Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme................................................. 1. Angle orienté de deux vecteurs................................... 1.3 Projection orthogonale........................................ 4 de deux vecteurs 4.1 Définition............................................... 4. Propriétés............................................... 5.3 Autres expressions du produit scalaire............................... 5 3 Calculs avec le produit scalaire 7 3.1 Propriétés............................................... 7 3. Carré scalaire............................................. 7 4 Applications du produit scalaire 7 4.1 droites perpendiculaires....................................... 7 4. Equation d un cercle......................................... 9 4.3 Théorème de la médiane....................................... 10 4.4 Application aux formules de trigonométrie............................. 11 1/13
1 Vecteurs 1.1 Norme Définition : Norme d un vecteur Soit un vecteur u et deux ponts A et B tels que AB = u, la norme de u notée u est la distance AB. u = AB = AB Dans un repère orthonormé, si on a A(x A ; ety A et B(x B ; y B : AB = (x B x A + (y B y A et AB(xB x A ; y B y A Si on pose u = AB on a alors xu = x B x A et y u = y B y A et donc u = AB = x u + y u Exemple 1 : Vecteurs orthogonaux Dans un repère orthonormé, on donne u (; 4 et v (; 1 Calculer u Calculer v Les vecteurs u et v sont-ils orthogonaux? 1. Angle orienté de deux vecteurs u = OB = ( + (4 = 0 = 5 unités. v = OC = ( + ( 1 = 5 unités. Calcul des coordonnées de u + v { x u + v = x u + x v = + = 4 y u + v = y u + y v = 4 1 = 3 Calcul de u + v u + v = BC = 4 + 3 = 5 = 5 unités Utilisation du théorème de Pythagore u + v = 0 + 5 = 5 et u + v = 5 donc le triangle OBC est rectangle en O et donc u et v sont orthogonaux. Définition : Angle orienté de deux vecteurs On note C le cercle trigonométrique mini du repère orthonormé direct (O; I; J (voir figure Soient u et v deux vecteurs non nuls. A et B sont tels que OA = u et OB = v A et B sont les points d intersection du cercle C et des demi-droites (OA et (OB. La mesure en radians de l angle orienté ( u, v est la mesure en radians de l angle orienté ( OA, OB /13
Exemple : Angles orientés dans un triangle Dans le triangle équilatéral ci-dessous, donner la mesure des angles orientés suivants : ( AB, AC, ( CB, CA, ( AB, CA ( AB, AC = π 3 ( CB, CA = π 3 ( AB, CA = π 3 3/13
1.3 Projection orthogonale Définition : Projection orthogonale d un point sur une droite Soit M un point et (d une droite du plan, la projection orthogonale de M sur (d est le point M de (d tel que M (d et (MM (d Définition : Projection orthogonale d un vecteur sur une droite Soit u un vecteur non nul et (d une droite du plan. Si A et B sont deux points tels que u = AB, la projection orthogonale de u sur (d est le vecteur A B avec A et B projetés orthogonaux de A et B sur (d. de deux vecteurs.1 Définition Définition : produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs est noté u. v, est le nombre réel défini par : u. v = u v cos( u, v si u 0 et v 0 u. v = 0 si u = 0 ou v = 0 Remarque La mesure principale de ( u, v ] π ; π La mesure principale de ( u, v ] π; π Cas d un angle aigu : Dans le triangle ACC rectangle en C, on a : v cos( u, v = AC cos(ĉ AC = AC donc u. v = AB AC [ u. v > 0 [ ] π ] ; π u. v < 0 Cas d un angle obtus : Dans le triangle ACC rectangle en C, on a : v cos( u, v = AC cos(ĉ AC = AC donc u. v = AB AC 4/13
Exemple 3 Soit ABC un triangle équilatéral de côté 5 unités(dans le sens indirect :voir figure, calculer AB. AC puis AB. CA AB. AC = AB AC cos( AB, AC = 5 5 cos( π π rappel :cos( 3 3 = cos 3 = 1 = 5 AB. CA = AB CA cos( AB, CA = 5 5 cos 3 = 5. Propriétés Pour tous vecteurs u et v non nuls, cos( u, v = cos( v, u (voir chap. trigonométrie Propriétés : produit scalaire Pour tous vecteurs u et v, on a : u. v = v. u (le produit scalaire est commutatif u. v = 0 u = 0 ou v = 0 ou u et v sont orthogonaux. Démonstration : éléments de démonstration cos( u, v = cos( v, u (( v, u = ( u, v et cos(α = cos( α u et v sont orthogonaux ( u, π v = + kπ avec k Z et cos = 0.3 Autres expressions du produit scalaire Propriétés : autres expressions du produit scalaire Pour tous vecteurs u et v : u. v = u + v u v Dans une repère orthonormé, si u (x; y et v (x ; y u. v = xx + yy 5/13
Démonstration : application de l activité 1p04 Si A, B et C sont définis par u = AB et v = AC, avec la formule d Al-Kashi, on a BC = AB + AC AB AC cos( BAC (voir figures de la définition d un produit scalaire Il faut distinguer deux cas : cas où H [AB : AB AC cos( BAC = AB + AC BC AB AC cos( BAC = AB + AC BC u. v = u + v v u or v u = u v Démonstration : expression dans un repère orthonormé u = x + y et v = x + y { x u v = x x y u v = y y donc u v = (x x + (y y on a alors : u. u + v u v v = = x + y + x + y (x x + (y y = x + y + x + y (x + x xx + y + y yy = xx + yy = xx + yy Exemple 4 : Application dans un triangle Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1, B( ; 4 et C( 1; 1. Calculer AB. AC et en déduire une mesure de l angle BAC au dixième de degré près. { x AB = x B + x A = = 4 y AB = y B + y A = 4 1 = 3 et AC( 3; donc AB( 4; 3 AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = ( 5 ( 3 + 3 ( 3 = 6 AB. AC = AB AC cos( AB, AC AB = ( 4 + 3 = 5 et AC = ( 3 + ( = 13 donc AB. AC = 5 13cos( AB, AC donc cos( AB, AC = 6 5 13 6/13
BAC = cos 1 6 ( 5 13 70, 6o à 0,1 degré près Calculatrice : touche Acs pour cos 1 et shift menu pour régler l unité en degrés. 3 Calculs avec le produit scalaire 3.1 Propriétés Propriétés Soient u, v et w trois vecteurs et k un réel : (k u. v = k( u. v et ( u + v. w = u. w + v. w (distributivité du produit scalaire Les démonstrations de ces propriétés peuvent se faire dans un repère orthonormé avec u (x; y, v (x ; y et w (x ; y (voir livre page 10 3. Carré scalaire Le carré scalaire d un vecteur u est u = u. u = u (cos( u, u = cos(0 = 1 soient u et v deux vecteurs, calculer alors ( u + v. ( u + v = ( u + v.( u + v = u + u. v + v. u + v = u + u. v + v ( u. v = v. u Propriétés : identités remarquables Pour tous vecteurs u et v : ( u + v = u + u. v + v ( u v = u u. v + v ( u + v.( u v = u v 4 Applications du produit scalaire 4.1 droites perpendiculaires Pour toute cette partie, on se place dans un repère orthonormé (O; i ; j. Propriété : Orthogonalité dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé,deux vecteurs u (x; y et v (x ; y non nuls sont orthogonaux si et seulement si xx + yy = 0 Conséquence : Si la droite (d a pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur u ( b; a est un vecteur directeur de (d Si v (a; b on a alors u. v = ba + ab = 0 donc le vecteur v est un vecteur directeur d une droite (d perpendiculaire à (d et (d admet une équation réduite de la forme bx ay + c = 0 Définition : vecteur normal à une droite Soit (d une droite, v est un vecteur normal à (d si v est orthogonal à tout vecteur directeur de (d. 7/13
Propriété : coordonnées d un vecteur normal à une droite Si (d admet pour équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur v (a; b est un vecteur normal à (d. Exemple 5 : Orthogonalité dans le plan Dans un repère orthonormé, on donne A(; 1, B(6; 5 et C( 1; 4. Montrer (sans calculer de longueurs que ABC est un triangle rectangle en A. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de A dans ABC. { x AB = x B x A = 6 = 4 y AB = y B y A = 5 1 = 4 De même AC( 3; 3 et BC( 7; 1 donc AB(4; 4 AB. AC = x x AB AC + y y AB AC = 4 ( 3 + 4 3 = 0 donc AB et AC sont orthogonaux et ABC est rectangle en A. La hauteur (d issue de A est perpendiculaire à (BC dont BC( 7; 1 est un vecteur directeur. Le vecteur v ( 1; 7 est une vecteur directeur de (d et (d admet une équation cartésienne de la forme 7x y + c = 0 A (d 7x A + y A + c = 0 14 + 1 + c = 0 c = 15 donc une équation cartésienne de (d est 7x + y 15 = 0 (équation réduite : y = 7x + 15 /13
4. Equation d un cercle Dans un repère orthonormé, on considère le cercle C de diamètre [AB] (A et B distincts avec A(x A ; y A et B(x B ; y B. Méthode 1 : Avec le produit scalaire Un point M(x : y distinct de A et de B appartient à C si et seulement si (AM (BM ou bien encore Un point M(x : y distinct de A et de B appartient à C si et seulement si AM. BM = 0 AM(x x A ; y y A et BM(x x B ; y y B AM. BM = (x x A (x x B + (y y A (y y B AM. BM = 0 (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 Si M = A, x x A = y y A = 0 et donc (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 De même si M = B. méthode : avec le centre et le rayon Si on note O(x O ; y O le centre du cercle C et r son rayon (r = AB M C OM = r, on a alors : (x x O + (y y O = r Propriétés : équation cartésienne d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle de diamètre [AB] admet pour équation cartésienne (x x A (x x B + (y y A (y y B = 0 Le cercle de centre O(x O ; y O et de rayon r a pour équation cartésienne (x x O + (y y O = r 9/13
Exemple 6 :Détermination d une équation d un cercle de diamètre [AB] Dans un repère orthonormé, Déterminer une équation du cercle C de diamètre [AB] avec A(1; 3 et B( 3; 5 Méthode 1 : Avec le produit scalaire Soit M(x; y C AM(x 1; y 3 et BM(x + 3; y 5 AM. BM = 0 (x 1(x + 3 + (y 3(y 5 = 0 x + x + y y + 1 = 0 x + x + y y + 1 = 0 est une équation du cercle C Méthode : Avec le centre et le rayon Le centre du cercle Ω milieu de [AB] a pour coordonnées x Ω = x A + x B = 1 et y Ω = y A + y B et pour rayon AB = (xb x A + (y B y A 0 = = 5 = 5 donc (x x Ω + (y y Ω = 5 soit (x + 1 + (y 4 = 5 est une équation du cercle C. Remarque x + x + y y + 1 = 0 (x + 1 1 + (y 4 16 + 1 = 0 (x + 1 + (y 4 = 5 Exemple 7 :Détermination du centre et du rayon d un cercle Dans un repère orthonormé, le cercle C a pour équation cartésienne x 4x + y + y = 0 Déterminer les coordonnées de son centre et de son rayon. Le point C(3; 1 appartient-il à C? Déterminer une équation de la tangente (T en C au cercle C. = 4 1. x 4x + y + y = 0 (x 4 + (y + 1 1 = 0 (x + (y + 1 = 5 (x + (y ( 1 = 5 donc C a pour centre Ω(; 1 et rayon 5.. x C 4x C + y C + y C = 9 1 + 1 + = 0 donc C C 3. (T (ΩC et C (T ΩC(1; donc n ( ; 1 vecteur normal à (ΩC est un vecteur directeur de (T. Une équation cartésienne de (T est de la forme x + y + c = 0 C (T x C + y C + c = 0 5 + c = 0 c = 5 donc x + y 5 = 0 est une équation cartésienne de (T. 4.3 Théorème de la médiane Propriété : théorème de la médiane A et B sont deux points distincts et I est le milieu de [AB]. Pour tout point M, MA + MB = MI + 1 AB Démonstration 10/13
MA + MB = MA + MB = ( MI + IA + ( MI. IB = MI + MI. IA + IA + MI + MI. IB + IB = MI + IA + MI. IA + MI. IB IB ( AB = MI + IA = IB = MI + AB = MI + AB + MI.( IA+ + MI. 0 Exemple : Calcul de la longueur de la médiane dans un triangle On considère un triangle ABC tel que AB=6cm, AC=5cm et BC=cm. Calculer AI où I est le milieu de [BC] I milieu de [BC] donc (AI est la médiane issue de A dans ABC. On a alors (avec M = A dans le théorème de la médiane : AB + AC = AI + 1 BC 6 + 5 = AI + 64 51 = AI + 3 51 3 AI = 19 = AI (car AI 0 4.4 Application aux formules de trigonométrie Propriétés : formules d addition Pour tous réels a et b, on a : 1. cos(a b = cos(acos(b + sin(asin(b. cos(a + b = cos(acos(b sin(asin(b 3. sin(a b = sin(acos(b cos(asin(b 4. sin(a + b = sin(acos(b + cos(asin(b Démonstration : cos(a b = cos(acos(b + sin(asin(b Sur le cercle trigonométrique (voir fig ci-contre, on a u = v = 1 donc : u. v = u v cos( u, v = cos(a b Dans ce repère, on a : u (cos(b; sin(b et v (cos(a ; sin(a donc u. v = cos(acos(b + sin(asin(b = cos(a b car 11/13
Remarque Pour les propriétés suivantes, il suffit d appliquer la première formule en remplaçant b par b puis ensuite a par π + a. En effet cos( b = cos(b et sin( b = sin(b (formule puis cos + a = sin(a et sin(π + a = cos(a (formule 3 Exemple 9 : valeur exacte de cos 1 Vérifier que π 3 π 4 = π 1 et en déduire la valeur de cos 1 π 3 π 4 = 4π 1 3π 1 = π 1 donc cos = cos 1 3 π ( 4 π = cos cos 3 4 = 1 3 + 6 + 6 = 4 + 4 = 4 + sin 3 sin 4 En prenant b = a dans la formules d addition et 4, on obtient : cos(a + a = cos(acos(a sin(asin(a = cos (a sin (a et sin(a + a = sin(acos(a + cos(asin(a = sin(acos(a Propriétés : formules de duplication Pour tout réels a, on a : 1. cos(a = cos (a sin (a. cos(a = cos (a 1 = 1 sin (a (rappel :cos (a + sin (a = 1 soit sin (a = 1 cos (a 3. sin(a = sin(acos(a Exemple 10 : valeur exacte de cos Déterminer la valeur de cos π = π 4 donc ( cos = cos π = cos 1 4 = cos 1 + 1 = cos + = cos 4 + = cos 1/13
car π ] π ; π [ donc cos > 0 13/13