f (F - (t) dt] = B/A A Où B = f (F - (t) dt] Faisons le changement de variable u = F - (t), ou t = F(u), dt = f (u) du B = f (u) f (u) du = f ²(u) du On en déduit que L = f ²(u) du / f (u) du 3) Un calcul simple donne A = e. De même, x k = Ln(k(e-)/n) B = (e² - )/2 et donc L = (e + )/2
AVRIL 22 CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES ISE Option Économie CORRIGÉ DE L ANALYSE D UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE Exercice. a. Importations du Burkina Faso (en milliards de francs CFA) 3 29 27 25 23 2 9 7 5 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 On va réaliser notre prévision via un ajustement linéaire avec la méthode des moindres carrées.. b. Importations = 6,5 t + 87,8 avec t qui varie de à 6.
2. a. Importations du Burkina Faso (en milliards de francs CFA) 3 29 27 25 23 2 27 28 29 2 2 9 7 5 2 3 4 On constate qu il a un effet saisonnalité : en l occurrence, le 4 ème trimestre donne toujours un chiffre plus élevé et à l inverse, le er trimestre est celui pour lequel les importations sont plus basses. Par ailleurs, le montant des importations annuelles augmente régulièrement. 2. b. t Importations () Estimation à partir du modèle (2) rapport ()/(2) 84,3 94,3,948 2 97,7 2,8,984 3 94, 27,3,936 4 228,5 23,8,69 5 23, 22,3,44 6 25,2 226,8,3 7 2,8 233,3,98 8 24,4 239,8,7 9 24,8 246,3,978 283, 252,8,2 232,4 259,3,896 2 258,9 265,8,974 3 284,5 272,3,45 4 29,4 278,8,45 5 272, 285,3,954 6 287,6 29,8,986
Le coefficient saisonnier du er trimestre s obtient en faisant une moyenne arithmétique des coefficients des trimestres concernés (points t=3, t=7, t=, t=5), soit,923. Le coefficient saisonnier du 2 ème trimestre s obtient en faisant une moyenne arithmétique des coefficients des trimestres concernés (points t=4, t=8, t=2, t=6), soit,9. Le coefficient saisonnier du 3 ème trimestre s obtient en faisant une moyenne arithmétique des coefficients des trimestres concernés (points t=, t=5, t=9, t=3), soit,4. Le coefficient saisonnier du 4 ème trimestre s obtient en faisant une moyenne arithmétique des coefficients des trimestres concernés (points t=2, t=6, t=, t=4), soit,63. La moyenne des 4 coefficients est bien de donc il n y a pas lieu de les corriger. On observe que le 4 ème trimestre a le plus fort coefficient et que celui du premier trimestre le plus faible. 3. a. Les montants sont exprimés en Mds de Francs CFA Estimation à t partir du modèle 9 3,3 2 37,8 2 324,3 22 33,7 3. b. Les montants sont exprimés en Mds de Francs CFA Estimation à partir du modèle Estimation corrigée des variations saisonnières t 9 3,3 3,3/,923=337,3 2 37,8 37,8/,9=35, 2 324,3 324,3/,4=323, 22 33,7 33,7/,63=3, Exercice 2 Pas de corrigé type sauf qu il fallait évoquer le fait que certains pays ne donnaient que des séries brutes alors qu il y a des phénomènes de variations saisonnières : exemple du Sénégal où le 3 ème trimestre est toujours moins bon que le reste de l année. Il fallait aussi évoquer que les comparaisons étaient difficiles à faire compte tenu du fait que les années de base ne sont pas identiques.