Lycée Naval, Sup. Sgnaux Physques.. Crcut lnéare du premer ordre Crcut lnéare du premer ordre 1 éponse d un crcut C sére à un échelon de tenson On s ntéresse à la réponse d une assocaton sére {conducteur ohmque, condensateur} que l on soumet «brusquement» à une tenson constante. Le condensateur est ntalement déchargé, et on ferme l nterrupteur à t =. 1.1 Montage u u 1. ésultats expérmentaux C ut) t On réalse une premère expérence avec = 1, kω, C = 1 µf et =, V. ut) V) t) V) t) ma).1..1..3..5..1..1..3..5..1..1..3..5. La tenson est contnue en t =, le condensateur se charge, la tenson augmente jusqu à attendre une valeur constante égale à. L ntensté dourant est dscontnue en t = ; partant d une valeur maxmale en t = +, l ntensté décroît pour s annuler une fos le condensateur chargé. On dstngue, le régme permanent, une fos que les grandeurs ne dépendent plus du temps c pour t >, 5 s) et le régme transtore entre l nstant ntal et le régme permanent. 1.3 Équaton dfférentelle vérfée par t) On s ntéresse à l évoluton drcut, une fos l nterrupteur fermé, t >. Lo d addtvté des tensons : u = = u + Caractérstques des dpôles : u = et = C d On en dédut : t >, = C d + 1. Analyse de l équaton dfférentelle L équaton dfférentelle fat apparaître = C, la constante de temps du crcut. Une fos le régme permanent attent d =, on conclut que = en régme permanent. La lo d addtvté des tensons condut à : t >, t) = t) n partculer pour t = +, le condensateur est déchargé, est maxmale et vaut + ) = / ; une fos le régme permanent attent, l ntensté s annule. 1.5 ésoluton de l équaton dfférentelle Le condensateur est ntalement déchargé ) =, la contnuté de la tenson aux bornes d un condensateur assure que : + ) = ) =. Le problème à résoudre est donc le suvant : on cherche qu vérfe : t >, = d + et + ) = 1
La soluton générale est de la forme : t >, t) = + A exp t ) La condton ntale mpose : + ) = = + A A =, on en dédut : t, t) = 1 ) e t/ 1. Tracé et constante de temps La courbe théorque c-dessous représente l évoluton de la tenson aux bornes du condensateur en foncton de la varable admensonnée t/. V) =1, kohm =5 ohm = ohm..5.1.15..5.3 regme transtore permanent 1.7 Intensté dourant aours de la charge L ntensté dourant est nulle pour t < crcut ouvert).,3 1 3 5 7 t/ Pour t = 5, 5) = 1 e 5 ), 99, on peut consdérer que la tenson a attent sa valeur fnale. Le régme permanent est attent au bout d une durée de l ordre de 5. La constante de temps peut être détermnée graphquement de deux manères : La tenson attent 3% de sa valeur fnale pour t = ; en effet 1 e 1 ), 3 La tangente à l orgne coupe l asymptote y = pour t =. n effet, u c + ) = /, la tangente à l orgne a donc pour équaton yt) = t, pour t =, y) =. Les courbes c-contre, obtenues expérmentalement, présentent l nfluence de la constante de temps sur la charge dondensateur ; pour les expérences la capacté est fxée à C = 1 µf, et prend tros valeurs dstnctes. Pour t >, l ntensté a pour expresson t) = e t/, cette relaton peut être obtenue de deux manères : n utlsant la lo des malles : = t) + t) = t) + 1 e t/ ) = t) e t/ n utlsant la caractérstque dondensateur : /,37/ t) = C d 1 = C ) e t/ = C C e t/ = e t/ 1 3 5 t/
1.8 Blan énergétque Énerge fourne par le générateur : g = t) = e t = Énerge stockée dans le condensateur : Énerge dsspée par effet Joule : J = t) = On en dédut : g = c + J. c = 1 C t e = e t = [ e t/ ] e t/ = = 1 C = C L énerge fourne par le générateur est, pour moté, stockée sous forme d énerge électrostatque dans le condensateur et, pour moté, dsspée par effet Joule. Le blan énergétque peut être obtenu en multplant chaque terme de la lo des malles par l ntensté dourant : = + ) = + = + C d = + d ) 1 C ) }{{} = }{{} d 1 + C Pussance fourne Pussance effet Joule }{{} Pussance reçue condensateur Décharge d un condensateur On s ntéresse à la décharge d un condensateur dans une résstance. Le condensateur est ntalement chargé sous une tenson U. À l nstant ntal, on ferme l nterrupteur. C.1 Équaton dfférentelle vérfée par t) Compte tenu des conventons d orentaton, les caractérstques s écrvent : On en dédut : t >, = C d + d et = = avec = C. ésoluton de l équaton dfférentelle n l absence de second membre, la soluton se lmte à la soluton homogène : t >, t) = Ae t/ La contnuté de la tenson aux bornes dondensateur assure que + ) = ) = U, on en dédut A = U et fnalement : t,.3 ésultats expérmentaux t) = U e t/ L expérence a été réalsée avec C = 1 µf et = 1, kω. On observe la décharge dondensateur en une durée caractérstque, 1 s. t) V).1..1..3..5. 3 éponse d un crcut L sére à un échelon de tenson On s ntéresse à la réponse d une assocaton sére {conducteur ohmque, bobne} que l on soumet brusquement à une tenson constante. On ferme l nterrupteur à t =. 3
3.1 Montage u u L 3. ésultats expérmentaux u ut) t On réalse une premère expérence avec = 1 Ω, L =, H et = 3, V. tenson V).5..5.1.15..5 Pour un conducteur ohmque = u /, la mesure de la tenson est une mage drecte de l ntensté dourant parcourant la résstance. L ntensté est contnue en t = ; en présence d une bobne, l ntensté s nstalle progressvement jusqu à attendre une valeur lmte en régme permanent. 3.3 Équaton dfférentelle vérfée par t) On s ntéresse à l évoluton drcut, une fos l nterrupteur fermé, t >. Lo d addtvté des tensons : u = = u L + u Caractérstques des dpôles : u = et u L = L d On en dédut : t >, = L d + u u 3. Analyse de l équaton dfférentelle L équaton dfférentelle fat apparaître = L, la constante de temps du crcut. La bobne tend à retarder l nstallaton dourant. Une fos le régme permanent attent d =, on conclut que = en régme permanent. 3.5 ésoluton de l équaton dfférentelle Tant que l nterrupteur est ouvert, l ntensté dourant est nulle ) =, la contnuté de l ntensté dourant parcourant une bobne assure que : + ) = ) =. Le problème à résoudre est donc le suvant : on cherche qu vérfe : t >, = d + et + ) = La soluton générale est de la forme : t >, t) = + A exp t ) La condton ntale mpose : + ) = = + A A =, on en dédut : t, t) = 1 ) e t/ 3. Tracé /,3/ regme transtore permanent 1 3 5 7 t/
La courbe précédente représente l évoluton de l ntensté dans le crcut en foncton de la varable admensonnée t/. 3.7 Blan énergétque Pour obtenr le blan de pussance, on multple la lo des malles par : = + u L ) = + u L = + L d = + d ) }{{} = }{{} d 1 + L Pussance fourne Pussance effet Joule Capactés exgbles }{{} Pussance reçue bobne *************************************** ) 1 L éalser pour un crcut l acquston d un régme transtore du premer ordre et analyser ses caractérstques. Confronter les résultats expérmentaux aux expressons théorques. Dstnguer, sur un relevé expérmental, régme transtore et régme permanent aours de l évoluton d un système du premer ordre soums à un échelon. Interpréter et utlser les contnutés de la tenson aux bornes d un condensateur ou de l ntensté dans une bobne. Établr l équaton dfférentelle du premer ordre vérfée par une grandeur électrque dans un crcut comportant une ou deux malles. Prévor l évoluton du système, avant toute résoluton de l équaton dfférentelle, à partr d une analyse s appuyant sur une représentaton graphque de la dérvée temporelle de la grandeur en foncton de cette grandeur. Détermner analytquement la réponse temporelle dans le cas d un régme lbre ou d un échelon. Détermner un ordre de grandeur de la durée du régme transtore. éalser des blans énergétques. Annexe : résoluton d une équaton dfférentelle lnéare du premer ordre à coeffcents constants On consdère une équaton dfférentelle à coeffcents constants de la forme : du + u = La soluton est de la forme : u = u p + u h avec : u p, une soluton partculère de l équaton avec second membre ; u h, la soluton homogène, soluton générale de l équaton sans second membre. La soluton partculère est n mporte quelle foncton soluton de : du p + u p = Avec un second membre constant, on recherche une soluton constante, u p t) = convent. La soluton homogène est la soluton générale de : du s + u s = On montre que la soluton cherchée est : u s t) = A exp constante d ntégraton nconnue à ce stade. Justfcaton : avec la soluton proposée du s + u s = 1 ) A exp t ), avec A une t ) + A exp t ) = n concluson, la soluton de l équaton dfférentelle est donc : ut) = + A exp t ) la constante A étant détermnée grâce à la condton ntale. 5
Applcatons drectes : AD 1. Un condensateur de capacté C se charge sous la tenson selon la lo : ut) = 1 exp t/)) 1. Calculer le pourcentage de charge attent à l nstant t =.. xprmer en foncton de la durée T nécessare permettant à la tenson de passer de 1% de à 9% de cette durée est appelée temps de montée). AD. On consdère le crcut suvant : 1 1 c C s À t =, on ferme l nterrupteur, le condensateur est ntalement déchargé. 1. Détermner, «sans calcul», les valeurs de 1, et s en t = +.. Détermner, «sans calcul», les valeurs de 1, et s quand t +. 3. Établr l équaton dfférentelle vérfée par s.. L écrre sous la forme ds + s = G en précsant les expressons de et G. 5. Détermner l expresson de st).. Détermner l nstant t pour lequel la tenson aux bornes dondensateur attent 9% de sa valeur maxmale.