Sommare 1. Presson et température 2. Traval et transfert thermque 3. Des los de Fourer à la thermque 4. Outls conceptuels de la thermodynamque 5. Premer prncpe de la thermodynamque 6. Second prncpe de la thermodynamque 7. Développements formels des deux prncpes 8. Machnes thermques : prncpes et machnes à gaz 9. Transtons de phase des corps purs 10. Machnes thermques : machnes à vapeur 11. Corrgés des exercces 12. Annexes Jean-Luc Godet-Lartgaud est maître de conférences à l unversté d Angers. Membre du laboratore de photonque d Angers (LPhA), l est également chercheur assocé au Centre Franços Vète de l unversté de Nantes. Cours et exercces corrgés Cet ouvrage est une ntroducton à la thermodynamque physque, dte «classque» et à l étude des machnes thermques. Il s adresse prncpalement aux étudants en Lcence et Lcence professonnelle de Scences de la matère, aux élèves des écoles d ngéneurs et aux canddats aux concours de l ensegnement. Des exercces corrgés vennent en appu de chaque chaptre abordé. lcence scences de la matère lcence professonnelle écoles d ngéneurs capes et agrégaton de physque Introducton à la thermodynamque Introducton à la thermodynamque Jean-Luc Godet-Lartgaud Jean-Luc Godet-Lartgaud lcence scences de la matère lcence professonnelle écoles d ngéneurs capes et agrégaton de physque Introducton à la thermodynamque Cours complet Exercces d applcaton Tous les corrgés détallés ISBN 978-2-311-40081-6 www.vuibert.fr 9 782311 400816 IntroThermoDynamque.ndd 1 04/08/15 15:12
Table des matères Introducton v 1 Presson et Température 1 1.1 Introducton : des grandeurs pour scruter l état de la matère..... 1 1.2 La Presson, paramètre mécanque macroscopque............ 1 1.3 La Température, grandeur thermque macroscopque.......... 10 1.4 Exercces sur la presson et la température................ 18 2 Traval et Transfert thermque 21 2.1 Introducton : deux modes de transfert d énerge............ 21 2.2 Le Traval.................................. 22 2.3 Le Transfert thermque........................... 27 2.4 Exercces sur le traval et le transfert thermque............. 38 3 Des los de Fourer à la Thermque 41 3.1 Introducton : observaton emprque et mathématsaton........ 41 3.2 La Lo de Fourer de la conducton thermque.............. 42 3.3 L équaton aux dérvées partelles de la température (EDPT)..... 45 3.4 Résstance thermque et coeffcent de transmsson thermque..... 49 3.5 Applcaton des los de Fourer à la Thermque............. 53 3.6 Exercces de thermque........................... 59 4 Outls conceptuels de la Thermodynamque 63 4.1 Introducton : des outls abstrats pour analyser le concret....... 63 4.2 Une Scence des systèmes......................... 63 4.3 Transformatons d un système....................... 69 4.4 Fonctons et dfférentelles à pluseurs varables............. 74 4.5 Exercces sur les outls de la thermodynamque............. 80 5 Premer prncpe de la Thermodynamque 83 5.1 Introducton : de la convertblté à la conservaton........... 83 5.2 Le Prncpe de conservaton de l énerge................. 85
Table des matères 5.3 Expressons dfférentelles du premer prncpe.............. 89 5.4 Applcaton à l étude de transformatons smples............ 94 5.5 Exercces sur le premer prncpe..................... 97 6 Second prncpe de la thermodynamque 101 6.1 Introducton : La Révoluton carnotste................. 101 6.2 Une foncton mathématque de l rréversblté.............. 103 6.3 (Ir)réversblté des transformatons thermomécanques......... 109 6.4 Calcul de la foncton d état entrope................... 117 6.5 Exercces sur le second prncpe...................... 126 7 Développements formels des deux prncpes 131 7.1 Introducton : la nécessare mathématsaton des prncpes....... 131 7.2 Coeffcents thermques et thermoélastques............... 132 7.3 Potentels thermodynamques....................... 140 7.4 Exercces sur les conséquences des deux prncpes............ 155 8 Machnes thermques : prncpes et machnes à gaz 157 8.1 Introducton : les moteurs, génteurs de la thermodynamque..... 157 8.2 Prncpe des cycles dthermes et cycle de Carnot............ 158 8.3 Cycles des moteurs à gaz à combuston externe et des récepteurs correspondants................................. 164 8.4 Cycles dthermes réels à combuston nterne............... 168 8.5 Exercces sur les cycles moteurs et récepteurs.............. 175 9 Transtons de phase des corps purs 181 9.1 Généraltés sur les transtons de phase.................. 181 9.2 Dagrammes de phases d un corps pur.................. 186 9.3 À l orgne des transtons de phase, les nteractons........... 198 9.4 Exercces sur les transtons de phase................... 203 10 Machnes thermques : machnes à vapeur 205 10.1 Introducton................................. 205 10.2 Moteurs à vapeur.............................. 206 10.3 Cycles réfrgérants et pompes à chaleur................. 210 10.4 Exercces sur les machnes à vapeur.................... 213 11 Corrgés des exercces 217 11.1 Presson et Température.......................... 217 11.2 Traval et transfert thermque....................... 220 11.3 Des los de Fourer à la Thermque.................... 223 11.4 Outls conceptuels de la Thermodynamque............... 226 11.5 Premer prncpe de la Thermodynamque................ 230 11.6 Second prncpe de la Thermodynamque................. 234
Table des matères 11.7 Développements formels des deux prncpes............... 240 11.8 Machnes thermques : prncpes et machnes à gaz........... 242 11.9 Transtons de phase des corps purs.................... 248 11.10 Machnes thermques : machnes à vapeur................ 251 12 Annexes 255 Index 277
Introducton La thermodynamque peut déconcerter celles et ceux qu l abordent pour la premère fos. Il faut d abord reconnaître que le tratement mathématque des problèmes y nécesste une bonne connassance des fonctons à pluseurs varables et de leurs dérvées partelles, des dfférentelles et de leurs procédés d ntégraton. À l nverse, leur méconnassance peut rapdement condure à de graves erreurs, surtout lorsqu elle se combne avec une mauvase nterprétaton des concepts. Or, c est justement dans la compréhenson des concepts que gsent les prncpales dffcultés. À l opposé de la mécanque du pont matérel où le nombre de corps à étuder est très lmté, la thermodynamque est une scence du macroscopque, manpulant de vastes ensembles de molécules, aux frontères parfos arbtrares et mouvantes, sous le nom commode mas abscons de «systèmes». Elle requert donc une analyse complète et crconstancée des systèmes et des relatons qu ls entretennent avec tout ce qu leur est extéreur. C est la premère dffculté à surmonter. Surtout, pour étuder les transformatons de ces systèmes, mécanques et thermques, vore chmques ou électromagnétques, elle a recours à deux concepts qu, s ls ont nvest le vocabulare courant, n en restent pas mons très abstrats : «l énerge» et «l entrope». On peut ressentr les effets de la presson ou de la température qu ntervennent dans l énerge et l entrope, mas ces dernères, quant à elles, n ont ren de sensble. Que la défnton moderne de l énerge et celle de l entrope datent seulement du mleu du xx e sècle sufft à montrer que ces grandeurs physques sont le résultat d un long traval de maturaton chez les scentfques. Aujourd hu pourtant, dans la compréhenson que les humans ont du monde et de son évoluton, l énerge et l entrope jouent un rôle crucal. C est qu elles sont assocées aux deux los fondamentales de la nature. La premère lo, nommée «premer prncpe de la thermodynamque», affrme que, par delà les transformatons que peut subr la nature, «quelque chose» se conserve dans le temps. Ce quelque chose, dont la dmenson physque est le produt d une masse par le carré d une vtesse, sot le produt d une force par une dstance, est ce que Wllam Thomson (1824-1907), Lord Kelvn après 1892, proposa de nommer «énerge». Ce veux mot d orgne grecque, Arstote (384-322) l employat déjà, Gallée (1564-1642) l utlsa à l occason, et d autres mécancens après lu, dans des
v Introducton sens dfférents, quoque vosns. Avec la thermodynamque, l acquert une sgnfcaton physque unverselle et devent même le concept central de toute la physque. Alors que la premère lo est de conservaton, la seconde est d évoluton. Par une coïncdence qu n en est pas tout à fat une, ce second prncpe de la thermodynamque fut mathématsé en 1865 par Rudolf Clausus (1822-1888), une pognée d années après la paruton de De l Orgne des espèces par Charles Darwn et un an avant qu Ernst Haeckel n nvente le mot «écologe». La conscence que le monde est complexe, qu l n est pas mmuable mas évolue de façon parfos rrémédable en foncton des nteractons entre ses composants ft alors rrupton dans toutes les scences de la nature. Cette rrupton, qu permt à la connassance humane de franchr un nouveau seul dans son développement, ne fasat pourtant qu enregster des fats d expérence quotdenne. Car, de façon naturelle et spontanée, la plupart des transformatons naturelles ne se produsent que dans un seul sens : elles sont dtes «rréversbles». Ans la chaleur peut-elle crculer d un corps chaud vers un corps frod mas jamas du frod vers le chaud, du mons de façon spontanée. Ans un gaz occupe-t-l naturellement le plus grand volume possble et ne se concentre-t-l jamas en un pont tout en lassant vde le reste de l espace lbre, du mons sans qu on l y contragne. À l nverse, les transformatons, dtes «réversbles», pouvant se produre dans deux sens opposés sans que cela coûte un traval supplémentare, font fgure d excepton ; souvent, elles dessnent davantage un déal qu une réalté observable ; c est notamment ce que serat la trajectore d un pont matérel s tous les phénomènes dsspatfs assocés aux forces de frottement pouvaent être néglgés. Clausus ncarna dans une foncton mathématque, «l entrope», l ntruson de l rréversblté dans la scence théorque. Au-delà du mot, forgé à partr du grec par Clausus lu-même, c est une lo tendancelle de la nature qu est ans détermnée. Tel système, soums à telles condtons, a tendance à évoluer vers tel état d équlbre, à se conformer de telle manère ; c est la lo d évoluton de l entrope qu le dt. Cela ne sgnfe d alleurs pas qu l attendra l état d équlbre attendu s l n est pas solé du reste de l unvers, ce monde extéreur pouvant éventuellement contrarer la tendance naturelle du système à évoluer. L entrope donne avant tout un sens au temps qu passe, à la fos une drecton et une sgnfcaton. L entrope est la «flèche du temps». S l on en état resté à ce stade de défnton macroscopque, l entrope et même l énerge n auraent pas dépassé celu d outls mathématques transposant le seul constat de fats naturels. Cependant, dès 1872, Ludwg Boltzmann (1844-1906) put explquer le second prncpe pour un gaz théorque, le gaz parfat, à partr de la théore cnétque de ce gaz. Celle-c repose à la fos sur les los d Isaac Newton (1642-1727) applquées à ses molécules et sur les outls statstques, en partculer sur la noton de valeur moyenne. Boltzmann établt en outre une équaton qu lu permt de démontrer que l évoluton de l entrope posée par le second prncpe tradut la tendance du gaz à se réfuger dans son état le plus probable, celu du désordre maxmal. S son traval s attacha essentellement au modèle très smplfé d un gaz, l a évdemment acqus
Introducton v une portée ben plus générale. Contesté au départ, l s est vu d une certane façon confrmé à la fn du xx e sècle par les travaux sur le chaos moléculare. L orgne des concepts macroscopques peut donc être cherchée à l échelle mcroscopque, en combnant les outls de la mécanque, classque ou encore meux, quantque, et ceux des mathématques statstques. De conserve avec la thermodynamque, la physque statstque est aujourd hu requse dans toute la physque du solde et des fludes. De surcroît, l exste aujourd hu des outls ben plus développés que ceux fourns par la scence du xx e sècle. La thermodynamque «classque» de Thomson et Clausus est celle des états d équlbre, fondée sur l exstence d états d équlbre ntal et fnal pour le système étudé. Les deux prncpes permettent en effet de détermner l état fnal à partr de la connassance de l état ntal et des transferts d énerge qu se sont produts au cours de la transformaton. Cependant, ls ne dsent ren de la dynamque de celle-c et, pour beaucoup de systèmes physques complexes, l équlbre n est en réalté jamas attent. Il faut dans ces cas complexes, comme la météorologe ou la physque de l atmosphère et plus largement de la bosphère s appuyer sur la physque des phénomènes de transport et avor recours à une thermodynamque des états hors d équlbre où chaque système est composé de multples sous-systèmes échangeant de l énerge. Pourtant, en dépt d un contenu théorque et mathématque qu ne cesse de se complexfer, la thermodynamque a de nombreuses applcatons pratques smples. Hstorquement, elle est née avec la premère révoluton ndustrelle et ses «machnes thermques». Ben comprendre le fonctonnement des machnes à vapeur ou à gaz afn de pouvor les amélorer fut le mot d ordre de beaucoup d ngéneurs du xx e sècle. Celu qu est aujourd hu consdéré comme le fondateur de la thermodynamque, Sad Carnot (1796-1832), état lu-même un jeune ngéneur, ancen élève de Polytechnque. Fls du grand mathématcen et acteur poltque Lazare Carnot (1753-1823), l avat été élevé à bonne école. Mas ses Réflexons sur la pussance motrce du feu de 1824, qu contennent un premer énoncé, hstorque, du second prncpe et détermnent le rendement optmal d une machne thermque cyclque, se voulaent à destnaton des ngéneurs souvent autoddactes de son époque. Elles comportaent très peu de formules mathématques, ce qu en lmta paradoxalement la dffuson dans les mleux scentfques. Il fallut attendre les années postéreures à 1834 et à leur transposton sous forme plus mathématque par un autre polytechncen, Émle Clapeyron (1799-1864), pour que ceux qu allaent porter la thermodynamque sur les fonts baptsmaux, Thomson (qu lu donna son nom) et Clausus en partculer, pussent en prendre connassance et assmler son contenu révolutonnare. Dans l ntervalle, les Réflexons avaent déjà nfluencé mants ngéneurs concepteurs de machnes thermques. À la fn du xx e sècle, un Rudolf Desel (1858-1913) cherchat encore à réalser une machne dont le rendement attendrat celu de Carnot. S l échoua à réalser un cycle de Carnot, du mons réusst-l à concevor un moteur proms à un long avenr.
v Introducton Les machnes thermques sont donc un chaptre pratque mportant de la thermodynamque. Ce que l on nomme la «thermque» en est un autre. Aujourd hu, la dsspaton des énerges lbres fossles de la planète entraîne à la fos un épusement de ces ressources naturelles et, à cause de la lbératon dans l atmosphère de doxyde de carbone et de méthane qu l accompagne, un réchauffement clmatque rapde aux effets potentellement dévastateurs. Plus encore que pour le développement des énerges renouvelables, la thermodynamque dot être sollctée pour l solaton thermque ou l accumulaton de «chaud» ou de «frod» afn de rédure la consommaton d énerges utlsables à des fns de chauffage ou réfrgératon (ce qu ne résout pas tout, et notamment pas le chox qu a été fat d un développement sans fren des moyens de transport, grands consommateurs d énerges carbonées). Les travaux d un des précurseurs de la thermodynamque, Jean-Baptste Joseph Fourer (1768-1830), sont à cet égard préceux. En effet, la «lo de Fourer» et l équaton aux dérvées partelles de la température que ce mathématcen nomma «équaton de la chaleur» peuvent être déclnées sous forme de recettes smplfées ou de logcels asément utlsables par les pratcens de la thermque. Dans cet ouvrage, ssu des notes de cours donnés à des nveaux unverstares varés (années de lcence, lcence professonnelle, préparatons de concours d ensegnement) à l Unversté d Angers, nourr par d autres ouvrages et auss une réflexon personnelle en hstore des scences, les concepts fondamentaux et la logque globale de la thermodynamque physque sont abordés par détermnatons successves. Chacune de ces détermnatons est appuyée sur des exercces et, autant que possble, par des exemples d applcaton pratque. Cependant, s la théore cnétque des gaz parfats est abordée à pluseurs reprses, l ouvrage porte essentellement sur la thermodynamque macroscopque des états d équlbre et la thermque. La thermodynamque «classque» étudée c présente par elle-même suffsamment de dffcultés pour qu l falle lasser à d autres ouvrages le son d ouvrr la voe vers la physque statstque, la thermochme ou la thermodynamque des états hors d équlbre.
CHAPITRE 1 Presson et Température 1.1 Introducton : des grandeurs pour scruter l état de la matère Pour décrre un système thermodynamque, deux grandeurs physques macroscopques sont ndspensables : la presson et la température. La premère, que l on note habtuellement p ou P, est un paramètre mécanque. La seconde est un paramètre thermque et est notée T ou t selon que l on consdère la température thermodynamque (ou absolue) ou la température d usage quotden (en degrés Celsus ou Fahrenhet). Leur apparton remonte à la Renassance, au xv e sècle, alors que la physque devent une scence quanttatve, reposant sur des mesures et non plus sur des approches qualtatves ou métaphysques. Elle est étrotement assocée à deux nstruments nventés à cette époque, le baromètre et le thermomètre. L étymologe grecque du nom de ces deux nstruments donne des ndcatons sur leur contexte expérmental ntal : en grec ancen, báros sgnfe pesanteur, thermos, chaleur et metron, mesure. Les travaux d Evangelsta Torrcell (1608-1647) et de Blase Pascal (1623-1662) portaent en effet sur les pressons atmosphérque et hydrostatque lées à la gravtaton terrestre. Les nombreux nventeurs de thermomètres voulaent «mesurer les degrés de chaleur ou de frodure qu sont en l ar» selon l expresson de Jean Leurechon qu forgea le mot thermomètre en 1624 ou dans le corps human. Quant aux termes de presson et de température, ls ne sont que les transpostons latnes de ces notons de pesanteur (presso) et de «degré de chaleur» (temperatura). 1.2 La Presson, paramètre mécanque macroscopque 1.2.1 Défnton générale En mécanque classque, la force est un vecteur F qu s applque en un pont. Cependant, la noton de pont est une abstracton mathématque. Cette abstracton reste pertnente pour le pods d un corps ; tout se passe comme s ce pods s applquat en son centre de gravté. Elle l est beaucoup mons lorsque la force est de contact. La force est alors applquée à la surface du corps et son effet, la presson p, est plus
IntroThermo 2015/8/13 15:34 page 2 #10 2 Chaptre 1. Presson et Température ou mons grand selon que cette force est plus ou mons normale à cette surface. En partculer, une force parallèle à une surface n exerce aucune presson sur celle-c. Consdérons un élément de surface d un corps quelconque. S, à défaut d être ponctuelle, cette are est nfnment pette, elle est assmlable à un vecteur dfférentel ~ = ~n da, où da est le module de cet élément et ~n est un vecteur untare (sans da dmenson) qu lu est perpendculare. Fgure 1.1. Élément de surface de module da et de vecteur normal untare ~ n. ~ est La presson p due à la force df~ applquée à la surface quas ponctuelle da donnée par l équaton (1.1), où θ est l angle que fat la force avec la normale à la surface. La presson est donc le module df /da de la composante normale à la surface ( ) de la force surfacque df~ /da. p= df~ df ~n = cos θ da da (1.1) Il mporte de soulgner que la presson est un paramètre de contrante extéreure au corps auquel elle s applque. Elle n est pas lée à la quantté de matère contenue dans ce corps. C est un paramètre ntensf à la dfférence des paramètres dts extensfs, proportonnels comme le volume à la quantté de matère (s on réunt deux systèmes dentques, un paramètre extensf double, alors qu un paramètre ntensf reste nchangé). Dans le système nternatonal d untés (SI), l unté de mesure de la force est le newton (N) tands que l élément de surface y est exprmé en mètres carrés (m2 ). On en dérve drectement l unté de mesure de la presson, le pascal (Pa), dont le nom a été chos en l honneur de Pascal et de ses travaux sur l hydrostatque et la presson atmosphérque. 1 Pa = 1 N m 2 (1.2) Un pascal correspond à une presson très fable mas c est l unté cohérente dans le SI. En météorologe, on utlse plutôt les hectopascals (hpa) : 1 hpa = 100 Pa.
1.2 La Presson, paramètre mécanque macroscopque 3 D autres untés de presson sont utlsées ou le furent dans le passé, qu ne sont pas des untés SI ou dérvées du SI : l atmosphère, le bar (de même étymologe que baromètre) et le torr (en hommage à Torrcell) sont les plus connues. Une atmosphère (1 atm) vaut 1, 01325 10 5 Pa (valeur standard). Un bar (1 bar) vaut 10 5 Pa ; mllbar (mbar) est synonyme d hectopascal. Un torr (1 Torr) correspond à une élévaton d un mllmètre de mercure dans un baromètre à mercure ; 1 Torr = 133, 322 Pa. Vor l exercce 1.1. 1.2.2 La presson atmosphérque La gravtaton est une force qu s exerce sur toutes les partcules. Elle permet d explquer la formaton dans l unvers d amas gazeux, pus d étoles et de planètes. Sur Terre, elle défnt le concept de vertcalté. Tout corps ressent par contact le pods de la matère qu se stue «au-dessus» de lu. Ans, la presson atmosphérque est-elle un effet du pods de l atmosphère stuée au dessus du pont consdéré. Le module de la presson atmosphérque p 0 s exerçant sur une surface «horzontale» correspond au pods de l ar stué dans le cylndre «vertcal» ayant pour base la surface consdérée. Au nveau des océans à la lattude de Pars, elle a en moyenne la valeur d une atmosphère standard. p 0 = 1 atm = 1, 0132510 5 Pa = 1013, 25 hpa Plus un corps s élève, plus cette presson décroît car, au dessus de lu, la hauteur de l atmosphère (et donc son pods) dmnue. C est ce qu observa Florn Pérer en 1648. Suvant les nstructons de son beau frère Blase Pascal, l mesura sur son baromètre de Torrcell que la presson dmnuat au fur et à mesure qu l gravssat les pentes du Puy de Dôme. De cette expérence crucale, Pascal put dédure l exstence du vde, nécessarement sans pods, par delà l atmosphère. 1 Une expérence smlare peut être fate en descendant jusqu aux rvages de la mer morte, stués à plus de 400 m au dessous du nveau des océans. Néanmons, dans ce cas, la presson augmente. Dans la troposphère (jusqu à une dzane de klomètres d alttude) la presson atmosphérque est approxmatvement donnée par une formule analytque sem-emprque, la formule nternatonale du nvellement barométrque, ( p(z) = p 0 1 z ) x, (1.3) H où H = 44331 m, z est l alttude (en mètres) et x = 5, 255. Vor l exercce 1.2. 1 Cf. Pascal, Réct de la grande expérence de l équlbre des lqueurs, Pars, Charles Savreux, 1648.
4 Chaptre 1. Presson et Température 1.2.3 Le Chaos moléculare En réalté, la presson atmosphérque ne s applque pas unquement suvant la vertcale et vers le centre de la Terre (orentaton des forces de gravtaton). Tout corps plongé dans l ar subt des forces pressantes normales en tout pont à sa surface. La gravtaton est donc responsable du module de la presson (qu est une foncton de la hauteur d ar au dessus du corps), mas pas de l orentaton des forces pressantes. Fgure 1.2. Corps plongé dans un flude et soums à des forces pressantes normales à sa surface. L explcaton physque de ce phénomène dot être recherchée au nveau mcroscopque. C est Danel Bernoull (1700-1782) qu, en 1738 dans son ouvrage Hydrodynamca, posa les fondements de ce qu est connu aujourd hu comme la théore cnétque des gaz. Dans un flude, et plus partculèrement dans un gaz (le mot est dérvé du grec chaos), les molécules sont anmées de mouvements désordonnés. Elles «rebondssent» les unes sur les autres. Dans le cas d un gaz, où les énerges d nteracton moléculare sont fables relatvement aux énerges cnétques, les molécules ont tendance à s élogner les unes des autres, à la manère des boules de bllard après qu on les a choquées. La gravtaton contrare cette tendance qu ont les gaz à occuper le plus grand volume possble ; en attrant les molécules vers le centre de la Terre, elle les confne dans un volume fn. La dstance moyenne entre les molécules d un gaz confné à une presson donnée reste constante, ans que la densté de molécules (c est-à-dre le rapport N/V du nombre N de molécules du gaz au volume V qu elles occupent). En état d mpesanteur, un tel effet n est possble que s on enferme le gaz dans un volume clos. Lorsqu un corps est plongé dans un gaz, les molécules peuvent «rebondr» sur ses paros. Il en résulte une presson dont on conçot qu elle va être foncton de la densté locale du gaz ; plus grand est le nombre de molécules qu vennent frapper la paro, plus grande va être la presson du gaz. S le volume du corps en contact avec le gaz reste constant, c est que la presson à la surface de ce corps équlbre celle du gaz ; s l dmnue ou augmente, c est que cette presson de surface est nféreure ou supéreure à la presson du gaz.
IntroThermo 2015/8/13 15:34 page 5 #13 1.2 La Presson, paramètre mécanque macroscopque 1.2.4 5 Presson d un gaz parfat monoatomque Afn de pouvor analyser de façon relatvement smple les rebonds des molécules sur la paro d un corps lqude ou solde plongé dans un gaz, l est pratque d utlser le modèle du gaz parfat. Les molécules du gaz parfat sont supposées ne pas nteragr entre elles à dstance. Ce gaz déal est une approxmaton rasonnable d un gaz réel s celu-c n est pas trop dense. Les molécules sont alors, en moyenne, très élognées les unes des autres et leurs énerges d nteracton à dstance néglgeables devant leurs énerges cnétques. Les molécules d un gaz parfat monoatomque sont assmlables à de mnuscules sphères dures qu rebondraent de façon élastque lorsqu elles s entrechoquent ou vennent heurter la surface d un corps. Sur une paro, la réflexon de ces molécules est spéculare (comme un rayon lumneux sur un mror, ou une boule de bllard sur un bord de table). La conservaton de la quantté de mouvement globale du système «corps + molécule» mpose alors que la paro reçove à chaque choc une mpulson dans une drecton qu lu sot perpendculare. Fgure 1.3. Rebond élastque d une molécule sur une paro rgde. Dans les conventons de notaton de la Fgure 1.3, cette mpulson est égale à 2mvx~ex, où m est la masse de la molécule, vx la composante de sa vtesse suvant l axe des x perpendculare à la paro, et ~ex le vecteur untare de cet axe. La quantté de mouvement totale communquée par les molécules () de masse m venant heurter la surface pendant une unté de temps δt correspond à la force exercée par les molécules sur cette surface (le rapport d une mpulson à un temps étant une force). F~ = X 2mvx() t ~ex (1.4) Le nombre de molécules () venant heurter la paro étant en relaton drecte avec la densté de molécules, le rapport du nombre de molécules N au volume V qu elles occupent, on conçot que cette modélsaton de chaos moléculare permet à la fos de reler le module de la force surfacque (et donc de la presson) à la gravtaton (plus
6 Chaptre 1. Presson et Température la hauteur de flude au-dessus de la surface est grande, plus grande est la densté du flude) et d explquer pourquo les forces pressantes s applquent perpendcularement à la surface d un corps plongé dans un gaz. Le calcul de théore cnétque du gaz parfat monoatomque détallé en annexe A permet en outre de montrer que la presson de ce gaz est drectement proportonnelle à la valeur moyenne u 2 du carré v 2 de la vtesse d un atome quelconque. p = 1 N 3 V mu2 (1.5) Ce résultat établt un len drect entre la presson du gaz parfat monoatomque, sa densté (N/V ) et l énerge cnétque moyenne (E c = 1 2 mu2 ) d un atome de ce gaz. p = 2 N 3 V E c (1.6) Ben sûr, ce résultat est plus complqué dans le cas d un gaz réel, où les molécules nteragssent à dstance, quand ben même les énerges d nteracton restent généralement fables devant les énerges cnétques des molécules gazeuses. Cependant, l permet d ores et déjà de comprendre que la presson est un effet d essence mécanque du chaos moléculare. Vor l exercce 1.3. 1.2.5 Presson hydrostatque Les forces pressantes qu agssent sur les paros d un corps solde plongé dans un lqude résultent à la fos des énerges cnétques et d nteracton des molécules du lqude. Leur analyse mcroscopque est donc assez complexe. Cependant, à l échelle macroscopque, le calcul de la presson est beaucoup plus smple que dans le cas d un gaz. En effet, en comparason des gaz, les lqudes, comme les soldes, sont très peu compressbles : leurs volumes varent relatvement peu lorsque leur presson augmente ou dmnue. Par conséquent, à la dfférence notable des gaz, leurs masses volumques restent sensblement constantes avec la presson. Dans le cas déal d un lqude ncompressble, dont le volume resterat strctement constant quelle que sot la presson, la presson en un pont serat drectement foncton de la hauteur du lqude stué au dessus de ce pont. 2 À une profondeur h, la presson serat due à la fos à la presson atmosphérque au-dessus du lqude et au pods de lqude stué au-dessus, ans que l llustre la Fgure 1.4. 2 Cf. Pascal et son Traté de l équlbre des lqueurs (éd. posthume, Pars, Desprez, 1663) : «les lqueurs pèsent suvant leur hauteur».
Sommare 1. Presson et température 2. Traval et transfert thermque 3. Des los de Fourer à la thermque 4. Outls conceptuels de la thermodynamque 5. Premer prncpe de la thermodynamque 6. Second prncpe de la thermodynamque 7. Développements formels des deux prncpes 8. Machnes thermques : prncpes et machnes à gaz 9. Transtons de phase des corps purs 10. Machnes thermques : machnes à vapeur 11. Corrgés des exercces 12. Annexes Jean-Luc Godet-Lartgaud est maître de conférences à l unversté d Angers. Membre du laboratore de photonque d Angers (LPhA), l est également chercheur assocé au Centre Franços Vète de l unversté de Nantes. Cours et exercces corrgés Cet ouvrage est une ntroducton à la thermodynamque physque, dte «classque» et à l étude des machnes thermques. Il s adresse prncpalement aux étudants en Lcence et Lcence professonnelle de Scences de la matère, aux élèves des écoles d ngéneurs et aux canddats aux concours de l ensegnement. Des exercces corrgés vennent en appu de chaque chaptre abordé. lcence scences de la matère lcence professonnelle écoles d ngéneurs capes et agrégaton de physque Introducton à la thermodynamque Introducton à la thermodynamque Jean-Luc Godet-Lartgaud Jean-Luc Godet-Lartgaud lcence scences de la matère lcence professonnelle écoles d ngéneurs capes et agrégaton de physque Introducton à la thermodynamque Cours complet Exercces d applcaton Tous les corrgés détallés ISBN 978-2-311-40081-6 www.vuibert.fr 9 782311 400816 IntroThermoDynamque.ndd 1 04/08/15 15:12