Devoir Surveillé /Evaluation

Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention sera apportée à la qualité de la rédaction, syntaxe et orthographe comprise Changez de copie quand vous changez de problème, numérotez les copies, les questions et soulignez les résultats Exercice Calcul de l intégrale de GAUSS On note f la fonction définie sur R par exp( s ) ds = e s ds Etude de la fonction f a Montrer que f est une fonction impaire de classe C sur R et déterminer son sens de variation b Montrer que pour tout x, e x e x et f(x) f() e e x c En déduire que f est majorée sur R et montrer que f admet une limite finie en + Limite que l on notera et que l on ne cherchera pas à calculer a Justifier que f est de classe C sur R Pour un entier naturel non nul n, on note f (n) la dérivée n-ième de f Montrer, en raisonnant par récurrence, que pour chaque n N, il existe une fonction polynômiale p n telle que x R, f (n) (x) = p n (x)e x b Donner la parité de p n Soit n, p deux entiers naturels, n p + c Donner le développement limité de s e s en à l ordre p d En déduire le développement limité de f en à l ordre p + et une expression explicite de p n () en fonction de n (On distinguera suivant que n est pair ou impair) 3 Intégrales de WALLIS Pour un entier naturel n, on pose W n = cos n (x) dx 3a Calculer W et W 3b Montrer que (W n ) n est une suite décroissante positive 3c (Astucieux) Montrer que pour tout entier n, (n + )W n+ = (n + )W n Indication:Ecrire cos n+ (x) = cos n (x)( sin (x)) et, en intégrant par parties, exprimer l intégrale cosn (x) sin(x) sin(x) dx en fonction de W n+ 3d En déduire que la suite ((n + )W n+ W n ) n N est constante égale à π 3e Justifier la famille d inégalités n N, nwn π (n + )W n et en conclure que lorsque n +, W n π n 4 Calcul de 4a Montrer que pour tout réel u, on a e u + u { ( u) n e nu si u 4b Soit n un entier naturel non nul Montrer que e nu (+u) si u n 4c En déduire que pour tout entier n non nul, d une part, ( t ) n dt e nt dt = n f( n), 4d et d autre part n f( n) = e nt dt dt (+t ) n 4e Montrer, en mettant correctement en place le changement de variable t = sin x, que nw n+ f( n) 4f Montrer, en mettant correctement en place le changement de variable t = tan x, que dt (+t ) = n 4 (cos x)n dx et que nwn f( n) 4g Déterminer les limites de ( nw n ) n N et ( nw n+ ) n N et conclure quant à la valeur de

Sous réserve d existence, on pose, pour un nombre réel x, Exercice Etude d une fonction définie par une intégrale x + cos t dt et g(x) = ln (x + + x ) ; Montrer que g est définie sur R et de classe C sur R Calculer g On définit les fonctions sh et ch par : x R, sh(x) = ex e x et ch(x) = ex + e x a Montrer que : x R, ch x sh x = b Montrer que sh réalise une bijection de R sur R et que sa fonction réciproque sh est dérivable sur R Déterminer ( sh ) c Montrer que g = sh 3 Etude de f 3a Quel est le domaine de définition de f? 3b Quel est son sens de variation? 3c On rappelle que + cos t = cos ( t ) Calculer f() 3d Encadrer x + cos t, pour x > et t [, π], par deux quantités indépendantes de t En déduire un équivalent simple de f en + Quelle est la limite de f en +? 4 Etude de f au voisinage de x = 4a Soit h un réel strictement positif Effectuer le changement de variable u = h cos ( t ) pour exprimer l intégrale I (h) = sin ( ) t h + cos ( t à l aide de la fonction g Quelle est la limite de I(h) lorsque h +? 4b Justifier l inégalité x + cos t + cos t x >, t [, π], x + cos t x 4c Déduire des deux questions précédentes la valeur de la limite lorsque x tend vers + de f(x) f() x Indication:Poser x = + h, utiliser l inégalité sin (t/) Quelle est la signification géométrique de ce résultat? ) dt

Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Correction DS Correction Ex On note f la fonction définie sur R par exp( s ) ds = e s ds Etude de la fonction f a f est la primitive s annulant en de la fonction paire φ : s e s, continue sur R C est donc une fonction de classe C sur R et, pour tout x R, f (x) = e x La fonction f est donc strictement positive ( f (x) est l exponentielle d un nombre réel et f est donc strictement croissante sur R b Soit x R, x, on a alors successivement x x x x e x e x croissance de exp Si x, on a donc que pour tout s [, x], e s e s et donc, par croissance de l intégrale ie, après calculs, c On a donc, pour x [, + [, e s ds e s ds f(x) f() e e x f(x) f() + e e x f() + e Comme f est croissante, cette inégalité est vraie pour tout x R, ce qui montre que f est majorée (remarquer que le membre de droite ne dépend pas de x) f est donc croissante et majorée, elle admet une limite finie en + par le théorème de la limite monotone On note cette limite = lim x + e s ds a Comme s s est C sur R (c est une fonction polynomiale) et que exp est C, la composée, qui n est autre que φ est de classe C sur R En posant x R, p (x) =, p est polynomiale et Posons, pour n N, la proposition x R, f () (x) = φ(x) = p (x)e x H n : x R, f (n) (x) = p n (x)e x où p n est une certaine fonction polynomiale On vient de vérifier que H est vraie Supposons H n vraie pour un certain n N, par dérivation de produit et de composé, on a où on a posé, pour x R, x R, f (n+) (x) = p n (x)( x)e x + p n(x)e x = p n+ (x)e x p n+ (x) = p n (x)( x) + p n(x) p n étant polynômiale, il est clair que l expression définissant p n+ montrer que p n+ est polynomiale On a donc montré que H n+ est vraie

Par récurrence, n N, H n est vraie b f (n) est impaire si n est pair, paire si n est impair Ceci est du au fait que la dérivée d une fonction paire est impaire et la dérivée d une fonction impaire est paire Comme p n = f (n) φ et que la fonction φ est paire, p n est impaire si n est pair, paire si n est impair Soit n, p deux entiers naturels, n p + c On a e s = s + ( s ) + + ( s ) p + o ( s p)! p! p ( ) k = s k + o ( s p) k! k= d Et, donc, par intégration des développements limités, En déduire le développement limité de f en à l ordre p + et une expression explicite de p n () en fonction de n (On distinguera suivant que n est pair ou impair) = f() + e s ds p k= ( ) k k!(k + ) xk+ + o ( x p+) On a par ailleurs f() = et, par la formule de TAYLOR YOUNG, comme f (n) () = p n (), que p+ n= p n () x n + o ( x p+) n! On en déduit, par unicité des DL que, pour n pair, p n () = et que pour n impair, n = k +, pn() n! = ( )k k!(k+), ie 3 Intégrales de WALLIS Pour un entier naturel n, on pose 3a On a 3b Soit n N Pour x [, π ], on a W = W = p k+ () = ( ) k (k)! k! W n = car cos x et donc, par croissance de l intégrale, et donc dx = π cos n (x) dx cos(x) dx = [sin x] π = cos n+ x cos n x cos n+ x dx = W n+ W n+ W n Comme n est quelconque, (W n ) n est une suite décroissante positive 3c On a W n+ = = = W n cos n+ x dx = cos n x( sin x) dx cos n x dx = W n cos n x cos x dx cos n x sin x sin x dx

Dans la dernière intégrale, on a cos n x sin x = d d n + dx (cosn+ x) et (sin x) = cos x dx Sachant que les fonctions x cos n+ x et x sin x sont de classe C sur [ ], π, la formule d intégration par parties s applique pour donner [ cos n x sin x sin x dx = ] π n + cosn+ x sin x + cos n+ x dx n + = + n + W n+ On a donc W n+ = W n n+ W n+ et, en multipliant par n + et en passant les W n+ du même côté, on obtient que 3d Pour n N, posons l hypothèse de récurrence (n + )W n+ = (n + )W n H n : (n + )W n W n+ = π On a déjà démontré H en 3a Soit n N, supposons que H n est vrai Comme on a (n + )W n+ = (n + )W n, en multipliant par W n+ chaque membre, on obtient (n + )W n+ W n+ = (n + )W n W n+ = π et ceci montre que H n+ est vraie Par récurrence, on a donc n N, (n + )W n W n+ = π 3e Soit n N On a W n+ W n par décroissance de la suite W En multipliant par (n + )W n (qui est, on obtient (n + )W n+ W n (n + )W n Comme le terme central vaut π, on a donc une inégalité cherchée De même, si n, on a W n W n et en multipliant par nw n, on obtient nw n nw n W n = π En remarquant que cette inégalité est aussi vraie (trivialement) pour n =, on a en résumé, n N, nw n π (n + )W n En réécrivant ceci, puis en passant à la racine carré, on a, pour n, n n + n π W n n n + W n π Les deux termes extrèmes tendent vers et le théorème des «gendarmes»implique que Wn π n n, ce qui est exactement W n n + π n 4 Calcul de 4a Posons, pour u R, g(u) = e u ( + u) La fonction g ainsi définie est de classse C sur R et vérifie u R, g (u) = e u, g (u) = e u On connait le signe de e u suivant les valeurs de u (e u < pour u >, e u > pour u > et vaut pour u = On en déduit le tableau de variations de g et le fait que g est décroissante strictement sur ], ], croissante strictement sur [, + [ g admet donc un minimum strict en et celui ci vaut g() = En conclusion 4b Soit n un entier naturel non nul u R, + u e u

Si u, on a, en appliquant l inégalité de la question précédente pour u u que u e u On peut prendre la puissance n de cette inégalité de nombres positifs pour obtenir ( u) n e nu Si u, on a < + u e u On peut «prendre l inverse»pour obtenir < e u +u (la fonction x x est strictement décroissante sur ], + [) On peut prendre la puissance n de cette inégalité de nombres positifs pour obtenir e nu ( + u) n 4c Soit n N, par le changement de variable linéaire bijectif, s = nt, ds = ndt, t =, s = n/t =,s =, on a e nt dt = n n e s ds = n f( n) En prenant u = t dans la première des inégalités précédentes, on a que pour tout t [, ], u = t et En intégrant, par croissance de l intégrale, ( t ) n dt ( t ) n e nt e nt = n f( n) 4d De même, en prenant u = t dans la première des inégalités précédentes, on a que pour tout t [, ], u = t et En intégrant, par croissance de l intégrale, ( + t ) n e nt e nt = f( n) n ( + t ) n dt 4e Effectuons le changement de variable t = sin x dans l intégrale, on a dt = cos x dx, lorsque x =, t =, lorsque x = π, t = et donc, comme x t = cos x est C sur [, π ], à image dans [, ] et que t ( t ) n est C sur [, ], ( sin x) n cos x dx = ( t ) n dt ie, en utilisant sin x = cos x, On a donc, en utilisant l inégalité de 4c ( t ) n dt = W n+ nwn+ f( n) 4f Sur le même modèle, effectuons le changement de variable t = tan x dans l autre intégrale, on a dt = ( + tan x) dx =, lorsque x =, t =, lorsque x = π 4, t = et donc, comme x t = tan x est C sur [, π 4 ], à image dans [, ] et que t ( + t ) n est C sur [, ], 4 ( + tan x) n ( + tan x) dx = ( + t ) n dt Sachant que ( + tan x) = cos x, on a donc 4 (cos x) n dx = ( + t ) n dt Comme dans l intégrale de droite, l intégrande est positive et que π π 4, on a nwn f( n)

4g On a, lorsque n +, nwn π π n (n ) et de même pour nw n+ On en déduit que ( nw n ) n N et ( nw n+ ) n N ont pour limite commune π et, par le théorème des gendarmes, ceci est aussi la limite de f( n) lorsque n + Comme est la limite de f(x) lorsque x +, est aussi la limite de f( n) lorsque n + et donc, par unicité de la limite, π = En résumé, avec le vocabulaire des intégrales généralisées, on a démontré que et donc que Ce qui est un résultat à retenir!!! + + e s ds = π et π e s ds = + e t Correction Ex Sous réserve d existence, on pose, pour un nombre réel x, dt = π x + cos t dt et g(x) = ln (x + + x ) Appliquons les théorèmes de stabilité par composition pour la classe C x + x = t est de classe C sur R car c est une fonction polynomiale, elle est à valeurs dans [, + [ ], + [ car x et donc + x Comme t t est de classe C sur ], + [, alors x t = + x est bien définie, de classe C sur R Comme x x est de classe C sur R, par somme h : x x + + x est de classe C sur R On a x R, h (x) = + x + x = x + + x + x Pour x, il est clair que h(x) > (somme de deux termes positifs dont l un l est strictement Pour x <, on a + x > x = x par stricte coirssance de et donc x + + x > Au total, h > sur R, ieh est à valeurs dans ], [ Comme g(x) = ln h(x) et que ln est C sur ], [, on a alors que g est définie et C sur R On a par ailleurs, x R, g (x) = h (x) h(x) = + x On définit les fonctions sh et ch par : a Soit x R, on a, x R, sh(x) = ex e x et ch(x) = ex + e x ch (x) = 4 (ex + e x ) = 4 (ex + + e x sh (x) = 4 (ex e x ) = 4 (ex + e x ch x sh x = b Comme x e x et x e x sont de classe C alors, par somme, différence et multiplication par un scalaire, ch et sh sont de classe C sur R avec, pour x R, ch (x) = (ex e x ) = sh(x) sh (x) = (ex ( e x )) = ch(x)

Il est clair que ch(x) > comme somme de deux nombres positifs (les exponentielles) et donc sh est strictement croissante sur R Comme par ailleurs lim x + ex = + et lim x + e x = on a lim sh(x) = + et lim x + sh(x) = x DU théorème de la bijection, on déduit que sh réalise une bijection de R = ], + [ sur lui-même Comme sh = ch ne s annule pas sur R, La réciproque sh est elle même de classe C sur R avec, pour y R, en posant y = sh(x), x = sh (y), (sh ) (y) = sh (x) = ch x = + sh x = + y c On en déduit que g et sh ont même dérivée sur R, R étant un intervalle, cela signifie que ces deux fonctions diffèrent d une constante et, comme sh() =, sh () = = g() Au final, g = sh 3 Etude de f 3a La question du domaine de définition de f se ramène à la question suivante : pour quelles valeurs de x R, l expression π x + cos t dt est-elle une intégrale bien définie? Pour que cette intégrale soit bien définie, il suffit que l intégrande, fonction de t [, π] soit continue sur cet intervalle Le domaine de définition de t x + cos t dépend de x Si x <, comme cos t décrit [, +] lorsque t décrit [, π], il existe un intervalle I contenu dans ce dernier intervalle sur lequel x + cos t < L intégrande n est donc pas définie sur cet intervalle et l intégrale n a pas de sens et x n est pas dans le domaine de définition de f Si x, alors pour tout t [, π], x + cos t et donc, par composition, la fonction t x + cos t est définie et continue sur [, π] L intégrale définissant f a donc un sens et x est dans le domaine de définition de f En résumé, le domaine de définition de f est [, + [ 3b Pour étudier le sens de variation de f, on pourrait dériver mais nous n avons malheureusment pas à notre disposition de théorèmes permettant la dérivation de telles fonctions définies par des intégrales Il faut donc recourir à la définition première de la croissance et utiliser les propriétés de croissance de l intégrale Si x, x [, + [ avec x x, alors, par croissance de la fonction, pour t [, π], x + cos t x + cos t, x + cos t x + cos t, et, par croissance de l intégrale, Ceci montre que f est croissante sur son intervalle de définition 3c On a f() = + cos t dt et donc, par le rappel fait, f() = π x + cos t dt x + cos t dt = f(x ) cos t dt = cos t dt Il faut se débarrasser de la valeur absolue et donc déterminer le signe de cos t suivant les valeurs de t [, π] Pour de tels t, t [ ], π et donc cos t et cos t = cos t On a donc f() = cos t dt = [ sin t ] π = 3d Pour x > et t [, π], x x + cos t x + et donc, après intégration, π x f(x) π x + On a, pour x >, x x f(x) x + π x x et, comme les deux extrémités de cet encadrement ont pour limite lorsque x +, on a En particulier f(x) + lorsque x + f(x) π x ief(x) π x

4 Etude de f au voisinage de x = 4a Soit h un réel strictement positif Réécrivons l intégrale I(h) afin de faire apparaitre les éléments du changement de variable (on fit en facteur h au dénominateur Posons u = I (h) = sin ( ) t h ( ) dt + h cos t h cos t, du = h sin t dt, u =, t = π/ u = h, t = pour obtenir que Lorsque h +, h + et donc g( I(h) = h h + u du = g ( ) h ) + (car g(x) + lorsque x + ) et finalement I(h) + 4b Pour x >, on a, en faisant intervenir la quantité conjuguée puis en utilisant le fait que x + cos t + cos t, x + cos t + cos t x = = x (x )( x + cos t + + cos t) ( x + cos t + + cos t) x + cos t 4c On a donc, en posant x = + h, h > destiné à tendre vers +, que x + cos t + cos t x f(x) f() x Comme I(h) + lorsque h +, lorsque x +, sin t pour t [, π] x + cos t sin t en intégrant + h + cos t I(h) f(x) f() x + Ceci indique la présence d une demi-tangente verticale au graphe de f en x = (stricto sensu, il faudrait vérifier aussi que f est continue en + )