5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques 5.1 Introduction Un des roblèmes essentiels du rayonnement électromagnétique est l étude des hénomènes qui surviennent lorsque une onde EM rencontre dans son chemin des milieux matériels différents. L injection d un rayon laser dans une fibre otique, le assage d un signal télécom à travers d un bâtiment ou même le rayonnement solaire sur la eau en sont des exemles courants. Intuitivement, on imagine facilement que lorsqu une onde EM frae la surface de séaration entre deux milieux, une artie rebondit sur l interface et est réfléchie dans le remier milieu, tandis qu une autre artie réussit à traverser l interface et est transmise dans le deuxième milieu. L étude des roriétés de ces deux ondes réfléchie et transmise est le sujet de ce chaitre. 5.2 Position du roblème : hyothèses de déart On considère une interface late entre deux milieux semi-infinis : Plan d incidence x milieu #1 " 1, μ 1 in 01 r Interface 01 t y z milieu #2 " 2, μ 2 FIG. 5.1: Réflexion et transmission d une onde lane : interface entre deux milieux et lan d incidence. On fait corresondre cette interface au lan xy (z =0). Le milieu #1 ou se trouvent l onde Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003 45

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques incidente et l onde réfléchie est alors le demi-esace z<0 et le milieu #2, siège de l onde transmise, est le demi-esace z>0. Pour simlifier l étude mathématique, on suose les deux milieux sans ertes, avec ermittivités " i et erméabilités μ i (i =1; 2) réelles et conductivités nulles. On admette aussi que les trois ondes incidente, réfléchie et transmise sont caractérisées ar des exosants de roagation urement imaginaires. On eut écrire les exressions générales : E in (r) =E 0in ex( jfi in r); fi in E 0in =0; jfi in j = fi 1 (5.2.1) E r (r) =E 0r ex( jfi r r); fi r E 0r =0; jfi r j = fi 1 (5.2.2) E t (r) =E 0t ex( jfi t r); fi t E 0t =0; jfi t j = fi 2 (5.2.3) Egalement, les chams magnétiques associés à chaque onde sont donnés ar : H in (r) = fi in E in (r)!μ 1 (5.2.4) H r (r) = fi r E r (r)!μ 1 (5.2.5) H t (r) = fi t E t (r)!μ 2 (5.2.6) 5.3 Continuité des chams Les équations de l électromagnétisme imosent la continuité des comosantes tangentielles des chams. Ici (voir FIGURE 5.1), les directions tangentielles sont données ar les vecteurs e x et e y. Dans le milieu #1 les chams sont dus aux ondes incidente et réfléchie. Dans le milieu #2 il n y a que l onde transmise. Donc dans un oint générique de l interface r =(x; y; 0) on doit avoir les conditions : E inx (x; y; 0) + E rx (x; y; 0) = E tx (x; y; 0) (5.3.1) E iny (x; y; 0) + E ry (x; y; 0) = E ty (x; y; 0) (5.3.2) H inx (x; y; 0) + H rx (x; y; 0) = H tx (x; y; 0) (5.3.3) H iny (x; y; 0) + H ry (x; y; 0) = H ty (x; y; 0) (5.3.4) Ces conditions de continuité ermettent d obtenir les ondes réfléchie et transmise à artir de la connaissance de l onde incidente. 5.4 L onde incidente La direction de roagation de l onde incidente est celle du vecteur fi in. Le lan, formé ar fi in et ar le vecteur e z normal à l interface, est aelé lan d incidence. On choisit les axes de façon à le faire coïncider avec le lan yz (x =0)(voir FIGURE 5.1). Alors, en général, on aura : fi in = fi iny e y + fi inz e z =(0;fi iny ;fi inz ) (5.4.1) 46 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

5.5 Angles de réflexion et de transmission : loi de Snell Remarque sur l incidence normale : L angle entre fi in et le vecteur e z normal à l interface est l angle d incidence in (voir FIGURE 5.1). Le cas in =0corresond à l incidence normale. Dans cette situation, le lan d incidence n est as défini car les vecteurs fi in et e z sont colinéaires. En termes de l angle d incidence on eut écrire l exosant de roagation de l onde incidente comme (voir FIGURE 5.1) : fi in = fi 1 (0; sin in ; cos in ) (5.4.2) où la norme du vecteur déend de la fréquence et du milieu, mais elle est indéendante de l angle : fi 1 =! μ 1 " 1 (5.4.3) 5.5 Angles de réflexion et de transmission : loi de Snell La continuité des comosantes tangentielles des chams dans l interface eut seulement être obtenue si les comosantes tangentielles des vecteurs fi in, fi r et fi t sont identiques des deux côtés de l interface. Une remière conséquence est que les vecteurs fi r et fi t n ont as de comosante x si les axes ont été choisis de façon que fi in n ait as de comosante x. En d autres mots, les vecteurs fi r et fi t sont aussi dans le lan d incidence. On eut alors écrire (voir FIGURE 5.2 et 5.3) : fi r = fi 1 (0; sin r ; cos r ); fi t = fi 2 (0; sin t ; cos t ) (5.5.1) Alors l identité des comosantes selon y donne les relations suivantes : sin in = sin r ; fi 2 sin t = fi 1 sin in (5.5.2) La remière relation montre l égalité entre les angles de réflexion et d incidence. La seconde relation est la loi de Snell-Descartes donnant l angle de transmission : t = arcsin fi1 fi 2 sin in = arcsin 1 n sin in (5.5.3) Le raort n := fi 2 =fi 1 = μ2 " 2 =(μ 1 " 1 ) est aelé en hysique indice de réfraction du milieu #2 ar raort au milieu #1. 5.6 Réflexion totale (transmission nulle) La loi de Snell-Descartes ne ose as de roblème quand l onde EM se roage d un milieu moins dense vers un millieu lus dense (dans ce cas-là : n>1). Par contre, une difficulté mathématique eut exister lorsque on asse d un milieu dense à un milieu lus ténu (on a : n<1 ; ar exemle une onde existante dans une fibre otique qui essaie de sortir vers l air). Car alors, our tous les angles d incidence in arcsin n, l angle de transmission n est as défini (sin t > 1). Dans ces cas-là, l onde transmise n existe as et toute l onde incidente est réfléchie ; on arle de réflexion totale. Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003 47

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques 5.7 Polarisations erendiculaire et arallèle La loi de Snell-Descartes ne déend as de l orientation du cham électrique ar raort à l interface. Ceendant, our étudier beaucou d autres hénomènes comme l amlitude des ondes réfléchie et transmise, il faut réciser les directions des chams électrique et magnétique associées à l onde incidente. Traditionnellement, on caractérise l onde ar raort à son cham électrique. On doit alors considérer les differentes orientations ossibles. On sait que les chams d une onde lane doivent rester dans un lan erendiculaire à la direction de roagation caractérisée ar fi in. Ce lan est défini ar les deux directions e x et e x fi in (voir FIGURE 5.2 et 5.3). La direction e x est erendiculaire au lan d incidence (olarisation erendiculaire) ; la direction e x fi in est contenue dans ce même lan (olarisation arallèle). Le cham électrique associé à l onde incidente (rerésentée ar fi in ) eut avoir des comosantes selon ces deux directions. On étudiera ar la suite individuellement chacun de ces deux cas. Remarque sur olarisation intrinsèque et relative : Il faut veiller à ne as confondre l état de olarisation qu on vient d introduire avec les états absolus de olarisation. On sait qu une onde EM a une olarisation intrinsèque, indéendante du fait qu elle soit en train de fraer une interface. Elle a une olarisation linéaire, circulaire ou ellitique. Mais lorsqu on regarde le cham électrique de cette onde ar raort à une interface entre deux milieux, l onde eut être définie comme à olarisation arallèle ou erendiculaire. Une onde à olarisation arallèle ou erendiculaire a toujours une olarisation linéaire d un oint de vue intrinsèque. Une onde à olarisation ellitique qui frae une interface aura toujours une artie erendiculaire et une artie arallèle. 5.8 Réflexion et transmission en olarisation erendiculaire H in E in Hr fi r fi in in r E r x " 1, μ 1 " 2, μ 2 y t E t H t z fi t FIG. 5.2: Réflexion et transmission d une onde lane : olarisation erendiculaire Lorsqu une onde incidente à une olarisation erendiculaire, son cham électrique n a 48 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

5.8 Réflexion et transmission en olarisation erendiculaire qu une comosante x et reste erendiculaire au lan d incidence (voir FIGURE 5.2) : E in (r) =E 0 (1; 0; 0) ex( jfi in r) (5.8.1) Pour satisfaire aux conditions générales de continuité il faut alors que les ondes réfléchie et transmise aient aussi leur cham électrique dirigé selon x. On s intéresse ici aux amlitudes des chams électriques de ces ondes ar raort à l amlitude du cham incident. On définit alors ces ondes au moyen des coefficients comlexes de réflexion ρ et de transmission fi : E r (r) =ρe 0 (1; 0; 0) ex( jfi r r) (5.8.2) E t (r) =fie 0 (1; 0; 0) ex( jfi t r) (5.8.3) Les chams magnétiques des trois ondes euvent alors être obtenus avec les formules standards comme : H in (r) = E 0 (0; cos in ; sin in ) ex( jfi in r) (5.8.4) H r (r) =ρ E 0 (0; cos in ; sin in ) ex( jfi r r); r = in (5.8.5) H r (r) =fi E 0 (0; cos t ; sin t )ex( jfi t r) (5.8.6) 2 où i := μi =" i (i =1; 2) est l imédance caractéristique du milieu. Remarque : Ne as confondre, 2 (imédances caractéristiques intrinsèques à chaque milieu) avec l indice de réfraction n (grandeur qui comare deux milieux). En fait, on eut écrire (voir définition de l indice de réfraction) : n = fi 2 fi 1 = μ2 " 2 μ1 " 1 = " 2 μ2 =" 2 " 1 μ1 =" 1 = " 2 2 " 1 (5.8.7) Si l on imose maintenant la continuité des comosantes tangentielles (E x et H y ) dans l interface des deux milieux on trouve un système de deux équations our les deux inconnus ρ et fi : 1+ρ = fi (5.8.8) 1 ρ = fi = cos in (5.8.9) 2 = cos t La solution de ce système est : ρ 2= cos t = cos in = (5.8.10) 2 = cos t + = cos in 2 2 = cos t fi = (5.8.11) 2 = cos t + = cos in Pour établir une analogie avec les lignes de transmission on eut imaginer d associer les milieux semi-infinis à des lignes dont les imédances caractéristiques déendraient des angles incidente et transmise : Z c1 = cos in ; Z c2 = 2 cos t (5.8.12) Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003 49

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques Avec ces définitions on arrive à des formules identiques à celles introduites en théorie des lignes : ρ = Z c2 Z c1 Z c2 + Z c1 2Z c2 (5.8.13) fi = (5.8.14) Z c2 + Z c1 Il faut toutefois veiller au fait qu en incidence oblique les imédances équivalentes déendent des angles. En articulier si l angle d incidence est de 90 (incidence rasante ) et n>1, l imédance équivalente du milieu #1 tend vers l infini et le calcul de la valeur limite donne ρ = 1 our une olarisation erendiculaire. 5.9 Réflexion et transmission en olarisation arallèle H in E r fi r E in fi in in r H r x " 1, μ 1 " 2, μ 2 y t H t E t z fi t FIG. 5.3: Réflexion et transmission d une onde lane : olarisation arallèle Lorsqu une onde incidente à une olarisation arallèle, son cham électrique a des comosantes selon y et z tout en restant erendiculaire à fi in (voir FIGURE 5.3). On eut donc écrire : E in (r) =E 0 (0; cos in ; sin in )ex( jfi in r) (5.9.1) Pour satisfaire aux conditions générales de continuité il faut alors que les ondes réfléchie et transmise aient aussi leur cham électrique déourvu de comosante x. Ici, on introduit les coefficients comlexes de réflexion ρ et de transmission fi ar raort à la comosante tangentielle (selon y) du cham électrique. Il faut alors tenir comte des relations à satisfaire entre les comosantes du cham électrique : E r (r) =ρe 0 (0; cos in ; sin in )ex( jfi r r) (5.9.2) E t (r) =fi cos in cos t E 0 (0; cos t ; sin t )ex( jfi t r) (5.9.3) 50 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

5.9 Réflexion et transmission en olarisation arallèle Les chams magnétiques des trois ondes euvent alors être obtenus avec les formules standards comme : H in (r) = E 0 (1; 0; 0) ex( jfi in r) (5.9.4) H r (r) =ρ E 0 ( 1; 0; 0) ex( jfi r r) (5.9.5) H r (r) =fi cos in E 0 (1; 0; 0) ex( jfi cos t t r) (5.9.6) 2 où i = μi =" i (i =1; 2) est l imédance caractéristique du milieu. Remarque : Il faut remarquer que la olarisation dite arallèle, est une olarisation erendiculaire ar raort au cham magnétique, qui n a qu une x-comosante. D ailleurs, on aelle souvent la olarisation erendiculaire transverse électrique ou TE et la olarisation arallèle transverse magnétique ou TM car le cham électrique, resectivement magnétique, n a as de comosante dans la direction longitudinale z. Mais comme la convention la lus fréquente est de définir le coefficient de réflexion en termes de cham électrique, les exressions de H en ol arallèle ne sont as tout à fait le endant exact de celles de E en olarisation erendiculaire. Si l on imose maintenant la continuité des comosantes tangentielles (E y et H x ) dans l interface des deux milieux on trouve le système 1+ρ = fi (5.9.7) 1 ρ = fi cos in (5.9.8) 2 cos t dont la solution est : ρ 2 cos t cos in = (5.9.9) 2 cos t + cos in 2 2 cos t fi = (5.9.10) 2 cos t + cos in De façon semblable au cas de la olarisation erendiculaire, on établit une analogie avec les lignes de transmission en associant les milieux semi-infinis à des lignes dont les imédances caractéristiques déendent des angles incidente et transmise, mais les définitions à utiliser ici sont : Z c1 = cos in ; Z c2 = 2 cos t (5.9.11) Avec ces définitions, on assimile aussi la réflexion et la transmission des ondes à olarisation arallèle à un roblème de théorie des lignes et les formules universelles restent valables : ρ = Z c2 Z c1 Z c2 + Z c1 2Z c2 (5.9.12) fi = (5.9.13) Z c2 + Z c1 Il faut toutefois veiller au fait qu en incidence oblique les imédances équivalentes déendent des angles. En articulier si l angle d incidence est de 90 (incidence rasante ) et n>1, l imédance équivalente du milieu #1 tends vers zéro et le calcul de la valeur limite donne ρ =+1our une olarisation arallèle. Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003 51

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques 5.10 Transmission totale, angle de Brewster Si dans une situation sécifique on obtient un coefficient de réflexion nul, il n y a as d onde réfléchie et il faut conclure à une transmission totale. Une valeur zéro du coefficient de réflexion est obtenu si Z c2 = Z c1. Dans la situation courante en technologie des télécommunications où les deux milieux sont non-magnétiques (μ 2 = μ 1 = μ 0 ), cette équation n a as de solution en olarisation erendiculaire. En revanche, on trouve une transmission totale (réflexion nulle) en olarisation arallèle si : in = arctan "2 =" 1 (5.10.1) Cet angle est connu en otique comme l angle de Brewster. Contrairement à la réfléxion totale qui est indéendante du tye de olarisation, la transmission totale en déend. 5.11 Densités de uissance et uissances La realtion obtenue en éq. (5.9.7) 1+ρ = fi eut ousser à croire qu il existe une relation du tye : onde incidente + onde réfléchie = onde transmise Ceci est vrai seulement au niveau des chams tangentielles, mais ne saurait as être vrai au niveau de la uissance, où la conservation de l énergie exige que la relation entre les ondes soit : onde incidente = onde réfléchie + onde transmise Dans cette section, on récise mathématiquement ces concets en restant dans les hyothèses simlificatrices de la section 5.2 et notamment en accetant des exosants de roagation urement imaginaires ~fl = j fi. ~ La densité de uissance associée a une onde électromagnétique est donné ar le vecteur de Poynting E ~ H ~ Λ. Donc ψ! ~fi ~ = E ~ H ~ Λ = E ~ E ~ Λ ~fi j Ej ~ 2 Λ = W=m 2 (5.11.1)!μ!μ Alors on aura our chacune des 3 ondes les valeurs ~ in = ~fi in j ~ E in j 2!μ 1 ; ~ r = ~fi r j ~ E r j 2!μ 1 ; ~ t = ~fi t j ~ E t j 2!μ 2 W=m 2 Λ (5.11.2) Ces densités de uissance sont des grandeurs vectorielles dont les directions corresondent à celles des vecteurs ~ fi in ; ~ fi r ; ~ fi t. Si l on veut faire un bilan de uissance scalaire, il faudra les rojeter de façon adéquate. Par exemle, considerons une ortion de l interface ayant une surface unité (voir FI- GURE 5.4) : 52 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003

5.11 Densités de uissance et uissances A in ~ r, ~ fi r ~ in, ~ fi in A r in r t 1 ~A A t z ~ t, ~ fi t FIG. 5.4: Réflexion et transmission d un faisceau électromagnétique avec une section droite A in. On voit que du fait des inclinaisons différentes, les fasiceaux illuminent la surface unité sous des sections différentes. Pour trouver la uissance totale associée à une surface unitaire, erendiculaire à ~e z, on définit le vecteur surface ~A := 1 m 2 ~e z (5.11.3) et alors on trouve : P in = ~ in ~A = j ~ E in j 2 P r = ~ r ~A = j ~E r j 2 P t = ~ t ~A = j ~ E t j 2 cos in (5.11.4) cos r (5.11.5) 2 cos t (5.11.6) On eut alors obtenir les raorts de uissance comme : P r j ~ 2 E r j = P in P t j ~ 2 E t j = P in j ~ E in j 2 = jρj2 ; car r = in (5.11.7) cos t j E ~ (5.11.8) in j 2 2 cos in Le raort j ~ E t j=j ~ E in j s exrime de façon différente en olarisation erendiculaire (où il vaut jfij) et en olarisation arallèle (où il vaut jfi cos in = cos t j). Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003 53

5 Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques Ceendant, un calcul raide montre que dans les deux cas la conservation de l énergie est satisfaite et on trouve : P r P in + P t P in =1 (5.11.9) Donc, en ratique on réfère calculer le raort de uissance transmise comme : P t P in =1 jρj 2 (5.11.10) 54 Cours d Électromagnétisme I EPFL, Juan Mosig, 15 octobre 2003