NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan x, est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme π 2 + kπ, k Z par tan x = sin x cos x La cotangente d un nombre réel x, notée cotan(x), est définie pour tous les réels x sauf ceux de la forme kπ, k Z par cotan(x) = cos x sin x On a évidemment cotan(x) = 1 tan x pour tous les réels x sauf ceux de la forme k π 2, k Z. Lycée du Parc 851 1

Chapitre 2 Nombres complexes et trigonométrie sin x M π+ x sin x M x x cos x cos x x cos x sin x M M sin x Sinus et cosinus de x Sinus et cosinus deπ+ x M cos x sin x π x x M cos x cos x sin x x M x sin x M cos x Sinus et cosinus deπ x Sinus et cosinus deπ/2 x Figure 2.2 Angles associés 2 Forme algébrique d un nombre complexe Théorème 2.2 Tout nombre complexe z s écrit de manière unique z = a + ib avec a, b R. Remarques On parle de la forme algébrique de z. Attention, il n y a unicité que si l on force a et b à être réels : par exemple, 3 + i(1 + i) = 1 + i(1 i) = 2 + i. Proposition 2.3 Tout nombre complexe z 0 a un unique inverse, noté 1 z, tel que z 1 z = 1. Soient z, z C. On a zz = 0 (z = 0 ou z = 0). Exercice 2.1 1. Mettre sous forme algébrique (2 3i) 3. 2. Mettre sous forme algébrique 1 2+i. 3. Soient z C, z = a + ib avec a, b R. Exprimer 1 z en fonction de a et b. 4. Calculer i 19. Lycée du Parc 851 2

Définition 2.4 Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc a, b R). On appelle : partie réelle de z le nombre réel R(z) = a ; partie imaginaire de z le nombre réel I(z) = b ; conjugué de z le nombre complexe z = a ib ; module de z le nombre réel positif ou nul z = a 2 + b 2. Remarques Un complexe z est réel ssi sa partie imaginaire est nulle. Un complexe z est réel ssi z = z : c est très souvent cette caractérisation qui est la plus utile. Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. On note parfois ir l ensemble des imaginaires purs : ir = {z C, R(z) = 0}. Proposition 2.5 Conjugaison Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z 1 + + z n = z 1 + + z n z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = (z) p. z = z ( ) 1 Si z 0, = 1 z z Proposition 2.6 Module Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = z p. Si z 0, alors 1 z = 1 z. z = 0 z = 0 z.z = z 2 n z i n z i inégalité triangulaire i=1 i=1 En particulier, z 1 + z 2 z 1 + z 2. Exemple 2.2 Une autre inégalité qu il est bon d avoir en tête et de savoir démontrer : z 1 z 2 z 1 + z 2. Proposition 2.7 Parties réelle et imaginaire Soient z, z 1,..., z n C. R(z) = 1 2 (z + z) I(z) = 1 2i (z z) R(z 1 + + z n ) = R(z 1 ) + + R(z n ) I(z 1 + + z n ) = I(z 1 ) + + I(z n ) R(z) z I(z) z Lycée du Parc 851 3

Si λ est réel, R(λz) = λr(z). Si λ est réel, I(λz) = λi(z). Remarque Attention, la partie réelle d un produit (ou d un quotient) n est pas égale au produit (ou au quotient) des parties réelles. De même pour la partie imaginaire. 3 Exponentielle complexe 3.1 Forme trigonométrique Définition 2.8 Soit z = a + ib, avec a et b dans R, un nombre complexe. On définit l exponentielle de z par exp(z) = exp(a + ib) = e a (cos b + i sin b) Remarques Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent e z pour exp(z). Pour tout z C, on a exp(z) 0. On remarque que 1 = e 0, i = e i π 2, 1 = e iπ et i = e i π 2. Proposition 2.9 Soient z, z C et n Z. On a e z+z = e z e z (e z ) n = e nz en particulier, 1 e = e z z e z = e z Exercice 2.3 Calculer (1 + i) 2011. Remarque Ces propriétés étendent celles de l exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l on oublie que n doit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i = e i π 2 = e 2iπ 1 4 = ( e 2iπ) 1 4 = 1 1 4 = 1... Proposition 2.10 Soit θ R. On a e iθ = cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) cos θ = eiθ +e iθ sin θ = eiθ e iθ 2i Moivre 2 Euler Euler Remarque Ces formules permettent de transformer une expression du type sin n x (ou cos n x) en une somme de termes de la forme n ( ak sin(kx) + b k cos(kx) ) : on dit qu on linéarise, ce qui est très utile par exemple pour calculer des primitives. L opération inverse n a pas de nom, mais sert également parfois. Lycée du Parc 851 4

Exercice 2.4 Pour x R, exprimer : 1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos x et sin x ; 2. sin 3 x en fonction de sin(3x) et de sin x. Exercice 2.5 Pour n N et x R, calculer n n cos(kx) et sin(kx). Théorème 2.11 Forme trigonométrique d un complexe Tout nombre complexe z peut s écrire sous la forme ρe iθ avec ρ 0 et θ R. Si θ, θ R et si ρ > 0 et ρ > 0, alors ρ = ρ ρe iθ = ρ e iθ et θ = θ + 2kπ, avec k Z Remarques On note usuellement θ θ [2π] ou θ θ mod 2π pour k Z, θ = θ + 2kπ. De même, θ = θ mod π signifie k Z, θ = θ + kπ. La condition ρ R + assure l unicité de ρ, qui est égal à z. Définition 2.12 Si z = ρe iθ, avec ρ 0, on dit que θ est un argument de z. On note alors arg(z) θ[2π] ou arg(z) θ mod 2π. Remarques 0 n a pas d argument. Parmi tous les arguments d un complexe z 0, un et un seul appartient à l intervalle ] π, π]. Cet argument est dit argument principal de z. Proposition 2.13 Argument Soient z, z C et n Z. arg(zz ) arg(z) + arg(z ) mod 2π arg(z n ) n arg(z) mod 2π arg ( 1 z ) arg(z) mod 2π arg ( z z ) arg(z) arg(z ) mod 2π Remarque Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l exponentielle complexe. 3.2 Plan complexe Le plan muni d un repère orthonormé (O, u, v ) s identifie de manière naturelle à l ensemble C : à un point M(x, y) on fait correspondre le complexe z = x + iy appelé affixe de M, et réciproquement. Cette identification peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de z en travaillant en coordonnées polaires : à un complexe Lycée du Parc 851 5

non nul z = ρe iθ correspond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ) (et donc de coordonnées cartésiennes (ρ cos θ, ρ sin θ)). Il est bon d avoir en tête une représentation géométrique d un certain nombre de définitions et propriétés sur les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe z et point d affixe z. R correspond à l axe des abscisses. L ensemble ir des imaginaires purs correspond à l axe des ordonnées. La partie réelle d un complexe z est son projeté orthogonal sur l axe des abscisses. La partie imaginaire d un complexe z n est pas son projeté orthogonal sur l axe des ordonnées. z z est la distance entre z et z. En particulier, z est la distance entre z et l origine. Si a C et r R +, l ensemble {z C, z a = r} est le cercle de rayon r et de centre a. Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[2π] ssi z [Oz). Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[π] ssi z (Oz). z est le symétrique de z par rapport à l origine. z est le symétrique de z par rapport à l axe des abscisses. Si r R +, la transformation z rz est une homothétie de rapport r et de centre O. Si θ R, la transformation z ze iθ est une rotation d angle θ et de centre O. Exercice 2.6 1. On considère deux complexes non nuls z 1 = ρ 1 e iθ 1 et z 2 = ρ 2 e iθ 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur θ 1 et θ 2 pour que z 1 + z 2 = z 1 + z 2. Comment cette condition s interprète-t-elle géométriquement? 2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z 1 et z 2. Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. z correspondra au vecteur OM, où M est le point d affixe z. Réciproquement, à un vecteur AB de coordonnées (x, y), on fera correspondre le complexe z AB = x + iy dit affixe vectorielle de AB. Dans les propriétés suivantes, on a noté za l affixe d un point A. z AB = z B z A AB = z AB = AB = zb z A ( ) AB, z CD = arg CD (pour A B et C D) z AB z AB est colinéaire à CD ssi AB R (pour A B et C D). z CD z AB est orthogonal à CD ssi AB est imaginaire pur (pour A B et C D). z CD 3.3 Complexes de module 1 Définition 2.14 On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. U = {z C, z = 1}. Proposition 2.15 U = {e iθ, θ R} = {cos θ + i sin θ, θ R} = {a + ib tels que a, b R et a 2 + b 2 = 1} Lycée du Parc 851 6

Remarques La représentation naturelle d un complexe de module 1 (à utiliser dans 99% des cas) est e iθ, θ R. Dans le plan complexe, U correspond au cercle unité (aussi appelé cercle trigonométrique). Exercice 2.7 Soit z C. Montrer que z = 1 z = 1 z. Théorème 2.16 Racines de l unité Pour tout n N, l équation z n = 1 a exactement n solutions dans C, appelées racines n-èmes de l unité. On a {z C, z n = 1} = { } e 2ikπ n, k 1, n Remarques Les racines deuxièmes de l unité sont 1 et 1, les racines quatrièmes 1, 1, i et i. Les racines troisièmes de l unité sont e 2iπ 3, e 2iπ 3 et 1. On note souvent j pour e 2iπ 3 et ces racines s écrivent alors j, j 2 et 1(= j 3 ). 3.4 Formules de trigonométrie Proposition 2.17 Pour tous a, b R, on a : cos 2 a + sin 2 a = 1 cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 1 2 sin 2 = 2 cos 2 a 1 sin(2a) = 2 sin a cos a cos a + cos b = 2 cos ( ) ( ) a+b 2 cos a b 2 sin a + sin b = 2 sin ( ) ( ) a+b 2 cos a b 2 1 + tan 2 1 a =, quand ces expressions ont un sens. cos 2 a tan a + tan b tan(a + b) =, quand ces expressions ont un sens. 1 tan a tan b Remarque Il faut savoir que ces formules existent et, au choix, être capable de les retrouver rapidement ou les connaître par cœur. Lycée du Parc 851 7

4 Complexes et équations 4.1 Équations du second degré à coefficients réels Soient a, b, c R avec a 0. On considère l équation (E) d inconnue z C : (E) : az 2 + bz + c = 0 On pose = b 2 4ac ( est donc un réel que l on appelle discriminant de (E)). Théorème 2.18 Si > 0, l équation (E) admet deux solutions réelles distinctes b 2a et b + 2a Si = 0, l équation (E) admet une unique solution réelle (dite double) Si < 0, l équation (E) admet deux racines complexes non réelles distinctes b 2a b i 2a et b + i 2a Remarque Si < 0, les deux solutions complexes de (E) sont conjuguées. Proposition 2.19 Somme et produit des racines d un trinôme Soient z 1 et z 2 les deux solutions (éventuellement confondues) de (E). On a z 1 + z 2 = b a et z 1 z 2 = c a 4.2 Équations du type z n = a Si a est un complexe non nul, l équation z n = a possède exactement n racines distinctes dans C. Une méthode possible pour les déterminer est exposée dans l exemple suivant. Exemple 2.8 Résolvons dans C l équation (E) : z 4 = 2 + 2i 3, d inconnue z. On commence par mettre le membre de droite sous forme trigonométrique. On a 2+2i 3 = 4 + 12 = 4, on cherche donc θ R tel que cos θ +i sin θ = 1 2 +i 3 2. D après les valeurs remarquables de sin et cos, on peut prendre θ = 2π 3, on a donc 2 + 2i 3 = 4e 2iπ 3. On cherche z sous forme trigonométrique z = ρe iα. Comme les solutions sont clairement non nulles, on a (E) ( ρe iα) 4 2iπ = 4e 3 ρ 4 = 4 (1) 4α 2π 3 [2π] (2) Comme ρ est forcément un réel positif, la seule solution de (1) est ρ = 4 4 = 2. Lycée du Parc 851 8

L équation (2) s écrit k Z, 4α = 2iπ 3 + 2kπ, ce qui équivaut à k Z, α = π 6 + k π 2. Cette équation a quatre solutions dans [0, 2π[ qui sont π 6, 2π 3, 7π 6 et 5π 3. Les autres solutions dans R sont toutes égales à l une de ces solutions modulo 2π et ne donnent donc pas de nouvelles solutions pour (E). Finalement, l ensemble des solutions de (E) est donc { 2e iπ 6, 2e 2iπ 3, 2e 7iπ 6, } 2e 5iπ 3. Remarque Si, pour une raison quelconque, on peut facilement déterminer une solution particulière z 0 de l équation (E) : z n = a, on peut facilement trouver les autres en résolvant l équation (qui est alors équivalente à (E)) ( ) z n z 0 = 1. Nous verrons un exemple en travaux dirigés (exercice 2.15). Lycée du Parc 851 9

Travaux dirigés Exercice 2.9 1. Soit θ un réel. Résoudre les équations d inconnue réelle x suivantes : cos(x) = cos(θ), sin(x) = sin(θ) et tan(x) = tan(θ). 2. Soit n N. Résoudre dans ]0, π[ l équation cos(nx) = 0. 3. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 2 cos(2x + π 3 ) = 3; sin(x) 1 2 ; cos(2x) 0; tan(x) 1; tan(x + π 4 ) > 1; 2 cos 2 (x) + 3 cos x + 1 = 0; sin 2 x + 3 cos x 1 < 0; cos(2x) 3 sin(2x) = 1; sin 2 (2x + π 6 ) = cos2 (x + π 3 ). Exercice 2.10 Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique : z 1 = (5 3i) 3 z 2 = 4 3i 4 + 3i z 3 = 1 (4 i)(3 + 2i) z 4 = (3 + i)(2 3i) 5 + 2i Exercice 2.11 Soit θ [0, 2π[. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + e iθ z 2 = 1 e iθ z 3 = 1 eiθ 1 + e iθ z 4 = (1 + i) 3 z 5 = 1 4i 1 + 5i z 6 = 1 + 4i 1 5i z 7 = (1 + i)2. 1 i Exercice 2.12 Montrer que : Interpréter géométriquement le résultat. Exercice 2.13 Exercice 2.14 (z, z ) C 2, z + z 2 + z z 2 = 2( z 2 + z 2 ). 1. Linéariser les expressions suivantes : cos 6 x; cos 2 x sin 4 x; sin 5 x; cos 3 (2x) sin 3 x; cos(2x) cos 3 x. 2. Soit α un réel. a. Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction de cos(α) et sin(α). b. En déduire la valeur de cos π 10. Calculer pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b les sommes suivantes. n ( ) n 1. k sin(ka) k Identité du parallélogramme Lycée du Parc 851 10

2. n ( ) n ( 1) k cos(ka + b) k Exercice 2.15 Déterminer les nombres complexes z tels que : Exercice 2.16 1. z 2 3z + 4 = 0 2. z 4 + z 2 6 = 0 3. z 2 = z 4. z z + z + z = 4 5. z 4 i = 0 6. z 3 = (2 + i) 3 7. z = z 6 + 5i 8. z + i = 2 9. z(2 z + 1) = 1 10. z+4i 5z 3 R 11. R ( z 1 z+1) = 0 Soit n N. On pose u = exp ( 2iπ n Exercice 2.17 ). Montrer que z C, n ( ) z + u k n = n(z n + 1) k=1 Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1. Le but est de montrer que l un au moins des trois nombres vaut 1. 1. Montrer que 1 a + 1 b + 1 c = 1. Exercice 2.18 2. En déduire que ab + bc + ac = abc. 3. Montrer que (1 a)(1 b)(1 c) = 0 et conclure. On note E = {z C, I(z) > 0} et F = {z C, z < 1}. 1. Montrer que : z C, z E z i z+i F. 2. On définit alors l application : f : E F z z i z + i a. Montrer que tout nombre complexe Z de F admet un antécédent par f dans E. b. En déduire que f est bijective et déterminer f 1. 3. On pose E 1 = {z E; R(z) = 0} et E 2 = {z E; z = 1} et on munit le plan d un repère orthonormé direct. a. Déterminer l ensemble f (E 1 ) et le représenter graphiquement. b. Déterminer l ensemble f (E 2 ) et le représenter graphiquement. Lycée du Parc 851 11

Exercice 2.19 Études On note j = e 2iπ 3, et l on considère un entier n 1 ainsi que les sommes Exercice 2.20 A = n 1. Calculer A, B et C. ( ) n k 2. Calculer j 3 et 1 + j + j 2. B = n ( ) n j k C = k n ( ) n j 2k S = k 0 3k n 3. Déterminer pour k N la valeur de 1 + j k + ( j 2 ) k. On distinguera suivant que k est de la forme 3m, 3m + 1 ou 3m + 2 avec m N. ( 4. En déduire que A + B + C = 3S, puis que S = 1 3 2 n + 2( 1) n cos ( )) 4nπ 3 (on pourra remarquer que j 2 = j). ( ) n 3k Inversion dans le plan complexe On rappelle que C désigne l ensemble des complexes non nuls et U l ensemble des complexes de module 1. On considère l application ϕ : C C z 1 z 1. Montrer que ϕ est une bijection et déterminer sa bijection réciproque. 2. Déterminer f (U). 3. On considère le cercle C de rayon 1 2 et de centre le (point d affixe) 1 2, ainsi que la droite d équation z + z = 2. a. Représenter graphiquement et C. b. Montrer que, pour tout z C, z C 2z z z z = 0 (on dit que C a pour équation 2z z z z = 0). c. Montrer que ϕ( ) C. Peut-on avoir l égalité? d. On note C = C \ {0} (C est donc le cercle C privé de l origine). Montrer que tout z C a un antécédent dans. On pensera à utiliser la bijection réciproque de ϕ. e. En déduire que ϕ( ) = C et ϕ(c ) =. Lycée du Parc 851 12

Exercices supplémentaires Exercice 2.21 Soient a, b, c R. On suppose que cos a + cos b + cos c = sin a + sin b + sin c = 0. Montrer que cos 2a + cos 2b + cos 2c = sin 2a + sin 2b + sin 2c = 0 Exercice 2.22 Soient u, v, z C tels que z = u + iv. z = 0 Montrer que z 2 = u 2 + v 2 ou u, v R Exercice 2.23 Exercice 2.24 1. Montrer que x ]0, π[ n N, n 1 2. En déduire les solutions dans ]0, π[ de Résoudre dans C l équation R ( z 1 z+1) = 0. Exercice 2.25 sin((2k + 1)x) = sin2 (nx) sin x. sin x + sin 3x sin 4x + sin 5x + sin 7x = 0 On souhaite résoudre dans C l équation 2z 2 (1 + 5i)z 2(1 i) = 0. 1. Déterminer δ C tel que δ 2 = 2(4 + 3i). Exercice 2.26 2. En déduire les solutions de l équation. Résoudre dans C : 1. z 5 = 1 + i 2. z 6 2z 3 + 2 = 0 Exercice 2.27 Montrer que : n 2, 2 cos π 2 2 n = + 2 +... 2 } {{ } n 1 symboles. Exercice 2.28 Soit z un complexe de module 1. Montrer que ( 1 + z 1 ) ou ( 1 + z 2 1 ). Lycée du Parc 851 13

Exercice 2.29 Soit z C. Montrer que z 2 1 < 8 z 2 < 5 Exercice 2.30 Soit θ R et z C. On suppose que z + 1 z = 2 cos θ. Montrer que n N, z n + 1 = 2 cos nθ zn Exercice 2.31 Exercice 2.32 1. Montrer que pour a, b ] π 2, π 2 [, on a tan a tan b = 2. En déduire pour n N et x ] π 2n, π 2n[ la valeur de n Résoudre l équation z 2 = 2 z + 3, d inconnue z C. sin(a b) cos a cos b 1 cos(kx) cos((k + 1)x) Lycée du Parc 851 14