Réduction des endomorphismes

Chapitre 4 Réductio des edomorphismes Das tout ce chapitre, K = ou, E est u espace vectoriel sur K et est u etier aturel o ul. 1. Valeurs propres et vecteurs propres 1.1. Sous-espaces stables par u edomorphisme Défiitio 1.1 Soiet f u edomorphisme de E, et F u s.e.v. de E. O dit que F est stable par f si f (F) F. Remarques 1.2 F est stable par f si et seulemet si o a l'implicatio x F f (x) F. La restrictio de f à F est alors u edomorphisme de F, dit iduit par f sur F. Exemple 1.3 Soit ϕ l'edomorphisme de 3 [X] défii par ϕ(p) = P'. 2 [X] est u s.e.v. de 3 [X] et 2 [X] est stable par ϕ. Propriété 1.4 Soiet f L (E) et F u s.e.v. de E. Si F est stable par f alors F est stable par f p, p. Exercice 4.1 Propriété 1.5 Soiet f, g L (E), λ, µ K et F u s.e.v. de E. Si F est stable par f et par g alors F est stable par λ f + µ g. Exercice 4.2 Remarque 1.6 Soit H = {f L (E) / f (F) F}. O a, e particulier, que H car Id H. H est u s.e.v. de L (E). Fracis Wlaziski 1

Propriété 1.7 Si f et g commutet das L (E), alors Ker f et Im f sot stables par g. Exercice 4.3 Propriété 1.8 Soiet f, g L (E) et p,. Si f et g commutet, alors f et g p commutet. Propriétés 1.9 Soit f L (E) et soit (e) = (e 1, e 2,..., e ) ue base de E. Pour tout j de {1,..., }, soit F j = Vect(e 1,..., e j ). La matrice de f das (e) est diagoale si et seulemet si les droites vectorielles <e j > sot stables par f. La matrice de f das (e) est triagulaire supérieure si et seulemet si les sous-espaces F j sot stables par f. Rappel Si f L K (E) et A E, alors f (Vect(A)) = Vect(f (A)). O pose M e (f) = A = (a i,j ) i = 1, j = 1,. A diagoale i = 1,, f (e i ) = a i,i e i. a i, i = f (<e i >) = et a i,i f (<e i >) = <e i >. Doc f (e i ) = a i,i e i f (<e i >) <e i >. Réciproquemet, f (<e i >) <e i > f (e i ) <e i >. O peut remarquer que F 1 F 2... F. A triagulaire supérieure i = 1,, f (e i ) = a 1,i e 1 +... + a i,i e i i = 1,, f (e i ) F i. Remarque 1.1 1 2 Ue matrice d'ordre de la forme est otée diag(λ 1, λ 2,..., λ ). 1 1.2. Edomorphismes stabilisat les sous-espaces d'ue somme directe Propriété 1.11 O suppose que E est de dimesio fiie et que E = F G, F et G état disticts de {}. O ote (e) ue base de E obteue e juxtaposat ue base de F et ue base de G. Soiet f L (E) et M la matrice de f das la base (e). A et C désiget ci-dessous deux matrices carrées de tailles respectives dim F et dim G. Alors A B F est stable par f si et seulemet si M s'écrit. C A F et G sot stables par f si et seulemet si M s'écrit. C Fracis Wlaziski 2

Remarque 1.12 Si o suppose que E = F 1 F 2... F p, où F 1,..., F p sot tous disticts de {}. O muit E d'ue base (e) adaptée à cette somme directe, c'est-à-dire obteue par juxtapositio des bases (e) 1 de F 1,..., (e) p de F p. Soit f u edomorphisme de E, de matrice M das la base (e). Les s.e.v. F k sot stables par f si et seulemet si M est diagoale par blocs, et plus précisémet est formée de p blocs M k ayat successivemet les tailles dim F 1, dim F 2,..., dim F p. Das ces coditios, si o ote g k la restrictio de f à F k, le k ème bloc M k de M est la matrice de g k das la base (e) k de F k, et det f = det M = det g k = det M k. k=1 1.3. Polyômes de matrices et d'edomorphismes Défiitio 1.13 Soit M ue matrice de M (K). Soit P = a + a 1 X + a 2 X 2 +... + a p X p = p k= k=1 a k X k u polyôme à coefficiets das K ( K[X]). O défiit la matrice P[M] par P[M] = a I + a 1 M + a 2 M 2 +... + a p M p = a k M k. O dit que P[M] est u polyôme e M. Si P[M] =, o dit que P est u polyôme aulateur de M. Exemples 1.14 1 1 Soit M = et P = 5X 2 + 3X 2. 2 O a P[M] = 5M 2 + 3M 2I 2 c'est-à-dire : 1 3 1 1 1 6 18 P[M] = 5 + 3 2 =. 4 2 1 24 1 Soit A = 1 1. O a A 2 = 1 1 2. 1 1 Soit P = X 2 2X + 1 = (X 1) 2. O obtiet P[A] =. Remarque 1.15 Attetio : P K[X] et P[M] M (K). Propriété 1.16 Soit M ue matrice de M (K). L'applicatio P x P[M] de K[X] vers M (K) est u morphisme d'algèbres. p k= Fracis Wlaziski 3

Remarque 1.17 O a doc : P, Q M (K) et α, β K, (αp + βq)[m] = αp[m] + βq[m] ( P)[M] =.P[M] (P Q)[M] = P[M] Q[M] 1[M] = I. Propriété 1.18 Soit M ue matrice de M (K). L'esemble J = {P K[X] / P[M] = } des polyômes aulateurs de M est u idéal o ul de K[X] dot o ote π M le géérateur uitaire qui est appelé polyôme miimal de M. (La preuve de "o ul" 'est pas triviale) Rappel Deux matrices M et N de M (K) sot dites semblables s'il existe ue matrice iversible P de GL (K) telle que M = P 1 NP. Propriété 1.19 Deux matrices semblables ot des polyômes miimaux égaux. Exercice 4.4 Propriété 1.2 A Soiet A 1 M (K) et A 2 M p (K). O défiit A M 1 +p (K) par A = = diag(a 1, A 2 ). A 2 O a π A = ppcm(π A1, π A2 ). Remarque 1.21 O admettra que, k, A k = A 1 k A 2 k = diag(a 1k, A 2k ) et que, P[A 1 ] P K[X], P[A] = = diag(p[a 1 ]), P[A 2 ]). P[A 2 ] Exercice 4.5 Rappel Soit f u edomorphisme de E. O ote f = Id E, f 1 = f et f = f o f o o f. O a p, q, f p o f q = f p + q. Si de plus f est iversible, c'est-à-dire si f GL(E), p, f p = (f 1 ) p. O éted alors la propriété précédete : p, q, f p o f q = f p + q. (L K (E), +,.) est u K-e.v., (L K (E), +, o) est u aeau o commutatif et (L K (E), +, o,.) est ue K-algèbre. Fracis Wlaziski 4 m2 fois

Défiitio 1.22 Soit f u edomorphisme de E. Soit P = a + a 1 X +... + a p 1 X p 1 + a p X p = a i X i u polyôme à coefficiets das K. O défiit l'edomorphisme P[f] par P[f] = a p f p + a p 1 f p 1 +... + a 1 f + a I = a i f i. O dit que P[f] est u polyôme de l'edomorphisme f. Remarque 1.23 P K[X] et P[f] L K (E). Exemple 1.24 Soit ϕ l'applicatio défiie sur C ( ) par ϕ(f) = 2f f'. O a bie ϕ L (C ( )). Soit P = X 2 + X + 1, o a P[ϕ] = ϕ 2 + ϕ + Id = ϕ o ϕ + ϕ + Id. Et P[ϕ](f) = ϕ(2f f') + 2f f' + f = 4f 2f' 2f' + f'' + 3f f' = 7f 5f' + f''. Remarques 1.25 Si P = 1, P[f] = Id. Si P = a, P[f] = a Id. Si P = X j, alors P[f] = f j. O ote K[f] = {P[f] / P K[X]}. Propriété 1.26 p i= Soit E u K-e.v. de dimesio fiie 1, mui d'ue base (e). Soit f u edomorphisme de E, de matrice M das la base (e) et soit P u polyôme de K[X]. Alors la matrice de P[f] das la base (e) est P[M]. Remarque 1.27 O dispose de propriétés aalogues à celles des polyômes de matrices. E particulier : Propriétés 1.28 Soiet f L (E) et P, Q K[X]. Si u s.e.v. F de E est stable par f, alors il est stable par P[f]. L'applicatio P P[f] est u morphisme de l'algèbre K[X] das l'algèbre L (E). α, β K, (α P + β Q)[f] = α P[f] + β Q[f]. (PQ)[f] = P[f] o Q[f]. Exemple 1.29 Soiet f L (E), P = X + 1 et Q = X 2 + 2X. P[f] = f + Id, Q[f] = f 2 + 2f et PQ = X 3 + 3X 2 + 2X. Doc (PQ)[f] = f 3 + 3f 2 + 2f et P[f] o Q[f] = f (f 2 + 2f) + f 2 + 2f = f 3 + 3f 2 + 2f. Fracis Wlaziski 5 p i=

Propriété 1.3 Soiet f, g L (E) et P, Q K[X]. Si f et g commutet, alors P[f] et g commutet et P[f] et Q[g] commutet. Remarque 1.31 E particulier, P[f] et Q[f] commutet. C'est ue coséquece de la propriété 1.8. Propriété 1.32 Soiet f, g L (E) et P, Q K[X]. Si f et g commutet, alors Ker P[f] et Im P[f] sot stables par Q[g]. Voir Propriété 1.7. Défiitio 1.33 Soit f u edomorphisme de E. Soit P u polyôme à coefficiets das K. Si P[f] =, o dit que P est u polyôme aulateur de f. Exemple 1.34 Soit f ue ivolutio de E et soit P = X 2 1. O a : f o f = Id f 2 Id = P[f] =. Défiitio 1.35 Soit f u edomorphisme de E. O dit que f est ilpotet d'ordre p 1 si et seulemet si X p est u polyôme aulateur de f et X p 1 'e est pas u. Remarque 1.36 O a : f est ilpotet d'ordre p 1 f p = et f p 1. x E, f p (x) = et x E / f p 1 (x). Exemple 1.37 Soit ϕ l'edomorphisme de 3 [X] défii par ϕ(a) = A'. Soit P = X 4, o a P[ϕ] = c'est-à-dire A(= ax 3 + bx 2 + cx + d) 3 [X], ϕ 4 (A) = A (4) =. Soit Q = X 3, o a Q[ϕ] car ϕ 3 (2X 3 ) = 12. Fracis Wlaziski 6

Propriété 1.38 Soit f u edomorphisme de E (de dimesio fiie). O ote J = {P K[X] / P[f] = } (J est l'esemble des polyômes aulateurs de f). J est u idéal o ul de K[X] dot o ote π f le géérateur uitaire. π f est appelé le polyôme miimal de f. Rappel (L K (E), +, o ) est u aeau o commutatif. L'élémet eutre pour la loi + oté est l'applicatio liéaire qui, à tout x de E associe E. O a : f L K (E), f o = o f = (c'est ue propriété géérale des aeaux). Remarques 1.39 π f K[X]. π f [f] =. Le degré de π f est miimal das J. P J (c'est-à-dire P K[X] / P[f] = ), P K[X] / P = P π f. Exercice 4.6 Propriété 1.4 Soit f u edomorphisme de E. Soit π f = a + a 1 X + a 2 X 2 +... + a p X p le polyôme miimal de f. O a : f est iversible a. Exercice 4.7 Propriété 1.41 Soiet f L (E) et P, Q K[X]. O a Ker (pgcd(p, Q)[f]) = Ker P[f] Ker Q[f]. E particulier, si P et Q sot premiers etre eux, alors la somme Ker P[f] Ker Q[f] est directe. Exercice 4.8 Propriété 1.42 Soiet f L (E) et P, Q K[X] deux polyômes premiers etre eux. O a Ker (PQ)[f] = Ker P[f] Ker Q[f]. E particulier, si (PQ)[f] = (i.e. PQ est u polyôme aulateur de f), alors E = Ker P[f] Ker Q[f]. Exercice 4.9 Fracis Wlaziski 7

Remarque 1.43 Si P et Q sot deux polyômes de K[X] premiers etre eux et si (PQ)[f] =, alors les projecteurs p 1 et p 2 associés à la somme directe E = Ker P[f] Ker Q[f] sot des polyômes e f. E effet, si x = x 1 + x 2 avec x 1 Ker P[f] et x 2 Ker Q[f], o a : p 1 (x) = x 1 = ((BQ)[f])(x) c'est-à-dire p 1 = (BQ)[f]. p 2 (x) = x 2 = ((AP)[f])(x) c'est-à-dire p 2 = (AP)[f]. O éted ce résultat : Propriété 1.44 Soit f L K (E). Soiet (P 1, P 2,..., P r ) des polyômes o uls de K[X] deux à deux premiers etre eux. O pose i = 1, r, N i = Ker P i [f], Π = P i et N = Ker Π [f]. Alors : N = N 1 N 2... N r. Si Π[f] =, E = N 1 N 2... N r. Remarque 1.45 r Das ce derier cas, les projecteurs associés à la décompositio e somme directe sot des polyômes e f (i.e. p i K[f]). Par récurrece sur. Vrai au rag 2 d'après la propriété précédete. O suppose vrai jusqu'au rag 1. Les polyômes P 1 et Q = i=2 P i sot premiers etre eux. D'après la propriété précédete, N = Ker P[f] Ker Q[f]. D'après l'hypothèse de récurrece, Ker Q[f] = N 2 N 3... N. D'où le résultat. Idem Propriété précédete. Théorème 1.46 Soit f u edomorphisme de E. O suppose que π f = P 1 P 2... P r avec les P i uitaires et deux à deux premiers etre eux. O pose N i = Ker P i (f) pour tout i = 1, r. O a : E = N 1 N 2... N r. Le polyôme miimal de la restrictio de f à N i est P i. Corollaire 1.47 Soit f L (E) et π f so polyôme miimal. O suppose que E = E 1 E 2 avec E 1 et E 2 stables par f. Soiet π 1 le polyôme miimal de la restrictio de f à E 1 et π 2 le polyôme miimal de la restrictio de f à E 2. Alors π f divise π 1 π 2. Fracis Wlaziski 8

1.4. Valeurs propres d'ue matrice Rappels Soit A M (K). O a A iversible det A rg(a) =. Si A iversible alors AX = A 1 AX = A 1 X =. Iversemet, si (AX = X = ) X M r (K) pour tout r 1 alors A est iversible. E effet, soit (e) la base caoique de K et soit f L (K ) telle que A = M (e) (f). O a f(x) = f(x') AX = AX' AX AX' = A(X X') = X X' = X = X'. Doc f ijective. Or puisque f est u edomorphisme, o a : f ijective f surjective f bijective. Doc rg(a) = rg(f) = Défiitio 1.48 Soiet M ue matrice de M (K) et λ u élémet de K. O dit que λ est ue valeur propre de M si et seulemet si il existe au mois u vecteur coloe X o ul tel que MU = λ U. U tel vecteur U est appelé vecteur propre de M pour la valeur propre λ. L'esemble des valeurs propres évetuelles de M das K est appelé le spectre de M das K, et est oté Sp K (M). Exemple 1.49 Soit A = 3 3 2 1 1 1 1 2. O a 3 3 2 1 1 1 1 2 Doc (1, 1, 1) est u vecteur propre de A de valeur propre 2. % 1 1 1 = 2 2 2 = 2 1 1 1 Remarques 1.5 MU = λ U MU λ U = (M λ I )(U ) =. Doc, puisque U, o a det (M λ I ) =. Soit M u élémet de M ( ). O peut cosidérer que M appartiet à M ( ). Si o ote Sp (M) le spectre de M cosidérée comme matrice réelle, et Sp (M) le spectre de M cosidérée comme matrice complexe, alors Sp (M) Sp (M). Cette iclusio peut être stricte. 1 Par exemple, si M = 1 Propriété 1.51, alors Sp (M) = et Sp (M) = { i, i}. Soit A M (K). Pour tout scalaire, l'esemble E {X K / AX = λ X} est u s.e.v. de K. Exercice 4.1 Fracis Wlaziski 9

Propriété 1.52 Deux matrices semblables ot mêmes valeurs propres. Exercice 4.11 Remarque 1.53 Autremet dit, si M et N sot deux matrices semblables, o a Sp(M) = Sp(N). Plus précisémet, X est u vecteur (coloe) propre de N si et seulemet si P 1 X est u vecteur (coloe) propre de M = P 1 NP (et pour la même valeur propre). 1.5. Valeurs propres d'u edomorphisme Défiitio 1.54 Soiet f u edomorphisme de E et λ u élémet de K. O dit que λ est ue valeur propre de f s'il existe au mois u vecteur u o ul tel que f (u ) = λ u. U tel vecteur est appelé vecteur propre de f pour la valeur propre λ. L'esemble des valeurs propres évetuelles de f est appelé le spectre de f et est oté Sp(f) ou Sp K (f). Remarques 1.55 f (u) = λ u f (u) λ u = (f λ Id)(u) = u Ker (f λ Id). L'esemble des vecteurs vérifiat f (u) = λ u est doc u s.e.v. de E. λ est ue valeur propre de f Ker (f λ Id) 'est pas réduit à {} f λ Id 'est pas ijectif det (f λ Id) =. Défiitio 1.56 Soit λ ue valeur propre d'u edomorphisme f. Le sous-espace E λ = Ker (f λ I) est alors appelé sous-espace propre de f pour la valeur propre λ. Remarque 1.57 Les vecteurs propres de f, pour la valeur propre λ, sot les élémets o uls de E λ. Exemples 1.58 Das 2, soit D 1 la droite vectorielle egedrée par u 1 = (1, 1) et D 2 la droite vectorielle egedrée par u 2 = ( 1, 1). O a E = D 1 D 2 c'est-à-dire x 2,! (x 1, x 2 ) D 1 D 2 / x = x 1 + x 2. Soit f la projectio sur D 1 parallèlemet à D 2. O a x D 1, f(x) = x et x D 2, f (x) =. Doc 1 et sot des valeurs propres de f. 1 O a E 1 = D 1 et E = D 2 et M (u1, u2) (f) =. Soit g la symétrie orthogoale par rapport à D 1. O a x D 1, g(x) = x et x D 2, g(x) = x. Doc 1 et 1 sot des valeurs propres de f. 1 O a E 1 = D 1 et E -1 = D 2 et M (u1, u2) (f) =. 1 Fracis Wlaziski 1

Propriété 1.59 Soit M u élémet de M (K), et soit f u edomorphisme d'u K-e.v. E de dimesio, ayat pour matrice M das ue base (e) de E. Les valeurs propres de M sot celles de f. Soiet λ u scalaire, u u vecteur de E et U la matrice coloe de ses coordoées das la base (e). Alors u est vecteur propre de f pour λ si et seulemet si U est vecteur propre de M pour λ. Ce qui précède s'applique e particulier à l'edomorphisme f de K de matrice M das la base caoique. Remarques 1.6 O a doc : f (u) = λu MU = λu. Cas particulier : est valeur propre de f si et seulemet si f est o ijective. Le sous-espace propre est alors E = Ker (f). Soit u u vecteur o ul. Dire que u est vecteur propre de f, c'est dire que la droite vectorielle < u > = K u est stable par f. La restrictio de f à E λ est l'homothétie u λ u. Exemples 1.61 L'edomorphisme f de K[X] défii par f (P) = X P 'a aucue valeur propre. L'edomorphisme f de C (, ) défii par f (u) = u' admet tout réel pour valeur propre. Pour tout réel λ, E λ est la droite vectorielle egedrée par u : x exp(λ x). 1.6. Vecteurs et valeurs propres. Propriétés Propriété 1.62 Soiet λ 1, λ 2 deux valeurs propres différetes de f L K (E). Notos E 1, E 2 les sous-espaces propres correspodats. Alors la somme E 1 + E 2 est directe c'est-à-dire E 1 E 2. Soit x E 1 E 2. x E 1 f (x) = λ 1.x x E 2 f (x) = λ 2.x O a doc λ 1 x = λ 2 x c'est-à-dire (λ 1 λ 2 ) x = Or λ 1 λ 2 doc x =. Remarque 1.63 Soit f u edomorphisme de E et u u élémet de E. Si u est vecteur propre de f, ce e peut être que pour ue seule valeur propre : l'uique scalaire λ qui vérifie f (u) = λ u. Mais si λ est ue valeur propre de f, il existe ue ifiité de vecteurs propres associés à λ : les vecteurs o uls de E λ. Propriété 1.64 Soit λ 1, λ 2,..., λ p ue famille de p valeurs propres distictes de f. Notos E 1, E 2,..., E p les sous-espaces propres correspodats. Alors la somme E 1 + E 2 +... + E p est directe. Fracis Wlaziski 11

Remarque 1.65 De maière équivalete : si u 1, u 2,..., u r est ue famille de vecteurs propres de f pour r valeurs propres distictes, alors cette famille est libre. Par récurrece sur p. Vrai pour p = 2. O suppose vrai jusqu'au rag p 1 c'est-à-dire la somme est directe. Soit (x 1, x 2,..., x ) E 1 E 2... E p tels que x 1 + x 2 +... + x p = x i =. O doit motrer que i = 1, o a x i =. p f() = f λ i x i =. p x i = f(x i ) = C'est-à-dire λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +... + λ p x p =. Or λ p (x 1 + x 2 +... + x p ) = i.e. λ p x 1 + λ p x 2 +... + λ p x p =. D'où (λ 1 λ p ) x 1 + (λ 2 λ p )x 2 +... + (λ p 1 λ p )x p 1 = D'après l'hypothèse de récurrece, la somme Or λ i λ p doc x i = pour tout i = 1, p 1. p p 1 E k k=1 Et, puisqu'alors x i =, o e déduit que x p =. Corollaire 1.66 p 1 p 1 k=1 E k p est directe doc chacu des termes est ul. O suppose que E est de dimesio fiie. Soit f L (E) et soit E 1, E 2,..., E r les sous-espaces propres associées au valeurs propres de f. O a r dim E i dim(e). Remarques 1.67 Si dim K E = et si f L (E), alors f admet au plus valeurs propres distictes das K. Il e est de même pour toute matrice M de M (K). Si les edomorphismes f et g de E commutet, alors f λid E et g commutet et tout sous-espace propre de f est stable par g. Propriété 1.68 Soit f das L (E) et soit k u etier. Si u est vecteur propre de f pour λ, alors u est u vecteur propre de f k pour la valeur propre λ k. Soit u u vecteur propre de f de valeur propre λ. O démotre le résultat par récurrece. Vrai au rag 1 (et ). O suppose vrai au rag p 1 c'est-à-dire f p 1 (u) = λ p 1 u. f p (u) = (f o f p 1 )(u) = f(f p 1 (u)) = f(λ p 1 u) = λ p 1 f(u) = λ p 1 λ u = λ p u. Fracis Wlaziski 12

Propriété 1.69 Soit f das L (E) et P das K[X]. Si u est vecteur propre de f pour λ, alors u est u vecteur propre de P[f] pour la valeur propre P(λ). Soit u u vecteur propre de f de valeur propre λ. Soit P = a + a 1 X +... + a p 1 X p 1 + a p X p = a i X i u polyôme à coefficiets das K. p i= O a P[f] = a p f p + a p 1 f p 1 +... + a 1 f + a I. D'où P[f](u) = a p f p (u) + a p 1 f p 1 (u) +... + a 1 f'(u) + a I = a p λ p u + a p 1 λ p 1 u +... + a 1 λu + a u = P(λ)u. Remarque 1.7 O a u éocé équivalet pour les matrices de M (K). Propriété 1.71 Si P est u polyôme aulateur de f, i.e. P[f] =, alors les valeurs propres de f sot des racies de P. Soit u u vecteur propre de f de valeur propre λ. Doc = P[f](u) = P(λ)u P(λ) =. Remarque 1.72 Si f est ilpotete, alors Sp(f) = {}. 1.7. Automorphismes itérieurs, matrices semblables Propriété 1.73 Soit a u automorphisme de E c'est-à-dire a GL(E). L'applicatio ϕ a de L K (E) das L K (E) défiie par f x ϕ a,f = a o f o a 1 est u automorphisme de l'algèbre L (E). Les applicatios ϕ a sot appelées automorphismes itérieurs de L (E). Propriété 1.74 Avec les otatios précédetes, Sp(ϕ a,f ) = Sp(f). Plus précisémet : u est vecteur propre de f pour λ a(u) est vecteur propre de ϕ a, f pour λ. Les sous-espaces propres de ϕ a, f sot doc les a(e λ ), e otat E λ les sous-espaces propres de f. Et puisque a est u automorphisme de E, dim a(e λ ) = dim E λ. Remarques 1.75 M et N sot semblables si et seulemet si elles sot susceptibles de représeter le même edomorphisme de E (avec dim(e) = ), chacue das ue certaie base de E. Plus précisémet, e repreat les otatios ci-dessus : Si E est mui d'ue base (e), et si o ote f, g, a les edomorphismes de E de matrices respectives N, M, P das (e), alors g = a o f o a 1, c'est-à-dire g = ϕ a, f. Fracis Wlaziski 13

2. Polyôme caractéristique Das cette partie, E est u K-e.v. de dimesio fiie 1. 2.1. Défiitio et premières propriétés Rappel Soit f L (E), (e) ue base de E de dim et A = M (e) (f). O a vu que : λ valeur propre de f il existe x E o ul (et X K ) tel que : (f λ Id E )(x) = ou (A λ I )X =. O a A λ I M (K). Si A λ I était iversible o aurait (A λ I )X = X =. De même, si f λ Id E était iversible o aurait (f λ Id E )(x) = x =. O a doc : λ Sp(f) det (f λ Id E ) = det (A λ I ) =. Défiitio 2.1 Soit M ue matrice de M (K). O appelle polyôme caractéristique de M et o ote M le polyôme défii par M = det (M X I ). Exemple 2.2 1 1 Soit A =. O a A X I 2 = 2 1 1 1 2 1 X 1 1 = 1 1 2 1 1 X 1 A = det(a X I ) = = (X 1)(X + 1) + 2 = X 2 1 + 2 = X 2 + 1. 2 1 X X X = 1 X 1 2 1 X. Remarque 2.3 O a doc λ valeur propre de A A(λ) = λ racie du polyôme caractéristique de A. Propriété 2.4 Le polyôme caractéristique de M vérifie M = ( 1) X + ( 1) 1 tr(m) X 1 +... + det(m). Propriété 2.5 Les matrices M et t M ot le même polyôme caractéristique. t M X I = t M X t I = t M t (XI ) = t (M XI ). Doc tm = det( t M X I ) = det( t (M XI )) = det(m XI ) = M. Propriété 2.6 Deux matrices semblables ot le même polyôme caractéristique. Fracis Wlaziski 14

Soiet A et B deux matrices semblables i.e. il existe S iversible telle que A = S 1 BS. O a A X I = S 1 BS X I = S 1 BS X S 1 S = S 1 BS X S 1 I S = S 1 BS S 1 (XI )S = S 1 (B X I )S. Doc A = det(a XI ) = det(s 1 (B X I )S) = det S 1 det(b X I )det S = (det S) 1 det S det(b X I ) = det(b X I ) = B. Défiitio 2.7 Soit f u edomorphisme de E. O appelle polyôme caractéristique de f celui de la matrice M de f das ue base (e) quelcoque de E. O le ote f. Remarque 2.8 D'après la propriété précédete, il e déped pas de la base choisie. Propriété 2.9 Toute matrice de M ( ), ou ecore tout edomorphisme f d'u -e.v. de dimesio 1, admet au mois ue valeur propre. Défiitio 2.1 Soiet f u edomorphisme de E, M ue matrice de M (K), et λ u élémet de K. O dit que λ est ue valeur propre de M (resp. de f), avec la multiplicité k (1 k ), si λ est racie de M (resp. de f), avec la multiplicité k. Cette multiplicité est souvet otée m(λ). O parle aisi de valeur propre simple, double, triple,... si m(λ) = 1, 2, 3,.... Propriété 2.11 Soit M ue matrice carrée d'ordre, à coefficiets réels. O cosidère ses valeurs propres das. Si le ombre complexe λ est ue valeur propre de M alors est aussi ue valeur propre de M, et avec la même multiplicité. De plus, si le vecteur coloe X vérifie MX = λ X, alors o a l'égalité M X = X. 2.2. Polyôme caractéristique et sous-espaces stables Propriété 2.12 Soit f u edomorphisme de E et f so polyôme caractéristique. O suppose que E = F 1 F 2 où F 1 et F 2 sot des s.e.v. stables par f. Soiet f 1 la restrictio de f à F 1 et f 1 so polyôme caractéristique. De même, soiet f 2 la restrictio de f à F 2 et f 2 so polyôme caractéristique. Alors f = f 1 % f 2. Fracis Wlaziski 15

Soiet (B 1 ) = (b 1, b 2,..., b p ) et (B 2 ) = (b' 1, b' 2,..., b' q ) deux bases de respectivemet F 1 et F 2. O a p + q =. Soit (b) la base obteue e juxtaposat (B 1 ) et (B 2 ). Soiet M = M (b) (f), M 1 = M (B1) (f 1 ) et M 2 = M (B2) (f 2 ). M 1 M 1 XI p O a : M =, doc M X I = M 2 M 2 XI q M 1 XI p et det (M X I ) = = det (M 1 X I p ) det (M 2 X I q ). M 2 XI q Propriété 2.13 Soit f u edomorphisme de E. O suppose que E = F 1 F 2... F p, les F k état o réduits à {}. O suppose que chaque F k est stable par f, et o ote g k la restrictio de f à F k. Alors f = g1 g2... gp. Propriété 2.14 Soit f u edomorphisme de E et soit λ ue valeur propre de f. Si o ote m(λ) sa multiplicité et d(λ) la dimesio du sous-espace propre E λ, alors : 1 d(λ) m(λ). E raisoat par l'absurde et d'après la propriété 2.13. Remarque 2.15 E particulier, le sous-espace vectoriel propre associé à ue valeur propre simple, c'est-à-dire de multiplicité 1, est écessairemet ue droite vectorielle. 3. Trigoalisatio Défiitio 3.1 Ue matrice M de M (K) est dite trigoalisable si elle est semblable à ue matrice triagulaire supérieure T, c'est-à-dire s'il existe ue matrice iversible P telle que T = P 1 MP. Défiitio 3.2 Soit f u edomorphisme d'u K-e.v. E de dimesio fiie 1. O dit que f est trigoalisable s'il existe ue base de E das laquelle la matrice de f est triagulaire supérieure. Remarque 3.3 Dire que M est trigoalisable, c'est dire que tout edomorphisme f d'u K-e.v. E de dimesio ayat pour matrice M das ue certaie base est lui-même trigoalisable. Fracis Wlaziski 16

Propriété 3.4 Ue matrice M de M (K), ou ecore u edomorphisme f d'u K-e.v. E de dimesio, est trigoalisable si et seulemet si so polyôme caractéristique est scidé das K. Soit λ 1, λ 2,... λ les racies du polyôme caractéristique de f. C'est-à-dire M = det(m X I ) = (λ 1 X)(λ 2 X)... (λ X) = (λ i X). par récurrece sur la dimesio () : Vrai au rag 1 : rie à motrer. O suppose vrai au rag 1. O a λ valeur propre de f Ker(f λ Id) 1. Soit F = Im(f λ Id), o a dim F 1. Soit G u s.e.v. de dimesio 1 qui cotiet F. Et x G, f (x) = f (x) λ x + λ x = (f λ Id)(x) + λ x. O a (f λ Id)(x) F G et λ x G doc G est stable par f. Soit (e ) = (e 1, e 2,..., e 1 ) ue base de G. O complète (e ) avec u vecteur e de faço à obteir ue base (e) de E O a f (e ) = (f λ Id)(e ) + λ e avec (f λ Id)(e ) G. Doc (f λ Id)(e ) peut s'écrire sous la forme x 1 a 1 + x 2 a 2 +... + x 1 a 1 pour toute base (a 1, a 2,..., a 1 ) de G. O a doc f(e ) = α 1 e 1 + α 2 e 2 +... + α 1 e 1 + λ e. N N Et M (e) (f) = avec N M 1 (K) et N' est le vecteur coloe formé des α i. Or deux matrices semblables ot même polyôme caractéristique doc (λ i X) = det(m (e) (f) X I ) = (λ X) det(n X I ). C'est-à-dire det(n X I ) = 1 (λ i X). D'après l'hypothèse de récurrece, il existe ue base (b ) = (b 1, b 2,..., b 1 ) de G telle que la restrictio de f à G soit triagulaire supérieure c'est-à-dire N triagulaire supérieure. Soit alors (b) = (b ) {e }. O a bie M (b) (f) triagulaire supérieure. Remarques 3.5 Ue matrice triagulaire a ses valeurs propres sur la diagoale, chacue figurat autat de fois que so ordre de multiplicité. E effet, si A = a 1,1 a 1,2 a 1, a 2,2 a 2, a, est ue matrice triagulaire supérieure, o a a 1,1 X a 1,2 a 1, a 2,2 X a 2, A = det(a XI ) = = (a 1, 1 X)(a 2, 2 X)... (a, X). a, X E particulier toute matrice de M ( ), ou ecore tout edomorphisme f d'u -e.v. de dimesio fiie 1, est trigoalisable. Fracis Wlaziski 17

Théorème 3.6 Hamilto - Cayley Toute matrice est racie de so polyôme caractéristique. Tout edomorphisme est racie de so polyôme caractéristique. Remarques 3.7 Cela sigifie que M[M] = ou que f[f] =. f est doc u multiple de π f. Si f est ilpotete d'ordre q das u e.v. de dim, o a π[f] = X q et [f] = ( 1) X (o a q). O peut supposer que f est scidé. E effet si ce 'est pas le cas, il suffit de cosidérer f sur l'extesio de corps où c'est le cas (corps de rupture ou clôture algébrique). Par exemple pour tout edomorphisme sur u -e.v. Le résultat e dépedat pas du corps, il reste vrai. O suppose doc que f = (λ 1 X)(λ 2 X)... (λ X) = (λ i X). Soit (b) = (b 1, b 2,..., b ) ue base de E où M (b) (f) = (a i,j ) i,j = 1, est triagulaire supérieure. 1 a 1,2 a 1, Plus précisémet, o suppose que M = M 2 a 2, (b) (f) =. C'est-à-dire a i, i = λ i i = 1, et a i,j = si i > j. O va motrer, par récurrece, que i = 1, et x <e 1, e 2..., e i >, (f λ 1 Id E ) o... o (f λ i Id E )(x) =. Vrai pour i = 1. E effet, x <e 1 > x = ke 1 et o a f(b 1 ) = λ 1 b 1 c'est-à-dire (f λ 1 Id E ) (b 1 ) =. D'où (f λ 1 Id E ) (kb 1 ) = k(f λ 1 Id E ) (b 1 ) = k. =. O suppose vrai pour i p 1. Soit g = (f λ 1 Id E ) o... o (f λ p 1 Id E ) o (f λ p Id E ). x < e 1, e 2..., e p > x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... x p 1 e p 1 + x p e p = x k e k. D'où g(x) = g(x 1 e 1 + x 2 e 2 +... x p 1 e p 1 + x p e p ) = g x k e k = x k g(e k ). k=1 Mais 1 j p, (f λ p Id E )(e k ) = f (e k ) λ p e k avec f(e k ) <e 1, e 2..., e p 1 > (car la matrice est triagulaire supérieure) et λ p e k <e 1, e 2..., e p 1 >. D'après l'hypothèse de récurrece, g(e k ) = ((f λ 1 Id E ) o... o (f λ p 1 Id E ))[(f λ p Id E )(e k )] =. D'où, pour motrer que la relatio est vraie pour i = p, il suffit de vérifier que g(e p ) =. Or f(e p ) = a 1, p e 1 + a 2, p e 2 +... + a p 1, p e p 1 + λ p e p = a k, p e k + λ p e p. p 1 k=1 Doc (f λ p Id E )(e p ) = a k, p e k <e 1, e 2..., e p 1 >. D'après l'hypothèse de récurrece, g(e p ) = ((f λ 1 Id E ) o... o (f λ p 1 Id E ))[(f λ p Id E )(e p )] =. Doc x E = <e 1, e 2..., e >, [(f λ 1 Id E ) o... o (f λ Id E )](x) =. C'est-à-dire (f λ 1 Id E ) o... o (f λ Id E ) = ou ecore f(f) = p k=1 p 1 k=1 p k=1 p Fracis Wlaziski 18

Exemple 3.8 1 1 Soit A = 1 1. 1 1 O a A(λ) = det(a λ I 3 ) = O vérifie : (A + I 3 ) 2 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 3 1 1 1 1 1 1 = (2 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 (A + I 3 ) 2 (2I 3 A) = 3 1 1 1 1 2 1 =. 1 1 1 1 1 2 O a doc A(A) = = A 3 + 3A + 2I 3 A 3 3A = 2I 3 A A 2 3I 3 A = 2 3I 3 A = I 3. 2 2 A D'où A est iversible et A 1 = 2 3I 3. 2 Propriété 3.9 = (2 ) Soit M M (K), trigoalisable. Soiet λ 1, λ 2,..., λ ses valeurs propres, o écessairemet distictes. Alors les valeurs propres de M p, pour tout p de, sot λ 1p, λ 2p,..., λ p. Cet éocé se gééralise aux etiers relatifs p si M est iversible. Remarques 3.1 1 1 1 1 1 1 1 = (λ + 1) 2 (2 λ) = λ 3 + 3λ + 2. A e pas cofodre avec λ valeur propre de M λ p valeur propre de M p, p 1. Le produit de deux matrices triagulaires supérieures est ue matrice triagulaire supérieure. De plus les élémets diagoaux du produit sot les produits des élémets diagoaux des deux matrices. Propriété 3.11 Si le polyôme caractéristique de M est scidé das K, c'est-à-dire se décompose e u produit de polyôme de degré 1, alors tr(m) (resp. det(m)) est égale à la somme (resp. au produit) des valeurs propres de M chacue comptée autat de fois que sa multiplicité. C'est toujours le cas si K =. Fracis Wlaziski 19

4. Edomorphismes et matrices diagoalisables Das cette partie, E est u K-e.v. de dimesio fiie 1. 4.1. Défiitios et premières propriétés Rappel Soit f L (E). Si π f = P 1 P 2... P r avec les P i uitaires et deux à deux premiers etre eux. E = Ker (P 1 [f]) Ker (P 2 [f])... Ker (P r [f]). De plus, le polyôme miimal de la restrictio de f à Ker(P i [f]) est P i. P K[X], P[f] et f commutet doc Ker P[f] est stable par f. Si (ε) = (ε 1, ε 2,..., ε ) est ue base de E, o a : M (ε) (f) diagoale i = 1,, ε i est u vecteur propre de f. Défiitio 4.1 Soit M u élémet de M (K). O dit que M est diagoalisable si M est semblable à ue matrice diagoale D, c'est-à-dire s'il existe ue matrice iversible P telle que D = P 1 MP. O dit alors que D est ue réduite diagoale de M. Défiitio 4.2 O dit qu'u edomorphisme f de E est diagoalisable s'il existe ue base de E das laquelle la matrice de f est diagoale. Remarques 4.3 U edomorphisme est diagoalisable si et seulemet si sa matrice das ue base quelcoque est diagoalisable. M est diagoalisable si et seulemet si tout edomorphisme f d'u K-e.v. E de dimesio dot la matrice est M das ue base (e) de E est diagoalisable, et e particulier l'edomorphisme de K de matrice M das la base caoique. Si M est diagoalisable et si N est semblable à M, alors N est diagoalisable. Rappel : Deux matrices semblables ot même trace et même détermiat. O a pu doc défiir la trace et le détermiat d'u edomorphisme f d'u e.v. de dimesio fiie comme état la trace et le détermiat de la matrice représetative de f das 'importe quelle base de E. Propriété 4.4 Si u edomorphisme f de E est diagoalisable, alors det f est le produit des valeurs propres de f et tr(f) est la somme des valeurs propres de f (comptées autat de fois que leur multiplicité). Propriété 4.5 Les valeurs propres d'u edomorphisme sot les racies de so polyôme miimal. Fracis Wlaziski 2

Soit λ ue valeur propre de f et x u vecteur propre associé à λ. Soit π f le polyôme miimal de f. Il existe Q, R K[X] / π f = (X λ)q + R avec deg R < 1 c'est-à-dire R = c K. Or π f [f] = = Q[f] o (f λ Id) + c Id doc = π f [f](x) = cx c =. D'où (X λ) divise π f. Remarques 4.6 O a doc que, si Sp(f) = {λ 1, λ 2,... λ r } est l'esemble des valeur propres de f, alors r k=1 (X λ 1 )(X λ 2 )... (X λ r ) = (X λ k ) divise π f. Si f L (E) est diagoalisable et si Sp(f) = {λ 1,..., λ r }, alors so polyôme miimal est de la forme π f = (X λ 1 ) 1... (X λ r ) r. O a f = (X λ 1 ) m1... (X λ r ) mr avec m i i i = 1, r car f est u multiple de π f 4.2. Coditios de diagoalisabilité Propriété 4.7 Soit f u edomorphisme de E (o rappelle que dim E = 1). Soiet (E 1, E 2,..., E r ) les espaces propres associées à Sp(f) = {λ 1, λ 2,... λ r }. f diagoalisable si et seulemet si E = E 1 E 2... E r si et seulemet si dim E = dim E 1 + dim E 2 +... + dim E r. Evidete. Propriété 4.8 Soit f u edomorphisme de E de dimesio. Si f admet valeurs propres distictes das K, alors f est diagoalisable, et les sous-espaces propres sot des droites vectorielles. Soiet (E 1, E 2,..., E r ) les espaces propres associées aux valeurs propres de f. D'après la propriété 1.64, la somme E 1 + E 2 +... + E r est directe. Chacu des espaces état de dimesio au mois 1. r O a dim E i mais dim E i dim E =. r r / Doc i = 1, r dim E i = 1 et E = E i. Remarques 4.9 La coditio précédete 'est pas écessaire. Par exemple si f est ue homothétie de rapport λ, alors f est diagoalisable et pourtat f 'a pour seule valeur propre que λ, avec la multiplicité. Fracis Wlaziski 21

Iversemet, si f 'a qu'ue valeur propre λ, de multiplicité = dim E, f est diagoalisable si et seulemet si f est l'homothétie de rapport λ. De même si M (élémet de M (K)) 'a que la valeur propre λ (ce qui est le cas par exemple si M est triagulaire avec des λ sur la diagoale), alors M est diagoalisable si et seulemet si M = λ I. Propriété 4.1 Soit f u edomorphisme de E. Si f est diagoalisable, alors la restrictio de f à u sous-espace stable F est u edomorphisme diagoalisable de F. Propriété 4.11 Soit f u edomorphisme de E et π f so polyôme miimal. Les coditios suivates sot équivaletes : i) f est diagoalisable. ii) π f est scidé et 'a que des racies simples. Soit Sp(f) = {λ 1, λ 2,... λ r } l'esemble des valeur propres de f. (i) (ii) O suppose f diagoalisable. Il existe (e) = (e 1, e 2,..., e ) ue base de E telle que M (e) (f) est diagoale. i = 1,, 1 j r / f(e i ) = λ j e i. (ii) (i) Remarque 4.12 Soit P = (X λ 1 )(X λ 2 )... (X λ r ) = (X λ k ). O peut si écessaire écrire P = (X k ) (X λ j ). r k=1 r k=1;k!j D'où P[f] = (f λ k Id) = (f k Id) o (f λ j Id). r k=1;k!j r k=1 Doc i = 1,, P[f](e i ) = c'est-à-dire P est u polyôme aulateur de f doc u multiple de π f. D'après la propriété précédete π f est u multiple de P. Ils sot tous les deux uitaires doc P = π f. O suppose que π f est scidé et 'a que des racies simples. Càd π f = (X a 1 )(X a 2 )... (X a r ) avec a i K et surtout les a i deux à deux disticts. Les (X a i ) sot doc premiers etre eux. O a doc E = Ker (X a 1 ) Ker (X a 2 )... Ker (X a r ). D'après la propriété 4.7, f est diagoalisable. f est diagoalisable si et seulemet si f est aulé par u polyôme P scidé à racies simples puisque P est u multiple de π f. Exemple 4.13 Si l'applicatio f vérifie (f 2Id) o (f + 3Id) =, alors E = E 2 E 3. Si l'u des deux sous-espaces E 2 ou E 3 est réduit à {}, c'est que f est ue homothétie, de rapport 3 ou 2 respectivemet. Sio le spectre de f est exactemet égal à { 3, 2}. Fracis Wlaziski 22

Propriété 4.14 Soit f u edomorphisme de E. f est diagoalisable si et seulemet si le polyôme caractéristique f est scidé das K[X] et pour toute valeur propre λ (c'est-à-dire toute racie de f) la multiplicité m(λ) est égale à la dimesio d(λ) du sous-espace propre E λ. Remarque 4.15 Avec les otatios ci-dessus, les coefficiets de la diagoale de D sot les valeurs propres de M, chacue figurat autat de fois que so ordre de multiplicité. Das l'égalité D = P 1 MP, P est la matrice de passage de la base caoique de K à ue base de vecteurs propres de M. Propriétés 4.16 Soit M u élémet de M (K). Soit M u élémet de M ( ). Si M est diagoalisable "das " alors M est diagoalisable "das ", avec les mêmes valeurs et vecteurs propres et la même égalité D = P 1 MP, les matrices P et D état à coefficiets réels. E revache, toujours avec M das M ( ), M peut être diagoalisable das sas l'être das, si des valeurs propres sot complexes mais o réelles. Das l'égalité D = P 1 MP, P et D sot alors à coefficiets complexes. Défiitio 4.17 Soit f L (E) et λ Sp(f) de multiplicité m das π f le polyôme miimal de f. Le s.e.v. Ker (f λ Id) m est appelé sous-espace caractéristique de λ. Remarque 4.18 Soit M = (a i,j ) i,j = 1, M (K) et λ K tels que j = 1,, a i,j = λ alors λ est ue valeur propre de M. E effet, si L i est la ième lige de M λ I, alors L 1 + L 2 +... + L = ( a i,j λ) = doc les liges sot liées i.e. M λ I o iversible. j=1 5. Réductio de matrice : pratique et applicatios 5.1. Diagoalisatio d'ue matrice O cherche à diagoaliser si possible ue matrice M de M (K). O calcule le polyôme caractéristique M de la matrice M puis les racies das K de ce polyôme. Si le polyôme M 'est pas scidé das K, alors M 'est pas diagoalisable das K. Si au cotraire M est scidé alors pour chaque racie λ o résout le système homogèe (M λ I )X =, où X est ue matrice coloe de K. L'esemble des solutios de ce système est le sous-espace propre E λ. La résolutio coduit à ue base (e) λ de E λ, doc à dim(e λ ). Fracis Wlaziski 23

Si, pour l'u des λ, o a dim(e λ ) < m(λ), où m(λ) est la multiplicité de λ comme racie de M, alors M 'est pas diagoalisable. Sio M est diagoalisable, et la juxtapositio des bases (e) λ doe ue base de K, formée de vecteurs propres. O e déduit la matrice de passage P de la base caoique à la base (e), et l'égalité D = P 1 MP, où D est diagoale : ses coefficiets diagoaux sot les valeurs propres de M, das l'ordre des vecteurs propres de la base (e). Les calculs précédets peuvet s'effectuer avec la méthode du pivot : O part de la matrice A λ = M λ I que l'o trasforme, par des opératios sur les liges, e ue matrice triagulaire B λ. Les valeurs propres de M sot les λ tels que B λ est o iversible c'est-à-dire les valeurs qui aulet au mois u coefficiet diagoal de B λ. Pour chacue de ces valeurs, le sous espace propre est obteu e résolvat le système B λ X =, qui est équivalet au système (M λ I )X =. 5.2 Exemple de diagoalisatio 1 3 O cherche à diagoaliser M = 2 1. 1 1 1 O a M = det(m XI 3 ) = 1 X 3 2 X 1 1 1 1 X = 1 1 1 X = 2 X 1 = 2 + X 1 + 2X X 2 = X(X + 2)(2 X). Les valeur propres de M sot doc 2, et 2. 1 1 1 X 2 X 1 1 X 3 1 1 1 X 2 X 1 2X X 2 O pose B λ = 1 1 1 2 1. 2 2 O a u = (x, y, z) vecteur propre de M de valeur propre λ (M λ I 3 )u = B λ u =. Pour λ = 2. u = (x, y, z) E 2 1 1 3 1 8 x + y + 3z = z = z = y = x z = Soit b 1 = (1, 1, ). O a E 2 = <b 1 >. % x y z = Fracis Wlaziski 24

Pour λ =. 1 1 1 u = (x, y, z) E 2 1 x + y + z = 2y + z = x = 3y z = 2y Soit b 2 = ( 3, 1, 2). O a E = <b 2 > = Ker M. % x y z = Pour λ = 2. 1 1 1 u = (x, y, z) E 2 4 1 % x + y z = 4y + z = x = 3y z = 4y Soit b 3 = (3, 1, 4). O a E 2 = <b 3 >. x y z = 2 1 1 3 3 O a D = = 2 et P = 1 1 1. 2 1 2 4 O obtiet P 1 = 1 8 1 9 3 2 2 2 1 1 1 et o peut vérifier que D = P 1 MP. 5.3 Exemple de trigoalisatio 2 O cherche à trigoaliser M = 1 3. 1 1 O a det M = 2. O obtiet M = det(m XI 3 ) = 2 X 2 X 1 X 3 = (1 X) 1 1 X 1 1 X = (X + 2)(X 1) 2. Les valeur propres de M sot doc 2 et 1. 1 1 O pose B λ = 1 3. (1 )(2 + ) (O 'a pas écessairemet besoi des B λ, o pourrait utiliser directemet la défiitio). O a u = (x, y, z) vecteur propre de M de valeur propre λ (M λ I 3 )u = B λ u =. Fracis Wlaziski 25

Pour λ = 2. u = (x, y, z) E 2 1 3 3 3 x + 3z = 3y + 3z = x = 3z y = z Soit v 1 = (3, 1, 1). O a E 2 = <v 1 >. % x y z = Pour λ = 1. u = (x, y, z) E 1 1 3 % x = z = Soit v 2 = (, 1, ). O a E 2 = <v 2 >. x y z = Puisque dim E 1 2, M 'est pas diagoalisable. Mais le polyôme caractéristique de M est scidé doc o peut la trigoaliser. O complète v 1, v 2 pour obteir ue base de 3. Par exemple e preat v 3 = (,, 1). O obtiet Mv 3 = (, 3, 1) = 3v 2 + v 3 et efi T = P 1 MP avec 2 3 1/3 T = 1 3, P = 1 1 et P 1 = 1/3 1 1 1 1 1/3 1 5.4. Applicatio : Calcul des puissaces d'ue matrice Si ue matrice M de M (K) est diagoalisable, l'égalité D = P 1 MP, où D est diagoale, permet d'écrire M = PDP 1. Puis, pour tout etier aturel k, M k = PD k P 1. O peut gééraliser aux etiers k relatifs si M est iversible. Exemple 1 3 Soit la matrice réelle M = 2 1. O cherche à calculer M 1. 1 1 1 O a vu que D = P 1 MP 2 1 1 3 3 1 9 3 avec D = = 2, P = 1 1 1 et P 1 = 1 2 2 2. 8 2 1 2 4 1 1 1 O a doc M 1 = P D 1 P 1. Fracis Wlaziski 26

P D 1 = 124 1 3 3 1 1 1 2 4 % 1 1 = 124 1 3 3 2 4 M 1 = 128 1 3 3 2 4 % 1 9 3 2 2 2 1 1 1 = 128 2 12 6 8 = 256 1 6 3 4 5.5. Applicatio : Itégratio des systèmes différetiels liéaires Soit u système de 2 équatios différetiels liéaires du 1er ordre, à coefficiets costats, de foctios x 1 (t), x 2 (t),..., x (t) : Øx 1 = a Øt 1,1 x 1 (t) + a 1,2 x 2 (t) +... + a 1, x (t) + b 1 (t) Øx 2 = a (1) Øt 2,1 x 1 (t) + a 2,2 x 2 (t) +... + a 2, x (t) + b 2 (t) Øx = a Øt,1 x 1 (t) + a,2 x 2 (t) +... + a, x (t) + b (t) a 1,1 a 1,2 a 1, x 1 (t) a 2,1 a 2,2 a 2, x 2 (t) Øx 2 Soiet A =, X =, ØX = Øt et B = Øt a,1 a,2 a, x (t) Øx 1 Øt Øx Øt b 1 (t) b 2 (t) b (t) Le système (1) peut doc s'écrire ØX = AX + B. Øt Soit X ue solutio particulière de ce système. ØX O a = AX et, par différece, o obtiet Øt + B Ø(X X ) Øt = A(X X ) La solutio géérale du système (1) s'obtiet doc e ajoutat à ue solutio particulière la solutio géérale du système homogèe ØX = AX, c'est-à-dire : Øt Øx 1 = a Øt 1,1 x 1 (t) + a 1,2 x 2 (t) +... + a 1, x (t) Øx 2 = a (2) Øt 2,1 x 1 (t) + a 2,2 x 2 (t) +... + a 2, x (t). Øx = a Øt,1 x 1 (t) + a,2 x 2 (t) +... + a, x (t) Si A est diagoalisable, il existe P GL (K) telle que P 1 AP = D = diag(λ 1, λ 2,..., λ ). Øy 1 y 1 (t) Øt Øy y 2 (t) 2 Soit Y = telle que X = PY i.e Y = P 1 X, o a ØY = Øt = P 1 ØX. Øt Øt y (t) Øy Øt Fracis Wlaziski 27

ØX = AX P ØY = APY ØY = DY. Øt Øt Øt Øy 1 = Øt 1 y 1 (t) Øy 2 = O est doc rameer à résoudre le système : Øt 2 y 2 (t). Øy = Øt y (t) y 1 (t) = c 1 e 1t c 1 e 1t y 2 (t) = c 2 e 2t c 2 e 2t D'où et Y = avec c 1, c 2,..., c K. y (t) = c e t c 1 e t O trouve X par la relatio X = PY. Exemple x 1 = x 1 + 3x 2 O cherche à résoudre le système : x 2 = 2x 2 + x 3. x 3 = x 1 + x 2 + x 3 1 3 La matrice du système est A = 2 1. 1 1 1 O a vu que D = P 1 AP avec D = 2 1 1 3 3 1 9 3 = 2, P = 1 1 1 et P 1 = 1 2 2 2 8 2 1 2 4 1 1 1. O a doc X = x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) = P c 1 e 2t c 2 c 3 e 2t. x 1 (t) = c 1 e 2t 3c 2 + 3c 3 e 2t C'est-à-dire x 2 (t) = c 1 e 2t + c 2 + c 3 e 2t. x 3 (t) = 2c 2 + 4c 3 e 2t 6. Expoetiel de matrice et d'edomorphisme Das tout ce paragraphe, K = ou, E est u K-e.v. de dimesio fiie * et (e) = (e 1, e 2,..., e ) est ue base de E. Rappel Puisque E est de dimesio fiie, toutes les ormes sur E sot équivaletes. K = ou est complet doc E est u espace de Baach (ou plus simplemet u Baach) c'est-à-dire u e.v.. complet. Si x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x e = x i e i avec x i K, α tel que α 1, l'applicatio. a : x est ue orme sur E. x i. : x sup { x i, où 1 i } est ue orme sur E. Fracis Wlaziski 28 1/

Remarque 6.1. 1 : x x x i. Propriété 6.2 f L (E), M + * / f (x) 1 M x 1. Remarque 6.3 Puisque toutes les ormes sot équivaletes, o a doc f L (E), M + * / f (x) M x. O pose M 1 = sup { f (e i ) 1 où i = 1, }. Si x = x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x e = x i e i E avec x i K, o a : f(x) 1 = f Défiitio 6.4 x i e i 1 = x i f(e i ) 1 [ x i f(e i ) 1 [ x i f(e i ) 1 [ x i.m 1 = M 1 x i = M 1 x 1. Soit A M (K), o appelle expoetielle de A et o ote exp(a) ou e A la limite, das M (K), de la suite de p A k k= terme gééral S p =. La matrice exp(a) est doc : k! e A = + A k = I + A + A 2 + A 3 +... + A p +.... k= k! 2! 3! p! Remarque 6.5 O motre que, pour toute matrice A de M (K), la série de terme géérale covergete ce qui justifie la défiitio. Exemple 6.6 A! est ormalemet 1 Soiet A = et B =. 1 A 2 = = B 2. 1 1 1 Doc exp(a) = et exp(b) =. D'où exp(a)exp(b) = 1 1 1 1 O a aussi A + B =. 1 1 Doc (A + B) 2 = = I 2, (A + B) 3 = A + B, (A + B) 4 = I 2,... (A + B) 2k = I 2, (A + B) 2k + 1 = A + B... 1 2 1 1 1 1 + Doc exp(a + B) = 2! 1 + 4! 1 + 1 + 3! 1 + 5! 1 + ch1 sh1 =. 1 + 3! 1 + 5! 1 + 1 + 2! 1 + 4! 1 + sh1 ch1 Fracis Wlaziski 29

Remarques 6.7 Pour tout λ de K, exp(λ I ) = exp(λ)i. E particulier, exp( I ) = I. Si A, B commutet das M (K), alors exp(a + B) = exp(a)exp(b). (C'est u résultat sur le produit de Cauchy de série absolumet covergete) E particulier, pour tout A de M (K), exp(a) est ue matrice carrée iversible et exp( A) = (exp(a)) 1. Si A = diag(λ 1, λ 2,..., λ ), alors exp(a) = diag(exp(λ 1 ),..., exp(λ )) et exp(ta) = diag(exp(tλ 1 ),..., exp(tλ )). L'applicatio t f(t) = exp(ta) est dérivable, et f'(t) = Aexp(tA) = exp(ta)a. Supposos que A s'écrive A = D + N, avec D diagoale, N strictemet triagulaire et ND = DN. Ue telle décompositio peut apparaître par exemple quad o trigoalise A. Soit r u etier tel que N r =. Alors exp(a) = exp(d)exp(n) = exp(d) r 1 N k. k= k! Si M = P D P 1 avec D = diag(λ 1, λ 2,..., λ ) alors exp(m) = P exp(d) P 1 et exp(tm) = P exp(td) P 1. Propriété 6.8 Soit A ue matrice de M (K). ØX(t) La solutio géérale du système liéaire = AX(t) est X(t) = exp(ta) k où k K. Øt Soit t u réel, et X u élémet de. L'uique solutio de (H) qui vaut X au poit t est l'applicatio t X(t) = exp((t t )A)X. Remarque 6.9 P 1 k où k varie sur K doe aussi u élémet quelcoque de K. 7. Base de Jorda Rappel f est ilpotet d'ordre p 1 f p = et f p 1. Propriété 7.1 O suppose que dim E = et soit f L (E) ilpotet d'ordre q. O a { E } = Ker f Ker f 1 Ker f 2... Ker f q = E et toutes ces iclusios sot strictes. O a Ker f = Ker Id = {}. O doit motrer : i) x Ker f p x Ker f p + 1 pour tout p q 1. ii) Ker f p Ker f p + 1 pour tout p q 1. Fracis Wlaziski 3

x Ker f p f p (x) = f(f p (x)) = f() = f p + 1 (x) = x Ker f p + 1. Par l'absurde, o suppose Ker f p = Ker f p + 1 pour u certai p q 1. Soit x Ker f p + 2, o a f p + 2 (x) = c'est-à-dire f p + 1 (f(x)) =. Doc f(x) Ker f p + 1 d'où f(x) Ker f p f p (f(x)) = x Ker f p + 1. Doc Ker f p + 2 Ker f p + 1 c'est-à-dire Ker f p + 2 = Ker f p + 1. O motre aisi par récurrece que Ker f p = Ker f p + 1 = Ker f p + 2 =... = Ker f q = E. c'est-à-dire f ilpotete d'ordre iférieur à p : cotraire aux hypothèses. Propriété 7.2 O suppose que dim E =. Soit f L (E) ilpotet d'ordre q et soit a E / f q 1 (a). Alors F = (a, f(a), f 2 (a),..., f q 1 (a)) est ue famille libre de E. E particulier, si q = alors F est ue base de E. λ a + λ 1 f(a) + λ 2 f 2 (a) +... + λ q 1 f q 1 (a) = f(λ a + λ 1 f(a) + λ 2 f 2 (a) +... + λ q f q 1 (a)) = f() λ f(a) + λ 1 f 2 (a) + λ 2 f 3 (a) +... + λ q 2 f q 1 (a) + λ q 1 f q (a) = λ f(a) + λ 1 f 2 (a) + λ 2 f 3 (a) +... + λ q 2 f q 1 (a) = O cotiue aisi : λ f(a) + λ 1 f 2 (a) + λ 2 f 3 (a) +... + λ q 3 f q 1 (a) =... λ f q 2 (a) + λ 1 f q 1 (a) = λ f q 1 (a) = Puisque f q 1 (a), o a doc λ = et e remotat λ 1 =, λ 2 =,... λ q 1 =. Remarques 7.3 Das le cas où f est ilpotet d'ordre, la matrice das la base (f q 1 (a), f q 2 (a),..., f 2 (a), f(a), a) 1 1 de f est 1. Ue telle matrice s'appelle u bloc de Jorda d'ordre. 1 Das le cas où f est ilpotet d'ordre q <, la famille F est libre mais 'a que q élémets. O peut costruire ue base (b) de la forme suivate : (b) = {f s1 1 (b 1 ),..., f (b 1 ), b 1 } {f s2 1 (b 2 ),..., f (b 2 ), b 2 }... {f sr 1 (b r ),..., f (b r ), b r } telle que, das ue telle base, la matrice de f soit ue matrice diagoale par blocs et que chacu de ces blocs soit u bloc de jorda. Ue telle base si elle existe s'appelle ue base de Jorda pour f. O veut doc (β) = (β 1, β 2,..., β ) telle que f(β i ) = β i 1 ou pour 2 i et f(β 1 ) =. Défiitio 7.4 Soit λ ue valeur propre de multiplicité m(λ) de f L (E). O appelle sous espace caractéristique de f pour la valeur propre λ le s.e.v. Nc(λ) = Ker (f λ Id) m(λ). Fracis Wlaziski 31

Propriété 7.5 O suppose que E est de dimesio fiie 1. O suppose que de plus que f le polyôme caractéristique de f L K (E) est scidé sur K. Par exemple, f = ( 1) (X λ 1) k1 (X λ 2) k2... (X λ q) kq avec λ i λ j, k i = m(λ i ) et k 1 + k 2 +... + k q =. a) E = Nc(λ 1 ) Nc(λ 2 )... Nc(λ q ). b) Nc(λ i ) = Ker (f λ i Id) ki est stable par f. c) dim Nc(λ i ) = dim Ker (f λ i Id) ki = k i. d) Le polyôme caractéristique de la restrictio de f au sous espace caractéristique Nc(λ i ) est (λ i X) ki. ki O pose T i = (X λ i ), P i = T i, Nc(λ i ) = Ker P i (f) et d i = dim N i. O a f(f) =. Le résultat découle doc directemet de la propriété 1.44. O a (f λ i Id) ki = P i [f]. Or P i [f] et f commutet doc Ker (f λ i Id) ki est stable par f. Il existe ue base de E das laquelle la matrice de f soit diagoale par blocs. Chacu des blocs correspodat aux Nc(λ i ). P i (f) et T i (f) commutet doc Nc(λ i ) est stable par T i (f). Soit g la restrictio de T(f) à Nc(λ i ) et h la restrictio de f à Nc(λ i ). O a g = h λ i Id. De plus g et h sot des applicatios liéaires de Nc(λ i ) das Nc(λ i ) (i.e. g, h L (Nc(λ i ))). Par défiitio de Nc(λ i ), g ki =, g est ilpotete d'u ordre iférieur ou égale à k i. D'après le troisième poit de la remarque 3.7, g = ( 1) d X di. g est doc scidé sur K, il existe ue base (b) das laquelle la matrice A de g est triagulaire supérieure. Les élémets de la diagoale, état les valeurs propres, sot tous uls. O a doc M (b) (h) = A + λ i I est ue matrice triagulaire supérieur et les élémets de la diagoale sot tous égaux à λ i. D'où h = ( 1) di (X λ i ) di. D'après la propriété 2.12, f = h Q avec Q K[X] et Q(λ). O a ( h Q)[f] = et h et Q premiers etre eux. q Doc f = ( 1) di (X λ i ) di. D'où d i = k i. D'après le poit précédet avec h. Défiitio 7.6 1 1 O appelle matrice de Jorda toute matrice soit d'ordre 1 soit de la forme :. 1 1 Propriété 7.7 Soit J(λ) ue matrice de Jorda d'ordre s. O a : J(λ) = ( 1) s (X λ) s, π J (λ) = (X λ) s et dim E λ = 1. Il suffit de reveir aux défiitios. Fracis Wlaziski 32

Remarque 7.8 O suppose que E est de dimesio fiie 1. O suppose que de plus que f le polyôme caractéristique de f L K (E) est scidé sur K. O a : f = ( 1) (X λ 1 ) k1 (X λ 2 ) k2... (X λ q ) kq avec λ i λ j et k 1 + k 2 +... + k q =. π f = ( 1) (X λ 1 ) r1 (X λ 2 ) r2... (X λ q ) rq avec r i k i. Puisque r i k i et (f λ i Id)() =, o a Ker (f λ i Id) ri Ker (f λ i Id) ki et dim Ker (f λ i Id) ri dim Ker (f λ i Id) ki. Or, d'après le théorème 1.46, E = Ker (f λ i Id) r1 Ker (f λ i Id) r2... Ker (f λ i Id) rq. O a doc Ker (f λ i Id) ri = Ker (f λ i Id) ki La restrictio g i de f λ i Id E à Ker (f λ i Id E ) ri est ilpotete d'ordre r i. O peut doc costruire ue base Ker(f λ i Id E ) ri de la forme (g ri 1 (u i ),..., g 2 (u i ), g(u i ), u i ). La matrice de la restrictio de f das cette base est ue matrice de Jorda d'ordre r i. O costruit ue telle base pour chacu des λ i. La juxtapositio de toutes ces bases est ue base de E das laquelle la base de f est ue matrice diagoale par blocs. Chacu de ces blocs état ue matrice de Jorda. Propriété 7.9 Si K est u corps algébriquemet clos (K = par exemple), alors tout edomorphisme de E (de dim fiie 1) admet ue base das laquelle sa matrice est formée de matrices de Jorda. Lemme 7.1 O suppose E de dimesio fiie. Soit f L K (E) ilpotete d'ordre q. O pose H k = Ker f k k q. O a {} = H ( ) H 1 ( )... ( ) H q = E. De plus, k q, soit G k le supplémetaire de H k das H k + 1 c'est-à-dire H k + 1 = G k H k. O a : f (G k ) H k f (G k ) H k 1 = {} L'image d'ue base de G k par f est ue base de f (G k ). Doc il existe G' k tel que f (G k ) G' k et H k = G' k H k 1. Remarque 7.11 x. x G k f k (x) et f k 1 (x) f k 1 (f (x)) et f k (f (x)) f (x) H k et f (x) H k 1 Fracis Wlaziski 33