Chapitre 4 Oscillateur linéaire à un degré de liberté 4.1 Rappel sur l oscillateur harmonique L équation différentielle d un oscillateur harmonique au voisinage d une position d équilibre stable est avec (a,b) R + et c R Qu on peut écrire aẍ + bx = c aẍ + b(x c b ) = 0 On pose = X c b ; ω o = b a : l élongation repéré à partir de la position d équilibre stable ( e = 0 = X e = c b ω o = π pulsation propre. Ce qui permet d écrire la forme canonique de T o l oscillateur ẍ + ω o = 0 La solution de cette équation donne : (t) = X m cos(ω o t + ϕ) = ẋ = X m ω o sin(ω o t + ϕ) Dans le cas de l oscillateur harmonique k = mω o on obtient pour : Ep = 1 k (+cte = 0) = Ep = 1 kx m cos (ω o t + ϕ) Ec = 1 mẋ = Ec = 1 mω ox m sin (ω o t + ϕ) = 1 kx m sin (ω o t + ϕ) E m = Ec + Ep = 1 kx m = cte caractéristique d un système conservatif. Calculons la valeur moyenne des énergies sur une période T ; On rappelle que < cos >=< sin >= 1 45
4.. RÉGIME LIBRE D UN OSCILLATEUR LINÉAIRE AMORTI Mécanique-M.P.S.I < Ep >= 1 T T 0 Ep dt < Ep >= 1 4 kx m < Ec >= 1 T T 0 Ec dt < Ec >= 1 4 kx m < Em >= 1 T T 0 E m dt < E m >= 1 kx m On retient que < Ec >=< Ep >= < E m > Ainsi la trajectoire de phase est une ellipse dans le plan (, ẋ) ou un cercle dans le ẋ plan (, ) ω o 4. régime libre d un oscillateur linéaire amorti 4..1 Forme canonique de l équation différentielle On s interesse à un oscillateur linéaire amorti par un frottement fluide visqueu (du à l action d un fluide et proportionnel à la vitesse ). L équation différentielle d un tel oscillateur s écrit : avec (a,h,b) R 3 + et c R. On pose dans la suite : aẍ + hẋ + bx = c ω o = b a CPGE/B.Mellal Page-46 -SAID EL FILALI-
4.. RÉGIME LIBRE D UN OSCILLATEUR LINÉAIRE AMORTI Mécanique-M.P.S.I La pulsation propre de l oscillateur h a = α = ω o Q = 1 τ α : la constante d amortissement. τ : le temps de relaation (c est le temps nécessaire pour que l amplitude se divise par e. Q : le facteur de qualité. = X c b l élongation repéré à partir de la position d équilibre La forme canonique de l équation différentielle d un oscillateur linéaire amorti par un frottement fluide visqueu s écrit donc : ẍ + αẋ + ω o = 0 Remarque- 13 : Dans ce cas l énergie mécanique est fonction décroissante du temps, en effet de m dt = P( F f ) = h V < 0 4.. Différents régimes libres amortis On a : l équation différentielle : ẍ + αẋ + ω o = 0 Le polynôme caractéristique : r + αr + ω o = 0 Le discriminant : = α ω o = (α + ω o )(α ω o ) = ω o( 1 4Q 1) 4...1 Régime apériodique > 0 = α > ω o = Q < 1 Deu racines réelles distinctes : r ± = α ± α ω o α (t) = Ae r +t + Be r t = (t) = e αt [Ae ω ot + Be α ω ot ] Lorsque t,e αt l emporte ;d où 0 sans osciller :C est le régime apériodique. Representation graphique CPGE/B.Mellal Page-47 -SAID EL FILALI-
4.. RÉGIME LIBRE D UN OSCILLATEUR LINÉAIRE AMORTI Mécanique-M.P.S.I Representation temporelle Le portrait de phase du régime apériodique v régime apériodique : trajectoire dans le plan de phase est ouverte 4... Régime critique = 0 = α = ω o = Q = 1 Deu racines réelles confondues : r + = r = α = (A c + B c t)e αt Quand t, 0 rapidement sans osciller : C est le régime critique. Representation graphique Representation temporelle Le portrait de phase du régime critique v v régime critique : trajectoire dans le plan de phase est ouverte 4...3 Régime pseudo-périodique < 0 = α < ω o = Q > 1 = α ω o = i Ω avec :Ω = ω o α CPGE/B.Mellal Page-48 -SAID EL FILALI-
4.. RÉGIME LIBRE D UN OSCILLATEUR LINÉAIRE AMORTI Mécanique-M.P.S.I Deu racines complees conjuguées : r 1 = α+iω s écrit : et r = α iω donc la solution (t) = e αt (A cos Ωt + B sin Ωt) = o e αt cos(ωt + ϕ) C est une fonction pseudo-périodique d amplitude X m = o e αt variable en fonction du temps X m t + 0 Representation graphique Representation graphique Representation temporelle v Le portrait de phase du régime pseudopériodique v Le point O attire toutes les trajectoires dans le plan de phase qui correspond à la position d équilibre stable La pseudo-période est : T = π Ω = T o 1 ( αωo ) = T o 1 1 4Q 4..3 Decrement logarithmique on définit le décrement logarithmique par δ = αt cœfficient sans unité On a : (t) = Ae αt cos(ωt + ϕ) (t + nt) = Ae α(t+nt) cos(ωt + nωt + ϕ) = e αnt (t) D où : (t) (t + nt) = (t) eαnt = αnt = ln (t + nt) CPGE/B.Mellal Page-49 -SAID EL FILALI-
4.. RÉGIME LIBRE D UN OSCILLATEUR LINÉAIRE AMORTI Mécanique-M.P.S.I On en déduit que Si n = 1 alors : δ = αt = 1 n ln δ = αt = ln (t) (t + nt) (t) (t + T) 4..4 Interprétation physique 4..4.1 Facteur de qualité Hypothèse :L amortissement très faible (α 0 = Q 1 = ω o α) (t) = Ae αt cos(ωt + ϕ) Ω = ω o 1 1 4Q ω o T = T o D où :(t) = Ae αt cos(ω o t + ϕ) Ep = 1 k = 1 ka e αt cos (ω o t + ϕ) Ec = 1 mẋ = 1 A m[ ω o e αt sin(ω o t + ϕ) αe αt cos(ω o t + ϕ)] Or les fonctions cos et sin sont bornées ainsi α ω o donc : Ec 1 ma ω oe αt sin (ω o t + ϕ) E m = 1 ka e αt Question :Que vaut la diminution relative de l énergie mécanique au cours d une pseudo-période,c est à dire : E m(t) E m (t + T)? E m (t) E m (t) = 1 ka e αt E m (t + T) = 1 ka e α(t+t) E m (t) E m (t + T) E m (t) = 1 e αto Or D où : Donc : αt α π ω o = αt o 1 = 1 e αto αt o E m (t) E m (t + T) E m (t) αt o = απ ω o E m (t) Q = π E m (t) E m (t + T) = π Q c est à dire : énergie del oscillateur Q = π énergie perdue pendant une pseudo-période CPGE/B.Mellal Page-50 -SAID EL FILALI-
4.3. OSCILLATIONS FORCÉES -RÉSONANCE Mécanique-M.P.S.I 4..4. Temps de relaation (Énoncé voir TD) Un point matériel M de masse m est mobile sur un ae horizontal O, et il est soumis à une force de frottement visqueu de type : R = λ ẋ. ce point est relié par l intermédiaire d un ressort de raideur k à un point A d abscisse A. on pose k ω 0 = m et α = λ m, et on supposera α ω 0 1. a quoi correspond cette hypothèse?. le point A étant supposé fie, on écarte M de sa position d équilibre, et on l abandonne sans vitesse initiale. Calculer l intervalle de temps τ au bout duquel l amplitude du mouvement est divisée par e =,718. Réponses 1. On a : ẍ + αẋ + ω o = 0. α ω o (amortissement trop faible :oscillations isochrones (T=cte).. v(0) = 0 On a : = o cos(ωt + ϕ) avec Ω = ω o α ω o Donc : = o cos(ω o t + ϕ) à t = 0 on a X m = o cos ϕ. ẋ = o e αt [ α cos(ω o t + ϕ) ω o sin(ω o t + ϕ)] v(0) = 0 = tanϕ = α ω o 1 = ϕ 0 ϕ 0 = o = X m On conclut que : X m (t) = o e αt = X m (t + τ) = o e τα e αt o e αt Si le rapport des amplitudes est e alors : = e alors : o e τα e αt τ = 1 α Définition : Le temps d amortissement τ correspond au temps nécessaire pour que l amplitude se divise par e 4.3 Oscillations forcées -Résonance Pour maintenir l amplitude des oscillations constante,il faut fournir une énergie égale à celle perdue par les frottements à l aide d une force ecitatrice qui impose une fréquence d où la naissance des oscillations forcées. prenons l eemple (masse-ressort) Appliquons la R.F.D F (t) + f + P + T = m a (M) avec : P + T = k e donc : k λẋ + F(t) = mẍ = mẍ + λẋ + k = F(t) l équation canonique est : ẍ + αẋ + ω o = 1 m F(t) avec : CPGE/B.Mellal Page-51 -SAID EL FILALI-
4.3. OSCILLATIONS FORCÉES -RÉSONANCE Mécanique-M.P.S.I α = λ m = ω o Q = 1 : constante d amortissement τ k ω o = : la pulsation propre m La solution de cette équation différentielle est la somme de deu fonctions : solution de l équation homogène t (t) qui décrit le régime transitoire ( disparaît après quelques τ). solution particulière p (t) qui décrit le régime permanent. donc (t) = t (t) + p (t) avec : t (t) dépend du signe de p (t) = X cos(ω p t + ϕ p ) Si F(t) = F o cos(ωt + ϕ F ) alors la solution est en régime permanent est : (t) = X cos(ωt + ϕ ) 4.3.1 Détermination de l amplitude X et la phase ϕ = ϕ ϕ F Pour = X cos(ωt + ϕ) on associe (t) = Xe i(ωt+ϕ) = Xe iωt avec X = Xe iϕ Pour F = F o cos(ωt + ϕ F ) on associe F = F o e iωt Pour ẍ + αẋ + ωo = F(t) on associe m Ce qui donne : ω X + αiωx + ωox = F o m X = Xe iϕ = Donc : X représente le module de f(ω) ;X = f(ω) ϕ représente l argument de f(ω) ẍ + αẋ + ω o = F(t) m F o e iϕ F /m (ω o ω ) + iαω = f(ω) X = F o 1 m (ω o ω ) + 4α ω tanϕ = tan(ϕ ϕ F ) = αω ωo ω 4.3. Étude de la résonance d amplitude : On pose : r = ω ω o > 0 = ω = rω o X o = F o m On en déduit que : X = ω o X o (1 r ) + r Q = X(r) CPGE/B.Mellal Page-5 -SAID EL FILALI-
4.3. OSCILLATIONS FORCÉES -RÉSONANCE Mécanique-M.P.S.I Si 1 1 Q 0 = Q : pas de résonance d amplitude Si 1 1 Q > 0 = Q > : on a résonance d amplitude Representation graphique de la fonction X(r) pour quelques valeurs de Q Q = 5 > Q = Q = 0.4 < r 4.3.3 Calcul énergétique : Pour simplifier on choisi ϕ F = 0 donc ϕ = ϕ 4.3.3.1 Énergie perdue : En régime permanent on a : δw p = λẋd = λẋ dt δw P = λ X ω [1 cos((ωt + ϕ))] dt Au cours d une période on a : W p = T δw 0 p = W p = λx ω T = λx πω < 0 4.3.3. Énergie gagnée : δw g = F(t)d = F(t)ẋdt = δw g = F o cos ωtxω sin(ωt + ϕ)dt = δw g = F o ωx[cos ωt. sin(ωt + ϕ)] = δw g = F oωxdt [sin((ωt = ϕ)) sin( ϕ)] = W g = F oωx [(sin ϕ)t 1 ω cos((ωt + ϕ))]t 0 W g = F o πx sin ϕ Or : X = Xe iϕ = Donc X o (ω ω ) + iαω = X ϕ = sin e iϕ X = αω X o W g = πx ωmα = πx ωλ > 0 D où : W g = W p CPGE/B.Mellal Page-53 -SAID EL FILALI-
4.3. OSCILLATIONS FORCÉES -RÉSONANCE Mécanique-M.P.S.I ce qui montre que l énergie perdue par frottement et totalement fournie par la force ecitatrice F(t). 4.3.4 Résonance de vitesse En régime établi (permanent) on pose v(t) = V m cos(ωt + ϕ v ) Avec V m = ωx = X o r/ω o (1 r ) + r Q dv m dr = 0 = r = 1 Représentation graphique V m Q=5 Q=4 Q=3 Q= Q=1 Q=0,707 Q=0,5 r 4.3.5 Bande passante énoncé voir TD A = a cos ωt,l équation différentielle sera donc :ẍ + αẋ + ωo = a cos ωt m La solution du régime permanent s écrit : = A cos(ωt + ϕ) En notation complee :( ω + ωo) + iαω o = a/m a/m A = (ω o ω ) + 4α ω = a 1 avec Q = ω o /α α ω o = Q donc A = a 1 A m = mω o a mω o (1 r ) + r Q = Q mω o aω o mω oα = A m = (1 r ) + r Q : la résonance aura lieu pour r = 1 et par conséquent : a mαω o CPGE/B.Mellal Page-54 -SAID EL FILALI-
4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MÉCANIQUE Mécanique-M.P.S.I La bande passante [ω 1,ω ] est telle que :A > A m = A > A m ω 4 ω (ω o α ) + ω 4 o 8α ω o = 0 = 4α ω o ω = (ω o α ) ± αω o ω o ± αω o = ω o(1 ± 1 Q ) ω = ω o (1 + 1 Q )1/ = ω o (1 + 1 Q ) ω 1 = ω o (1 1 Q )1/ = ω o (1 1 Q ) ω = ω o Q = α = τ Donc le résultat fondamental ω.τ = Q = ω o ω 4.4 Analogie :Electrique/Mécanique Grandeur électrique L q + R q + 1 C q = e(t) Grandeur mécanique mẍ + λẋ + k = F(t) L m λ R C 1/k q i v e(t) F(t) 1 1 Li mẋ 1 1 C q k ω o = 1 k ω o = LC m Q = 1 L km Q = R C λ Application : :Le pendule élastique On considère une masse M homogène de masse volumique ρ et de volume V, plongée dans l eau (masse volumique ρ e ). Cette masse est suspendue a un ressort de raideur k et de longueur à vide l o, accroché en un point A. Soit (Oz) un ae vertical oriente vers le bas, le point A est fie à la cote z A = 0. On s interesse au mouvement suivant (Oz) de la masse et on note z la cote du centre de gravite G de la masse. A l équilibre la masse est située en z = h. On négligera la hauteur de la masse M devant h. Soit Rle référentiel terrestre suppose galiléen. CPGE/B.Mellal Page-55 -SAID EL FILALI-
4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MÉCANIQUE Mécanique-M.P.S.I A z A = 0 M z 1- Écrire la condition d équilibre de la masse M dans R. - En déduire l équation différentielle du mouvement de l oscillation de M. On écrira une équation reliant z et ses dérivées, M, k et h. Donner la pulsation propre ω o de cet oscillateur. On négligera les frottements dans cette question. 3- Commenter le fait que ω o ne dépende pas de l intensité de la poussée d Archimède. Y a-t-il un terme de l équation différentielle précédente qui en dépende? 4- On tient compte d une force de frottement visqueu, colinéaire à la vitesse et d intensité F = α V (identique dans tous les référentiels) de l eau sur la masse M. Donner la nouvelle équation différentielle vérifiée par z. En se plaçant dans le cas d un amortissement faible, donner sans calcul l allure de la fonction z(t) avec les conditions initiales suivantes : à t = 0, z = h 1 > h et la vitesse initiale est nulle. 5- A l aide d un piston, on impose à l etremite A du ressort, un mouvement vertical sinusoidal d amplitude z Am ; donc z A (t) = z Am cos(ωt). Écrire dans le référentiel R, lie à A, l équation différentielle vérifiée par z cote de G dans R. 6- Calculer l amplitude des oscillations de la masse M dans R. On utilisera la notation complee et on fera apparaître les constantes ω o,τ = M α et la variable = ω ω o 7- Dans ce dispositif, l intérêt du ressort est de permettre d obtenir des oscillations de la masse d amplitude supérieure à celle de l ecitation. Chercher un intervalle de pulsations pour lequel cette condition est vérifiée. Vous montrerez que cet intervalle eiste si la masse M est supérieure à une certaine valeur que vous préciserez. 8-Si la condition précédente est vérifiée, pour quelle pulsation l amplitude d oscillation de la masse M est-elle maimale? A O z A M z Réponses CPGE/B.Mellal Page-56 -SAID EL FILALI-
4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MÉCANIQUE Mécanique-M.P.S.I 1- La condition d équilibre de la masse M dans R. Mg = F A + k(h l o ) - L équation différentielle du mouvement de l oscillation de M. On projette la RFD sur l ae Oz on obtient : M z = Mg αż F A k(z l o ) = Mg αż F A k(z h) k(h l o ) La condition d équilibre donne M z + αż + k(z h) = 0 k La pulsation propre ω o = M. 3- ω o ne dépend que des paramètres intrinsèque du système Le terme de l équation différentielle précédente qui en dépend est h la position d équilibre En général toute forces constantes n apparaissent pas dans l équation différentielle, son rôle est de modifier la position d équilibre 4- La nouvelle équation différentielle vérifiée par z. M z + αż + k(z h) = 0 = z + λż + ω o(z h) = 0 Avec λ = α M ω o amortissement faible dans ce cas la solution est de la forme : z(t) = h + Ae λt cos(ωt + ϕ) Ω = ω o λ A et ϕ deu constantes d intégration à déterminer par les C.I. Comme λ ω o = Ω ω o ainsi : z(t = 0) = h 1 = h 1 = h + A cos ϕ ż(t = 0) = 0 = tanϕ = λ ω o 0 c est à dire ϕ 0 On en déduit que z(t) = h + (h 1 h)e λt cos ω o t Représentation graphique de z(t) pour h = 5,h 1 = 6, λ = 0. et ω o = 10 z h t CPGE/B.Mellal Page-57 -SAID EL FILALI-
4.4. ANALOGIE :ELECTRIQUE/MÉCANIQUE Mécanique-M.P.S.I 5- L équation différentielle. En posant y = z h on obtient M z + αż + k(z h) = kz A ÿ + 1 τ ẏ + ω oy = ω oz AM cos ωt 6- On cherche une solution qui décrit le régime permanent sous la forme y(t) = Y m cos(ωt + ϕ) et en notation complee on trouve Y m = Z AM (1 ) + τ ω o La représentation graphique de X M en fonction de la pulsation réduite Y m Z AM 1 7- L intervalle de pulsations est [0,ω 1 = 1 ω o ]. telle que Z AM = Y M c est à dire 1 solution de La solution est Si 1 τ ω o > 0 = M > α k = M c alors (1 ) + τ ω o 1 = 1 τ ω o ω 1 = ω o = 1 1 τ ω o 8-L amplitude d oscillation de la masse M est maimale si dy M d = 0 ω R = ω o 1 + 1 τ ω o CPGE/B.Mellal Page-58 -SAID EL FILALI-