Séries numériques et familles sommables

Séries umériques et familles sommables ovembre 206 Table des matières Séries das u espace ormé 3. Gééralités..................................... 3.2 Séries absolumet covergetes.......................... 6.3 Quelques exemples remarquables.......................... 9.4 Critère des séries alterées............................. 2.5 Exercices...................................... 3 2 Séries à termes positifs 6 2. Qu ot elles de remarquable?........................... 6 2.2 Comparaisos des séries à termes positifs..................... 6 2.3 Séries et itégrales................................. 9 2.4 Exemples remarquables............................... 2 2.4. La costate d Euler (le retour)...................... 2 2.4.2 Séries de Riema............................. 2 2.4.3 Séries de Bertrad (exemples)....................... 22 2.4.4 Exercices.................................. 22 2.5 Cas des foctios croissates, Formule de Stirlig................. 23 2.5. Gééralités................................. 23 2.5.2 Formule de Stirlig............................. 24 2.6 Critère de d Alembert................................ 25 2.7 Exercices...................................... 26 3 Déombrabilité et familles sommables 28 3. Esembles déombrables, au plus déombrables.................. 28 3.2 Ils e sot pas déombrables............................ 32 3.3 Familles sommables................................. 33 3.3. Les familles sommables de réels positifs.................. 33 3.3.2 Les familles sommables de complexes................... 35 3.3.3 Suites doubles............................... 37 3.4 Produit de Cauchy de séries absolumet covergetes............... 42 3.5 L expoetielle complexe............................. 44

4 Aexes 46 4. Aexe : Pour étudier ue série umérique...................... 46 4.2 Aexe 2 : Produits ifiis............................. 46 4.3 Aexe 3 : Calcul approché de la costate d Euler................ 47 4.4 Aexe 4. Développemets asymptotiques et études de séries........... 48 4.5 Aexe 5 : culture.................................. 49 5 Résumos ous 5 5. Gééralités..................................... 5 5.2 Séries à termes positifs............................... 52 5.3 Produit de Cauchy.................................. 53 5.4 Séries et itégrales................................. 54 5.5 A coaître (liste provisoire) :........................... 55 6 Tac au Tac 56 7 Du rab! 58 2

Ce chapitre cotiet des rappels du cours de première aée et le prologe selo trois axes : séries dot les termes appartieet à u espace vectoriel ormé, complémets sur les séries umériques, familles sommables... Nous sommes là au cœur de toute l aalyse depuis la fi du XVIII ième siècle. Nous obtiedros dès ce chapitre des résultats à l esthétique certaie comme les jolies formules du tableau 5.5. Plus ecore, les outils que ous développos ici itervieet das u grad ombre de problèmes. Nous appredros, das des chapitres ultérieurs, à écrire de ouvelles foctios comme sommes de séries, permettat aisi de résoudre certaies équatios différetielles ou équatios aux dérivées partielles... Séries das u espace ormé. Gééralités Défiitio qu est-ce qu ue série? Soit (u ) 0, ue suite d élémets de K = R ou C ou d u espace vectoriel ormé (E, E ). La série de terme gééral u, que l o ote u est la suite (S ) défiie par S = u k. k= 0 Les termes de cette suite sot les sommes partielles de la série. O dit alors que la série de terme gééral u coverge, lorsque la suite des sommes partielles (S ), coverge. Sa limite, qui est alors otée S = u k = lim S, k= 0 est la somme de la série. O distiguera doc sommes partielles et somme (lorsqu elle existe) d ue série. Das le cas cotraire, la série est dite divergete. O dit que deux séries sot de même ature si elles sot simultaémet covergetes ou divergetes. Si ue série coverge, so terme gééral a pour limite 0 puisqu e effet, lim u = lim(s S ) = 0. Lorsque cette coditio écessaire est pas remplie, o dit que la série est grossièremet divergete. Défiitio 2 reste d ue série covergete Lorsque la série de terme gééral (u k ) k k0 coverge et a pour somme S = k=k 0 u k, o défiit pour k 0, so reste à l ordre comme la différece R = S S 3

La suite des restes, défiie lorsqu ue série coverge, a doc toujours pour limite 0. Par ailleurs, comme pour tout (, p), e faisat p +, il viet : S +p S = +p k=k 0 u k R = S S = k=k 0 u k = k=+ u k +p k=+ Suites et séries A toute suite (u ) 0 o associe la série de terme gééral u qui est, par défiitio, la suite des sommes partielles S = k= 0 u k. Réciproquemet, ue suite quelcoque peut être vue comme ue série : Théorème Soit (x ) 0 ue suite d élémets de E. Cette suite est la suite des sommes partielles de la série de terme gééral défii par { σ 0 = x 0 E d autres termes, pour tout 0, σ = x x si > 0 x = k= 0 σ k. u k Démostratio : simple vérificatio... Sous-espace des séries covergetes Théorème 2 L esemble des séries covergetes dot le terme gééral appartiet à (E, ) ev sur le corps K, est u K espace vectoriel. L applicatio qui, à ue série covergete associe sa somme est ue forme liéaire sur cet espace. Cela sigifie que si u et v sot deux séries covergetes, si (α, β) K 2, o a (α u + β v ) = α u + β v. =0 Démostratio : Ce est pas ue démostratio techique, mais il faut pourtat idetifier avec soi et lucidité les esembles sur lesquels o travaille. O la détaille ici, parce que je aurai sûremet pas evie d e parler e classe. =0 =0 4

Ue série est ue suite de sommes partielles, doc u élémet de E N, esemble de toutes les suites défiies sur N, à valeurs das E (o cosidère les séries de terme gééral u défii pour tout N). Comme o l a vu das le théorème précédet, tout élémet de E N peut être cosidéré comme ue série... O sait (ou o vérifie sas peie) que C l esemble des suites covergetes est u sous-espace vectoriel de E N. L esemble des séries covergetes, est doc u sev de E N. Soiet u et v deux séries covergetes et (α, β) K 2, o a pour N, (α u k + β v k ) = α u k + β par passage à la limite, puisque les trois séries coverget : v k (α u + β v ) = α u + β v. =0 =0 =0 Exemples Exercice séries géométriques Soit q C. O cosidère la série géométrique de raiso q, de terme gééral q k. O rappelle que S = q k = q+, si q, q S = q k = +, si q =.. (a) Calculer la somme de la série lorsque q <. (b) Das quels cas la série (ou la suite des sommes partielles) est elle borée? 2. O cosidère la série de terme gééral u = cos t, t R. (a) Exprimer les sommes partielles de cette série à l aide d ue série géométrique. (b) Démotrer que la série est borée lorsque t 0 [2π]. Exercice 2 série harmoique, divergete, o grossièremet divergete O cosidère la série harmoique k k. k k+. (a) Comparer les itégrales k t dt, k t dt au terme gééral k. (b) E déduire u ecadremet de. Motrer que la série harmoique diverge et k k= doer u équivalet de ses sommes partielles. 5

2. E miorat la différece et e raisoat par l absurde, S 2 S = 2 k=+ k, Résumé pour les séries géométriques q < la série coverge (absolumet) et q k = q q = la série diverge grossièremet, lim S = + ; q et q = la série diverge grossièremet, (S ) est borée : S 2 q q > la série diverge grossièremet et lim S = + ;.2 Séries absolumet covergetes Défiitio 3 séries absolumet covergetes O dit qu ue série u dot le terme gééral appartiet à l ev (E, E ), est absolumet covergete lorsque la série des des ormes u E est covergete. Rappelos le résultat démotré e première aée (qui figure aussi page 6, das le paragraphe dévolu aux séries à termes positifs), que ous utilisos das la démostratio du théorème 3 : Soiet u et v deux séries à?. Si u v à partir d u certai rag, et si v coverge, alors u coverge égalemet. Théorème 3 Das R, C ou das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie (E, E ), toute série absolumet covergete est égalemet covergete. De plus + k= u k E + k= u k E. Démostratio 6

O repred la démostratio du cours de première aée pour les séries à termes réels, o prouve esuite le résultat das R 2 ou das C, o motre commet l étedre aux séries dot le terme gééral appartiet à R ou à u ev de dimesio fiie. Cas des séries de ombres réels Rappelos ue défiitio qui ous sera utile das otre démostratio : lorsque u R, o défiit les deux ombres positifs u + = max(u, 0), u = max( u, 0) avec les propriétés suivates : u + = max(u, 0) 0 u = max( u, 0) 0 u = u + u u = u + + u si u 0, u = u + et u = 0 si u 0, u = u et u + = 0 Cosidéros alors ue série de ombres réels u telle que u coverge. Comme u + u et u u les deux séries à termes positifs u + et u coverget elles aussi puisque leurs sommes partielles sot des suites croissates et majorées : u + k u k u k u k u k = cste, K=0 u k = cste. O e déduit alors que la série u coverge elle aussi puisque, pour tout N, u = u + u, et qu ue somme de séries covergetes est covergete. Cas des séries de ombres complexes O observe que pour tout complexe u, Re(u) u, Im(u) u. Aisi, si la série des modules u coverge, par comparaiso de séries à termes positifs, Re(u ) et Im(u ) sot aussi covergetes. Les séries de ombres réels, Re(u ) et Im(u ) sot doc absolumet covergetes et coverget doc. Il e va de même de u, somme des deux séries covergetes Re(u ) et i Im(u ). K=0 Cas des séries d élémets d u ev de dimesio fiie Soit E u espace vectoriel ormé de dimesio fiie et u ue série dot le terme gééral est élémet de E. Dire que cette série est absolumet covergete, c est dire que u E est ue série de réels positifs qui coverge. - O observe que si u E coverge, N(u ) coverge égalemet pour toute orme équivalete à E (c est à dire ue orme qui vérifie ue relatio du type α E N E ). 7

E effet, s il existe β > 0 tel que N(u) β u E pour tout u E, o a N(u ) β u E et N(u ) coverge aussi par comparaiso. - O cosidère alors ue base (e, e 2,..., e d ) de E. O défiit ue orme N sur E e posat pour tout x = d k= x ke k, ( d ) d N(x) = N x k e k = x k. k= O laisse le lecteur vérifier qu il s agit bie d ue orme. - Si u coverge absolumet pour ue orme E, elle coverge absolumet pour la orme N que ous veos de défiir (comme ous l avos observé). Notos u (k) la k ième coordoée de u das la base (e k ) k d. La suite des k ièmes coordoées, (u (k) ) est absolumet covergete car u (k) N(u ) ce qui etraîe que u (k) coverge puisque so terme gééral est majoré par le terme gééral d ue série covergete ( N(u )). La série u (k) absolumet covergete, coverge doc. O sait (ou o verra das les cours sur les ev), qu ue suite de vecteurs de E coverge ssi toutes les suites de coordoées das ue base quelcoque coverget. C est le cas ici, (S ) = ( u k) coverge car les d suites de coordoées ( ud) k ) coverget. Exercice 3 covergece absolue das C Exemples. Motrer que, pour tout réel r > 0, r = o(!). O pourra motrer qu il existe C > 0 et + u rag à partir duquel r! C 2. k= 2. Motrer que pour tout complexe z, z! coverge. x k 3. Que vaut la somme lorsque x est u réel? k! Idicatio : peser à la formule de Taylor-reste itégrale. Exercice 4 covergece absolue das u espace de matrices O cosidère l espace E des matrices à coefficiets das K.. Choix d ue orme sur E = M d (K) (a) Motrer que si est ue orme quelcoque de K d, o défiit ue orme sur E e posat, pour ue matrice A E, A X N (A) = sup X 0. X 8

(b) Vérifier que la orme N aisi défiie vérifie : - pour toute matrice A E, pour tout X R, A X N (A) X ; - pour tout couple de matrices (A, B) E 2, N (A B) N (A) N (B). (c) Vérifier que, das le cas particulier où X = X, pour toute matrice A E, o a l iégalité : N (A) max a i,j i j= 2. Motrer que si N (A) <, alors (I A) est iversible et préciser so iverse sous forme d ue série. Idicatio : o sait que das u aeau ( + q + q 2 +... + q )( q) = ( q + ). 3. O se doe A = /2 /5 /4 0 /3 /3 /3 /3 /5. Majorer N (A), e déduire que (I 3 A) est iversible, évaluer (calculette ou Scilab ou Pytho-Scipy) les sommes partielles de A k. Corrigé?? page??..3 Quelques exemples remarquables Exercice 5 autour des séries géométriques. Préciser la ature de la série 3 2 + 6. 2. Covergece et somme de x k cos(kθ), ( x <, x réel). 3. Soit (u ) ue suite telle que, pour tout, Que dire de la série u? Exercice 6 développemet décimal d u réel Commeços par ue défiitio : u + q u. Défiitio 4 O appelle développemet décimal d u réel positif x toute suite d etiers aturels, (d ), telle que, pour tout, 0 d 9, et O ote alors x = d 0, d d 2...d k... x = d k 0 k. Il y a e fait égalité : o sait doc calculer explicitemet cette orme à partir des coordoées ; c est hors programme mais peut être vu e exercice das le chapitre Espaces ormés. 9

. Motrer que pour toute suite (d ) comme ci-dessus, la série est covergete. d k 0 k 2. Motrer qu u ombre décimal (ie : de la forme N0 )o ul admet au mois deux développemets décimaux. 3. Soit x le réel dot l écriture décimale est x = 0, 238 456 456 456...456... = 0, 238456. Prouver que c est u ombre ratioel. 4. O suppose que x admet deux développemets décimaux x = d k 0 k = e k 0 k. Que peut o affirmer? Cosidérer le plus petit idice i 0 tel que d i0 e i0, s il existe. 5. O se propose de motrer que tout réel x 0 admet u développemet décimal. O cosidère pour cela u = 0 Et(0 x) et v = 0 Et(0 x + ) (a) Motrer que ces deux suites sot adjacetes (b) Motrer que les ombres décimaux u et u +, ot leurs premiers chiffres idetiques (c) Motrer que x admet u développemet décimal 6. Motrer que x est ratioel ssi ses développemets décimaux sot périodiques à partir d u certai rag. O tire ici le bila de cet exercice : Théorème 4 Tout réel positif admet u développemet décimal. Si x est pas décimal, ce développemet est uique. Si x est décimal, il admet deux développemets d 0, d...d N (d N + )000...0... = d 0, d...d N d N 999...9... et d 0 +, 000...0... = d 0, 999...9... x est ratioel ssi ses développemets décimaux sot périodiques à partir d u certai rag. 0

Exercice 7 séries et développemets limités Rappelos la formule de Taylor reste-itégrale : si f est ue foctio de classe C + sur l itervalle [a, b] : f(b) = f (k) (a) b (b a) k + k! a (b t) f (+) (t)dt! ou l iégalité de Taylor Lagrage : si f est ue foctio de classe C + sur [a, b], alors f(b) f (k) (a) k! (b a) k sup [a,b] f (+) (c) b a +. ( + )! A l aide d ue de ces formules, ou par itégratio terme à terme, détermier les limites des séries suivates 2 : x k k! k! ( ) k x2k (2k)! ( ) k x 2k+ (2k + )! ( x) k+ k ( ) k k ( ) k x 2k+ 2k + ( ) k 2k + Exercice 8 jeux de domios Soit (a ) ue suite umérique.o lui associe, comme das le théorème, la série σ k défiie par σ 0 = a 0 et σ = a + a, les sommes S = E déduire les sommes suivates :. k k(k + ) 2. k(k )(k 2) ; 3. ( +p pour p 2; p ) σ k = (a k+ a k )... 2. Nous repredros cela avec la otio de série etière

.4 Critère des séries alterées O dit qu ue série à valeurs réelles, de terme gééral u est alterée si ( ) u est de sige costat. U des itérêts de cette otio réside das le théorème fodametal suivat : Théorème 5 critère des séries alterées Soit u k ue série alterée, telle que, de plus, ( u ) est ue suite décroissate lim + u = 0, alors la série u k est covergete les suites S 2 et S 2+ des sommes partielles d ordres 2 et 2+ sot adjacetes et ecadret la somme de la série u k le reste R = k=+ vérifie R u +. la somme S est du sige du premier terme u 0, et S u 0. Démostratio La preuve de la covergece est facile ; o peut pour simplifier supposer que les termes d idices pairs sot positifs. L autre cas est similaire. O commece par motrer que a = S 2 = 2 k=k 0 u k et b = S 2+ = 2+ k=k 0 u k, sot adjacetes, ce qui est immédiat. O e déduit que, pour tous p, q N, S 2p+ S = u k S 2q. Écrivos cela lorsque p = q et retrachos S = S 2p. Cela doe : u 2p+ = S 2p+ S 2p S S = R 0. Écrivos cela lorsque p = q + et retrachos S = S 2p+. Cela doe : Das les deux cas le reste vérifie : 0 S S = R u 2p+2. R = + u k u +. (.) 2

Exercice 9 exemples de séries alterées Étudier la covergece des séries suivates dot o doe les termes gééraux : ( ). (série harmoique alterée) ( ) 2. (série de Riema alterée) 3. 4. α ( ) α l() β ( ) +/ 5. u = 6. ( ).5 Exercices { / si est u carré, ( ) / sio. Das quelques us de ces exercices, o calcule explicitemet des sommes de séries. Il s agit évidemmet de cas très particuliers où o sait le faire. Exercice 0 Calculer les sommes des séries suivates. ( )k+ 2k + ; 2. ( ) (idicatio : le terme gééral est égal à ue itégrale simple) 3 + Exercice groupemets de termes cosécutifs. Soit u ue série umérique dot o ote S les sommes partielles. O lui associe la série de terme gééral t k = (u 2k + u 2k+ ) dot o ote (T m ) m la suite des sommes partielles. (a) Exprimer T m e foctio des S. (b) Séparer, parmi les affirmatios qui suivet, le bo grai de l ivraie : Si u coverge, alors t coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si, pour tout, u 0 et si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. Si lim u = 0 et si t coverge, alors u coverge et leurs sommes sot les mêmes. 3

2. E cosidérat la série bie coue, de terme gééral ( ), motrer que l 2 = = 2(2 + ). Comparer les ombres d additios, de multiplicatios, de divisios pour calculer ue valeur approchée de l 2 à 0 p près das chaque cas? Le regroupemet des termes est il umériquemet avatageux? Doer de faço aalogue deux exemples de séries covergeat vers π/4. 3. Gééralisos ce qui précède à des regroupemets d u ombre fixe quelcoque de termes. Pour tout p N, o associe à u, la série de terme gééral : t k = (u kp + u kp+ + u kp+2 +... + u k(p+) ). Repreez les questios précédetes et répodez y. Exercice 2 Soit f ue foctio cotiue sur l itervalle [0, ]. Etudier la série de terme gééral Exercice 3 iverses des carrés O se propose de calculer la somme u k = ( ) k t k f(t) dt. k= 2.. Motrer qu il existe des réels a et b tels que, pour tout, 2. Réécrire la somme π N cos(t) k= 0 0 (at + bt 2 ) cos(t) dt = 2. 3. E déduire la somme de la série de terme gééral. Peser au lemme de Riema qui 2 s éoce : Soit f ue foctio de classe C sur [a, b], u segmet de R, alors Exercice 4 **. Motrer que la série e it b lim λ ± a f(t)e iλt dt = 0. coverge pour t ]0, 2π[; 2. Calculer sa somme et e déduire les sommes cos(t), si(t). 4

Voir l exercice 6 pour u éocé détaillé (il est plus amusat de chercher). Exercice 5 u cotre exemple d importace O défiit ue série a = si est pair, a e posat a = 2 si est impair.. Motrer que la série est alterée de terme gééral covergeat vers 0. 2. Est-elle covergete? O pourra utiliser le fait que la somme des / 2 coverge. 3. Coclusio? Exercice 6 O se propose d étudier la série eiθ pour θ [0, 2π].. Etudier cette série das les cas particuliers suivats : θ = 0, θ = 2π θ = π θ = π/2, θ = 3π/2. Écrire avec soi les sommes partielles 2. O suppose que θ ]0, 2π[ das ce qui suit. (a) E observat que l o peut écrire comme ue itégrale, motrer que l o a : k= e ikθ k = eiθ 0 x e iθ xe iθ dx. (b) Détermier la limite de (J ) où J = 0 x e iθ dx. xeiθ E déduire que la série coverge. Doer ue expressio de sa somme sous forme d ue itégrale que l o e calculera pas. 5

2 Séries à termes positifs 2. Qu ot elles de remarquable? Nous verros das cette sectio l itérêt de l étude des séries à termes positifs : critères simples de covergece, sommatio des relatios de comparaiso, comparaiso d ue série à termes positifs et d ue itégrale... Tout repose sur le résultat qui suit, quasi-évidet, et d u usage costat : Théorème 6 Soit u ue série à termes positifs. Pour que u coverge il faut et il suffit que la suite des sommes partielles soit borée. Démostratio : Ue suite covergete est toujours borée ; Les sommes partielles formet ue suite croissate (S + S = u + 0); ue suite croissate et majorée coverge 2.2 Comparaisos des séries à termes positifs Théorème 7 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v à partir d u certai rag, et si v coverge, alors u coverge égalemet. Démostratio : sous les hypothèses de l éocé, e otat 0 le rag à partir duquel u v : u k = 0 u k + k= 0 u k O coclut avec le théorème précédet 0 u k + k= 0 v k 0 u k + k= 0 v k = Cste. Théorème 8 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u = O(v ) et v coverge, alors, u coverge égalemet et de plus, les restes des deux séries sot comparables : R = k=+ O a le même résultat e remplaçat O par o. u k = O ( k=+ v k ). Démostratio : 6

Supposos que u = O(v ) et que v coverge. Par défiitio de la relatio de domiace, il existe C > 0 et u rag 0 à partir duquel u Cv. Les séries u et v avec v = Cv sot des séries à termes positifs telles que u v à partir du rag 0. Comme v coverge, il e va de même pour u d après le théorème précédet. Comparos leurs restes. Lorsque 0 et pour tout p N, o a : +p k=+ u k = +p k=+ u k C +p k=+ Comme les séries coverget, e faisat p +, o retrouve R = k=+ u k C k=+ Le résultat est démotré. Si u = o(v ) et v coverge, comme o a aussi u = O(v ), ce qui précède motre que u coverge égalemet. Que dire des restes? La relatio u = o(v ) sigifie que v k. v k ε > 0, ε, ε u ε v. Soiet alors ε > 0 et ε comme ci-dessus. Cosidéros ε, il viet pour tout p N, teat compte des siges de u et v : passat à la limite ous avos : +p k=+ R = u k = k=+ +p k=+ u k ε u k ε k=+ +p k=+ v k v k = εr. Aisi, ε > 0, ε, ε R ε R, à savoir R = o(r ) Corollaire 9 Démostratio Théorème 0 Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v alors, les deux séries sot de même ature. 7

si elles coverget leurs restes sot équivalets : u k v k k=+ k=+ si elles diverget leurs sommes partielles sot équivaletes : u k v k k= 0 k= 0 Démostratio Si u v alors u = O(v ) et v = O(u ). Comme ce sot des séries à termes positifs, si l ue coverge, il e va de même pour l autre. Elles sot bie de même ature. Supposos qu elles coverget. O peut écrire u = v + w avec w = o(v ). Nous e coaissos pas le sige de w mais w = o(v ) w = o(v ). Aisi, d après le théorème 8, w coverge et w aussi. Avec des otatios évidetes, R (w) R ( w ) = o(r (v)) aisi, ( ) u k = v k + w k = v k + o v k k=+ k=+ k=+ k=+ k=+ v k k=+ Supposos qu elles diverget. O a ecore u = v + w avec w = o(v ). Pour tout ε > 0, il existe doc u rag ε à partir duquel w εv. Ecrivos les sommes partielles d ordre ε + p (toujours avec des otatios évidetes 3 ) : U ε+p = ε+p u k = ε+p ε+p v k + Divisos comme il se doit (les séries diverget, leurs sommes sot strictemet positives au delà d u certai rag) : w k U ε+p V ε+p = + W ε+p V ε+p = + W ε V ε+p + ε+p ε w k V ε+p Comme v k diverge, lim W ε = 0 et il existe u rag p ε à partir duquel W ε V ε+p V ε+p ε+p par ailleurs, ε w ε+p k V ε+p ε w k ε. V ε+p Bila : pour tout ε > 0 il existe u rag p ε à partir duquel U ε+p 2ε... V ε+p ε; 3. Espéros le! 8

Exercice 7 applicatios.... Pour les séries suivates, doer u équivalet des sommes partielles : k= ( + ) 2 k, k k= ( + ) k,... 2. Pour les séries suivates, doer u équivalet des restes s ils existet : k= ( + ) 2 k, k k= 3. VRAI ou FAUX? Justifier ou doer u cotre-exemple. (a) si lim u = 0, alors u k coverge. (b) si u k coverge, lim u = 0. (c) si u k coverge u k coverge. (d) si u k coverge u k coverge. (e) si u k coverge alors, u 2 k coverge. (f) si u k coverge et u k 0, alors u 2 k coverge. ( + ) e k,... k (g) si u k v k, alors u k et v k sot de même ature. (h) si u k v k, alors u k et v k sot de même ature. (i) si u k v k, et u k et v k sot de même sige, alors u k et v k sot de même ature. 2.3 Séries et itégrales Le théorème suivat est d ue importace capitale. Il permet l étude des séries de la forme f(k) lorsque f est mootoe et positive. L idée est que l o peut comparer le terme gééral f(k) de la série à l itégrale de f sur les itervalles [k, k], [k, k + ] de logueur. Théorème Soit f ue foctio positive cotiue par morceaux, décroissate sur l itervalle [ 0, + [, alors : pour tous m, tels que m 0, + m f(t) dt f(p) p=m m La série de terme gééral u = f(), coverge ssi la foctio admet ue limite e +. x x 0 f(t) dt f(t) dt; 9

Si la série coverge, alors + f(t)dt f(p) + f(t)dt Si la série diverge, alors f(p) f(t)dt p= 0 0 Démostratio : Méthode à bie coaître, les ecadremets sot très utiles et il faut les retrouver avec précisio. O fera systématiquemet ue figure du type de la figure. Théorème 2, Soit f ue foctio positive, cotiue par morceaux, décroissate sur l itervalle [ 0, + [, alors : la série de terme gééral w = f(t) dt f() = (f(t) f()) dt est covergete. si la série f(p) coverge, ou si x x 0 f(t) dt admet ue limite e +, alors : + p= 0 + w p = + 0 f(t) dt + p= 0 + f(p). Démostratio : Établir la majoratio w f( ) f(),... le reste suit. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2 3 4 5 6 x FIGURE séries et itégrales 20

2.4 Exemples remarquables 2.4. La costate d Euler (le retour) Exercice 8 O cosidère la série harmoique, déjà recotrée, dot ous avos prouvé k qu elle divergeait. O se propose ici d étudier so comportemet asymptotique avec plus de précisio. O otera H = k.. Motrer que H l(). 2. Motrer qu il existe u réel γ (voir ote 4 ) tel que H = l() + γ + o(). k= Idicatio : posos w k = f(k) k k f(t) dt avec f(t) = t et exprimos H e foctio de f(t) dt et w k. 3. Vers u ecadremet de γ. (a) Motrer que les suites (a ) et (b ), défiies par a = H l() et b = H l( + ) sot adjacetes et retrouver la relatio H = l() + γ + o(). (b) Écrire ue foctio Pytho qui pred e argumet et retoure ue valeur approchée à 0 près de la costate d Euler. Évaluez le ombre d itératios écessaires pour obteir ue telle précisio. 2.4.2 Séries de Riema O appelle série de Riema ue série de la forme. O démotrera le théorème suivat à α titre d exercice fodametal. Les résultats sot à coaître. Théorème 3 si α 0, la série de Riema, est grossièremet divergete. α si 0 < α, la série de Riema, est divergete. α si 0 < α <, les sommes partielles vérifiet si α =, k= k α α α k= k l() 4. C est ue otatio usuelle, ce ombre est la costate d Euler. Ces résultats sot dus à Euler et datet de 7... O e sait toujours pas si γ est ratioel ou pas, questio que l o se pose depuis cette époque 2

si < α, la série de Riema, est covergete. So reste à l ordre vérifie α Démostratio R = + k α α α. 2.4.3 Séries de Bertrad (exemples) Ce sot les séries de la forme α l() β, α l() β l(l()) γ, etc... Elles itervieet de faço classique. Les méthodes sot à coaître. Exercice 9 Exemples de séries de Bertrad. k k l(k) 2. k k l β (k) 3. k k α l β (k) 4. Éocer ue cs de covergece. 2.4.4 Exercices Exercice 20 O se propose de calculer. Justifier que cette série coverge. =6 2. Motrer qu il existe des réels a et b tels que 3. Écrire avec soi la somme partielle S N = 2 25. 2 25 = N k=6 2 25 et e déduire la somme de la série. S agit il d u ratioel? a 5 + b + 5. 22

Exercice 2 au km. Étudier les séries si ( ) l, 2. Covergece et somme de ( + )( + 2) ; 3. Covergece et somme de e (α+ ) lorsque α > 0. 2.5 Cas des foctios croissates, Formule de Stirlig 2.5. Gééralités Exercice 22 O suppose que f est ue foctio positive, cotiue par morceaux, croissate sur l itervalle [ 0, + [.. Doer u ecadremet de p=m f(p) 2. Exemples : Doer u équivalet de p= l(p) Motrer que! e ( ) + + e 2 e 4 (2.) Doer u équivalet de p=0 p Doer u équivalet de p=0 p3/2 Doer u équivalet de p=0 pα lorsque α > 0. Savez vous commet calculer les sommes exactes lorsque α est u etier aturel? Exercice 23 algèbre liéaire O se propose ici d effectuer le calcul exact de lorsque α est u etier aturel. S =. Motrer que l applicatio qui, à u polyôme P (X) de C[X] associe p=0 p α (P (X)) = P (X + ) P (X), réalise ue surjectio de K + [X]sur K [X] pour tout aturel 0. 2. Motrer que la somme S est u polyôme e. Quel est so degré? 3. Calculer S 4, S 5... 23

2.5.2 Formule de Stirlig O souhaite obteir l équivalet de! : ( ) 2π.! e L idée est de doer u développemet asymptotique de k=2 l(k) (u équivalet e suffirait pas, pourquoi?) Pour cela, o pose, comme das le théorème 2, avec f(t) = l(t). w = f(t) dt f() Exercice 24 développemet de l k. Doer u équivalet de k=2 l(k). 2. Motrer que w = f(t) dt f() = (t + α )f (t) dt pour α bie choisi. 3. E déduire que w = 2( ) + x où x est absolumet covergete. 4. Motrer que l(!) = l + 2 l + K + o(). E déduire que! ek ( e ). Exercice 25 itégrales de Wallis, calcul de K O rappelle la défiitio des itégrales de Wallis : W = π/2 0 cos t dt = π/2 0 si t dt.. A partir d ue relatio de récurrece etre W +2 et W, calculer W 2p et W 2p+. π 2. Etablir la formule de Wallis : W 2. 3. E écrivat u équivalet de W 2p de deux faços, motrer que e K = 2π. E déduire la formule de Stirlig ci-dessus metioée. Exercice 26 que faire avec?. Détermier la ature des séries de termes gééraux : (a)!e, (2)! (b)!a, 2. calculer la limite de la suite ( + ) 2! +/2 24

2.6 Critère de d Alembert. Théorème 4 comparaiso logarithmique Soiet (u ) et (v ) deux suites de réels positifs. Si à partir d u certai rag, u + u v + v, alors u = O(v ). E particulier, si (v ) est ue suite géométrique de raiso r, o obtiet u = O(r ). Corollaire 5 Règle de d Alembert Soit u ue série à termes positifs. O suppose que la suite ( u + ) admet ue limite. Alors : u si cette limite vérifie lim u + <, u coverge ; u si cette limite vérifie lim u + >, u diverge ; u Remarque : si lim u + u =, o se gardera de coclure trop vite. Exercice 27 cotre-exemples et idées claires. Motrer que les réciproques sot fausses (et loufoques) ; 2. Doer u exemple de série u telle que lim u + diverge ; u =, qui coverge et ue autre qui Exercice 28 Etudier, si possible à la lumière de ce critère, les séries de termes gééraux, sigaler quad ue autre méthode est possible 5 : z!,!, e!!, (!) 2 (2)!, 2 Exercice 29 Que dire de la covergece des séries à termes positifs vérifiat : u +. u + 5. utiliser la relatio ( 2.) s il le faut. 25

2. u + u ( + ) 2 idicatios : Comparer u à v = 0 ( ) ( + ) 2 ; 3. 4. u + α avec α > (à partir d u certai rag) ; u u + α avec 0 < α < ; u 2.7 Exercices Exercice 30 au kilomètre Etudier les séries suivates, discuter s il y a lieu : l ( 2 ) + + 2 + 2 2 2 e ( + ) ( + )+ ( + + ) 3 + + 3 + 3 + + 3 + a + b 2 l l 2, (l ) 2 2, 2 cos! ( ) ; ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( si π ) 4 2 + 2 ( ) l( + 2 + ) + 2 ( ) + ( ) arcsi 2 + 3 ( ) cos( ) cos ( π 2 l( + )) Exercice 3 Vrai ou faux :. Si la série à termes positifs, u coverge, il e va de même pour u 2? 2. Si la série à termes complexes, u coverge, il e va de même pour u 2? 3. Si les séries à termes réels u 2 et v 2 coverget, il e va de même de u v? 26

4. Si les séries à termes complexes u 2 et v 2 sot absolumet covergetes, il e va de même de u v? Exercice 32 Etudier la suite défiie par S = k= k 2 Exercice 33 Nature de la série de terme gééral ( ) u, avec u défiie par u 0 > 0 et u + = e u +. Exercice 34 mies Soiet f : [, + [ ]0, + [, ue foctio de classe C telle que. Etudiez la ature de la série f() f (x) lim x + f(x) =. 2. Doez u équivalet du reste R = k=+ f(k). voir corrigé e?? Exercice 35. Soiet f et g deux foctios cotiues par morceaux et strictemet positives sur [a, + [. Motrer que, si [0,x] g(t) dt est pas borée, x ( x ) f(x) = o(g(x)) f(t) dt = o g(t) dt. x + a x + a 2. O suppose que h, est ue foctio de classe C et strictemet positive sur [0, + [, telle que h (x) lim x + h(x) = +. (a) Motrer que la série de terme gééral h() diverge et doer u équivalet de sa somme partielle d ordre. (b) Doer u équivalet, puis u développemet à trois termes (puissaces de ) de k k. k= 27

3 Déombrabilité et familles sommables 3. Esembles déombrables, au plus déombrables Joli et délicat, o fera quelques démostratios seulemet e classe (c est pourquoi elles sot rédigées). Défiitio 5 U E esemble est fii s il est vide ou s il existe u etier tel que E soit e bijectio avec [, ]. O dit qu u esemble est déombrable s il est e bijectio avec l esemble N des etiers aturels. O dit qu u esemble est au plus déombrable s il est e bijectio avec ue partie de N. Il est doc fii ou déombrable par le théorème 6. Théorème 6 Ue partie de N est soit fiie soit déombrable. Ue partie d u esemble au plus déombrable est soit fiie soit déombrable (doc au plus déombrable). Démostratio O peut admettre ce résultat dot ous doos, pour le fu, ue preuve algorithmique. Motros le premier poit. Cosidéros A N : Si A est vide, il est fii par défiitio. Sio, raisoos de faço algorithmique :. O ote A = A, A = {} et i = 0. 2. Tat que A {} faire : (a) a[i] = mi A ; (b) A = A \{a[i]}; (c) A = A {a[i]}; (d) i = i + ; Observos qu il y a au mois ue itératio et qu u ivariat de boucle est i mi A = a[i], A A = A, A A = {}, et les élts de A majoret strt ceux de A. Si l algorithme termie avec p itératios, A est fii, i a[i] est ue bijectio de [0, p ] sur A. E effet, - c est ue applicatio : l algorithme termie avec i = p mais les affectatios ot lieu avat l icrémetatio qui figure das le corps de la boucle, il y a ue affectatio et ue seule pour chaque i apparteat à l itervalle [0,p-] ; - elle est ijective : après chaque affectatio l élémet ajouté à la liste a est retiré de A, il e sera doc pas préset deux fois das la liste ; 28

- elle est surjective : l algorithme termie avec A vide, les élémets affectés sot das A = A (voir ecadré). Sio, A est déombrable et i a[i] est ue bijectio de N sur A. - C est ue applicatio : il y a toujours ue affectatio et ue seule pour chaque i apparteat à N; - elle est ijective : même démo ; - elle est surjective : soit y u élémet de A, à la fi de l itératio y + o aura y a[y]. Cela impose y / A doc y A et par costructio de A, y est de la forme a[i]. Exercice 36 umérotatios des couples d etiers.... O rage m couples d etiers comme sur la figure de gauche. (a) Défiir ue foctio φ(m, i, j) qui doe le du couple (i, j). (b) Écrire la foctio φ (m, k) qui doe le couple (i, j) de uméro k. 2. O se propose maiteat de préciser la umérotatio des couples de N 2 comme sur la figure de droite. (a) Défiir ue foctio ψ(i, j) qui doe le du couple (i, j). (b) Écrire avec précisio la foctio ψ (k) qui doe le couple (i, j) de uméro k. Idicatios : regarder où se trouvet les couples pour lesquels i + j = k et les couples dot le est de la forme k(k + )/2... (c) Algorithmique : programmez ces deux foctios (e Pytho). Das la deuxième questio de l exercice qui précède, ous avos explicité ue bijectio de N sur N 2 ce qui prouve la première assertio du théorème : Théorème 7 théorème fodametal de la déombrabilité N 2 est déombrable. U produit cartésie fii d esembles déombrables est déombrable. 29

Démostratio Première assertio : l exercice 36 questio 2, qu il faut savoir faire. Secode assertio : o commece par observer qu u produit fii d esembles déombrables, A A 2... A p est e bijectio avec N p. C est immédiat avec Φ : (x,..., x p ) A... A p (φ (x ),..., φ p (x p )) N p dot o vous laisse vérifier qu elle est à la fois surjective et ijective, chaque foctio φ i état ue bijectio de A i sur N... O démotre que N p est e bijectio avec N par récurrece sur p. C est évidet si p = ; Supposos N p e bijectio avec N; o ote f ue bijectio f : N p N. O défiit alors g : N p+ N 2 e posat : g(x,..., x p, x p+ ) = (f(x,..., x p ), x p+ ) (3.) O vérifie facilemet qu elle est bijective et comme N 2 est e bijectio avec N. Théorème 8 Ue réuio fiie d esembles déombrables est déombrable. Ue réuio déombrable d esembles déombrables est déombrable. Ue réuio déombrable d esembles au plus déombrables est au plus déombrable. Z est déombrable. Q est déombrable. Démostratios par le chemi des écoliers Nous commeços, c est plus facile, par motrer qu ue réuio fiie p i=0 A i d esembles déombrables et disjoits est déombrable. La démostratio se compred bie e iterprétat la figure de droite de la faço suivate : o y a p = 4, e première coloe, A 0 avec les élémets de 0,, 2 etc..., e deuxième coloe, A. O ote φ i ue bijectio de A i sur N. O défiit j de la faço suivate : si x p i=0 A i, j(x) est l idice pour lequel x A j(x). O défiit l applicatio Φ : x p A i p φ j(x) (x) + j(x) i=0 Prouvos que Φ réalise ue bijectio de p i=0 A i sur N. 30

Φ est bie défiie comme applicatio : ous laissos le lecteur y réfléchir (voir les questios ci-dessous). Φ est bijective : o étudie, pour y N, l équatio Φ(x) = p φ j(x) (x) + j(x) = y (3.2) O ote pour cela y = { pq + r ((q, r) quotiet et reste das la DE de y par p. (3.2) deviet alors, j(x) = r puisque 0 j(x) < p d où l o déduit x = φ r (q) φ j(x) = q Questios :. Sur la figure, que vaut j(x) lorsque x est de 7? 2. Pourquoi j est elle bie ue applicatio? 3. Pourquoi avos ous supposés les A i disjoits? La démostratio tiedrait elle autremet? Où serait le poit de rupture? 4. Doer l algorithme qui défiit Φ. Si vous deviez le programmer effectivemet, quel serait le poit crucial (bo ses)? Ue réuio déombrable d esembles déombrables disjoits est déombrable. O cosidère, avec des A i disjoits, i N A i. O défiit comme précédemmet, pour x i N A i, j(x) l idice pour lequel x A j(x). O idetifie par bijectio i N A i à N 2 comme ci-dessous et o se ramèe esuite au théorème 7 (N 2 est e bijectio avec N) : ψ : x i N A i ( j(x), φ j(x) (x) ) N 2. Ue réuio déombrable d esembles au plus déombrables est au plus déombrable. Doos ue idée de la démostratio. O ote A = i N A i = A 0 A A 2... A p... O pose A 0 = A 0, A = A \A 0,..., A + = A +\(A 0 A... A ),... O a alors ue réuio d esembles disjoits (dot certais sot peut-être vides) : A = i N A i = i N A i O complète chaque A i qui serait fii e A i de telle sorte que les A i soiet disjoits deux à deux et bie sûr déombrables. Alors A = i N A i = i N A i i N A i Ce derier esemble est déombrable comme uio disjoite d esembles déombrables. D après le théorème 6, A est alors au plus déombrable. 3

Retour aux deux premiers éocés du théorème. Commet se déduiset ils de leurs versios disjoites respectives et de ce derier? Z est déombrable. E effet, Z = Z N et Z est e bijectio avec N (facile). Q est déombrable. E effet, tout x Q s écrit x = p q avec q > 0. Alors, Q = { } p q= q ; p Z est réuio { } p déombrable d esembles déombrables (chaque q ; p Z est idexé sur p Z). Comme par ailleurs, Q est pas fii, il est déombrable. Exercice 37 O cosidère ue applicatio f : I S. O suppose que f est surjective et qu u élémet x S admet u ombre fii d atécédets par f. Si S est déombrable, que peut o dire de I? 3.2 Ils e sot pas déombrables Exercice 38 {0, } N O cosidère l esemble E = {0, } N des suites formées de 0 et de. O veut démotrer par l absurde que cet esemble est pas déombrable. O supposera doc qu il existe ue bijectio Φ : N E.. Compredre les objets, les otatios : (a) Soit U = (0, 0, 0,, 0,,...) u élémet de E. Au vu de cette descriptio partielle que sot U 0, U,..., U 5? Et U 6? (b) Soit U = Φ(p) (p N quelcoque). Que désiget U, Φ(p)? 2. O défiit ue suite V e posat pour N : { V = 0 si Φ() = V = si Φ() = 0 (a) Que vaut V si Φ() est la suite ulle? V est elle la suite ulle? (b) Que vaut V si Φ() est la suite formée uiquemet de? V est elle la suite formée uiquemet de? (c) Existe-t-il N tel que V = Φ()? 3. Coaissez vous u esemble o déombrable? Théorème 9 R est pas déombrable. 32

Démostratio hors programme o peut la costruire avec l exercice 39. Exercice 39 les premières questios sot idépedates.. Motrer que R est e bijectio avec chacu de ses itervalles ouverts ]a, b[ o vides. Boîte à outils o ragée : foctios affies,, ta, x x + x. 2. Pourquoi l applicatio θ : (u i ) i {0, } N\{0} i= u i est elle ue surjectio sur 2i ]0, [? θ est elle ijective? Combie u élémet de ]0, [ peut il avoir d atécédets par θ? Voir le théorème 4 page 0. O trasposera les résultats à la base 2 sas refaire les démostratios. 3. O cosidère ue applicatio f : I S. O suppose que f est surjective et qu u élémet x S admet u ombre fii d atécédets par f. Si S est déombrable, que peut o dire de I? 4. Sachat que {0, } N est pas déombrable (exercice 38), R est il déombrable? 3.3 Familles sommables 3.3. Les familles sommables de réels positifs Défiitio 6 famille sommable de réels positifs Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels positifs idexée sur J. O dit que (a i ) i J est sommable ssi l esemble des sommes défiies pour J partie fiie de J est boré. Lorsque (a i ) i J est sommable, o défiit sa somme comme a i = i J Lorsque (a i ) i J est pas sommable, o pose i J a i sup J J J fiie i J a i = +. i J Quelques exemples de familles idexées sur u esemble au plus déombrable Suites doubles, familles idexées sur N 2 : ce sot les familles de la forme (a (p,q) ) (p,q) N 2. Par exemple, a (p,q) = p α q β pour (p, q) N 2 ; Suites idexées sur Z : (a ) Z a i 33

Suites idexées sur ue famille déombrable d évéemets (c est ue des applicatios majeure de cette otio das otre programme). Cas des familles idexées sur N Lorsque I = N, la famille (a i ) i I = (a i ) i N peut être aussi cosidérée comme ue suite. Ue somme partielle de la série de terme gééral a i peut s écrire S = a i = a i. i=0 i [0,] C est doc u cas particulier de somme fiie attachée à la suite vue comme ue famille déombrable de termes positifs. O démotre alors le Théorème 20 familles sommables et séries à termes positifs. Soit (a i ) i N ue suite de réels positifs (c est à dire ue famille de réels positifs, idexée sur N). La famille (a i ) i N est sommable ssi la série a i est covergete. Das ce cas la somme de la série et la somme de la famille sommable coïcidet : a i = a i = a i = a i. i J sup J J J fiie i J lim + i=0 i=0 Démostratio L équivalece : Supposos (a i ) i N sommable. Les sommes partielles de la série a i sot borées puisqu elles sot de la forme a i = a i a i. i=0 i [0,] sup J N, J fii La suite des sommes partielles qui est croissate et majorée coverge. E particulier a i = lim a i. i=0 + i [0,] a i i N Supposos que la série coverge et cosidéros J N, u esemble fii. Soit = sup J. Comme J [0, ], o a a i S = a i a i. i J La famille des i J a i est doc borée, la famille des (a i ) i N est sommable et sup J N, J fii i=0 a i i J L égalité des deux sommes das le cas où la famille est sommable et la série coverge découle des deux iégalités. i=0 i=0 a i i J 34

Questio : Que peser de l affirmatio qui suit : De toutes faços si ue série à termes positifs coverge, la somme est égale au sup des sommes partielles, il y a doc rie à démotrer pour l égalité!? Théorème 2 sommatio par paquets Si (I ) est ue partitio de l esemble déombrable I, et si (a i ) I est ue famille sommable de réels positifs, alors :. Chacue des familles (a i ) I est sommable. 2. La famille (T ) où chaque T est défii par T = i I a i est elle-même sommable. 3. L égalité qui suit est vérifiée (formule de sommatio par paquets) : T = a i = a i (3.3) N N i I i I Démostratio hors programme. Exercice 40 premiers exemples O ote N = N \ {0}... ( ). La famille + j 2 est elle sommable? j Z ( ) 2. La famille i 2 j 2 est elle sommable? Calculer évetuellemet sa somme. (i,j) N ( ) 2 3. La famille i 2 + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a 2 + 2. O doe : 2 + t 2 dt = 2π 0 3.3.2 Les familles sommables de complexes Défiitio 7 famille sommable de complexes Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels de siges quelcoques ou de complexes idexée sur J. O dit que (a i ) i J est sommable ssi ( a i ) i J est sommable. 35

Rappelos les défiitios et résultats vus e début de chapitre : u + = max(u, 0) 0 u = max( u, 0) 0 u = u + u u = u + + u si u 0, u = u + et u = 0 si u 0, u = u et u + = 0 Théorème 22 Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de réels de siges quelcoques idexée sur J. Alors (a i ) i J est sommable ssi les familles de réels positifs (a + i ) i J et (a i ) i J sot toutes deux sommables. Soiet J u esemble au plus déombrable et (a i ) i J ue famille de complexes idexée sur J. Alors (a i ) i J est sommable ssi les familles de réels positifs (Re(a i )) i J et (Im(a i )) i J sot toutes deux sommables. Démostratio E tout poit aalogue à celle du théorème 3 sur les séries absolumet covergetes. Défiitio 8 somme d ue famille sommable de complexes - Soit (a i ) i J ue famille sommable de réels de siges quelcoques idexée sur J, o défiit sa somme comme état a i = a + i a i i J i J i J - Pour (a i ) i J ue famille sommable de complexes o défiit sa somme comme état a i = Re(a i ) + i Im(a i ) i J i J i J Cas des familles idexées sur N Nous avos là ue gééralisatio de théorème 20. Théorème 23 familles sommables et séries à termes complexes : Soit (a i ) i N ue suite de complexes (c est à dire ue famille de complexes, idexée sur N). La famille (a i ) i N est sommable ssi la série a i est absolumet covergete. Das ce cas la somme de la série et la somme de la famille sommable coïcidet : a i = i J sup J J J fiie a i = i J lim + a i = i=0 a i. i=0 36

Démostratio Nous avos démotré ce résultat pour les séries à termes positifs. Comme la sommabilité et la covergece absolue sot des propriétés de ( a i ) i N, l équivalece est doc aussi démotrée pour les familles de complexes. Il reste à prouver que les sommes =0 a, défiie comme ue limite, et N a, défiie comme ue combiaiso liéaire de 4 bores supérieures sot égales. Cela e pose pas de problème o plus, puisque le résultat est établi pour les familles à termes positifs et que pour les deux défiitios de la somme les applicatios (a i ) i N i N a i, et (a i ) i N i=0 a i sot liéaires alors que a i = Re(a i ) + Re(a i ) + i (Im(a i ) + Im(a i ) ). Théorème 24 sommatio par paquets, ombres complexes Si (I ) est ue partitio de l esemble déombrable I, et si (a i ) I est ue famille sommable de ombres complexes, alors :. Chacue des familles (a i ) I est sommable. 2. La famille (T ) où chaque T est défii par T = i I a i est elle-même sommable. 3. L égalité qui suit est vérifiée (formule de sommatio par paquets) : T = a i = a i (3.4) N N i I i I Démostratio hors programme. 3.3.3 Suites doubles Théorème 25 Fubii pour les suites doubles, réels positifs Soit (u,m ) (,m) N 2, ue famille de réels positifs idexée sur N 2. (u,m ) (,m) N 2 est sommable ssi pour tout, la série m la série des sommes σ = Das ce cas, u,m est covergete ; u,m coverge. m=0 37

Pour tout m, la série u,m est covergete ; La série des sommes τ m = u,m coverge, Les sommes suivates sot égales : σ = τ m. Ce qui s exprime ecore (formule de Fubii) : =0 ( ) u,m = =0 m=0 m=0 ( ) u,m Démostratio Pour le premier poit, ous avos deux implicatios à démotrer. Supposos (u,m ) (,m) N 2, sommable. Observos que N 2 admet pour partitio la famille des esembles {} N (dessiez). Das ce cas chaque somme u,m est défiie puisque la famille est sommable et N {} N u,m m=0 = N 2 =0 u,m {} N D après ce que ous avos dit des familles idexées sur N (ici m parcourt N), Nous avos doc prouvé que u,m {} N m=0 σ = N 2 =0 u,m = σ. Supposos maiteat que pour chaque etier N, m u,m coverge et que la série des sommes σ coverge elle aussi. Cosidéros u esemble fii J N 2 et u couple (N, M) tel que pour tout (, m) J, N et m M. O a alors, N M N u,m u,m = u,m (,m) J Comme cette derière série coverge (,m) [0,N] [0,M] (,m) J u,m u,m =0 m=0 σ = cste La famille est doc sommable. Si l ue des coditios équivaletes précédetes est remplie, comme la famille (u,m ) (,m) N 2 est sommable, par symétrie des rôles du premier et deuxième terme de (, m) σ = u,m = N 2 =0 =0 m=0 τ m =0 σ (3.5) 38

Ue autre démostratio, plus délicate mais qui e fait pas appel à u résultat admis (pour le fu) : Supposos (u,m ) (,m) N 2, sommable. M Notos s,m = u,m. La suite (s,m ) M est croissate, et elle est aussi majorée puisque m=0 s,m = {} [0,M] u,m N 2 u i,j. Aisi m u,m coverge. O ote alors comme das l éocé : σ = u,m. m=0 Motros que σ coverge. Pour chaque N, o cosidère M tel que la somme partielle s,m vérifie 0 σ s,m = m=m + u,m 2. O aura alors N σ s,m =0 N =0 σ N =0 2 2 N s,m + 2 =0 N =0 σ (,m) N =0 {} [0,M] u,m + 2 Comme le derier esemble de sommatio est fii, σ est ue série à termes positifs dot les sommes partielles sot majorées (par quelle costate?). Elle coverge doc. Théorème 26 Fubii pour les suites doubles O cosidère ue suite double (u,m ) (,m) N 2, telle que Pour tout, la série m u,m est absolumet covergete, La série des sommes σ = m u,m coverge. Alors, Pour tout m, la série u,m est absolumet covergete ; La série des sommes τ m = u,m coverge, Les sommes suivates sot égales : ( ) ( ) σ = u,m = u,m = =0 =0 m=0 m=0 =0 m=0 τ m 39

( ) ( ) u,m = u,m =0 m=0 m=0 =0 Démostratio o faite Exercice 4 O ote N = N \ {0}... ( ). La famille i 2 + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a 2 + 2... ( ) 2. La famille i 2 + j 3 est elle sommable? (i,j) N 2 Idicatio : ecadrer la somme de la série a 2 + 3... ( ) 3. La famille i 4 + j 4 est elle sommable? (i,j) N 2 ( ) 4. Pour quelles valeurs de α > 0 la famille i α + j 2 est elle sommable? (i,j) N 2 O doe les résultats suivats : 0 a 2 + t 2 dt = π (3.6) 2a 0 a 2 + t 3 dt = 2π 3 9a 4/3 (3.7) a α + t 4 dt = π 2 4a 3 α/4 (3.8) Exercice 42. Les sommes sot elles défiies? 2. Les sommes ( = m= ( = m= 0 ) ( + m) α, ) ( + m 2 ) α, sot elles défiies? Sot elles égales? 3. Que peser de ( = m= lorsque 0 < α, lorsque α > 2? ) ( ) m ( + 2m) α, ( ) ( + m) α, m= m= = ( ) ( + m 2 ) α, m= = ( ) ( ) m ( + 2m) α, = 40

Exercice 43 sommes d Euler O défiit la foctio ζ de Riema e posat pour p >, ζ(p) = =0 O admettra que ζ(2) = π 2 /6. (ce résultat est établi das l exercice 3).. Soit φ(m, ) = 2 m 3 + m 2 2 + 2 m 3. Calculer u,m = φ(m, ) φ(, m + ) φ(m +, m) E déduire que ζ(4) = 2 5 ζ(2)2. Dessier les couples d idices figurat das la somme p 2. Que peut o faire d aalogue avec N N u,m... = m= Exercice φ k (m, ) = k 2 2 m k + m k i i + 2 m k? 44 d après le problème Mies 2002 sur les ombres premiers.... Motrer que la suite des ombres premiers est illimitée e cosidérat, par exemple, pour ombres premiers p, p 2,..., p doés, l etier Q défii à partir de ces ombres premiers par la relatio : Q = + i= p i. 2. Soiet s u réel strictemet positif et 2 u etier. Justifier que i=2 ( s ) = ks. 3. Soiet a et b deux etiers, différets l u de l autre, tous les deux supérieurs ou égaux à 2. Démotrer que la série double de terme gééral u i,j défii par la relatio u i,j = a i s b j s, est sommable (ce qui sigifie que les séries i u i,j, j u i,j, sot absolumet covergetes de même que les séries j i=0 u i,j, i j=0 u i,j ). Détermier sa somme S. 4

3.4 Produit de Cauchy de séries absolumet covergetes Calcul prélimiaire : Soiet P (X) = a k X k, et Q(X) = b k X k, deux polyômes, écrire leur produit. Défiitio 9 produit de Cauchy de deux séries Soiet u et v deux séries à termes das K. O appelle produit de Cauchy de ces deux séries, la série de terme gééral w = u k v k = p+q= u p v q. Théorème 27 Si les séries u et v sot absolumet covergetes, leur produit de Cauchy est ue série absolumet covergete et de plus : ( + + ) ( + ) ( + ) w = u p v q = u k v k. =0 =0 p+q= Démostratio O suppose que les séries u et v sot absolumet covergetes et o pose w =. Motrer que la famille (u p v q ) (p,q) N est sommable. 2. Justifier l égalité 3. E déduire : Exercice + =0 w = + =0 45 séries semi-covergetes + =0 ( p+q= u p v q ) = (k,l) N 2 u k v l ( + ) ( + ) w = u k v k.. Que dire du produit de Cauchy de la série de t.g. ( ) par elle-même? p+q= u p v q. 2. Que dire du produit de la série de t.g. ( ) par elle-même? Exercice 46 déombremets Soit, pour x ], [, f(x) = x.. Écrire f(x) comme la somme d ue série absolumet covergete. 42

2. Écrire f 2 (x), f 3 (x) comme sommes de séries absolumet covergetes. 3. O ote d (m) Exercice Motrer que le ombre de m-uplets d etiers aturels (p, p 2,..., p m ) tels que m p i =. i= f(x) m = d (m) k x k. 47 produits de Cauchy, produits ifiis et ombres premiers. Soit p 2 u etier. Que vaut la somme s=0 p s? 2. Détermier le produit de Cauchy des séries géométriques 2 p et 3 p. 3. Doer ue expressio judicieuse de ( ) ( ) ( ) sous forme de série. 2 3 5 O ote T la ième somme partielle de cette série. Développer T 2 et motrer que l o a l ecadremet H(6) T 2 H(25) das lequel H() désige la somme partielle de la série harmoique H() = k= k. 4. O ote (p ) la suite des ombres premiers (aisi p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 8 = 9 etc...). O défiit ue suite (P ) e posat (a) Motrer que P = P = k= θ,m où θ,m = m=0 ( pk ). 2 α (α +...+α )=m 3 α... 2 (b) O cosidère la somme partielle P,N = N m=0 θ,m. Motrer que P,N H(p N ). (c) Soit K u etier compris etre et mi(2 N, p ). O suppose que K se décompose e K = 2 a 3 a 2...p a j j. Justifier que tout ombre premier p i figurat das cette décompositio avec a i > 0 est iférieur à p et que a + a 2 +... + a j N. p α. 43

(d) Démotrer que pour tout (, N) N 2, il existe u etier q, que vous détermierez, tel que H(q) P,N. E déduire que H(q) P puis que lim P = +. 5. Détermier la ature de la série ) l ( pk. 6. Motrer que la série p k diverge. 3.5 L expoetielle complexe Exercice 48 exercice prélimiaire. Motrer que pour tout z C la suite s = z k k! coverge. 2. Lorsque x est réel, que dire de sa limite? 3. Motrer que cos x et si x sot sommes de séries aalogues et que, pour tout réel y, o a e iy = cos y + i si y. Défiitio 0 Pour tout z complexe, la série z est absolumet covergete. O défiit doc ue foctio! exp : C C, e posat pour z complexe : exp(z) = e z = =0 z!. Cette foctio, appelée expoetielle complexe vérifie les propriétés suivates : Propositio 28 L applicatio exp ci-dessus défiie vérifie exp(u + v) = e u+v = e u e v = exp(u)exp(v) (3.9) exp : C C est u homomorphisme du groupe additif (C, +) sur le groupe multiplicatif (C, ). Pour tout z = x + iy avec x et y réels, e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i si y) (3.0) exp est u prologemet de la foctio expoetielle réelle à C. exp est surjective, o ijective. So oyau (comme homomorphisme de groupe) est l esemble des complexes de la forme 2ikπ, k Z. 44

Démostratio pour établir la formule e z+w = e z e w, étudier le produit de Cauchy des séries de sommes e z et e w. Le résultat est ue coséquece du théorème 27. Exercice 49. Résoudre l équatio e z = a + ib où (a, b) R 2, z C est l icoue ; justifier que exp est u homomorphisme surjectif de C sur C. Quel est so oyau? 2. O ote L = C \ R. Motrer que si w = a + ib = re iθ alors r = a 2 + b 2 θ = 2arcta ( b a + r ) [2π] 3. O suppose que a + ib L (ie : est pas u réel égatif), exprimer les solutios de e z = a + ib à l aide des foctios l et arcta (et d u paramètre k Z). Justifier que exp réalise ue bijectio de la bade {z C; Imz < π} sur L et expliciter sa bijectio réciproque (appelée détermiatio pricipale de l complexe). 45

4 Aexes 4. Aexe : Pour étudier ue série umérique.... O commece par s assurer qu elle est pas grossièremet divergete, 2. Si ce est pas le cas (et parfois aussi, si c est le cas et que l o veut étudier le comportemet asymptotique des sommes partielles) o regarde ce que doet les théorèmes du cours : (a) pour ue série à termes positifs ou de même sige : comparaiso à ue série de référece, à ue itégrale, règle de d Alembert si so allure s y prête... (b) si la série est alterée, vérifier les 3 hypothèses du critère spécial ; (c) regarder les modules, ce peut-être ue série absolumet covergete, c est le cas des séries e O(v ) où v est ue série positive covergete... (d) regarder si elle est de la forme f() où la foctio f est mootoe ou de dérivée itégrable... 3. Si ces critères e sot pas immédiats, peser à développer le terme gééral. O pourra alors étudier la série comme ue sommes de séries au comportemet facile à étudier... A cet égard réfléchir aux exemples suivats : si u = ( ) 2 + o, la série diverge. Pourquoi? ( ) si u = ( ) 2 + o, la série peut être covergete ou divergete ; illustrer les deux cas. si u = ( ) 2 + ( ) 3/2 + O 2, la série coverge. Pourquoi? 4. O oubliera pas o plus la formule de Taylor etc.. 5. O pesera esuite aux séries de foctios : série etières (séries géométriques dérivées par exemple), séries de Fourier e u poit ( si, par exemple), séries d itégrales (voir chapitre correspodats) 4.2 Aexe 2 : Produits ifiis Exercice 50 CCP (remaié) Soiet (u ) ue suite à termes strictemet positifs.. Comparez les covergeces des séries u et l( + u ); 2. Comparez les covergeces des séries u et du produit ( + u ); 3. Comparez les covergeces des séries u et v où u v = ( + u k) ; Exercice 5 Soit (u ) ue suite strictemet croissate de réels strictemet positifs de limite + et telle que lim u + u k u k+ =. Démotrer que u u u. k + k= 46

4.3 Aexe 3 : Calcul approché de la costate d Euler O a démotré que. H = k= k = l() + γ + o( ) 2. les suites (a ) et b ) défiies par a = H l() et b = H l(+) sot adjacetes, de limite γ 3. l écart a p b p est majoré par p. Doc, pour obteir u ecadremet de γ de logueur 0, il suffit de calculer les termes d ordre 0 de ces deux suites : restart; Digits:=20; G:=proc() local p, H, k; p:=0^; H:=0; for k from to p do H:=evalf(H+/k): od; [evalf(h-l(p+)), evalf(h-l(p))]; ed: t0:=time(): G(2); time()-t0; [.5722570007983608096,.58220733655288925].009 t0:=time(): G(3); time()-t0; [.5767608235243275,.57775585682078606].045 t0:=time(): G(5); time()-t0; [.577206649439977,.5772206648939950] 4.252 t0:=time(): G(6); time()-t0; [.577256490949699,.577266490449699] 45.29 Remarque : O voit que pour passer d ue précisio 0 à ue précisio 0 (+), ce qui fait gager ue décimale, le temps de calcul est multiplié par 0 au mois, ce qui était tout à fait 47

prévisible. Pour calculer de cette faço 20 décimales, il faut prévoir 40 millios de siècles. 4.4 Aexe 4. Développemets asymptotiques et études de séries Exercice 52 Soit f défiie sur [0, A, [, cotiue, telle que 0 < f(x) < x sur ]0, A[ et que f(x) = x ax 2 + bx 3 + o(x 3 ) avec a > 0 et b a 2. O souhaite doer u DA du terme gééral d ue suite défiie par u 0 [0, A[ telle que u + = f(u ).. Limite de la suite? 2. Doer u équivalet de u. Idicatio : pour ue suite quelcoque, 3. Doer u équivalet de u a. 4. Doer u DA à 3 termes de u. v = v 0 + k= 0 (v k+ v k ). Exercice 53 DA O cosidère ue suite (x ) telle que x 0 > et x + = x + + x.. Motrer que cette suite et bie défiie et détermier sa limite. 2. Doer u équivalet de x. Idicatio : o écrira x = σ k, σ 0 = x 0 et σ k = (x k x k ), k. 3. Doer u développemet à deux termes de x. Exercice 54. Soit σ ue suite de réels positifs telle que σ +. Doer u équivalet des sommes 3 k= σ k. O cosidère pour u 0 R, la suite (u ) défiie par u + = si u. 2. Discuter du sige des termes de la suite selo u. Motrer que cette suite coverge. Préciser sa limite. Justifier que si u 0, aucu des termes de la suite est ul. O se place doréavat das ce cas. 48

3. Doer u équivalet de σ = u 2 + vers + das les cas u = et u =.. E déduire u équivalet de u lorsque ted u 2 4. Doer u équivalet de σ 3. E déduire u développemet à deux termes de u. voir corrigé e page??. 4.5 Aexe 5 : culture L idée sous-jacete à l exercice 38 (procédé diagoal), qui permet de démotrer par l absurde que {0, } N est pas déombrable est à reteir ; c est le poit crucial das la preuve de la o-déombrabilité de R. Le premier théorème de Gödel (93) : ce théorème établit que das ue théorie mathématique qui par exemple cotiet les axiomes de l arithmétique, il existe des éocés P tels que i P i o(p ) e sot démotrables (o parle d éocés idécidables das la théorie). Idée : uméroter les démostratios possibles e foctio de l éocé P (lui-même uméroté) et e déduire des éocés P tels que i la démostratio de P i celle de o(p ) e sot das cette liste. Cela e fourit pas pour autat u tel éocé P e lagage mathématique clair, il faudra attedre 962 pour cela. L hypothèse du cotiu : o sait que sot déombrables les esembles e bijectio avec N alors les esembles e bijectio avec R e le sot pas. Existe-t-il des esembles X tels que N X R qui e seraiet e bijectio i avec N, i avec R? Cela ous ferait 3 types d esembles ifiis coteus das R. E 962, Paul Cohe prouve que cet éocé est idécidable. O peut doc costruire des théories mathématiquemet cohéretes (sas cotradictio) avec ou sas cette hypothèse. O travaille le plus souvet e acceptat comme axiome le fait qu il existe pas de cardial compris etre celui de N et celui de R que l o ote ℵ 0 et ℵ... L idécidabilité e iformatique :... 49

R e g a r d s (c)2007 Charles F. Cooper Used with permissio. Pe tite h i s to i r e d e l i d é c i d a b i l i t é David Hilbert rêvait de trouver u système complet d'axiomes dot o pourrait établir de maière simple qu'il était o cotradictoire et qui permettrait de développer toutes les mathématiques. Kurt Gödel démotre e 93 que tout système assez puissat pour faire des mathématiques itéressates et o cotradictoires est icomplet : certaies affirmatios mathématiques vraies 'y sot pas démotrables.? Ala Turig, grâce à so travail sur la otio d'algorithmes, permet de mieux compredre le théorème d'icomplétude et de réaliser qu'il cocere u grad ombre de problèmes de programmatio (et doc d'iformatique). Paul Cohe démotre l'idépedace de l'axiome du choix et de l'hypothèse du cotiu au sei de la puissate théorie des esembles : l'idécidabilité cocere doc cette théorie cetrale des mathématiques. Adrei Kolmogorov propose ue défiitio mathématique de la otio de complexité qui s'applique e physique et qui est doc touchée par l'idécidabilité : celle-ci est importate, y compris das les scieces de la ature. Per Marti-Löf, e formulat ue défiitio rigoureuse de la otio de suite aléatoire ifiie, permet ue compréhesio approfodie des lies etre probabilités et idécidabilité. Yuri Matyasevich, e motrat l'idécidabilité du dixième problème de Hilbert cocerat les équatios polyomiales diophatiees, permet la formulatio d'équatios arithmétiques complexes idécidables. Jeff Paris et Leo Harrigto ot formulé u éocé d'arithmétique e proveat pas de la logique et idécidable das l'arithmétique élémetaire : aisi, l'idécidabilité touche les parties les plus basiques des mathématiques. Gregory Chaiti, e défiissat le ombre Omega dot ue théorie mathématique e peut coaître qu'u ombre fii de chiffres, produit u cocetré d'idécidabilité décocertat. Robert Solovay aggrave ecore le résultat de G. Chaiti e produisat ue variate du ombre Oméga dot aucu chiffre 'est coaissable par l'utilisatio de la théorie usuelle des esembles. Raymod Smullya tire des pricipes de la démostratio de Gödel u esemble de problèmes paradoxaux qui e aidet la compréhesio et cotribuet à populariser le résultat et sa démostratio. Leoid Levi établit, etre autres, que l'utilisatio du hasard das les démostratios e permettra pas de cotourer l'idécidabilité et cojecture qu'il e va de même de tout mécaisme physique. Cristia Calude établit diverses formes fortes du théorème de Gödel qui e éclairet la ature et qui sigifiet que presque tout éocé est idécidable. Pour la Sciece - 375 - Javier 2009 Logique et calcul [89 50

5 Résumos ous 5. Gééralités Défiitios Soit (u ) 0, ue suite d élémets de K = R ou C. O appelle série de terme gééral u, la suite défiie par S = u k. k= 0 O dit aussi que la suite (S ) est la suite des sommes partielles de la série ; O dit que la série de terme gééral u coverge, lorsque la suite des sommes partielles (S ), coverge. Sa limite otée S = u k, k= 0 est la somme de la série. Das le cas cotraire, la série est dite divergete. O dit que deux séries sot de même ature si elles sot simultaémet covergetes ou divergetes. lorsque la série de terme gééral (u k ) k k0 coverge et a pour somme S = k=k 0 u k, o défiit pour k 0, so reste à l ordre comme la différece R = S S = k=+ Propositio La série umérique de terme gééral (u ) est covergete ssi pour tout ε > 0, il existe u etier aturel N tel que pour tout N et tout p N +, +p k=+ u k ε. Pour qu ue série coverge, il faut que so terme gééral ait pour limite 0. Cette coditio est e rie suffisate. Lorsqu elle est pas remplie, o dit que la série est grossièremet divergete. O dit qu ue série u est absolumet covergete lorsque la série des modules est covergete et toute série umérique absolumet covergete est égalemet covergete. De plus + k= u k Théorème 29 critère des séries alterées Soit u k ue série alterée, telle que, de plus, ( u ) est ue suite décroissate + k= u k. u k 5

lim + u = 0, alors la série u k est covergete les suites S 2 et S 2+ des sommes partielles d ordres 2 et 2+ sot adjacetes et ecadret la somme de la série u k le reste R = k=+ vérifie R u +. 5.2 Séries à termes positifs Propositio das le résumé u ivetaire des règles à coaître. Soit u ue série à termes positifs. Pour que u coverge il suffit que la suite de ses sommes partielles soit borée. 2. Soiet u et v deux séries à termes positifs. si (0 )u v à partir d u certai rag, si v coverge, alors u coverge égalemet. 3. Soiet u et v deux séries à termes positifs. si u = O(v ) si v coverge, alors, u coverge égalemet et de plus, les restes des deux séries sot comparables : ( ) R = u k = O v k. k=+ k=+ 4. Soiet u et v deux séries à termes positifs. Si u v alors, les deux séries sot de même ature. si elles coverget leurs restes sot équivalets : u k v k k=+ k=+ si elles diverget leurs sommes partielles sot équivaletes : u k v k k= 0 k= 0 Propositio das le résumé 2 Règle de d Alembert. Ne pas croire au père Noël, ça marche das des cas très très particuliers! Soit u ue série à termes positifs. O suppose que la suite ( u + u ) admet ue limite. Alors : 52

si cette limite vérifie lim u + <, u coverge ; u si cette limite vérifie lim u + >, u diverge ; u ue remarque hors thm : si lim u + =, o se gardera de coclure trop vite. u 5.3 Produit de Cauchy Défiitio produit de deux séries Soiet u et v deux séries à termes das K. O appelle produit de Cauchy de ces deux séries, la série de terme gééral w = u k v k = p+q= u p v q. Théorème - das le résumé: 3 Si les séries u et v sot absolumet covergetes, leur produit de Cauchy est ue série absolumet covergete et de plus : ( + + ) ( + ) ( + ) w = u p v q = u k v k. =0 =0 p+q= 53

5.4 Séries et itégrales Théorème - das le résumé: 4 Soit f ue foctio positive cotiue par morceaux, décroissate sur l itervalle [ 0, + [, alors : pour tous m, tels que m 0, + m f(t) dt f(p) p=m m La série de terme gééral u = f(), coverge ssi la foctio admet ue limite e +. Si la série coverge, alors x x 0 f(t) dt f(t) dt; + f(t)dt f(p) + f(t)dt Si la série diverge, alors f(p) f(t)dt p= 0 0 54

5.5 A coaître (liste provisoire) : q = ( ) 2π q ( q < ) géométrique! Stirlig e α coverge α > ( ) α coverge α > 0 N = = l N + γ + o() (γ cste d Euler) π 2 6 = 2 ( ) = l 2 ( ) x = l( + x) si x < x! = ( ) k ex 2k + = π 4 55

6 Tac au Tac. Quels sot les éocé vrais? Doer u cotre-exemple s ils sot faux. (a) si lim(u + u ) = 0, alors la suite (u ) coverge ; (b) si pour tout p, lim (u +p u ) = 0, alors (u ) coverge ; ( 2. Quelle sot les limites des suites u = + ) x, u = 3. Quelle est ature de la série 4. Quels sot les éocés vrais : ( + x 2 ), u = α, α >? de la série +/? (a) il est équivalet de dire u = o(( ) /) ou u = o(/) (b) si u = o(/) alors u coverge ; (c) si u o(/) alors u diverge ; (d) si u o(( ) /) alors u coverge ; (e) si u = o(/ 2 ) alors u coverge ; (f) si u = o(( ) / 2 ) alors u coverge ; (g) Pour toute série umérique, si u coverge, alors lim u = 0; (h) Pour toute série umérique, si lim u = 0 alors u est covergete ; ( + x /2 )? (i) si deux séries umériques u et v ot des termes gééraux équivalets (ie : u v ), elles sot de même ature ; 5. Réposes rapides : (a) si u = 2 + o( ), la série diverge. Pourquoi? (b) si u = ( ) 2 + o( ), la série peut être covergete ou divergete ; illustrer les deux cas. (c) si u = ( ) 2 + 3/2 + O( ), la série coverge. Pourquoi? 2 6. Vrai ou faux (a) Si la série à termes positifs, u coverge, il e va de même pour u 2? (b) Si la série à termes complexes, u coverge, il e va de même pour u 2? (c) Si les séries à termes réels u 2 et v 2 coverget, il e va de même de u v? (d) Si les séries à termes complexes u 2 et v 2 sot absolumet covergetes, il e va de même de u v? 7. Doer, si possible, u exemple (a) de série u divergete telle que lim u = 0; (b) de série u covergete telle que u diverge ; (c) de série u de terme gééral équivalet à v = / et qui coverge ; 8. Quels sot les éocés vrais : 56

(a) Toute série umérique absolumet covergete est covergete ; (b) Toute série covergete est absolumet covergete ; (c) Toute série à valeur das u espaces ormé, absolumet covergete est covergete ; (d) Toute série à valeur das u espaces ormé de dimesio fiie, absolumet covergete est covergete ; 9. Doer u cotre-exemple pour les éocés faux das la liste ci-dessus ; 0. Qu est-ce-qu u produit de Cauchy? Quels théorèmes pouvez vous citer? Applicatio? 57

7 Du rab! Exercice 55 Étudier la covergece des séries 5 + u ci-dessous. Lorsque u = si(πα ), α =. 2 Itroduire ue suite bie choisie (F ) telle que F +2 = F + + F. voir corrigé?? Exercice 56. Étudier la covergece de la série de terme gééral u + = e u α, u R et α R. 2. E cas de divergece grossière o pourra s itéresser à la suite (u ). voir corrigé?? Exercice 57 techiques de base... Étudier les séries suivates :. ( ) ( ) si ; 2. ) l ( + ( ) ; 3. et calcul évetuel de la somme ; ( 2)( + 2) 4. 2 + e 5. Doer u équivalet simple de Exercice 58 k k +.. Motrer que les deux séries suivates sot covergetes et calculer leurs sommes : ( + )( + 2) 2 ( )! 2. Étudier la covergece des séries : ( l + ( + ) α ), ) l ( + ( ), ) l ( + ( ). Exercice 59 Soit f ue foctio cotiue sur [0, + [, telle que f(0) = et 0 < f(x) < sur ]0, + [. O lui associe ue suite (u ) telle que u 0 > 0 et que pour tout N, u + = f(u )u. 58

. Que dire de la limite de la suite (u )? 2. O suppose de plus f dérivable e 0 et telle que f (0) < 0. (a) Étudier la série u 2. O pourra étudier (u k+ u k )... (b) E déduire la ature de la série u. O pourra étudier u k+ u k... 3. Étudier la série u 3 lorsque f est deux fois dérivable, f (0) = 0 et f (0) < 0. voir corrigé?? Exercice 60 il est court, mais il y a de quoi faire Soit (z ) ue suite de complexes telle que z + = 2 (z + z ). Comparer les modules de deux termes successifs, e déduire la covergece. voir corrigé?? Exercice 6. Pour les 3 séries suivates, discuter de la covergece et préciser la somme : 3 2,! ( + 2) r e iθ, r > 0, θ R. 2. Pour les séries suivates, discuter de la covergece : ( ) +, + 07 Peser que l o peut doer u développemet de + = +. 2 3. Motrer que pour α > β > 0 et p R, l p ( ) α = o + α β. Étudier la covergece de ( ) + l 59

Exercice 62. Soit σ ue suite de réels positifs telle que σ +. Doer u équivalet des sommes 3 k= σ k. O cosidère pour u 0 R, la suite (u ) défiie par u + = si u. 2. Discuter du sige des termes de la suite selo u. Motrer que cette suite coverge. Préciser sa limite. 3. Justifier que si u 0, aucu des termes de la suite est ul. O se place doréavat das ce cas. 4. Doer u équivalet de σ =. E déduire u équivalet de σ k puis de u 2 + u lorsque ted vers + (distiguer les cas u = et u = ). u 2 5. Doer u équivalet de σ 3. E déduire u développemet à deux termes de u2. O pourra utiliser ue calculatrice. 60

Exercice 63. Pour chacue des trois séries suivates, dire si elle coverge, si elle est absolumet covergete : ( ) p 2p +, (2p + )(2p + 3), (4p + )(4p + 3). 2. A l aide d ue décompositio e élémets simples, calculer p=0 (2p + )(2p + 3). 3. Comparer les sommes p=0 (4p + )(4p + 3) et ( ) p 2p +. p=0 4. O se propose de calculer ces sommes. (a) Soit x R. Motrer que (b) E déduire que 5. O ote x 0 x ( ) k t 2k dt = arctax + ( ) t 2+2 + t 2 dt. S N = N p=0 p=0 ( ) p 2p + = π 4. ( ) p 2p + et R N = p=n+ 0 ( ) p 2p +. Doer ue coditio suffisate sur N pour que S N π 4 0 p, p N. E déduire e ecadremet de π/4 à 0 2 près. Doer précisémet le programme qui vous a permis de l obteir sur votre calculette. 6. O ote T N = N p=0 (4p + )(4p + 3) et R N = p=n+ (4p + )(4p + 3). (a) Majorer le reste R N par le reste d ue série plus simple, puis par ue (limite d )itégrale. (b) Doer ue coditio suffisate sur N pour que T N π 8 0 p, p N. (c) E déduire e ecadremet de π/8 à 0 2 près. Doer précisémet le programme qui vous a permis de l obteir sur votre calculette. Corrige e??, page??. 6

Exercice 64 développemets asymptotiques de séries. O cosidère la série de terme gééral u = défii pour N aisi que ses sommes partielles : S = k= k. (a) Doer u ecadremet de u par des itégrales lorsque 2. E déduire u équivalet de S lorsque ted vers l ifii. (b) O pose, pour 2, w = t dt. i. Écrire w comme ue itégrale que l o itégrera judicieusemet par parties. Démotrer que la série de terme gééral w est absolumet covergete. Doer u majorat de W = w k. ii. Justifier qu il existe ue costate l et ue suite (R ) covergeat vers 0 telles que S = 2 + l + R. Détermier u etier N p au delà duquel k=2 S 2 l 0 p. iii. A l aide de votre calculette doer ue valeur approchée à 0 près de l. Vous expliciterez avec soi votre code ou à défaut le code MAPLE correspodat (que vous ayez écrit ue foctio ou ue lige de commade). 2. O cosidère ici la série de terme gééral v = défii pour N aisi que ses sommes partielles : T = k. k= (a) Ecadrer T à l aide d itégrales et e déduire u équivalet simple de T lorsque ted vers l ifii. (b) Examier la feuille de travail ci-joite, produite par u code MAPLE équivalet à celui qui figure ci-dessous : :=50000: s[0]:=0: for k from to do s[k]:=evalf(s[k-]+k^(/2)); t[k]:= evalf( (s[k]-2/3*k^(3/2)) / od: k^(/2)); 62

t[-2],t[-],t[]; 0.498908049, 0.4989075320, 0.4989249034 Dire si la cojecture T 2 3 3/2 est plausible. Corriger évetuellemet. (c) E observat que Vérifier que T 2 3 3/2 = 2 3 3/2 = 0 k k= 0 t dt, ( u ) du k (d) Doer u développemet limité à l ordre 3 de ( + x) 3/2. E déduire u développemet asymptotique de l expressio : ( k u ) du k 0 (e) E faisat appel à l équivalet de S trouvé à la première questio, motrer que corrigé e?? où lim r = 0. T = 2 3 3/2 + 2 + C + r 63