Cours et eercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyrfreefr FONCTIONS COMPOSEES EXERCICES CORRIGES Eercice n On considère les fonctions suivantes : f :, f : et : 4 g Donner l ensemble de définition et l'epression des fonctions composées suivantes : ) g f ) f g 3) g f 4) f g 5) f f Déterminer deu fonctions u et v telles que f v u ) f 3 ) f g f ( ) f 3) f 3 4) f sin 3 Ecrire g comme composée de trois fonctions : g 3 Eercice n Ecrire les epressions correspondant au montages suivants, c est-à-dire le résultat obtenu en entrant dans le montage ) 7 7 (² ) 3 ) 3) 3 5 () 4) Eercice n 3 Soit f la fonction définie sur ] ;3] par 3 ] ;3] ) Montrer que pour tout ;, ( f g) ) Montrer que pour tout, ( g f) 3) Est-ce que, dans cet eemple, g f f g? f et g la fonction définie sur ; par g 4 Eercice n 4 Soit f et g deu fonctions définies sur par f 3 5 et g ) Démontrez que pour tout réel, on a g < ) Démontrez que la fonction g f est bornée sur (c est-à-dire qu il eiste un minorant m et un majorant M tels que pour tout réel, on ait, m ( g f)( ) M 3) Démontrez que pour tout, on a ( f g) < Eercice n 5 Deu fonctions f et g définies sur l intervalle [-4, 6] sont représentées ci-contre Etudier le sens de variation de g f Eercice n 6 On considère les fonctions suivantes : ) Soit I ] ;0] Déterminer f : 4 et g: 4 f I ) Soit J [ 5; [ Déterminer g ( J ) Eercice n 7 Déterminer deu fonctions f et g telles que h soit la composée de f suivie de g, puis étudier le sens de variation de h ) h ( 4) ) h ( 5 ) 3) h 7 4) h 4 Eercice n 8 Soit f en n Eprimer ( f f f f) en fonction de et de n Page /5
Cours et eercices de mathématiques CORRECTION Eercice n ) Puisque f et g sont définies sur, il est sûr que g f sera définie sur, et pour tout, g f g f g 4 ) Puisque f et g sont définies sur, il est sûr que f g sera définie sur, et pour tout, f g f g f 4 4) ( On constate qu en général g f f g 3) 0; g g M CUAZ, http://mathscyrfreefr f est définie sur et est définie sur, donc f sera définie sur [ 0; [, et pour tout [ 0; [ g f g f g 4 4) f est définie sur [ 0; [ et g est définie sur f g g ( ) [ 0; [ (pour que le calcul de f( g( )) soit possible) Or g [ 0; [ g 0 4 0 4 [ 4; [ Donc f g est définie sur [ 4; [, et pour tout [ 4; [, ( ) Encore une fois, on constate g f f g, sera donc définie pour toutes les valeurs de pour lesquelles f g f g f 4 4 le sera aussi, et pour tout, 5) Puisque f est définie sur, 4 f f f f f f f 6) Puisque f est définie sur [0; [, et puisque f et g sont définies sur, le calcul de f g f ne sera possible que si [0; [, et pour tout [ 0; [, ( ) f g f f g f f g f 4 4 La décomposition de f à l aide de deu fonctions u et v peut, en général, être effectuée de plusieurs manières ( ) ) Pour f 3, on peut poser u 3 et ) Pour f 3) Pour f 3, on peut poser u et v v, on peut poser u 3 et v, mais on peut aussi poser u 3 et v 4) Pour f sin 3, on peut poser 3 π u v sin On peut écrire, par eemple, g w v u, avec u et v sin 3, v et, mais on peut aussi poser u 3 et Eercice n Ecrire les epressions correspondant au montages suivants, c est-à-dire le résultat obtenu en entrant dans le montage Montage n : 7 7 7 7 Montage n : 7 7 4 w Montage n 3 : () ² 3 3 5 () 3 Montage n 4 : 3 3 3 5 3 5 Page /5
Cours et eercices de mathématiques Eercice n 3 Soit f la fonction définie sur ] ;3] par 3 ) Pour tout ;, f et g la fonction définie sur ( ) [ ; [ 0 ] ] M CUAZ, http://mathscyrfreefr ; par g 4 ( f g) f g 3 g 3 4 4 4 Mais puisque, donc ) Pour tout ;3, ( ) ( g f) g f f 4f 3 4 3 4 4 3 3 8 4 3 4 4 3 3 8 4 3 4 3 8, et ainsi ( f g) 3) Puisque les deu ensembles de définitions de g f et f g son différents, on ne peut pas conclure que g f f g En revanche, pour tout ;3, [ ] g f f g( ) Eercice n 4 Soit f et g deu fonctions définies sur par f 3 5 et g ) Pour tout, >0, donc, et < < ) Pour tout réel, f, donc d après la question ), on aura, donc g< f <, c est-à-dire ( g f) < f 3) Pour tout réel, g < Puisque f est strictement croissante sur, on peut donc écrire que pour tout réel, ( ) ( ) < f, c est-à-dire ( f g) f f g < Eercice n 5 Sur le graphique, on «lit» que f est strictement croissante sur [ 4; ], strictement décroissante sur [ ;] et enfin strictement croissante sur [ ;6] Enfin, on lit que g est strictement croissante sur [ 4;4] et strictement décroissante sur [ 4;6] Sur l intervalle [ 4; ], f est strictement croissante, et pour tout [ 4; ], [;4 f sera donc strictement croissante sur [ 4; ] ], f est strictement décroissante, et pour tout [ ;], [ ;4] f sera donc strictement décroissante sur [ ;] ;4 ], f est strictement croissante, et pour tout [ ;4], [ ;0] f sera donc strictement croissante sur [ ;4 ] 4;6 ], f est strictement croissante, et pour tout [ 4;6], [ 0;4] f sera donc strictement croissante sur [ 4;6 ] strictement croissante La composée g Sur l intervalle [ ; strictement croissante La composée g Sur l intervalle [ strictement croissante La composée g Sur l intervalle [ strictement croissante La composée g Eercice n 6 ) Soit I ] ;0], alors 0 0 4 4, c est-à-dire [ 4; [ f I ) Soit J [5; [, alors 5 4, c est-à-dire [ 4; [ f ], intervalle sur lequel g est f, intervalle sur lequel g est f, intervalle sur lequel g est f, intervalle sur lequel g est f On conclut donc que g( ) ] ;] On conclut donc que g( J ) ] ;] Page 3/5
Cours et eercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyrfreefr Eercice n 7 ) On décompose h g f avec f 4 qui est strictement croissante sur et g qui est strictement décroissante sur Puisque g s applique à ; ] ;0] et strictement croissante sur [ 0; [ f 4, il faut distinguer les deu cas f 0 et f 0 - Sur ] ], f est strictement croissante, et pour tout ] ; ], f 4 0 intervalle sur lequel g est strictement décroissante Par composition, on conclut que ] ; ] - Sur [ ; [, f est strictement croissante, et pour tout [ ; [ Page 4/5, c est-à-dire ] ;0] g f, f 4 0 intervalle sur lequel g est strictement croissante Par composition, on conclut que [ ; [ ) On décompose h g f avec strictement décroissante sur ] ;0] f, est strictement décroissante sur, c est-à-dire [ 0; [ g f f 5 qui est strictement décroissante sur et et strictement croissante sur [ 0; [ f, est strictement croissante sur g qui est Puisque g s applique à f 5, il faut distinguer les deu cas f 0 et f 0 5 - Sur ;, f est strictement décroissante, et pour tout 5 ;, f 5 0, c est-à-dire f 0; [, intervalle sur lequel g est strictement croissante Par composition, on conclut que g f est strictement [ 5 décroissante sur ; 5 - Sur ; 5, f est strictement décroissante, et pour tout ;, f 5 0, c est-à-dire f ;0, intervalle sur lequel g est strictement décroissante Par composition, on conclut que g f est ] ] strictement croissante sur 5 ; 3) On décompose h g f avec f qui est strictement décroissante sur ] ;0] 0; et g 7 qui est strictement décroissante sur et strictement croissante sur - Sur ] ;0], f est strictement décroissante, et pour tout ] ;0], f ] ; [ sur lequel g est strictement décroissante Par composition, on conclut que g f est strictement croissante sur ] ;0] - Sur [ 0; [, f est strictement croissante, et pour tout [ 0; [, f ] ; [ sur lequel g est strictement décroissante Par composition, on conclut que g f est strictementdé croissante sur 4) On décompose h g f avec f 4 qui est strictement croissante sur, et décroissante sur ] ;0[ et ] 0; [ (c est une évidence!), intervalle (c est une évidence!), intervalle - Sur ] ; 4[, f est strictement croissante, et pour tout ] ; 4[, f ] ;0[ strictement décroissante Par composition, on conclut que g f est strictement décroissante sur ] ; 4[ - Sur ] 4; [, f est strictement croissante, et pour tout ] 4; [, f ] 0; [ strictement décroissante Par composition, on conclut que g f est strictement décroissante sur ] 4; [ g 0; qui est strictement, intervalle sur lequel g est, intervalle sur lequel g est
Cours et eercices de mathématiques Eercice n 8 Soit f en n Eprimer ( f f f f) en fonction de et de n Pour, on commence par calculer f f f f puis f f f f f f f f f ( f f ) ( f f ) 3 3 3 On conjecture ainsi que pour tout n et pour tout, on a ( f f f f) n n Démontrons cette propriété par récurrence sur n Notons, pour, P n la propriété «pour tout n Initalisation : La propriété P () est vraie par définition Hérédité : On suppose la propriété P n vraie pour un certain entier n, ( f f f f)» n n Alors, ( f f f f) ( f f f f) f ( f f f f) ( f f f f) n fois f n fois f D après l hypothèse de récurrence, ( f f f f) n n fois f n n n n n ( n ) n ( n ) n n n n Cette dernière égalité est la propriété P n Ainsi P( n ) P n, ce qui achève la phase d hérédite, et la démonstration par récurrence M CUAZ, http://mathscyrfreefr Page 5/5