Université Denis Diderot 22-23 L3 Mathématiques appliquées Intégration Examen (corrigé) Durée 3 heures Documents, Téléphones et calculatrices non autorisés Exercice Chacune des questions suivantes compte pour 2 points. Traitez celles de votre choix pour un total de 6 points maximum. Les questions de cet exercice sont indépendantes.. Tracer le graphe de la fonction [,] [,]. Par définition on a [,] [,] (x) [,] (x y) [,] (y)dλ (y) [x,x] (y) [,] (y)dλ (y) [x,x] [,] (y)dλ (y) λ ([x,x] [,]) si x < ou x > 2 x si x [,] 2 x si x [,2] 2 3 2 2 3 4 5 2. Soit f n une suite de fonctions mesurables positives qui converge vers f presque partout sur un espace mesuré (X,A,µ), et telle que X f n dµ converge vers. Montrer à l aide du Lemme de Fatou que f p.p. Le Lemme de Fatou appliqué à la suite de fonction f n mesurables positives donne liminf f n (x)dµ(x) liminf f n (x)dµ(x). X X
Or liminff n (x) limf n (x) f(x) µ-presque partout et liminf X f n(x)dµ(x) lim X f n(x)dµ(x), donc on en déduit que f(x)dµ(x) f(x)dµ(x). X D après un Lemme du cours, et parce que f(x), il en découle f µ-p.p. 3. Montrer que toute application croissante de vers est Borelienne. Puisque f est croissante, il est facile de voir que pour tout a l ensemble f ([a,+ [) est un intervalle, donc un Borelien. Puisque les ensemble du type [a, + [ engendrent B(), on en déduit que f est Borel-mesurable. 4. Soit f n : X une suite de fonctions mesurables de l espace mesuré (X,A,µ) vers l espace mesuré (,B(),λ). Montrer que l ensemble {x X; n N, f n (x) } appartient à A. Il suffit d écrire {x X; n N, f n (x) } n N X f n ([,+ [). Or f n étant mesurable pour tout n N, les ensembles f n ([,+ [) sont tous dans A et donc leur intersection (dénombrable) aussi car A est une tribu. 5. Donner un exemple d une suite f n telle que f n p.p, et X f ndµ + Sur[,] munidelamesuredelebesgueon considère lasuitedefonctions continues définie par f n (x) n 3 x [, n ](x)+(2n2 n 3 x) [ n, 2 ](x). n Page 2
n 2 2/n La fonction f n étant supportée sur l intervalle [,2/n] on a bien f n (x) p.p. En outre f n (x)dλ(x) 2n +. [,] 6. Montrer que f g f g f g f(x y)g(y)dy dx f(x y) g(y) dydx ( ) g(y) f(x y) dx dy () ( ) g(y) f(x) dx dy (2) ( )( ) f(x) dx g(y) dy. Pour () nous avons appliqué le Théorème de Fubini-Tonelli (les fonctions f(x y) et g(y) étant mesurables et positives), et pour (2) nous avons appliqué le changement de variable z x y dans l intégrale f(x y) dx, dont le Jacobien (en valeur absolue) vaut. 7. Soit f(x) [,] (x) x. Calculer f L p () pour p < 2, où est muni de la mesure de Lebesgue. Page 3
( f p p ( x ) p dx ) [ p x p 2 + p 2 + ] p ( ) 2 p 2 p 8. Soit f une fonction Lebesgue intégrable sur. Justifier que f(x)cos n (πx)dλ(x). lim n Pour x \ Z on a cos(πx) < d où cos(πx) n. Puisque λ(z) on en déduit que cos(πx) pour λ-presque tout x. D autre part, f étant intégrable, il existe un ensemble N tel que f + sur \ N et λ(n). On en déduit que f(x)cos(πx) pour tout x \(Z N). Autrement dit, on vient de démontrer que f(x)cos(πx) n p.p. sur. Enfin, nous avons la majorante intégrable suivante f(x)cos(πx) n f(x), x. Nous sommes donc en mesure d appliquer le théorème de convergence dominée, qui garantie que lim f(x)cos(πx) n dλ(x). n + Exercice 2 Soit T : {A P(N); n N, 2n A 2n+ A}.. Montrer que T est une tribu sur N. Vérifions les 3 propriétés qui caractérisent les tribus : (a) Il est clair que N T (b) Si A T alors par définition on a 2n A 2n+ A. En raisonnant par double contraposé il vient 2n A c 2n+ A c, d où A c T. (c) Soit (A i ) i N est une suite d ensemble de T et soit n N tel que 2n i N A i. Alors il existe i tel que 2n A i. Et donc 2n + A i i N A i. En raisonnant de la même façon on montre que 2n + i N A i implique 2n i N A i, ce qui prouve que i N A i T. Conclusion : T est bien une tribu. Page 4
2. Soit f : N N la fonction définie par f(x) x+2. Montrer que f est T -mesurable. Soit A T. emarquons premièrement que f est bijective, d inverse f (x) x 2. Montrons que f (A) T. Pour ce faire, on considère un n N tel que 2n f (A). Par définition il existe a A tel que f(2n) a, donc a 2n+2 2(n + ) et donc puisque A T on a forcément 2(n + ) + A. Mais alors f (2(n + ) + ) 2n + f (A). En raisonnant de manière analogue, on démontre que 2n+ f (A) implique 2n f (A), ce qui montre que f est bien mesurable. 3. Soit µ : T + définie par µ(a) : j A2 j si A, et µ( ). Montrer que µ est une mesure. La mesure µ est une mesure à densité de la forme fµ où µ est la mesure de comptage sur (N,P(N)) et f est la fonction intégrable positive f(n) 2 n. Par conséquent d après le cours, µ est une mesure sur (N,P(N)). Mais puisque T P(N), µ est à forciori une mesure sur (N,T ) 4. Montrer que pour tout A T, A, on a µ(a) 2 3 min(a)+. (3) Tout d abord, observons que si A, alors min(a) est forcément un nombre pair (car si min(a) était impair alors par définition de T on aurait min(a) > min(a) A ce qui est absurde). Donc A contient au moins les deux éléments {min(a), min(a) + }. Par suite, µ(a) j A2 j 2 min(a) +2 (min(a)+) 3 2 min(a)+. 5. Pour quels ensembles A T a-t-on égalité dans (3)? On a égalité si et seulement si A est composé de seulement deux éléments, i.e. A est de la forme {2n,2n+}. Page 5
Exercice 3. [6 points] Pour N N fixé et t on pose F N (t) : N e xt sin(x)dx.. A l aide d un théorème du cours sur les intégrales à paramètre, montrer que F N (t) est de classe C sur ],+ [. Soit I ],+ [ ouvert dans. Pour tout t I la fonction x e xt sin(x) est intégrable sur [,N] (car continue sur le compact [,N]). Pour tout x [,N] la fonction t e xt sin(x) est de classe C sur I. On a la majoration suivante t e xt sin(x) xe xt sin(x) x, et x x est bien entendu intégrable sur [,N]. En conclusion, les hypothèse du théorème de dérivation des intégrales à paramètre sont bien remplies (version du théorème vue en TD), ce qui implique que F N (t) C (I). 2. En utilisant une doubleintégration par parties, calculer explicitement F N (t) en fonction de N et t. Une première intégration par partie donne F N (t) N e xt sin(x)dx [ e xt cos(x) ] N t N Une deuxième intégration par parties donne N Il en résulte que e Nt cos(n)+ t e xt cos(x)dx [ e xt sin(x) ] N +t N e Nt sin(n)+tf N (t). N cos(x)e xt dx cos(x)e xt dx. sin(x)e xt dx F N (t) e Nt cos(n) te Nt sin(n) t 2 F N (t), d où F N (t) e Nt cos(n) te Nt sin(n) +t 2. Page 6
3. Calculer + lim N + F N (t)dt. D une part on a D autre part on a la majoration lim F N(t) N + +t 2. F N (t) 2+te t +t 2 C +t 2, car e Nt e t pour N N et te t est bornée sur +. Or +t 2 est bien intégrable sur ],+ [ (par exemple, d après le critère de iemann) donc le théorème de convergence dominée s applique et montre que + lim N + F N (t)dt + +t2dt lim arctan(t) arctan() π T + 2. 4. Montrer que (x,t) e xt sin(x) est intégrable sur [,N] [,+ [ muni de la mesure de Lebesgue λ 2 λ λ. En appliquant le théorème de Fubini-Tonelli à la fonction mesurable positive e xt sin(x) on trouve [,N] [,+ [ car sin(x) x en. e xt sin(x) dλ 2 N N N 5. En déduire, à l aide du Théorème de Fubini, que + ( + sin(x) sin(x) sin(x) x dx π 2. ] + [ e xt x sin(x) dx < + x ) e xt dt dx dx Page 7
La fonction (x,t) e xt sin(x) étant intégrable sur [,N] [,+ [, nous pouvons appliquer le Théorème de Fubini et écrire [,N] [,+ [ d une part, et d autre part [,N] [,+ [ e xt sin(x)dλ 2 e xt sin(x)dλ 2 N N + + ( + ) sin(x) e xt dt dx sin(x) dx (4) x ( N ) sin(x)e xt dt dx F N (x)dx. (5) On conclut donc en utilisant les questions précédentes et en passant à la limite N +. Exercice 4. [3 points] Pour t, on pose I(t) x 2 y 2 +x 2 +t dxdy. [,+ [ Calculer I(t) à l aide du changement de variables x v 2 t, y uv v 2 t. L application ϕ(u,v) ( v 2 t, uv v 2 t ) est un C -difféomorphisme de [ +t,+ [ vers [,+ [ d inverse ϕ xy (x,y) (, x+t). x+t Un calcul montre que Dϕ(u,v) ( v v 2 t v v 2 t ) d où Jϕ v2 v 2 t. La formule de changement de variable s écrit x 2 y 2 +x 2 +t dxdy [,+ [ ϕ ([,+ [ ) f ϕ(u,v) Jϕ(u,v)dudv, Page 8
d où, en appliquant le théorème de Fubini, I(t) [ +t,+ [ v 2 u 2 v 2 +v 2 v 2 t dudv [ +t,+ [ (u 2 +). (v 2 t) dudv (u 2 +) du [ +t,+ [ (v 2 t) dv π 2 t ln +t+ t +t t Page 9